上海市徐汇区上海中学2020-2021高二上学期期中考试数学(解析版)
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上海中学2020-2021学年高二年级第一学期期中考试数学试卷 2020.11.考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、班级、考号等；2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分54分，共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 点(2,3)P 到直线320x -=的距离为2. 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(2,0)-重合，且点(2020,2021)与点(,)m n 重合，则n m -=3. 已知(2,1)A ，(4,2)B -，(1,)C x -，若向量OA OB +与OC 垂直（O 为坐标原点），则实数x 的值为4. 直线2(1)10()x a y a +++=∈R 的倾斜角的取值范围是5. 若实数x 、y 满足不等式组523030y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则||2z x y =+的最大值是6. 平面内b 为单位向量，(1,1)a =，且|2|6a b -=，则向量a 、b 的夹角为7. 若关于x 、y 、z 的三元一次方程组212sin 32sin 3x z x y z x z θθ⎧+=⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，则实数θ的取值集合是8. 平行四边形ABCD 中，3AB =，4AD =，6AB AD ⋅=-，13DM DC =，则MA MB ⋅的值为 9. 已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,1)，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为10. 若不全为零的实数a 、b 、c 成等差数列，点(1,2)A 在动直线:+0l ax by c +=上的射影为P ，点Q 在直线1:34120l x y -+=上，则线段PQ 长度的最小值是11. 实数x 、y 满足221x y +≤，则22x y x y ++-+的取值范围为 12. 过点(2,1)P 任意作一条直线分别交x 轴、y 轴的正半轴于点M N 、，若||||OM ON +-||()MN m m ≤∈R 恒成立，则m 的最小值为二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13. 已知{(,)|(1)(1)}A x y x x y y =-≤-，22{(,)|}B x y x y a =+≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（） A. B. 1[,)2+∞ C.[2,)+∞ D. )2+∞14. 已知向量a 、b 为平面内的单位向量，且12a b ⋅=-，向量c 与a b +共线，则||a c +的最小值为（ ） A. 1 B. 12 C. 34D. 3 15. 如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且22||||PA PB +2||PC a +=（a 为常数），下列结论中，正确的是（ ）A. 当01a <<时，满足条件的点P 有且只有一个B. 当1a =时，满足条件的点P 有三个C. 当1a >时，满足条件的点P 有无数个D. 当a 为任意正实数时，满足条件的点P 总是有限个16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE x AD y AP x y =+∈R ，则2x y +的最小值为（ ）A. 1- B. 1 C. 2 D. 3三、解答题（本大题満分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17. 已知直线l 经过原点，且与直线31y x =+的夹角为30°，求直线l 的方程.18. 若矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，定义det()A 为行列式11122122a a a a 的值，已知t ∈R ，102t t B -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2011C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵BC 、CB ，并比较det()BC 和det()CB 的大小.19. 如图，3xOy π∠=，定义平面坐标系xOy 为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：1e 、2e 分别为与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若1OP xe =+2(,)ye x y ∈R ，则规定点P 的斜坐标为(,)x y .（1）求以O 为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程；（2）已知点A 的斜坐标为(1,2)，点B 的斜坐标为(2,0)-，求直线AB 在该仿射坐标系中的方程.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .（1）求k 的取值范围；（2）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线，如果存在，求k 的值，如果不存在，说明理由.21. 