热传导方程
热传导方程与波动方程
热传导方程与波动方程1. 引言热传导方程和波动方程是数学物理中两个重要的偏微分方程，它们在描述不同的物理现象和过程中起到了关键作用。
本文将分别介绍这两个方程并探讨它们的应用。
2. 热传导方程热传导方程是描述物体内热量传递过程的方程。
它的一般形式为：∂u(x,t)/∂t = k * ∇^2u(x,t)其中，u(x,t)是温度分布，t是时间，x是空间位置，∇^2是拉普拉斯算子，k是热导率。
热传导方程可以解释许多现实世界中的热传导现象，例如在金属材料中的热传导过程、地球内部的热传导过程等。
通过求解热传导方程可以得到物体内部的温度分布及其随时间的变化情况。
3. 波动方程波动方程是描述波动传播的方程，它的一般形式为：∂^2u(x,t)/∂t^2 = c^2 * ∇^2u(x,t)其中，u(x,t)是波的振幅，t是时间，x是空间位置，c是波速度，∇^2是拉普拉斯算子。
波动方程可以描述许多波动现象，比如声波传播、电磁波传播等。
通过求解波动方程可以得到波的传播方式、波的速度以及波的幅度随时间和空间位置的变化方式。
4. 应用4.1 热传导方程的应用热传导方程在工程领域有着广泛的应用，例如在热传导问题的数值模拟中可以通过有限差分法或有限元法来求解热传导方程，进而得到结构材料的温度分布情况。
此外，热传导方程也可以应用于热传感器、散热器等领域的设计与优化中。
4.2 波动方程的应用波动方程在声学、光学、电磁学等领域都有着广泛的应用。
例如，在声学中，可以通过求解波动方程得到声波在不同介质中的传播路径和声压分布情况，从而优化声学设备的设计。
在光学中，波动方程可以用来描述光的传播和干涉现象，为光学仪器的设计提供理论依据。
在电磁学中，可以利用波动方程来研究电磁波的传播和辐射特性，为天线的设计和无线通信提供理论支持。
5. 结论热传导方程和波动方程是数学物理中两个重要的方程，它们分别描述了热量传递和波动传播的过程。
通过求解这两个方程，我们能够更好地了解物体内部的温度分布和波动的传播方式。
数学物理方程2热传导方程
对未来研究的展望
深入研究热传导方程的数学性质
尽管热传导方程已有广泛的研究和应用，但对其数学性质的理解仍不够深入。未来可以进一步研究热传导方程解的唯 一性、稳定性、渐近性等数学问题，以推动数学理论的发展。
拓展热传导方程的应用领域
随着科技的发展，热传导方程的应用领域也在不断拓展。例如，在新能源领域，热传导方程可以用于研究太阳能电池 板的工作原理和优化设计；在环保领域，热传导方程可用于研究污染物在环境中的扩散和迁移规律。
交换。
热传导方程是偏微分方程的一种形式，通常采用傅里叶级数或
03
有限元方法进行求解。
热传导现象的重要性
1
热传导现象在自然界和工程领域中广泛存在，如 气候变化、能源利用、材料科学等。
2
热传导方程的应用有助于深入理解热量传递的机 制，为相关领域的研究提供理论基础。
3
通过求解热传导方程，可以预测温度分布、热量 传递速率等关键参数，为实际问题的解决提供指 导。
04 热传导方程的数值解法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的、互连 的子域（或单元）的方法。在每个单元内，选择合适的基函 数，将待求的解表示为这些基函数的线性组合。通过求解一 系列线性方程组，可以得到原问题的近似解。
有限元法在求解热传导方程时，可以将复杂的几何形状离散 化为有限个简单的几何形状，从而简化计算过程。同时，有 限元法能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用于各种类 型的热传导问题。
有限差分法
总结词
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法，通过将连续的偏微分方程离散化为差分 方程来求解。
详细描述
有限差分法的基本步骤是将偏微分方程中的空间变量离散化为有限个点，然后将偏微分 方程转化为差分方程，最后通过迭代求解差分方程得到原方程的近似解。这种方法适用
热量传导的计算方法
热量传导的计算方法热量传导是物体内部或不同物体之间热量传递的过程。
在工程学和物理学中，热量传导的计算方法对于能源的有效利用和工程项目的设计至关重要。
本文将探讨一些常用的热量传导计算方法。
1. 热传导方程热传导方程是描述热量传导的基本方程。
它基于热传导定律，即热流密度正比于温度梯度。
热传导方程的一般形式如下：q = -k * A * ΔT / d其中，q表示单位时间内通过物体传导的热量。
