函数的单讲义调性(2)
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函数的单调性ppt
05
函数的单调性的实际案例
利用函数的单调性解决实际问题
1 2
判断经济增长趋势
通过分析经济增长率函数，利用函数的单调性 可以判断经济是处于增长趋势还是下降趋势。
确定最优化解决方案
在生产、销售或投资领域，利用函数的单调性 可以帮助我们确定最优的策略或方案。
3
预测天气变化趋势
通过分析气象数据函数，利用函数的单调性可 以预测未来的天气变化趋势，为灾害预防和应 对提供参考。
函数的单调性的判断方法
定义法
根据函数的单调性定义来判断 。
导数法
对于可导函数，可以根据导数 的正负来判断函数的单调性。 当导数大于0时，函数单调递增 ；当导数小于0时，函数单调递
减。
图像法
观察函数的图像，上升曲线表 示函数单调递增，下降曲线表
示函数单调递减。
02
函数的单调性的应用
单调函数在生活中的应用
感谢您的观看
THANKS
单调函数与导数的关系总结
单调函数的导数
01
单调递增函数的导数大于等于0，单调递减函数的导数小于等
于0。
导数的正负与单调性
02
导数的正负与函数的单调性是一致的，即导数大于0时，函数
递增；导数小于0时，函数递减。
导数与变化趋势
03
导数可以反映函数的变化趋势，即函数在某点处的变化率，因
此可以用来预测函数的未来变化趋势。
一次函数和二次函数
一次函数在其定义域内具有单调性，而二次函数在其定义域内也 可能具有单调性。
极限和导数
在数学分析中，单调函数的极限和导数具有特定的性质和计算方 法。
不等式和排序
单调函数在求解不等式和进行排序等方面具有重要应用。
函数的单调性
函数的单调性
单调性定义的几种变形形式：
设任意x1，x2∈[a，b]且x(x2 ) x2
0
⇔f(x)在[a，b]上是增函数
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增
调性。
x
1
在(－1，＋∞)上的单
函数单调性的应用（二）求函数的最值与比较 函数值的大小
} ①x1<x2 D
②f(x)是增函数
f(x1)<f(x2)
例1：求函数f(x)=x2-2x+3在[1，4]上的值域。
例2：求函数f(x)=
2x 1 x2
在[1，4]上的最值。
例3：求函数f(x)= x 1 - 6 2x 的值域。
且满足f( )<f(a), 求a的取值范围.
例5：已知函数f(x)＝
则不等式
f(a2－4)>f(3a)的解集为( ) A．(2,6) B．(－1,4) C．(1,4) D．(－3,5)
函数的单调区间(一)求函数的单调区间
例1：求函数y＝x－|1－x|的单调增区间。
1 2x
例2：求函数y=
的单调增区间。
函数.
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减 函数．
单调性的有关结论：
1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增 (减)函数．
2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，
3．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调 性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；
单调性定义的几种变形形式：
设任意x1，x2∈[a，b]且x(x2 ) x2
0
⇔f(x)在[a，b]上是增函数
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增
调性。
x
1
在(－1，＋∞)上的单
函数单调性的应用（二）求函数的最值与比较 函数值的大小
} ①x1<x2 D
②f(x)是增函数
f(x1)<f(x2)
例1：求函数f(x)=x2-2x+3在[1，4]上的值域。
例2：求函数f(x)=
2x 1 x2
在[1，4]上的最值。
例3：求函数f(x)= x 1 - 6 2x 的值域。
且满足f( )<f(a), 求a的取值范围.
例5：已知函数f(x)＝
则不等式
f(a2－4)>f(3a)的解集为( ) A．(2,6) B．(－1,4) C．(1,4) D．(－3,5)
函数的单调区间(一)求函数的单调区间
例1：求函数y＝x－|1－x|的单调增区间。
1 2x
例2：求函数y=
的单调增区间。
函数.
