高等数学(下册)期末复习试题及答案.pdf

一、填空题（共21分 每小题3分）1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =−−=−+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+−==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<−=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =−'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分 每小题6分）1．求过点)1,2,1(−且垂直于直线⎩⎨⎧=+−+=−+−02032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=−−=kj i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +−=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤−≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰−=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ(6分)3．计算二重积分⎰⎰+−=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰−=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰−−=−20220)(d d 212r e r πθ⎰−⋅−=202d 221r e π)1(4−−=e π三、解答题（共35分 每题7分）1．设vue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xvv z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2．函数),(y x z z =由方程0=−xyz e z所确定，求yz x z ∂∂∂∂,． 解：令xyz e z y x F z−=),,(， (2分)则 ,yz F x −= ,xz F y −= ,xy e F zz −= (5分)xy e yzF F x z z z x −=−=∂∂， xye xz F F y z z z y −=−=∂∂． (7分) 3．计算曲线积分⎰+−Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y −=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+−−=+−OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)ππ=−⋅=022 (7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，求)(x f ．解： 由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+， 即xe xf x f =−')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰−−−⎰)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解： 因为 )!2()!()!22(])!1[(limlim 221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛． (7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x −−=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++−1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3−=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=． (7分) 五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ， 且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=， 令)2(sin sin sin πλ−+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)六、（8分）求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim 1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分)当1−=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当1=x 时， 级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为)1,1[−． (5分)设和为)(x S ，即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=−='11)(n n x x S x−=11， (6分) 再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰−=)1ln(x −−=，)11(<≤−x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ． 解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分)由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ． 因此所求的函数为 )1(ln 3)(+=x x f ． (5分)八． （5分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y −+=2，x x x e e xe y −−+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe−是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 )(2x f y y y =−'−''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(−=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22−=−'−''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe−是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y −++=221是所求微分方程的通解，从而有 x x x x e C e C xe e y −−++='2212，x x x x e C e C xe e y −+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22−=−'−''06高数B一、填空题（共30分 每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=−y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+−z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=，则=−)1,0,1(grad f )2,1,2(−−．3．直线35422:1z y x L =−−=−+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+−==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π．4. 设Ω是曲面222y x z −−=及22y x z +=所围成的区域积分，则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰−221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ．5. 设L 是圆周22x x y −=，取正向，则曲线积分=+−⎰Ly x x y d dπ2．6. 幂级数∑∞=−−11)1(n nn n x 的收敛半径1=R ．7．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．8．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<−=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为 Cxy =．10．写出微分方程xe y y y =−'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共42分 每小题６分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+−+=−+−03202z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=−−=kj i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (2分)2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(−+=−+所确定，求xz∂∂．