已知△ABC 的三个顶点(1,0)A ，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H .（1）求圆H 的方程；（2）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（3）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M 、N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围.上海中学2020-2021学年高二年级第一学期期中考试数学试卷 2020.11.一、填空题（本大题满分54分，共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 点(2,3)P 到直线320x -=的距离为【答案】 432. 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(2,0)-重合，且点(2020,2021)与点(,)m n 重合， 则n m -=【答案】 13.已知(2,1)A ，(4,2)B -，(1,)C x -，若向量OA OB +与OC 垂直（O 为坐标原点），则实数x 的值为 【答案】23- 4. 直线2(1)10()x a y a +++=∈R 的倾斜角的取值范围是 【答案】3[,)4ππ 5. 若实数x 、y 满足不等式组523030y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则||2z x y =+的最大值是【答案】146. 平面内b 为单位向量，(1,1)a =，且|2|6a b -=，则向量a 、b 的夹角为【答案】23π 7. 若关于x 、y 、z 的三元一次方程组212sin 32sin 3x z x y z x z θθ⎧+=⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，则实数θ的取值集合是【答案】{|,}2k k πθθ≠∈Z 8. 平行四边形ABCD 中，3AB =，4AD =，6AB AD ⋅=-，13DM DC =，则MA MB ⋅的值为 【答案】 169. 已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,1)，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为【答案】230x y +-=10. 若不全为零的实数a 、b 、c 成等差数列，点(1,2)A 在动直线:+0l ax by c +=上的射影为P ，点Q 在直线1:34120l x y -+=上，则线段PQ 长度的最小值是【答案】111. 实数x 、y 满足221x y +≤，则22x y x y ++-+的取值范围为 【答案】23,23⎡⎤-+⎣⎦12. 过点(2,1)P 任意作一条直线分别交x 轴、y 轴的正半轴于点M N 、，若||||OM ON +-||()MN m m ≤∈R 恒成立，则m 的最小值为【答案】二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13. 已知{(,)|(1)(1)}A x y x x y y =-≤-，22{(,)|}B x y x y a =+≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,2) B. 1[,)2+∞ C. [2,)+∞ D. 2[,)+∞ 【答案】C14. 已知向量a 、b 为平面内的单位向量，且12a b ⋅=-，向量c 与a b +共线，则||a c +的最小值为（ ） A. 1 B.12 C. 34D. 3 【答案】D 15. 如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且22||||PA PB +2||PC a +=（a 为常数），下列结论中，正确的是（ ）A. 当01a <<时，满足条件的点P 有且只有一个B. 当1a =时，满足条件的点P 有三个C. 当1a >时，满足条件的点P 有无数个D. 当a 为任意正实数时，满足条件的点P 总是有限个【答案】C16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE x AD y AP x y =+∈R ，则2x y +的最小值为（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 3【答案】B三、解答题（本大题満分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17. 已知直线l 经过原点，且与直线31y x =+的夹角为30°，求直线l 的方程.【答案】 0x =或3y x =.18. 若矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，定义det()A 为行列式11122122a a a a 的值，已知t ∈R ，102t t B -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2011C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵BC 、CB ，并比较det()BC 和det()CB 的大小. 【答案】19. 如图，3xOy π∠=，定义平面坐标系xOy 为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：1e 、2e 分别为与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若1OP xe =+2(,)ye x y ∈R ，则规定点P 的斜坐标为(,)x y .