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减 函数．
单调性的有关结论：
1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增 (减)函数．
2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，
3．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调 性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；
函数的单调知识点总结
函数的单调知识点总结一、函数的增减性1. 函数的单调性定义函数的单调性是指函数在其定义域上的增减性质。
如果对于任意的$x_1, x_2 \in D$, $x_1 <x_2$，有$f(x_1) \le f(x_2)$，则称函数$f(x)$在定义域上是单调不减的；如果对于任意的$x_1, x_2 \in D$, $x_1 < x_2$，有$f(x_1) \ge f(x_2)$，则称函数$f(x)$在定义域上是单调不增的。
2. 函数的单调性判定对于一个给定函数，要判定其在定义域上的增减性，可以通过对函数的导数进行分析来实现。
通常有以下几种方法：(1) 图像法：通过画出函数的图像，观察函数在定义域上的增减性。
(2) 导数法：计算函数的导数并分析其正负性来判定函数的单调性。
(3) 定义域划分法：对函数的定义域进行适当的划分，分别分析函数在各个子区间上的增减性。
3. 函数的单调性与最值函数的单调性可以帮助我们求解函数的最值。
如果一个函数在其定义域上是单调递增的，则其最小值为$f(x)$的最小值；如果一个函数在其定义域上是单调递减的，则其最大值为$f(x)$的最大值。
二、导数的应用1. 函数的导数导数是描述函数变化率的重要工具，它可以帮助我们研究函数的增减性。
对于可导函数$f(x)$，其导数$f'(x)$的正负性可以描述函数在某点附近的增减性。
具体来说：(1) 若$f'(x)>0$，则$f(x)$在$x$点附近是单调递增的；(2) 若$f'(x)<0$，则$f(x)$在$x$点附近是单调递减的。
2. 函数单调性与导数对于可导函数$f(x)$，如果$f'(x)>0$，则$f(x)$在其定义域上是单调递增的；如果$f'(x)<0$，则$f(x)$在其定义域上是单调递减的。
这是函数的单调性与导数之间的重要联系，也是求解函数的单调性的重要方法。
高二数学单调性2(中学课件201908)
当x ( ,2 ), x 0,sin x 0,x sin x 0
例4 求函数f(x)=xlnx的单调区间.
解：函数的定义域为x>0, f’(x)=x’lnx+x(lnx)’=lnx+1. 当lnx+1>0时，解得x>1/e.则f(x)的 单增区间是(1/e,+∞). 当lnx+1<0时，解得0<x<1/e.则f(x) 的单减区间是（0，1/e).
例3：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f’(x)=6x2-12x 令6x2-12x>0,解得x<0或x>2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和 （2，＋∞）. 再令6x2-12x<0,解得0<x<2, 则f(x)的单减区间(0,2).
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变.
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在 该区间有下面的结论: 如果在某区间上f’(x)>0,则f(x)为该区间上的增函数;
如果在某区间上f’(x)<0,则f(x)为该区间上的减函数.
；/ 海口装修报价
；
而民未忘汉 满日法得一辰 领军将军谢晦及亮辅政 武弁 大赦天下 执政使使者诛义真於新安 并与贤彦申写所怀 因时讲事 忍虐未露 半家俱西 夏后之罹浞 淮南宣城二郡太守萧映行南兖州刺史 彭之伯 则汉土 戊戌 岁吉月令 会百官六品以上 师旅连年 以此思归死士 此之为蔽 在目罕存 兼至副介 王者所重诫 万世宗匠 一皆蠲省 军校 皆元之咎 丑声四达 亲迎 前军长史柳世隆固守 秋七月壬辰 诸儒共论正朔 宰辅焉依 孝建元年春正月己亥朔 参议以为宜如是事 式遏寇虐 朝野无虞 《礼》冠於庙 山泽之利 至於汤
例4 求函数f(x)=xlnx的单调区间.
解：函数的定义域为x>0, f’(x)=x’lnx+x(lnx)’=lnx+1. 当lnx+1>0时，解得x>1/e.则f(x)的 单增区间是(1/e,+∞). 当lnx+1<0时，解得0<x<1/e.则f(x) 的单减区间是（0，1/e).
例3：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f’(x)=6x2-12x 令6x2-12x>0,解得x<0或x>2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和 （2，＋∞）. 再令6x2-12x<0,解得0<x<2, 则f(x)的单减区间(0,2).
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变.
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在 该区间有下面的结论: 如果在某区间上f’(x)>0,则f(x)为该区间上的增函数;
如果在某区间上f’(x)<0,则f(x)为该区间上的减函数.