解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+−−−+=， (2分)则,1)32cos(−−+=z y x F x 3)32cos(3+−+−=z y x F z ． (2分))32cos(33)32cos(1z y x z y x F F x z z x −+−−+−=−=∂∂ ． (2分)3．计算⎰⎰Dxy σd ，其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解法一： 原式⎰⎰=211d ]d [xx y xy (2分)x y x x d ]2[2112⎰⋅=x xx d )22(213⎰−= 811]48[2124=−=x x . (4分)解法二： 原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=−=y y .(同上类似分) 4．计算⎰⎰−−Dy x y x d d 122，其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解： 选极坐标系原式⎰⎰−=2012d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r −−−⋅=⎰π6π= (3分)5．计算⎰Γ−+−z x y yz x z y d d 2d )(222，其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧．解：原式⎰⋅−⋅+−=122564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰−=1046d )23(t t t 1057]5273[t t −=351= (3分)6．判断级数∑∞=−1212n n n 的敛散性． 解： 因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim11−+=+∞→+∞→ (3分) 121<=， (2分) 故该级数收敛． (1分) 7．求微分方程043=−'−''y y y 满足初始条件,00==x y 50−='=x y 的特解．解：特征方程 0432=−−r r ，特征根 1,421−==r r通解为 x x e C e C y −+=241， (3分)x xe C e C y −−='2414，代入初始条件得 1,121=−=C C ，所以特解x x e e y −+−=4．(3分)三、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x −−=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的 空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++−1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3−=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=． (2分)四、（8分）设曲线积分⎰−+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且满足1)1(=f ，求)(x f ． 解：由xQy P ∂∂=∂∂， 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(−'+=， 即1)(21)(=+'x f xx f ， (3分) 所以)d ()(d 21d 21C xeex f x x x x +=⎰⎰−⎰)(2121C dx x x+=⎰−)32(2321C x x+=−， (3分)代入初始条件，解得31=C ，所以x x x f 3132)(+=． (2分)五、（6分）求函数xy y x y x f 3),(33−+=的极值．解：⎪⎩⎪⎨⎧=−==−=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(−=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处，,092>=−AC B 故)0,0(f 非极值；在点)1,1(处，,0272<−=−AC B 故1)1,1(−=f 是极小值． (3分)六、（6分）试证：曲面)(xyxf z =上任一点处的切平面都过原点．证：因),()(xyf x y x y f x z '−=∂∂)(1)(x y f x x y f x y z '=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ，有)(0000x y f x z =，得切平面方程为))(())](()([)(0000000000000y y x y f x x x y f x y x y f x y f x z −'+−'−=−即0)()]()([00000000=−'+'−z y x yf x x y f x y x y f 故切平面过原点． (3分)07A一、 填空题（每小题3分，共21分）1．设向量}5,1,{},1,3,2{−==λb a ，已知a 与b垂直，则=λ1−2．设3),(,2,3π===b a b a ，则=−b a 6−3．yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4．过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=−−=−+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+−−z y x5．二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D6．函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7．设xy e z =，则=dz )(xdy ydx e xy +8．设),(x yx xf u=，f具有连续偏导数，则=∂∂xu 21f xy xf f −+9．曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{ 10．交换积分顺序：⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(x dyy x f dx11．闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成，将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (rdzz r r f rdr d12．设L 为下半圆周21x y−−=，则=+⎰ds y x L )(22π13．设L 为取正向圆周922=+y x，则=−+−⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18−14．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<−=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15．若0lim ≠∞→nn u ，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散16．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是 收敛17．设一般项级数∑∞=1n n u ，已知∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 的敛散性是 绝对收敛18．微分方程05)(23=+'−''xy y y x 是 2 阶微分方程19．微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221−−+20．微分方程x xe y y y 223=+'−''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、（共5分）设xy v y x u v u z ===,,ln 2，求yzx z ∂∂∂∂, 解：]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222−−=⋅+−⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、（共5分）设022=−++xyz z y x ，求xz ∂∂解：令xyz z y x z y x F 22),,(−++=xyzyzxyz F x −=xyzxyxyz F z −=xyxyz xyz yz F F x zz x −−=−=∂∂ 四、（共5分）计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解：y x z x y x −−≤≤−≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰−−−−Ω−−==xyx xdy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+−=−=⎰⎰dx x x x dx x x五、（共6分） 计算⎰−+−Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin (，其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解：添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ，根据格林 公式⎰−+−Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰−+−−=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212−=a π 381a π= 六、（共6分）求幂级数∑∞=−13)3(n nn n x 的收敛域解：对绝对值级数，用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111−=−⋅+=−+−=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<−x 