（1）求以O 为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程；（2）已知点A 的斜坐标为(1,2)，点B 的斜坐标为(2,0)-，求直线AB 在该仿射坐标系中的方程.【答案】20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .（1）求k 的取值范围；（2）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线，如果存在，求k 的值，如果不存在，说明理由.【答案】（1）3(,0)4-；（2）不存在.21. 已知△ABC 的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H .（1）求圆H 的方程；（2）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（3）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M 、N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围.【答案】 （1）22(3)10x y +-=；（2）3x =或423y x =-；（3）10410(,).。
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若不同的两点A 和B 在参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）表示的曲线上，则A 与B 的距离的最大值是__________．2．z 是z 的共轭复数，若2z z +=，()2z z i -=（i 为虚数单位），则z =_____________.3．将圆22:36C x y +=上任意一点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，从而得到椭圆E ，则椭圆E 的焦点坐标是_____________.4．若双曲线Γ的两个焦点1F 和2F 都在x 轴上且关于y 轴对称，Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，则此双曲线的渐近线方程是_____________.5．若双曲线H 的两个焦点都在y 轴上，且关于x 轴对称，焦距为10，实轴长与虚轴长相等，则双曲线H 的方程是_____________.6．二次函数238y x =的图像的准线方程是______________. 7．以方程22||||0x y x y +--=的曲线为边界的封闭区域的面积是______________.8．已知直线y m =与方程y =[]()21,21,x k k k Z ∈-+∈的曲线相交，相邻交点间的距离皆相等，则m =____________.9．设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________. 10．已知动圆过定点()4,0A ，它与y 轴相交所得的弦MN 的长为8，则满足要求的动圆其半径的最小值是_____________.11．设点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=(0)y ≥上，使得2OP PQ =（O 为坐标系原点），坐标表示与PQ 同方向的单位向量，其结果是_____________.12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则p = ．二、单选题13．已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ）A ．22x t y t =⎧⎨=-⎩B ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩C ．22x t y t =⎧⎨=-⎩D ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩14．集合{|(1)(1)()}M z z t t i t R ==-++∈，下列命题中不正确的是（ ）A ．M R =∅B ．0M ∉C ．若z M ∈，则z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限D ．若z M ∈，2z =，则z 不一定是纯虚数15．已知动圆C 的圆心()00,x y 在抛物线212y x =上，且圆C 与直线2x =-相切，则圆C 与圆22(3)1x y -+=（ ）A ．总是相离B ．总是外切C ．一定有两个不同的公共点D ．可以有公共点，也可以没有公共点 16．已知点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和点都在一条既关于x 对称，又关于y 轴对称的二次曲线上，则这条二次曲线（ ）A ．一定是圆B ．一定是椭圆C ．一定是双曲线D ．可以是椭圆，也可以是双曲线17．设集合{,}A a b =，其中a 和b 都是复数，且使得{}22{,},a b a b=成立，则满足要求的集合A 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 18．设集合{}(,)|1A x y ==，(,)|)x B x y t y ⎧⎧⎫=⎪⎪⎪=⎨⎨⎬=⎪⎪⎪⎩⎭⎩为参数，则有（ ）A ．AB =∅ B ．A B ⊆C ．A B =D ．{}22(,)|1A B x y x y =+=三、解答题 19．把曲线P 的参数方程sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩化成普通方程，并在平面直角坐标系中画出相应的曲线.20．已知z 是纯虚数，并使得21z i+∈-R ，求z 21．