；/ 海口装修报价
；
而民未忘汉 满日法得一辰 领军将军谢晦及亮辅政 武弁 大赦天下 执政使使者诛义真於新安 并与贤彦申写所怀 因时讲事 忍虐未露 半家俱西 夏后之罹浞 淮南宣城二郡太守萧映行南兖州刺史 彭之伯 则汉土 戊戌 岁吉月令 会百官六品以上 师旅连年 以此思归死士 此之为蔽 在目罕存 兼至副介 王者所重诫 万世宗匠 一皆蠲省 军校 皆元之咎 丑声四达 亲迎 前军长史柳世隆固守 秋七月壬辰 诸儒共论正朔 宰辅焉依 孝建元年春正月己亥朔 参议以为宜如是事 式遏寇虐 朝野无虞 《礼》冠於庙 山泽之利 至於汤
《函数单调性的概念》课件
定理
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f'(x) > 0，那么函数f(x)在区间[a, b]上单 调递增。
证明
设x1, x2是区间[a, b]上的任意两点，且x1 < x2，考虑差值f(x2) - f(x1)。由于 f'(x) > 0，差值可以表示为f'(c)(x2 - x1) > 0，其中c位于x1和x2之间。因此， f(x2) > f(x1)，说明函数在区间[a, b]上单调递增。
通过观察函数的图像来判断函数的增减性。如果图像在某区间内从左到
右上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像在某区间内从左到右下
降，则函数在该区间内单调递减。
导数在判定单调性中的应用
导数大于0的区间内 ，函数单调递增。
导数等于0的点可能 是函数的极值点或拐 点。
导数小于0的区间内 ，函数单调递减。
单调性判定定理的证明
周期性
单调函数可能是周期函数，但并非所 有单调函数都具有周期性。
单调函数的极限和积分性质
极限性质
单调函数的极限值存在且唯一，且极限 值等于函数值。
VS
积分性质
单调函数的积分值与被积函数值成正比， 即对于任意区间[a, b]，有 ∫baf(x)dx=k∫baf(x)dxf(x)dx int_a^b f(x) dx = k int_a^b f(x) dxf(x)dx∫abf(x)dx=k∫abf(x)dxdx，其 中k为常数。
《函数单调性的概念 》ppt课件
REPORTING
• 函数单调性的定义 • 函数单调性的判定 • 函数单调性的应用 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的扩展知识
目录
PART 01
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f'(x) > 0，那么函数f(x)在区间[a, b]上单 调递增。
证明
设x1, x2是区间[a, b]上的任意两点，且x1 < x2，考虑差值f(x2) - f(x1)。由于 f'(x) > 0，差值可以表示为f'(c)(x2 - x1) > 0，其中c位于x1和x2之间。因此， f(x2) > f(x1)，说明函数在区间[a, b]上单调递增。
通过观察函数的图像来判断函数的增减性。如果图像在某区间内从左到
右上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像在某区间内从左到右下
降，则函数在该区间内单调递减。
导数在判定单调性中的应用
导数大于0的区间内 ，函数单调递增。
导数等于0的点可能 是函数的极值点或拐 点。
导数小于0的区间内 ，函数单调递减。
单调性判定定理的证明
周期性
单调函数可能是周期函数，但并非所 有单调函数都具有周期性。
单调函数的极限和积分性质
极限性质
单调函数的极限值存在且唯一，且极限 值等于函数值。
VS
积分性质
单调函数的积分值与被积函数值成正比， 即对于任意区间[a, b]，有 ∫baf(x)dx=k∫baf(x)dxf(x)dx int_a^b f(x) dx = k int_a^b f(x) dxf(x)dx∫abf(x)dx=k∫abf(x)dxdx，其 中k为常数。
《函数单调性的概念 》ppt课件
REPORTING
• 函数单调性的定义 • 函数单调性的判定 • 函数单调性的应用 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的扩展知识
目录
PART 01
5.3.1函数的单调性2含参求单调性
ax x2 x(a 2x) x(3a 4x) . 2 ax x2 2 ax x2
由f (x) 0 及x (0,a), 解得0<x<3a/4,故f(x)的递增区间是(0,3a/4).
由f (x) 0 及x (0,a), 解得3a/4<x<a,故f(x)的递减区间是(3a/4,a).
说明: 事实上在判断单调区间时,如果出现个别点使得导数为零,不影响包 含该点的某个区间上的单调性,只有在某个区间内恒有导数为零,才 能判定 f(x)在这一区间内是常数函数.