k是材料的热导率，单位为W/(m·K)。
A是传热截面积，单位为m²。
ΔT是温度差，单位为K（或°C）。
d是热传导路径的长度，单位为m。
2. 一维热传导在一维热传导中，热量仅在一个方向上传递。
为了计算一维热传导的热流量，我们需要知道材料的热导率和温度梯度。
假设我们有一个长度为L的杆子，两个表面的温度分别是T1和T2，其中T1大于T2。
我们可以使用以下公式计算通过杆子的热流量：q = -k * A * (T1 - T2) / L该公式可以应用于很多实际问题，例如计算导热管中的热传导。
3. 二维和三维热传导在二维和三维热传导中，热量可以在平面或空间中的各个方向上传递。
为了计算二维和三维热传导的热流量，我们需要使用更复杂的公式。
如果我们考虑一个长方体体积中的热传导问题，可以使用以下公式：q = -k * A * (dT/dx + dT/dy + dT/dz)其中，dT/dx、dT/dy和dT/dz分别表示温度梯度沿x、y和z轴的变化率。
这个公式可以应用于许多三维实际问题，例如计算建筑物的热损失。
4. 复合材料的热传导在许多工程项目中，复合材料的热传导计算是至关重要的。
复合材料由不同种类的材料组成，每种材料都有不同的热导率。
为了计算复合材料的热传导，我们需要考虑各个组成部分的热导率，并使用适当的方法进行计算。
一种常用的方法是加权平均法。
在这种方法中，我们将复合材料划分为小区域，并计算每个区域的热传导。
热传导方程与波动方程
热传导方程与波动方程热传导方程（Heat conduction equation）和波动方程（Wave equation）是两个经典的偏微分方程模型，在物理学和工程领域中具有重要的应用。
本文将对热传导方程和波动方程进行简要的介绍和比较，并重点讨论它们的数学表达式、物理意义以及解的性质。
一、热传导方程热传导方程描述了物质中热量的传导过程，是研究热传导问题的基本方程之一。
它的数学表达式为：∂u/∂t = k∇²u其中，u是温度场（Temperature field），t是时间，k是热导率（Thermal conductivity），∇²是拉普拉斯算子。
热传导方程描述了温度场随时间的演化规律，指出了温度变化率与热传导速率之间的关系。
它是一个二阶偏微分方程，通常在给定边界和初始条件下求解。
热传导方程具有很多重要的性质。
首先，它满足能量守恒定律，即系统总能量是守恒的。
其次，它可以通过变量分离法、叠加原理等数学技巧求解。
第三，热传导方程有多种类型的边界条件，如固定温度、绝热边界等。
这些边界条件可以反映不同的物理情境，例如材料的热辐射、对流传热等。
二、波动方程波动方程描述了波动现象的传播规律，是研究波动问题的基本方程之一。
它的数学表达式为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u是波动场（Wave field），t是时间，c是波速（Wave speed），∇²是拉普拉斯算子。
波动方程描述了波动场随时间的演化规律，指出波动速度与波动场的空间分布之间的关系。
与热传导方程类似，波动方程也是一个二阶偏微分方程，通常在给定初始条件下求解。
波动方程具有很多重要的性质。
首先，它满足能量守恒定律，即波动系统的总能量是守恒的。
其次，波动方程具有线性叠加性，可以通过叠加不同频率、不同振幅的波来模拟各种波动现象，如声波、光波等。
第三，波动方程也具有多种边界条件，如固定边界、自由边界等。
热传导方程
热传导方程引言热传导方程是描述物质内部温度分布随时间演变的一种偏微分方程。
它广泛应用于热传导领域，如材料科学、工程热学、地球科学等。
热传导方程描述了热量在物质内部的传递方式，是研究热传导过程和温度场分布的重要工具。
热传导方程的一维形式考虑物质在一维情况下的热传导，热传导方程可以写作：∂u/∂t = α * ∂²u/∂x²其中，u为物质内部的温度，t为时间，x为空间坐标，α为热扩散系数。
热传导方程的二维形式对于二维的情况，假设热传导方程适用于平面内任意点，可以写作：∂u/∂t = α * (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u为物质内部的温度，t为时间，x和y为平面内的空间坐标，α为热扩散系数。
热传导方程的三维形式在三维情况下，热传导方程可以写作：∂u/∂t = α * (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)其中，u为物质内部的温度，t为时间，x、y和z为空间坐标，α为热扩散系数。
