§96第一型曲线积分的计算.ppt

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第一型曲线积分

L xyds

2 0
a cos t b sin t ( a sin t )2 (b cos t )2 dt

ab02 sin t cos t a 2 sin 2 t b 2 cos2 t dt
ab 02 (a 2 b 2 ) sin 2 t b 2 d (sin 2 t ) 2
( x ) 0.
L ( x y )ds
2 ( x 0 ) 1 0 dx 0
2
0 x dx
2
2.
(2) L： x ( y ) 2, 0 y 3.
( x ) 0.
L ( x y )ds
2 ( 2 y ) 1 0 dy 0
x2 y2
x2 y2
ds. 其中曲线 x 2 y 2 a 2 , 直
线 x 0, y x 在第一象限中所围的图形边界。
解
Le
ds ds AB e
x2 y2
oA e
x2 y2
ds oB e
x2 y2
ds
oA : x 0, 0 y a .
I xyz ds
0 a 2 cos sin k ( a sin )2 (a cos )2 k 2 d
2 2 2 a k a k 2
2Байду номын сангаас
0 sin 2 d
2
1 ka 2 a 2 k 2 . 2
例5
计算
Le

0
ab(a 2 ab b 2 ) . 3(a b )
y
例2
计算
L ( x y ) ds.

第一型曲线积分

Li
L
k
也存在，且 f ( x, y)ds
f ( x, y)ds
L
i 1 Li
3 保号性若L f ( x, y)ds与L g( x, y)ds都存在，
且在 L上 f ( x, y) g( x, y)，
则L f ( x, y)ds L g( x, y)ds
4 积分绝对值若L f ( x, y)ds存在，则 L f ( x, y)ds也存在，且| L f ( x, y)ds | L f ( x, y)ds
2(t) 2(t) 2(t)dt;
例1. 计算L yds. 其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)
的一段弧. 解1:
y 2
y2=2x
ds
1
dy dxyds 2 2x 1 1 dx
L
0
2x
0
2x
2 2x＋1dx 1 (5 5 1)
0
3
解2： L : x y2 , 0≤y≤2 2
f ( (t ), (t ))关于t 连续，则
M>0, 使得 f ( (t ), (t )) M .
又 2(t) 2(t)在[, ]上一致连续
。
即 0, 0,使当t<时有
2( ) 2( ) 2( ) 2( ) ,
从而
n
M ti M (b a) 0. i 1
由定积分的定义
5 平均值公式若L f ( x, y) d存s在，L的弧长为s，
则存在常数c，使得L f ( x, y)ds cs。
其中inf f ( x, y) c sup f ( x, y)
L
L
二第一型曲线积分的计算
定理 20.1

第一型曲线积分的定义

第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，是微积分中的一种重要概念与计算方法，它涉及曲线和向量场之间的积分。

本文将介绍第一型曲线积分的定义、性质和计算方法。

一、第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，也称为曲线的线积分，是指在曲线上某个有向长度元素$\mathrm{d}s$上的函数值与该长度元素的乘积$d\boldsymbol{s}$在整个曲线上的积分。

设$C$是曲线，其参数方程为$\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)), t\in[a,b]$，则$C$的长度由公式：$$ L(C)=\int_{C}\mathrm{d}s=\int_{a}^{b}\left[\ left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\r ight)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\f rac{1}{2}} \mathrm{d}t $$计算曲线$C$上的一个标量函数$f(x,y,z)$在曲线上的第一型曲线积分，即为：$$ \int_{C} f(x, y, z) \mathrm{d}s=\int_{a}^{b}f\left(\boldsymbol{r}(t)\right)\left[\left(x^{\prim e}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}t $$若积分路径可以看成向量值函数$\boldsymbol{r}(t)$的积分，第一型曲线积分就可以写作：$$ \int_{\boldsymbol{r}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{r}(t)\right) \cdot \boldsymbol{r}^{\prime}(t) \mathrm{d}t=\int_{a}^{b} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} $$其中$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$是向量场，$\mathrm{d}\boldsymbol{r}$表示一个有向长度元素，$\cdot$表示向量内积运算，$\mathrm{d}\boldsymbol{s}=\boldsymbol{r}^{\prime}(t ) \mathrm{d} t$表示线元素。