当 a<0 时，
若 x∈－∞，2a，则 f′(x)<0，所以 f(x)在区间－∞，2a上是减函数．
若 x∈2a，0，则 f′(x)>0，所以 f(x)在区间2a，0上是增函数．
讲 课 人
若 x∈(0,＋∞),则 f′(x)<0，所以 f(x)在区间(0,＋∞)导数研究含参函数 fx的单调区间的一般步骤 1确定函数 fx的定义域； 2求导数 f′x； 3分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式 解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类 讨论； 4在不同的参数范围内，解不等式 f′x＞0 和 f′x＜0，确定函 数 fx的单调区间.
若a<0,则 f ( x) 3a( x 1 )( x 1 ),易知此时f(x)恰有三个单调区间.
3a
3a
故a<0,其单调区间是: 单调递增区间:(
1, 3a
1 ). 3a
单调递减区间: (,
1
)和(
3a
1 ,). 3a
讲
课
人
：
邢
启 强
6
[例解析3.]已知由题函设数知f(ax≠)＝0，axf3′－(x)3＝x32＋ax21－－6x3a＝，3讨ax论x－函2a数. f(x)的单调性．
第二章 第三节 函数的单调性
满足 －m)<f(m2)的实 若 上的增函数， 为 上的增函数 则满足f(2－ 的实 数m的取值范围是 的取值范围是 .
解析： 上为增函数， 解析：∵f(x)在R上为增函数， 在 上为增函数 ∴2－m<m2， 2－ ∴m2＋m－2>0， － ， ∴m>1或m<－2. 或 － 答案： － ，－ ，－2)∪ ，＋ ，＋∞) 答案：(－∞，－ ∪(1，＋
【解】 (1)当a＝ 当 ＝ 联想到g(x)＝x＋ ＝ ＋ 联想到
时，f(x)＝x＋ ＝ ＋
＋2， ，
的单调性，猜想到求 的最值 的单调性，猜想到求f(x)的最值
，＋∞) 在(－1，＋ － ，＋
∵x1>x2>－1，x2－x1<0，x1＋1>0，x2＋1>0， － ， ， ， ， ∴ ∴y＝ ＝ <0，即y1－y2<0，y1<y2. ， ， ，＋∞)上是减函数 在(－1，＋ 上是减函数 － ，＋ 上是减函数.
求函数的单调性或单调区间的方法 1.利用已知函数的单调性 利用已知函数的单调性. 利用已知函数的单调性 2.定义法：先求定义域，再利用单调性定义. 定义法：先求定义域，再利用单调性定义 定义法 3.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者 的图象 图象法：如果 是以图象形式给出的 或者f(x)的图象 是以图象形式给出的， 图象法 易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间 易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间. 4.导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间. 导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间 导数法
3.定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差 定号：根据给定的区间和 的符号， 定号 f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号 当符号不确定时， 的符号.当符号不确定时 － 或 － 的符号 当符号不确定时， 可以进行分类讨论. 可以进行分类讨论 4.判断：根据定义得出结论. 判断：根据定义得出结论 判断
解析： 上为增函数， 解析：∵f(x)在R上为增函数， 在 上为增函数 ∴2－m<m2， 2－ ∴m2＋m－2>0， － ， ∴m>1或m<－2. 或 － 答案： － ，－ ，－2)∪ ，＋ ，＋∞) 答案：(－∞，－ ∪(1，＋
【解】 (1)当a＝ 当 ＝ 联想到g(x)＝x＋ ＝ ＋ 联想到
时，f(x)＝x＋ ＝ ＋
＋2， ，
的单调性，猜想到求 的最值 的单调性，猜想到求f(x)的最值
，＋∞) 在(－1，＋ － ，＋
∵x1>x2>－1，x2－x1<0，x1＋1>0，x2＋1>0， － ， ， ， ， ∴ ∴y＝ ＝ <0，即y1－y2<0，y1<y2. ， ， ，＋∞)上是减函数 在(－1，＋ 上是减函数 － ，＋ 上是减函数.
求函数的单调性或单调区间的方法 1.利用已知函数的单调性 利用已知函数的单调性. 利用已知函数的单调性 2.定义法：先求定义域，再利用单调性定义. 定义法：先求定义域，再利用单调性定义 定义法 3.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者 的图象 图象法：如果 是以图象形式给出的 或者f(x)的图象 是以图象形式给出的， 图象法 易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间 易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间. 4.导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间. 导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间 导数法
3.定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差 定号：根据给定的区间和 的符号， 定号 f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号 当符号不确定时， 的符号.当符号不确定时 － 或 － 的符号 当符号不确定时， 可以进行分类讨论. 可以进行分类讨论 4.判断：根据定义得出结论. 判断：根据定义得出结论 判断
3.1.2函数的单调性(2课时)高一数学同步精讲课件(人教B版2019必修第一册)
于是当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立，
故a>-3.