对于有限集P ，我们以()f P 记该集合中元素的个数，若集合{}(,)|(0A x y x x ==，集合{}(,)|B x y y x k ==+，其中k 是常数，求()f A B .22．已知椭圆E 的方程是2214y x +=，圆O 的方程是221x y +=，直线l 与圆O 相切，与椭圆E 相交于不同的两点A 和B ，求AB 的最大值.23．在如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD >，以点A 和点B 为焦点，过点C 和点D 的椭圆的长轴长是2E a ，以点C 和点D 为焦点，过点A 和点B 的双曲线的实轴长是2H a ，试用两种方法证明:()()22E H a a AB CD ⋅=⋅24．设(),M M M x y 是抛物线2:2P x py =(0)p >上的动点，也是直线l 与抛物线P 唯一的公共点，直线l 与抛物线P 的对称轴相交，点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，求动点F '的轨迹方程.参考答案1．2【分析】将曲线的参数方程化为直角坐标方程可知,曲线为半径为2的圆,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2.【详解】由参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）,可得22(1)(2)1x y ++-=, 所以点A 和B 在半径为1的圆上,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2.故答案为 :2【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,圆的标准方程,属于基础题.2【分析】设出复数z 的代数形式，结合复数加减法和乘法的运算法则，根据已知2z z +=，()2z z i -=，这样可以求出复数的代数表示，最后根据复数模的定义求解即可.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，由221z z a bi a bi a +=⇒++-=⇒=.由()2()21z z i a bi a bi i b -=⇒+-+=⇒=-，所以1z i z =-⇒【点睛】本题考查了复数的加减法和乘法的运算法则，考查了共轭复数的定义，考查了复数模的求法，属于基础题．3．(0,-【分析】设出圆22:36C x y +=上任意一点的坐标，再设出该点变换后的坐标，通过坐标之间的关系求出椭圆标准方程，进而求出焦点坐标..【详解】设00(,)P x y 是圆22:36C x y +=上任意一点，则有220036x y +=，点00(,)P x y 变换后对应点的坐标为'(,)P x y ，由题意可知：0000133x x x x y y y y ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以有： 2222(3)361436x y x y +=⇒+=，因此有2236,4a b c ==∴==，焦点在纵轴上，因此焦点坐标为：(0,-.故答案为：(0,-【点睛】本题考查了坐标变换，考查了椭圆的焦点坐标，属于基础题.4．y =±【分析】根据题意设出双曲线的标准方程，根据Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，可得等式，这要再利用,,a b c 之间关系，求出,a b 之间的关系，进而求出渐近线方程.【详解】 由题意可设双曲线的方程为：22221x y a b-=，因为两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，所以有22222222398b c a a c a c ac a b b a a-=⇒=⇒==+∴=⇒=的渐近线方程为：y =±.故答案为：y =±【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题. 5．221252522y x -=【分析】根据题意设出双曲线的标准方程，根据焦距为10、实轴长与虚轴长相等、,,a b c 的关系，求出,a b 即可.【详解】因为双曲线H 的两个焦点和都在y 轴上，且关于x 轴对称，所以设双曲线H 的标准方程为： 22221y x a b -=，因为焦距为10，所以2105c c =⇒=，因为双曲线的实轴长与虚轴长相等，所以a b =，而222c a b =+，所以有222252252a ab =⇒==，因此双曲线的标准方程为： 221252522y x -=. 故答案为：221252522y x -=【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了数学运算能力，属于基础题.6．23y =-【分析】把二次函数的解析式写成抛物线的标准方程的形式，最后求出准线方程即可.【详解】 223883y x x y =⇒=，所以准线方程为：23y =-. 故答案为：23y =- 【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题.7．2π+【分析】根据绝对值的性质，结合配方法化简方程，然后在直角坐标系内画出方程所表示的曲线，最后求出封闭区域的面积.【详解】当0,0x y ≥≥时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+--=⇒-+-=， 当0,0x y ≥<时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+-+=⇒-++=， 当0,0x y <≥时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒++-=⇒++-=， 当0,0x y <<时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+++=⇒+++=， 在直角坐标系内，方程所表示的曲线如下图所示：2222ππ⎛⨯=+ ⎝⎭. 