定解条件为了求解热传导方程，需要给定一些定解条件。
常见的定解条件有：•初始条件：指定初始时刻的温度分布，即u(x, y, z, 0)，其中u是温度，x、y和z分别是空间坐标，0表示初始时刻。
•边界条件：指定物体表面的温度或热流密度。
常见的边界条件有：第一类边界条件（温度指定），即u(x, y, z, t) = g(x, y, z, t)；第二类边界条件（热流密度指定），即-k * ∂u/∂n = q(x, y, z, t)，其中k为导热系数，n为法向量，q为热流密度。
热传导方程的数值解热传导方程是一个偏微分方程，通常无法得到解析解。
因此，需要借助数值计算方法来求解。
常见的数值方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
在有限差分法中，可以将空间离散为若干个网格点，时间离散为若干个时间步长。
热传导中的导热方程与计算
热传导中的导热方程与计算在热传导中，导热方程是用于描述物质内部热量传输的数学模型。
通过解析导热方程，我们可以计算出物体内部温度的分布情况，对于热工程、材料科学等领域的研究和应用具有重要意义。
本文将介绍热传导中的导热方程以及在计算方面的应用。
1. 导热方程的基本原理热传导过程是由高温区向低温区传导热量的过程，它符合能量守恒定律和热力学第二定律。
热传导中的导热方程可以用以下形式表示：∂T/∂t = α∇²T其中，T是温度，t是时间，α是热传导性，∇是梯度算子，∇²是拉普拉斯算子，∂T/∂t表示温度关于时间的偏导数。
该方程描述了温度分布随时间变化的规律。
2. 导热方程的解析解与数值解2.1 解析解对于简单的几何体和边界条件，可以通过解偏微分方程得到导热方程的解析解。
这些解析解可以在特定条件下直接应用，无需进行计算。
然而，对于复杂的物体形状和边界条件，解析解难以获得，需要借助数值计算方法。
2.2 数值解数值解是通过将导热方程转化为离散的计算问题，利用计算机进行数值模拟得到的近似解。
常见的数值解法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
有限差分法是将坐标轴上的物体分割为若干个网格点，在每个网格点上建立温度方程并进行离散化，通过迭代计算得到各网格点的温度值。
有限元法和边界元法则是将物体分割为若干个有限单元或边界元，通过建立与有限单元或边界元相关的方程组进行计算，得到温度分布。
3. 导热方程的应用导热方程在热工程、材料科学、地质学等领域有广泛的应用。
在热工程中，通过计算导热方程可以确定热传导材料的导热性能，评估热工设备的热传导性能，并优化设备结构以提高热传导效率。
在材料科学领域，导热方程可以帮助研究材料的热传导特性，预测材料的热响应和温度分布，指导材料的设计和应用。
在地质学中，导热方程可以用于模拟地下岩体的温度分布，了解地下热流场的分布规律，研究地热资源的开发利用。
4. 导热方程计算的考虑因素在进行导热方程计算时，需要考虑以下因素：4.1 材料参数对于不同材料，导热性能不同，因此需要准确获取材料的热导率、比热容和密度等参数信息。
热传导方程傅里叶解
热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：其中：∙u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t与空间变量(x,y,z) 的函数。
∙/是空间中一点的温度对时间的变化率。
∙, 与温度对三个空间座标轴的二次导数。
∙k决定于材料的热传导率、密度与热容。
热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。
如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u 的边界条件。
如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。
热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。
一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。
因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。