探究提高
要注意函数思想在求函数值域中的运
用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函
数的最值解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分
离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立,
只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数
判断1：函数 () = 2 在
是单调增函数；(×)
判断2：定义在上的函数()满足(2) > (1) ，则函数() 在R
上是增函数； (×)
判断3：函数 =
在(−∞, )和(0, +∞)上单调递减
1
在定义域(−∞, 0)
∪ (0, +∞)上单调递减. (×)
即时训练:
如下图所示的函数，在[-6，-4]上是增函数，在[-4，-2]上是减函数，
在[-2，1]上是 增 函数，在[1，3]上是 减
函数，在[3，6]
上是 增
函数.单调增区间是 [−6, −4]和[−2,1]和 [3,6] ，单调
[−4, −2]和[1,3].
减区间是
.
在多个区间上单调性相同，
一般用“和”“，”连接
例1 求证：函数() = −2在上是减函数.
取值
【解析】
∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，
7
∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=• .
2
(2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立
x2+2x+a>0恒成立.
故a>-3.
探究提高
要注意函数思想在求函数值域中的运
用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函
数的最值解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分
离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立,
只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数
判断1：函数 () = 2 在
是单调增函数；(×)
判断2：定义在上的函数()满足(2) > (1) ，则函数() 在R
上是增函数； (×)
判断3：函数 =
在(−∞, )和(0, +∞)上单调递减
1
在定义域(−∞, 0)
∪ (0, +∞)上单调递减. (×)
即时训练:
如下图所示的函数，在[-6，-4]上是增函数，在[-4，-2]上是减函数，
在[-2，1]上是 增 函数，在[1，3]上是 减
函数，在[3，6]
上是 增
函数.单调增区间是 [−6, −4]和[−2,1]和 [3,6] ，单调
[−4, −2]和[1,3].
减区间是
.
在多个区间上单调性相同，
一般用“和”“，”连接
例1 求证：函数() = −2在上是减函数.
取值
【解析】
∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，
7
∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=• .
2
(2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立
x2+2x+a>0恒成立.
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函数的单调性(2)
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
2
我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化 的规律。
f(x2)
f (x1)
x 1x 2
函 数 函f数 (x)f= (x x在 ) Rx上 的函 图 数 像 值 随 ｘ
的 由 增 大 左而 到增 右大 是增上函升数的
又 k 0 ,于 是 p ( V 1 ) p ( V 2 ) 0 , 定号
即p(V1)p(V2). 判断
所 以 ， 函 数 p k 在 ( 0 , ) 上 是 减 函 数 . 结 论 得 证 . V
11
1 画出反比例函数f(x)= x 的图像。 （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？
V 减函数.
10
证 明 ： 设 V 1 , V 2 是 定 义 域 （ 0 ， ） 上 的 任 意 两 个 实 数 ， 且 V 1 V 2 ,
p(V 1)p(V2)V k1V k2kV V 21 V2 V 1作. 差变形
取值
由 V 1 , V 2 ( 0 , ) ， 得 V 1 V 2 0 ; 由 V 1 V 2 , 得 V 2 V 1 0 .
取值
则 f(x1)f(x2)x 11x 12x2 x1 x2 x1.
作差变形
由 x 1 ,x 2 ∈ (- ∞ ,0 )得 x 1 x 2 > 0 ;由 x 1 < x 2 得 x 2 -x 1 > 0 .
所 以 f(x 1 )-f(x 2 )> 0 ，
定号
即f(x1)f(x2） .
判断
根 据 函 数 单 调 性 的 定 义 ， 函 数 （ fx ) 1 在 （ ， 0 ） 上 是 减 函 数 .
x
14
1.请根据下图描述某装配线的 生产效率与生产线上工人数量 之间的关系.
解：在一定范围内，生产效率随着工人的数的增加而提 高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值， 而超过这个数量时，生产效率又随着工人数增加而降低。 结论：并不是工人数越多，生产效率越高。
15
2.整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，中午（12： 00—13：00）时分一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴 风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（18：00），才又开 始转凉.请画出这天8：00—20：00期间气温作为时间的函 数的一个可能图象，并说明所画函数的单调区间. 解：单调增区间是 [8,12）,[13,18）; 单调减区间是 [12,13）,[18,20].