故答案为：2π+【点睛】本题考查曲线与方程，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．0,1,2【分析】把方程y =化简，在同一直角坐标系内画出直线y m =和方程y =所表示的曲线，利用数形结合结合已知求解即可.【详解】22(2)1(0)y x k y y =-+=≥，在同一直角坐标系内，画出直线y m =和方程y =所表示的曲线，如下图所示：显然当0,1m =时，相邻交点间的距离皆相等，当01m <<时，令221y m x x y =⎧⇒=⎨+=⎩令222(2)1y m x x y =⎧⇒=±⎨-+=⎩，由题意可知：201AB BC m m m =⇒=-=±<<∴=根据图形的对称性可知：此时相邻交点间的距离皆相等，故答案为： 【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，考查了数形结合思想，是中档题．9．2π 【分析】根据|||1|z i z -+-=可以知道复数z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距离之和为，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ 上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】 本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.10．4【分析】根据题意，设动圆的圆心为M ，其坐标为（x ，y ），其半径为r ，结合题意分析可得（x ﹣4）2+y 2＝x 2+16，变形可得：y 2＝8x ，解可得动圆圆心的轨迹的方程，进而可得r 2＝（x ﹣4）2+y 2＝（x ﹣4）2+8x ＝x 2+16，结合二次函数的性质分析可得答案．【详解】根据题意，设动圆的圆心为M ，其坐标为（x ，y ），其半径为r ，则有（x ﹣4）2+y 2＝x 2+16，变形可得：y 2＝8x ，则动圆圆心的轨迹M 的方程为y 2＝8x ，其中x ≥0，则r 2＝（x ﹣4）2+y 2＝（x ﹣4）2+8x ＝x 2+16≥16，当x ＝0时，r 取得最小值，且其最小值为4；故答案为：4．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，关键是分析圆心的轨迹，属于综合题．11．(88【分析】设出点P 和点Q 的坐标，根据2OP PQ =，结合半圆的方程，可以求出点P 和点Q 的坐标，最后求出向量PQ 的坐标表示和模，最后求出与PQ 同方向的单位向量. 【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，由1211212112232(,)2(,)(1)23x x OP PQ x y x x y y y y ⎧=⎪⎪=⇒=--⇒⎨⎪=⎪⎩， 因为点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=(0)y ≥上，所以有()()221122222121x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩(2)， 由（1），（2）解得：211115584,48x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，所以5(,88PQ =，因此5(2PQ ==，所以与PQ同方向的单位向量为：(88. 故答案为：(88【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，考查了平面向量坐标的坐标表示，考查了平面向量共线坐标表示公式，考查了数学运算能力. 12．2或8． 【解析】试题分析：设(,)M x y ，55522p pMF x x =⇒+=⇒=-，22210y px p p ==-，设(0,2)A ，∴(,2)AM x y =-，(,2)2PAF =-，20420420424p y AM AF x y y y ⋅=⇒⋅+-=⇒+-=⇒=216102p p p ⇒=-⇒=或8．考点：1．抛物线的标准方程及其性质；2．圆的性质．【思路点睛】研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用，“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解． 13．A 【分析】根据直线倾斜角和直线斜率的关系求出斜率，最后利用点斜式求出直线方程，对四个选项中的参数方程进行加减法消元或代入法消元，化成点斜式方程，最后进行判断即可. 【详解】因为直线l 倾斜角是arctan 2π-，所以直线l 的斜率为：tan(arctan 2)tan(arctan 2)2π-=-=-. 又因为直线l 在y 轴上截距是2，所以直线l 的方程为：22y x =-+.选项A ：2222x ty x y t =⎧⇒=-+⎨=-⎩，符合题意；选项B ：2242x ty x y t=+⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意； 选项C ：21222x t y x y t=⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意；选项D ：22112x t y x y t=+⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意. 故选：A 【点睛】本题考查了直线倾斜角和直线斜率之间的关系，考查了参数方程化为普通方程，属于基础题. 14．