高等数学课件 §9.6第一型曲线积分计算

R
xds
L
R
xR
R2x2
dx 0
R2 x2
(法二 ):L: xy R Rcsion s ,0
ds R2sin2R2co2sd
xd R s2co d sR 2 sin 0
L
0
0
例 2 L (x y )d,L s :连接 O (0 ,0 )A 三 ,( 1 ,0 )B ,( 点 0 ,1 ) 的.
§9.6 第一型曲线积分的计算
一、第一型曲线积分的概念曲线形物体的质量
设曲线形物体在 x平 o 面上占 y 有可求长曲线 L ，
其线密度为连续函数 f ( x , y ) ，求该物体的质量 m 。
y
M1 M2 A
M i1MiBiblioteka (i,i) LM n1
解
OA
:
y
0
0 x
1
ds dx
y
B
y 1 x
AB
:
0
x
1
ds
2 dx
x 0
o
OB
:
0
y 1
ds dy
Ax
1
1
1
L(xy)ds0xdx0 2dx 0ydy
1x2 1 21y2 1 1 2
20
20
例 3 计L算 (x2y2z2)d,其 s L:中 x2 xy 2 z z2 19 2.
B
o
x
（ 1 ）分割在 L 上任取点列 M 1,M 2, M n 1，把 L分n小为段
si(i 1 ,2 , ,n )，同时也以 si 表示第 i小段弧长。（ 2 ）近似

§9.6第一型曲线积分的计算

i =1 n
（4）取极限令 d = max {∆si } ，则 m = lim ∑ f (ξ i , ηi )∆si 。
1≤ i ≤ n
n
d →0 i =1
2．第一型曲线积分的定义
面内的一条光滑（或分段光滑）曲线弧，设 L 为 xoy 面内的一条光滑（或分段光滑）曲线弧，有界。 f ( x , y ) 在 L 上有界。任取点列 M 1 , M 2 ,L M n−1 ，把 L 分为 n 小段 ∆si ( i = 1, 2, L, n) ，同时也以 ∆si 表示第 i 小段的弧长。段的弧长。任取 (ξ i , ηi ) ∈ ∆si ，作和式 ∑ f (ξ i , ηi )∆si ，
L
+∫
.
4. 当f ( x , y ) ≡ 1时,
∫L ds 等于L的长度.
5. 设在 L 上 f ( x , y ) ≤ g( x , y ), 则
∫L f ( x , y )ds ≤ ∫L g( x , y )ds.
特殊地
∫L f ( x , y )ds ≤ ∫L f ( x , y ) ds.
连续的一阶导数，且 x ′ 2 ( t ) + y′ 2 ( t ) ≠ 0 ，则连续的一阶导数，
ds = x ′ 2 ( t ) + y′ 2 ( t )dt ，
∫L
f ( x , y )ds = ∫ f [ x ( t ), y( t )] x ′ 2 ( t ) + y′ 2 ( t )dt 。
km µ o y dV
3 ( x2 + y2 + z2 ) 2
km µ o x dV
3 ( x2 + y2 + z2 )2

第一型曲线积分的计算方法

第一型曲线积分的计算方法
1. 嘿，你知道直接法吗？就像我们要数清楚一堆糖果有多少颗一样直接！比如计算曲线 y=x^2 从 0 到 1 那一段的第一型曲线积分，咱就直接把函数的值代进去算，简单粗暴有木有！
2. 还有参数法呢！这就像给曲线找到一个特别的密码来解题呀！比如说一个圆的曲线，用参数表示出来再去计算积分，超有意思的咧！
3. 利用对称性来计算也很棒哦！这就好像发现了一个隐藏的小技巧。