时，即60<<x ，原级数绝对收敛 当1331>−x 时，即60><x x 或，原级数发散 当0=x 时，根据莱布尼兹判别法，级数∑∞=−1)1(n nn收敛当6=x时，级数∑∞=11n n发散，故收敛域为)6,0[ 七、（共5分） 计算dxdy z⎰⎰∑2，其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解：∑在xoy 面的投影xy D ：0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2dxdy y x xyD )1(22−−+=⎰⎰rdr r d )1(2102⎰⎰−=πθ412⋅=π8π=八、（共7分） 设0)1(=f ，求)(x f 使dy x f ydx x f xx )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u 解：由x Q y P ∂∂=∂∂，得)()(1ln x f x f x x '=+，即x x f xx f ln )(1)(=−' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰−−−带入初始条件，解得0=C,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=x y xdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、（共60分 每题3分）1. 设向量}4 ,2 ,6{−=a，}2 ,1 ,{−=λb ，已知a 与b 平行,则=λ3−．2. yoz 坐标面上的曲线12222=−c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=−+bz a y x ． 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b −=3．4. 设一平面经过点)1,1,1(，且与直线⎩⎨⎧=+=−−03042z y y x 垂直，则此平面方程为032=−+z y x ．5. 二元函数12ln 2+−=x y z 的定义域为{}012|),(2>+−x y y x ．6. 设xy e z =，则=z d )d d (y x x y e xy +．7. 函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(grad f )1,0,1(．8.设(,)yu xf x x =，f 具有连续导数，则u x ∂=∂12yf xf f x''+−． 9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(−处的法向量=n{}4,0,2−． 10. 交换积分顺序：⎰⎰=100d ),(d x y y x f x ⎰⎰101d ),(d y x y x f y ．11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ．12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积，则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3． 13. 设L 为上半圆周21x y −=，则=+⎰Ls y x d )(22π．14. 设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<−=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．15. 若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ．16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是 收敛 ．17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是 收敛 ． 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程． 19. 微分方程02=+'−''y y y 的通解为)(21x C C e x +．20.微分方程x xe y y y 2365−=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(−+=．三、（共5分）函数),(y x z z =由方程04222=−++z z y x 所确定，求xz∂∂． 解：令=),,(z y x F z z y x 4222−++， (1分)则 ,2x F x = ,42−=z F z (2分)zx F F x z z x −=−=∂∂2 (2分) 五、（共6分）计算曲线积分⎰+−−Ly y x x y x d )sin (d )2(22，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+．解：添加有向辅助线段OA ，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰+−−Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+−−−+−=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰−22d x x 3823212132−=−⋅⋅=ππ (3分)七、（共6设0)1(=f ，确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +−为某二元函数(,)u x y 的全微分．解： 由x Q y P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f xx f x '=−，即 xxx f x x f sin )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰−)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰− (2分) )cos (1C x x+−=， (1分) 代入初始条件，解得1cos =C ，所以)cos 1(cos 1)(x xx f −=． (1分) 八、(共6分)计算⎰⎰∑y x z d d 2，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分． 解：⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰−−=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰−−−−xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰−−=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅−=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题（共24分 每小题3分）1．设{}1111,,p n m s =，{}2221,,p n m s =分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是 （A ）（A ）0212121=++p p n n m m （B ）212121p p n n m m ==（C ）1212121=++p p n n m m （D ）1212121=++p pn n m m 2．Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )（A ）12+=y z （B ）22x y z +=（C ）122++=x y z （D ）x y z +=23．二元函数12ln 2+−=x y z 的定义域为 （B ）（A ）{}02|),(2>−x y y x （B ）{}012|),(2>+−x y y x （C ）{}012|),(2≤+−x y y x （D ）{}0,0|),(≥>y x y x4．交换积分顺序：1d (,)d yy f x y x =⎰⎰ （ A ）（A ）dy y x f dx x ⎰⎰110),(（B ）dx y x f dy y ⎰⎰110),(（C ）dx y x f dy y⎰⎰110),(（D ）dy y x f dx x⎰⎰110),(5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= （ C ） （A ）2 （B ）2π （C ）38π （D ）34π 6．函数),(y x z z =由方程04222=−++z z y x 所确定，则xz∂∂= （ D ） （A ）zy −2 （B ）y x−2 （C ）zz−2 （D ）zx−2 7．幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是 （ C ）（A ）][3,3− （B ）](3,0（C ） [)3,3− （D ）()3,3−8．已知微分方程xe y y y =−'+''2的一个特解为x xe y =*，则它的通解是（ B ） （A ）x xe x C x C ++221（B ）x x x xe e C e C ++−221（C ）x e x C x C ++221（D ）x x x xe e C e C ++−21二、填空题（共15分 每小题3分）1．曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=−−z x ． 2．若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 3．级数∑∞=12cos n n n的敛散性是 绝对收敛 ． 4．二元函数2221sin)(),(x y x y x f +=，当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。