A 【分析】A ：根据复数的分类结合集合的交集运算定义进行判断即可；B ：根据复数的分类结合元素与集合的关系进行判断即可；C ：根据复数在平面对应点的特征结合不等式组的解集进行判断即可；D ：根据复数模的定义结合复数的分类进行判断即可. 【详解】A ：当1t =-时，{2}M =-，因此{}2MR =-≠∅，故本命题是假命题；B ：当z R ∈时，1t =-，此时{2}M =-，因此0M ∉，故本命题是真命题；C ：当z 在复平面上所对应的点在第四象限时，则有1010t t ->⎧⎨+<⎩成立，而该不等式组的解集为空集，故本命题是真命题；D ：当2z =21t =⇒=±，即2,2z i =-，故本命题是真命题. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的分类、模的计算公式，考查了集合的交集运算，考查了元素与集合的关系，考查了命题的真假判断，属于基础题. 15．B 【分析】根据圆C 与直线2x =-相切，根据抛物线的定义，结合圆与圆的位置关系的判断方法进行判断即可. 【详解】抛物线212y x =的焦点的坐标为(3,0)，恰好是圆22(3)1x y -+=的圆心，且该圆的半径为1，动圆C 的圆心()00,x y 在抛物线212y x =上，所以有00x ≥，抛物线的准线方程为：3x =-.两个圆的圆心距为00(3)3x x --=+.因为圆C 与直线2x =-相切，所以该圆的半径为：00(2)2r x x =--=+，因此两个圆的半径之和为：001213r x x +=++=+，显然等于两个圆的圆心距，因此是两圆相外切. 故答案为：B 【点睛】本题考查了两个圆的位置关系判断，考查了抛物线的定义，考查了圆的切线性质. 16．B 【分析】根据题意可设二次曲线方程为：222x y r +=或221mx ny +=，根据两个点是否能同时满足方程进行判断即可. 【详解】当二次曲线方程为222x y r +=，把点的坐标代入方程中：有222223522r r⎧⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪+=⎩，方程组无实数解，故这两个点不能在符合条件的圆上； 当二次曲线方程为221mx ny +=，把点的坐标代入方程中：有22213516221110m m n n m n ⎧⎧⎛⎫⎛⎫=⎪⎪-+=⎪⎪ ⎪ ⎪⇒⎝⎭⎝⎭⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩，此时二次曲线表示椭圆. 故选：B 【点睛】本题考查了已知二次曲线过点求二次曲线方程，考查了数学运算能力. 17．C 【分析】根据集合相等的概念，分类讨论进行求解即可. 【详解】 因为{}22{,},a b a b=，所以有22,a a b b==或22,a b b a ==.当22,a a b b ==时，由20,1a a a =⇒=，同理可求得0,1b =，此时{0,1}A =. 当22,a b b a ==时，则有432(1)0(1)(1)0a a a a a a a a =⇒-=⇒-++=，解得0a =，或1a =，或2(1)0a a ++=，当0a =，或1a =时，此时{0,1}A =；当2(1)0a a ++=时，解得a =，当a =时，b =A =⎪⎪⎩⎭，当a =时，b =，此时11,22A ⎧⎫---⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 故选：C【点睛】本题考查了集合相等求元素，考查了分类讨论思想，考查了一元二次方程复数解问题，考查了数学运算能力. 18．D 【分析】对集合A 中的方程中左边的项移项，然后用平方法进行化简，对集合B 中的参数方程用平方法进行消参，然后逐一判断即可. 【详解】2211((1=⇒=-⇒=-,化简后再通过平方法化简，得221x y +=，因此{}22(,)|1A x y x y +==；22221,011(01,01)x x y t x y x y y ⎧=⎪⇒+=≤≤∴+=≤≤≤≤⎨=⎪⎩，因此 {}22(,)1(01,01)B x y x y x y =+=≤≤≤≤，显然A B B =，B A ⊆，A B ≠，{}22(,)|1A B x y x y =+=.故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集、并集的运用，方程的恒等变形、消参是解题的关键. 19．2([y x x =∈，在平面直角坐标系中画出相应的曲线如下所示：【分析】运用同角的三角函数关系式中平方和关系，结合二倍角的正弦公式，运用加减消元法求解即可，最后画出相应曲线即可. 【详解】22sin cos (1)(1)(2)sin cos )[1sin 2(2)x y x x x y θθθθθπθ=+⎧-⇒==+=+∴∈⎨=+⎩因此普通方程为：2([y x x =∈，在平面直角坐标系中画出相应的曲线如下所示：【点睛】本题考查了将参数方程化为普通方程，考查了画方程的曲线，考查了同角的三角函数关系中的平方和关系，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题. 20．-2i 【分析】设()z bi b R =∈，代入21z i +-进行化简，根据21z i+-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z . 【详解】设()z bi b R =∈，代入21z i +-得()()()()()212221112bi i b b ibi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题.21．当k >k <()0f A B =；当k =()1f AB =；当01k <<或10k -<<时，()1f A B =；当0k =时，()0f A B =【分析】运用绝对值的性质，结合乘法运算的性质，可以求出集合A 表示的曲线方程，在同一角坐标系内画出集合,A B 表示的曲线，利用数形结合思想求解即可. 