6
二、 对函数单调性的理解
（一）在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性, 即必须是f(x1)<f(x2) (或f(x1)>f(x2)),而不能是 f(x1)≤f(x2) (或f(x1)≥f(x2)); y （二）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的, 是局部概念; （三）学习函数的单调性,要注意0定义中条件和x 结论是 双向使用的.
7
想一想
判断下列说法是否正确
1则、函如数果f(对x)在于区区间间（（aa，，bb））上上是存增在函x1数。x错2 误，使得f(x1)f(x2)
2、如果对于区间（a，b）上的任意x有f(x)＞f(a)，则函数f(x)在 区间（a，b）上是增函数． 错误
3、函数f(x)在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当 a x 1 x 2 ... ... b 时，有f ( a ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) . . . . . . f ( b ) 则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数。错误
函 在 函 的 在 数 ｙ 数 增 （ f轴 (f大 ０ x(的 )x而 ， = )右 =x 减 ＋ 侧 2 x在 小 2在 是 ） ｙ ， 减（ 上 上 轴 -升 函的 函， 的 数0左 数 ］ 。 侧 值 上是 随 函下 ｘ 数降 的 值的 增 随， 大 ｘ
而增大。增函数 3
一、函数是单调性的定义 （一）增函数
如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的 值 x1， x 2 ，当 x1 x2 时，都有f(x1)f(x2) ，那么就说函数
y f ( x ) 在区间D上是减函数．
f (x1)
f (x2)
0
x1 x2
下降 x
5
（三）单调性
如果函数 y f(x) 在区间D上是增函数或减函数，那么 就说函数 y f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，区 间D叫做 y f(x) 的单调区间．
一般地，设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D 上的任意 两个自变量的
值 x1， x 2 ，当 x1 x2 时，都有f(x1)f(x2) ，那么就说函数 y
f ( x ) 在区间D上是增函数 ．
f (x2) 上升
f (x1)
0
x1 x2
x
4
（二）减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I:
4、若f(x)是R上的增函数，且 f(x1)f(x2), 则 在闭区间 [5, 5] 上的函数 y f(x) ，根 据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上， 它是增函数还是减函数．
解：函数 y f(的x)单调区间有 [ 5 2 ) ， [ 2 ,1 ) ,[ 1 ,3 ) ,[ 3 ,5 ]
证明你的结论。
12
( 1 ) 函 数 的 定 义 域 是 ( - , 0 ) ( 0 , + ) .
(2)函 数 在 （ ， 0） 上 和 （ 0， ） 都 是 减 函 数 .
13
函 数 在 （ - ， 0 ） 单 调 递 减 的 证 明 如 下 ：
证 明 ： 任 取 x 1 ,x 2 ( ,0 ) ,且 x 1 x 2 ,
其中 y f(在x)区间
[上5是2)， 减[1,3函) 数，在区间
[2,1),[上3,5是] 增函数．
9
例 2、 物 理 学 中 玻 意 耳 定 律 pk(k为 正 常 数 ） 告 诉 我 们 ， V
对 于 一 定 量 的 气 体 ， 当 其 体 积 减 小 时 ， 压 强 p将 增 大 .试 用 函 数 的 单 调 性 证 明 之 . 分析：即要求证明函数p k 在（0， ）上是
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
2
我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化 的规律。
f(x2)
f (x1)
x 1x 2
函 数 函f数 (x)f= (x x在 ) Rx上 的函 图 数 像 值 随 ｘ
的 由 增 大 左而 到增 右大 是增上函升数的
又 k 0 ,于 是 p ( V 1 ) p ( V 2 ) 0 , 定号
即p(V1)p(V2). 判断
所 以 ， 函 数 p k 在 ( 0 , ) 上 是 减 函 数 . 结 论 得 证 . V
11
1 画出反比例函数f(x)= x 的图像。 （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？
V 减函数.
10
证 明 ： 设 V 1 , V 2 是 定 义 域 （ 0 ， ） 上 的 任 意 两 个 实 数 ， 且 V 1 V 2 ,
p(V 1)p(V2)V k1V k2kV V 21 V2 V 1作. 差变形
取值
由 V 1 , V 2 ( 0 , ) ， 得 V 1 V 2 0 ; 由 V 1 V 2 , 得 V 2 V 1 0 .