热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。
利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式其中的是对空间变量的拉普拉斯算子。
热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。
热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornste in-Uhlenb eck 过程。
热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。
量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。
就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。
扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。
以傅里叶级数解热方程[编辑]以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作T héori e analyt iquede la chaleu r（中译：解析热学）给出。
热传导方程
热传导方程热传导方程：恒温下，物体各部分之间的传热量与传热面积成正比，这一规律称为热传导定律。
通过查表得知，温度为45摄氏度时，传热系数为0.038，即0.038KJ/m2。
1。
恒温，可求各处温度2。
标准大气压下，可以忽略体积功3。
利用表面传热系数4。
在同样的条件下，用比较实验数据，并将其写成表格，求出平均值： 5。
画出热传导图： 1-2。
4。
45度，可视为理想化，假设为零（或忽略） 5。
利用物理关系求传热速率： 0.038kJ/m2*s=12.2kJ/（ m2。
s*s） =16.4KJ/s1。
查热传导方程2。
三次的不同结果都是温度，说明所得数据有误差，故采用插值法，用x表示x分之一，代入上式，解出p= 0.0383。
绘制热传导方程图4。
求各个点的传热速率（ p。
m。
） 5。
根据平均值求传热速率（ 4。
15KJ/s*s= 2。
28KJ/s*s=1。
6。
45度，可视为理想化，假设为零（或忽略） 5。
利用物理关系求传热速率： 0。
15KJ/m2*s=4。
33KJ/s*s= 1。
4。
当然也可求每个点的温度6。
实际上任何一个热力学系统，除了整个系统处于热平衡外，总还存在着各种各样的内能变化和相变。
内能是能量转化和守恒的量度。
对于一个孤立系统，由于能量在各处是不相互作用的，而且系统和环境都是绝热的，因此系统的内能只取决于系统本身的性质。
温度对内能有着直接的影响。
从能量观点看来，温度是物体分子热运动平均动能的标志。
在绝热条件下，热运动总是从高温区向低温区单方向地进行。
而分子热运动的平均动能是温度的量度，温度越高，分子平均动能就越大，分子平均动能越大，反应速度也就越快。
4。
利用表面传热系数5。
在同样的条件下，用比较实验数据，并将其写成表格，求出平均值： 6。
画出热传导图： 1-2。
4。
45度，可视为理想化，假设为零（或忽略） 5。
利用物理关系求传热速率： 0。
15KJ/m2*s=3。
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0
(1 − ξ) sin kπξdξ
例 2.3 如果有一长度为 l 的均匀细棒, 其周围以及两端 x = 0, x = l 均为绝热, 初始温度 分别为 u( x, 0) = f ( x), 问以后时刻的温度分布如何? 且证明当 f ( x) 等于常数 u0 时, 恒 有 u( x , t ) = u0 . 解: ( 2 2 ) ut = a2 u xx , ∞ ∑ kπ k π u x | x=0 = u x | x=l = 0, ⇒ u( x, t) = Ck exp − 2 a2 t cos x l l u| k=0 t=0 = f ( x). ∫ ∫ 1 l 2 l kπ C0 = f (ξ)dξ, Ck = f (ξ) cos ξdξ (k 0) l 0 l 0 l f ( x ) ≡ u0 ⇒ C0 = u0 , Ck = 0 (k 0) ⇒ u( x, t) ≡ u0 .