【详解】当0x =时，显然有0x ≤，若0y ≥时，221x y +=；当0y <时，有221x y -=.当0x =时，显然有0x ≥，若0y ≥时，221x y -=；当0y <时，有221x y +=.在同一直角坐标系内画出集合,A B 所表示的曲线，如下图所示：当直线y x k =+与221x y +=(0x ≤且0)y ≥1k =⇒=知：此时k =y x k =+与221x y +=(0x ≥且0)y <相切时，此时k =221x y -=的渐近线方程的方程为y x =±，由图象可知：当k >k <()0f A B =；当k =()1f AB =；当01k <<或10k -<<时，()1f A B =；当0k =时，()0f A B =.【点睛】本题考查了集合元素的属性特征，考查了集合交集的几何意义，考查了曲线与方程的关系，考查了数形结合思想. 22．2 【分析】讨论直线l 与y 轴垂直，求得A ，B 的坐标，可得弦长；再由直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 的方程为x my t =+，求得O 到直线l 的距离，联立椭圆方程可得y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，结合基本不等式即可得到所求最大值． 【详解】当直线l 垂直于y 轴时，由直线l 与圆O ：221x y +=相切， 可知直线l 的方程为y ＝±1，联立22114y y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得x =， 联立22114y y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2x =±，∴AB ；当直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 的方程为x my t =+,由直线l 与圆O ：221x y +=1，即221t m =+，将x my t =+代入2214yx +=，整理得222)(148440m y mty t -+++＝，设1122(,),(,)A x y B x y ,则有122814mt y y m +=-+，21224414t y y m -=+，AB ==()222231214m m m++≤=+ 当且仅当2213mm +=时等号成立，即2m =±时，|AB |取得最大值2． 综上可得AB 的最大值为2． 【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆弦长的求法，考查运算求解能力，考查了重要不等式的应用，考查化归与转化思想，是中档题． 23．两种证明方法见解析. 【分析】运用椭圆和双曲线的定义，利用勾股定理和坐标法证明即可. 【详解】证法一、由椭圆的定义可得2E CA CB a =+， 双曲线的定义可得2H CA DA a =﹣， 由等腰梯形可得BC AD ＝， 则22)()(22E H a a CA CB =﹣ 如图可设CM AB DN AB ⊥⊥，， 可得:22222222()()()()CA CB CM AM CM BM AM BM AM BM AM BM AB MN AB CD--=-=+-=⋅=+⋅+=即有()()22E H a a AB CD ⋅=⋅，所以命题成立； 证法二、由椭圆的定义可得2E CA CB a =+，双曲线的定义可得2H CA DA a =﹣， 由等腰梯形可得BC AD ＝， 则22)()(22E H a a CA CB =﹣以AB 的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设(0),(0),(,),(,),,0A m B m C n h D n h m n -->，，，可得222222(())4CA CB n m h m n h mn AB CD -=-++--⋅＝＝ 则()()22E H a a AB CD ⋅=⋅，所以命题成立.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，运用勾股定理和等腰梯形的性质以及坐标法是解题的关键，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题． 24．2py =- 【分析】设出过设(),M M M x y 的直线方程，与抛物线的方程联立，根据已知，由一元二次方程根的判别式求出直线l 的方程，再根据斜率公式和中点坐标公式求出动点F '的轨迹方程. 【详解】抛物线2:2P x py =的对称轴为纵轴，所以直线l 存在斜率，因此设它的方程为：()M M y y k x x -=-，与抛物线方程联立，消y 得：222()0M M x pkx p y kx ---=，由题意得：22(2)8()0220(1)M M M M pk p y kx pk y kx ∆=-+-=⇒+-=,又因为(),M M M x y 是抛物线2:2P x py =上的动点，所以有22(2)M M x py =，由（1）（2）可得：1M k x p=， 所以直线l 的方程为：212M M x y x p p=-设F '的坐标为：(,)x y ，抛物线的焦点坐标为：(0,)2p ，因为点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，所以有： 2212222M M M p y x x p p y x x x p p ⎧-⎪⋅=-⎪⎪⎨⎪+⎪=⋅-⎪⎩，消去M x ，得221022p x y p y ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以动点F '的轨迹方程为：2p y =-. 【点睛】本题考查了抛物线的切线方程以及两点关于直线对称问题．属中档题．。