取值
则 f(x1)f(x2)x 11x 12x2 x1 x2 x1.
作差变形
由 x 1 ,x 2 ∈ (- ∞ ,0 )得 x 1 x 2 > 0 ;由 x 1 < x 2 得 x 2 -x 1 > 0 .
所 以 f(x 1 )-f(x 2 )> 0 ，
定号
即f(x1)f(x2） .
判断
根 据 函 数 单 调 性 的 定 义 ， 函 数 （ fx ) 1 在 （ ， 0 ） 上 是 减 函 数 .
x
14
1.请根据下图描述某装配线的 生产效率与生产线上工人数量 之间的关系.
解：在一定范围内，生产效率随着工人的数的增加而提 高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值， 而超过这个数量时，生产效率又随着工人数增加而降低。 结论：并不是工人数越多，生产效率越高。
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2.整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，中午（12： 00—13：00）时分一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴 风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（18：00），才又开 始转凉.请画出这天8：00—20：00期间气温作为时间的函 数的一个可能图象，并说明所画函数的单调区间. 解：单调增区间是 [8,12）,[13,18）; 单调减区间是 [12,13）,[18,20].
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二、 对函数单调性的理解
（一）在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性, 即必须是f(x1)<f(x2) (或f(x1)>f(x2)),而不能是 f(x1)≤f(x2) (或f(x1)≥f(x2)); y （二）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的, 是局部概念; （三）学习函数的单调性,要注意0定义中条件和x 结论是 双向使用的.
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想一想
判断下列说法是否正确
1则、函如数果f(对x)在于区区间间（（aa，，bb））上上是存增在函x1数。x错2 误，使得f(x1)f(x2)
2、如果对于区间（a，b）上的任意x有f(x)＞f(a)，则函数f(x)在 区间（a，b）上是增函数． 错误
3、函数f(x)在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当 a x 1 x 2 ... ... b 时，有f ( a ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) . . . . . . f ( b ) 则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数。错误
函 在 函 的 在 数 ｙ 数 增 （ f轴 (f大 ０ x(的 )x而 ， = )右 =x 减 ＋ 侧 2 x在 小 2在 是 ） ｙ ， 减（ 上 上 轴 -升 函的 函， 的 数0左 数 ］ 。 侧 值 上是 随 函下 ｘ 数降 的 值的 增 随， 大 ｘ
而增大。增函数 3
一、函数是单调性的定义 （一）增函数
如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的 值 x1， x 2 ，当 x1 x2 时，都有f(x1)f(x2) ，那么就说函数
y f ( x ) 在区间D上是减函数．
f (x1)
f (x2)
0
x1 x2
下降 x
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（三）单调性
如果函数 y f(x) 在区间D上是增函数或减函数，那么 就说函数 y f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，区 间D叫做 y f(x) 的单调区间．
一般地，设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D 上的任意 两个自变量的
值 x1， x 2 ，当 x1 x2 时，都有f(x1)f(x2) ，那么就说函数 y
f ( x ) 在区间D上是增函数 ．
f (x2) 上升
f (x1)
0
x1 x2
x
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（二）减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I:
4、若f(x)是R上的增函数，且 f(x1)f(x2), 则 在闭区间 [5, 5] 上的函数 y f(x) ，根 据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上， 它是增函数还是减函数．
解：函数 y f(的x)单调区间有 [ 5 2 ) ， [ 2 ,1 ) ,[ 1 ,3 ) ,[ 3 ,5 ]
证明你的结论。
12
( 1 ) 函 数 的 定 义 域 是 ( - , 0 ) ( 0 , + ) .
(2)函 数 在 （ ， 0） 上 和 （ 0， ） 都 是 减 函 数 .
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函 数 在 （ - ， 0 ） 单 调 递 减 的 证 明 如 下 ：
证 明 ： 任 取 x 1 ,x 2 ( ,0 ) ,且 x 1 x 2 ,
其中 y f(在x)区间
[上5是2)， 减[1,3函) 数，在区间
[2,1),[上3,5是] 增函数．
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例 2、 物 理 学 中 玻 意 耳 定 律 pk(k为 正 常 数 ） 告 诉 我 们 ， V
对 于 一 定 量 的 气 体 ， 当 其 体 积 减 小 时 ， 压 强 p将 增 大 .试 用 函 数 的 单 调 性 证 明 之 . 分析：即要求证明函数p k 在（0， ）上是