像计算关于 x 轴对称的曲线的积分，有些部分咱直接就可以简化啦，多方便呀！
4. 想想看，换元法也不错呀！就如同给问题变个魔法一样。

比如把很难的式子通过换元变得简单易懂，然后轻松算出积分，多牛呀！
5. 哇塞，格林公式也能助力第一型曲线积分的计算哦！这就像是给我们开了一扇快捷之门呀。

特别是在一些复杂图形中，简直是救星呀！
6. 别忘了分块计算呀！这就好比把一个大难题拆分成好多小部分来解决。

遇到复杂的曲线，咱就一块块来，总能搞定的嘛！
总之，第一型曲线积分的计算方法多种多样，每一种都有它独特的魅力和用处，就看你怎么去运用啦！。

第一类曲线积分

f ( x , y )ds lim f [ ( t ), ( t )]si
0
n i 1 i 1
n
lim f [ ( t ), ( t )] [ ( t )]2 [ ( t )]2 t i
f [ ( t ), ( t )] [ ( t )]2 [ ( t )]2 dt
例 2：计算
L
R 2 x 2 y 2 ds，其中 L 是上半圆弧
x 2 y 2 Rx, y 0 。
解1 ：参数方程
R R x 2 2 cos L: , 0 R y sin o 2
解：设 M i ( i ,i ) , 则
z
h( x , y )
Ai h( i ,i )si
则曲面的面积为：
A h( i ,i )si
i 1 n
o x
Ai 1 MBiblioteka Ai iny令 max{si }, 并令 0，则 A lim h( i ,i )si
: x ( t ), y ( t ), z ( t ). ( t )
其中 ( t ), ( t ), ( t ) 在 [ , ] 上具有连续的一阶导数 , 则
f ( x , y, z )ds
f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
L2
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4．（比较性质）：若在曲线 L 上， f ( P ) g( P ) ，则
L f ( P )ds L g( P )ds
特别地，若存在一点 P0 L，使得 f ( P0 ) g( P0 ) ，则

高数9-1(第一型曲线积分)

(3) L : r r( ),
L f ( x, y)ds
f [r ) cos, r( )sin ]
r2 ( ) r2 ( )d
推广 : x (t), y (t), z (t) ( t )
f ( x, y, z)ds
f [(t), (t),(t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt ( )
2 f ( x, y)ds,当f ( x, y) 是L上关于x (或y)的偶函数 L1
L1是曲线L落在y (或x)轴一侧的部分.
运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时, 应同时考虑被积函数 f ( x, y)与积分曲线L的对称性.
6/19
例计算 ( x y3 )ds. 其中L是圆周 x2 y2 R2. L
(对路径具有可加性)
4/19
5．性质
(1) [ f ( x, y, z) g( x, y, z)]ds
f ( x, y, z)ds g( x, y, z)ds
(2) kf ( x, y, z)ds k f ( x, y, z)ds (k为常数)
(3) 与积分路径的方向无关, 即
(
⌒ f
f ( x, y)ds
b
f [ x, ( x)]
1 2( x)dx (a b)
L
a
ds 1 2( x)dx
(2) L : x ( y), c y d
f ( x, y)ds
d
f [( y), y]
1 2( y)dy (c d )
L
c
ds 1 2( y)dy
10/19
解对称性,得
y x2 y2 R2
( x y3 )ds xds y3ds 0
L