∞ ∑
(
例 2.5 长度为 l 的均匀细杆的初始温度为 0 ◦ C, 端点 x = 0 保持常温 u0 , 而在 x = l 和 侧面上, 热量可以发散到周围的 介质中去, 介质的温度为 0 ◦ C, 此时杆上的温度分布函数 u( x, t) 满足下述定解问题: ut = a2 u xx − b2 u, u(0, t) = u0 , (u x + Hu)| x=l = 0, u( x, 0) = 0. 试求出 u( x, t). 解: 令 u( x, t) = e−b t v( x, t) + ψ( x), 则当 ψ( x) 满足
T ′ + λa2 T = 0, X (0) = X ′ (π) = 0. k = 0, 1, 2, . . . ( 1) sin k + x. 2
X ′′ + λX = 0,
( 1 )2 ⇒ λk = k + , 2 u( x , t ) = 由初始条件知 f ( x) = 2 π
∞ ∑ k=0 ∞ ∑
故单位时间流入 ( x, x + ∆ x) 的热量为
( ) ∂u πl2 ∂ k ( x) · d Q = d Q1 + d Q2 + d Q3 = ∆ x − k1 (u − u1 )πl∆ x. ∂x ∂ x x∗ 4
综上, 从时刻 t1 到 t2 流入位于 [ x1 , x2 ] 杆段的热量为 ) ] ∫ t 2 ∫ x2 [ ( ∂ ∂u πl 2 k ( x) − k1 (u − u1 )πl d xdt. ∂x ∂x 4 x1 t1 而在这段时间内 [ x1 , x2 ] 杆段内各点温度从 u( x, t1 ) 变到 u( x, t2 ), 其吸收热量为 ∫ x2 ∫ t 2 ∫ x2 2 πl2 πl ∂u cρ(u( x, t2 ) − u( x, t1 )) d x = cρ d xdt. 4 4 ∂t x1 x1 t1 根据热量守恒, 并注意到 x1 , x2 , t1 , t2 的任意性, 得所求方程为 ( ) ∂u 1 ∂ ∂u 4k1 = k ( x) − (u − u1 ). ∂t cρ ∂ x ∂x cρl 例 1.2 试直接推导扩散过程所满足的微分方程. 解: 设 N ( x, y, z, t) 表示在时刻 t, ( x, y, z) 点处扩散物质的浓度, D( x, y, z) 为扩散系数, 在 无穷小时间段 dt 内, 通过无穷小曲面块 dS 的质量为 dm = −D( x, y, z) ∂N dS dt. ∂n
因此从时刻 t1 到 t2 流入区域 Ω (Γ 为 Ω 的表面) 的质量为 ∫ t2 ∫ t2 ∂N D( x, y, z) dS dt = div(DgradN )d xdydzdt. ∂n t1 t1 Γ Ω 另外, 从时刻 t1 到 t2 , Ω 中该物质的增加为 [N ( x, y, z, t2 ) − N ( x, y, z, t1 )]d xdydz =
Ω
注意到 t1 , t2 及 Ω 的任意性, 有 [ ( ) ( ) ( )] ∂u 1 ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u β = k + k + k + Q0 e−βt . ∂t cρ ∂ x ∂ x ∂y ∂y ∂z ∂z cρ 例 1.4 设一均匀的导线处在周围为常数温度 u0 的介质中, 试证: 在常电流作用下导线的 温度满足微分方程 k ∂2 u k 1 P 0.24i2 r ∂u = ( u − u ) + , − 0 ∂t cρ ∂ x2 cρω cρω 其中 i 及 r 分别表示导体的电流及电阻, P 表示横截面的周长, ω 表示横截面的面积, 而 k1 表示导线对于介质的热交换系数. 解: 与第1题类似, 取导线轴为 x 轴, 在时刻 t1 到 t2 介于 [ x1 , x2 ] 的导线段的热量增加 为: 从导线的其它部分流入的热量, 从侧面流入的热量以及电流通过 [ x1 , x2 ] 这段产生的热 量之和, 即 ( ) ∫ t2 ∫ x2 ∫ t2 ∫ x2 ∫ x2 ∫ t 2 ∂ ∂u i2 r k ωd xdt − k1 P(u − u0 )d xdt + 0.24 d xdt. ∂x ω t1 t1 x1 ∂ x x1 x1 t1 因此根据热量平衡就可得导线温度满足的方程为 k ∂2 u k 1 P 0.24i2 r ∂u = − ( u − u ) + . 0 ∂t cρ ∂ x2 cρω cρω 例 1.5 设物体表面的绝对温度为 u, 此时它向外界辐射出去的热量依斯特藩-玻耳兹曼 (Stefan-Boltzmann) 定律正比于 u4 , 即 dQ = σu4 dS dt. 假设物体和周围介质之间只有热辐射而没有热传导, 又假设物体周围介质的绝对温度为已知 函数 f ( x, y, z, t), 求此时该物体热传导问题的边界条件. 3
2
初边值问题的分离变量法
ut = a2 u xx (t > 0, 0 < x < π), u(0, t) = u x (π, t) = 0 (t > 0), u( x, 0) = f ( x) (0 < x < π).
例 2.1 用分离变量法求下列定解问题的解:
解: 设 u( x, t) = X ( x)T (t), 则
例 2.4 在区域 t 的定解问题: ut = a2 u xx − β(u − u0 ), u(0, t) = u(l, t) = u0 , u( x, 0) = f ( x), 其中 α, β, u0 均为常数, f ( x) 为已知函数. 解: 令 u = u0 + v( x, t)e−βt , 则得关于 v 的如下定解问题: vt = a2 v xx , v(0, t) = v(l, t) = 0, v( x, 0) = f ( x) − u0 . 解得 ( 2 2 2 ) kπ k π a Ck exp − 2 t sin x, v( x , t ) = l l k=1
解: u( x , t ) = ∫ Ck = 2
1 2
∞ ∑ k=1
Ck e−k
2 π2 t
sin kπ x.
∫ ξ sin kπξdξ +
1 2
1
0, k = 2n, 4 kπ n 4( − 1) = 2 2 sin = n = 0, 1, 2, . . . , k = 2n + 1, 2 k π 2 2 (2n + 1) π ⇒ u( x , t ) = 4(−1)n 2 2 e−(2n+1) π t sin(2n + 1)π x. 2 2 (2n + 1) π n=0
解: 考察边界上的面积微元 dS . 在 dt 时间内, 经边界微元流出的热量为 (k 为热传导系 数) ∂u −k dS dt. ∂n 由该微元辐射到外部介质的热量为 σu4 dS dt. 外部介质通过该微元辐射到物体表面的热量为 σ f 4 dS dt. 根据热量平衡有 −k 故所求边界条件为 −k ∂u dS dt = σu4 dS dt − σ f 4 dS dt. ∂n ∂u = σ(u4 − f 4 ). ∂n
Ck e−(k+ 2 )
1 2 2 a t
( 1) Ck sin k + x 2 k=0 ∫
0 π
⇒ Ck =
( 1) f (ξ) sin k + ξdξ. 2
例 2.2 用分离变量法求解热传导方程的初边值问题: ut = u xx ( t > 0, 0 < x < 1), { 1 x, 0<x≤ 2 , u ( x , 0) = 1 1 − x , < x < 1 , 2 u(0, t) = u(1, t) = 0 (t > 0). 4
Ω Ω
∫
t2
t1
∂N dtd xdydz. ∂t
根据质量守恒, 并注意到 Ω, t1 , t2 的任意性, 得所求方程为 ( ) ( ) ( ) ∂ ∂N ∂ ∂N ∂ ∂N ∂N = D + D + D . ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 2
例 1.3 砼(混泥土)内部储藏着热量, 称为水化热, 在它浇筑后逐渐放出, 放热速度和它所 储藏的水花热成正比. 以 Q(t) 表示它在单位体积中所储的热量, Q0 为初始时刻所储的热 Q 量, 则 d dt = −β Q, 其中 β 为正常数. 又假设砼的比热为 c, 密度为 ρ, 热传导系数为 k, 求它在浇筑后温度 u 满足的方程. 解: 设砼内点 ( x, y, z) 在时刻 t 的温度为 u( x, y, z, t), 显然 dQ = −β Q , ⇒ Q(t) = Q0 e−βt . dt Q(0) = Q0 , 易知 t1 到 t2 时刻, 砼内任一区域 Ω 中的热量的增加等于从 Ω 外部流入 Ω 的热量及砼 中的水化热之和, 即 ∫ t2 ∂u cρ dtd xdydz = (Q(t1 ) − Q(t2 ))d xdydz+ ∂t t1 Ω Ω [ ( ) ( ) ( )] ∫ t2 ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u k + k + k d xdydzdt ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z t1 Ω ∫ t2 dQ dtd xdydz+ =− t1 dt Ω [ ( ) ( ) ( )] ∫ t2 ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u k + k + k d xdydzdt. ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z t1