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n
长. 任取 (i ,i ) si ，作和式 f ( i ,i )si ，设
i 1
d max {si } ，如果当d 0时，和式的极限总存在，
1in
则称此极限为 f ( x, y) 在曲线弧 L 上的第一型曲线积分
或对弧长的曲线积分，记作 f ( x, y)ds ，即 L
被积函数
弧长元素
n
n
m f (i ,i )si .
i 1
y
A o
B
L Mn1
(i ,i ) Mi
M2
M1
M i 1
x
n
取极限
令 d max{si },
1in
m lim f ( i ,i )si .
d 0i1
2．第一型曲线积分的定义
设 L 为oxy 面上的一条光滑（或分段光滑）曲线弧，
f ( x, y) 在 L 上有界.任取点列 M1 , M 2 , , M n1 ，把 L 分为 n 小段 li (i 1, 2, , n) ，并以si 表示 li 的弧
L
f (x, y)
ds lim f (i ,i )si
d 0i1
注：
积分弧
（1）当 f ( x, y) 在光滑曲线 L 上连续时， f ( x, y)ds 存在. L
（2）将上述定义推广，可得空间曲线 L 上的第一型曲线
n
积分：
L
f
( x,
y, z)ds
lim
d 0i1
f
( i
,i
,
i
)si
ห้องสมุดไป่ตู้
.
第一型曲线积分的性质
性质1 (线性性质) 设 f , g 可积, 又, 为常数, 则有
L[ f ( x, y) g( x, y)]ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds .
性质2 (可加性) 设 L1 与 L2 首尾相接成 L, 则有
L f ( x, y)ds L1 f ( x, y)ds L2 f ( x, y)ds ,
f ( x, y, z)ds f [x(t), y(t), z(t)] x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt
L
注意：
（1）第一型曲线积分与曲线的方向无关，化为关于参数的定积分计算时，上限必须大于下限.
（2）对 f ( x, y)ds 来说， f ( x, y) 是定义在 L 上的， L 被积函数中的 x，y 应满足 L 的方程，故可利用 L 的方程化简被积函数.
1
y2 ( x)dx.
若 L由方程 x x( y) (c y d ) 给出, 则取 y 为参数,
ds 1 x2 ( y)dy,
d
L f ( x, y)ds c
f [x( y), y]
1 x2 ( y)dy.
3．若 L由方程 ( ) ( ) 给出，则取为参数，
9-5-1第一类曲线积分
引例 1．曲线形物体的质量
设曲线形物体在 oxy 面上是一段曲线弧 L，它的端点为 A、B，其线密度为连续函数 f (x, y) ，求该物体的质量 m.
分割 M1 ,M 2 , ,M n1 li ,
近似 ( i ,i )li ,
mi f ( i ,i )si .
求和
y x, ds 1 4x2 dx,
0 x 1
故 L yds OA AB B⌒O
1
0 dx
1
ydy
1
x
1 4x 2 dx
0
0
0
0 2 1 (5 5 1) 1 (5 5 7).
3 12
12
y
B
y x2 x1
o y0 A x
例2. 计算 xe x 2 y 2 ds, 其中L 是从 A( 0, 1 ) 沿圆周
ds 2 ( ) 2 ( )d ,
f ( x, y)ds f [( )cos, ( )sin] 2 ( ) 2 ( )d
L
4. 若空间光滑曲线 L的参数方程为
x x(t) ， y y(t) ， z z(t) ( t ) ，则
ds x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt ，
ds x2 (t) y2 (t)dt,
L f (x, y)ds
f [x(t), y(t)]
x2(t) y2 (t)dt.
2. 若 L由方程 y y( x) (a x b) 给出, 则取 x 为参数,
ds 1 y2 ( x)dx,
b
L f ( x, y)ds a f [ x, y( x)]
2
A
被积函数 xe x 2 y 2 e 1 y2 ,
o
x
B
xy
y ,
1 y2
ds
1
x
2 y
dy
dy , 1 y2
xe
x2 y2 ds e
1 2
L
2
1 y2
dy
(1
1 y2
2 )e. 2
例 3. 计算 ( x 2 y 2 z 2 )ds , 其中 L 为球面
L
x 2 y 2 1 到 B( 2 , 2 )处的一段劣弧. 22
解法 1 L ： x cost ， y sint ， t ，
42
y
被积函数 xe x 2 y 2 e cos t,
A
ds ( sint)2 (cost)2 dt dt,
o
x
B
xe
L
x2 y2 ds e
例 1．计算 yds ，其中 L 为抛物线 y x2 ，直线 L x1 及 x 轴所围成的曲边三角形的整个边界.
解：L
OA
AB
⌒
BO
y
B
OA :
y0 ,
y 0, ds dx,
0 x 1
y x2 x1
AB :
x1
,
y
o
y , ds dy,
0 y 1
y0 A x
⌒
BO :
y
x2
,
简记为 L f ( x, y)ds L1 L2 .
性质 3 L ds L的长度.
f ( x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为L f ( x, y)ds.
第一型曲线积分的计算
1．设 f ( x, y) 在曲线 L 上连续，L 的参数方程为 x x(t) ，
y y(t) ( t ) ，其中 x(t) ， y(t) 在[ , ]上有连续的一阶导数，且 x2(t) y2(t) 0，则
2
cos tdt
(1
4
2 )e. 2
解法 2 L 的极坐标方程为 1 ，，
42
被积函数 xe x 2 y 2 e cos ,
y A
ds 2 2 d d ,
o
x
B
xe
x2 y2 ds e
2
cos d (1
2 )e. 2
L
4
解法 3 L ： x 1 y2 ， 2 y1 ， y