2020-2021学年上海市重点高中高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市重点高中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 直线∣∣∣x1y2∣∣∣=0的一个法向量是( ) A. n⃗ =(2,1) B. n⃗ =(1,2) C. n⃗ =(2,−1) D. n⃗ =(1,−2) 2. 已知a 1、a 2、b 1、b 2、c 1、c 2∈R ，直线l 1：a 1x +b 1y +c 1=0，l 2：a 2x +b 2y +c 2=0，则“a 1a 2+b 1b 2=0”是“直线l 1与l 2垂直”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3. 已知△ABC ，点D 为边BC 上一点，且满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 如图所示，在平面内，点P 为圆O 的直径AB 的延长线上一点，AB =BP =2，过动点Q 作圆的切线QR ，满足PQ =2QR ，则△QAP 的面积的最大值为( )A. 83B. 8√33C. 163D. 16√33二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 关于x 、y 的方程组{3x +y =12x +4y =−3的增广矩阵为______．6. 直线x −y +1=0的倾斜角大小为______．7. 已知圆C 的半径为2，直线l 与圆相交于A 、B 两点，且圆心C 到直线l 的距离为1，则线段AB 的长度为______．8. 已知矩阵A =(0210)，B =(12)，则AB =______．9. 直线l 的一个方向向量为d⃗ =(1,2)，则l 与直线x−12=y−21的夹角的大小为______.(结果用反三角表示)10. 在平面直角坐标系中，已知点P 1(−1,1)，P 2(1,3)，点P 满足P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P的坐标为______．11. 过点M(1,2)且与圆x 2+y 2=5相切的直线的一般式方程为______．12. 直线l 1：y =k(x −1)−1与l 2：y =12x +1相交于第二象限，则l 1的斜率k 的取值范围是______．13. 在平面直角坐标系内，已知直线l 的一个方向向量为e ⃗ =(45,35)，点O(0,0)和M(−1,−2)在l 上的投影分别是点O 1和M 1，若O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λe ⃗ ，则实数λ的值为______． 14. 正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）15. 已知m ∈R ，利用行列式求关于x 、y 的方程组{mx +2y =m +42x +my =m有唯一解的充要条件，并在此条件下写出该方程组的解．16. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =2，点M为边BC 的中点，点N 在边CD 上．(1)若点N 为线段CD 上靠近D 的三等分点，求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值；(2)若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8，求此时点N 的位置．17. 已知k ∈R ，向量a ⃗ =(1,1+k)，b ⃗ =(k,2)．(1)若向量2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 平行，求k 的值；(2)若向量2a⃗−b⃗ 与b⃗ 的夹角为钝角，求k的取值范围．18.已知正方形的一条边AB所在直线为x−3y−1=0，正方形的中心为R(0,1).求：(1)该正方形的面积；(2)该正方形的两条对角线所在直线的一般式方程．19.我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作λ.已知圆C1：x2+y2=1，直线l：3x−4y+m=0．(1)若直线l关于圆C1的距离比λ=2，求实数m的值；(2)当m=0时，若圆C2与y轴相切于点A(0,3)，且直线l关于圆C2的距离比λ=6，5试判断圆C1与圆C2的位置关系，并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：直线∣∣∣x1y 2∣∣∣=0，即2x −y =0，它的一个法向量是(2,−1)， 故选：C ．由题意利用行列式的运算法则求出直线的方程，再根据直线的法向量的定义，求出直线的一个法向量．本题主要考查行列式的运算法则，直线的法向量的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由“a 1a 2+b 1b 2=0”一定能推出“直线l 1与l 2垂直”，满足充分性， 由“直线l 1与l 2垂直”一定能推出“a 1a 2+b 1b 2=0”，满足必要性， 故“a 1a 2+b 1b 2=0”是“直线l 1与l 2垂直”的充要条件． 故选：C ．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：B ．根据BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，然后进行向量的数乘运算求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，∵AB =BP =2，∴P(3,0)， 设Q(x,y)，∵过动点Q 作圆的切线QR ，满足PQ =2QR ， ∴PQ 2=4QR 2，即(x −3)2+y 2=4(x 2+y 2−1)， 整理得，(x +1)2+y 2=163，∴点Q 的轨迹方程是以(−1,0)为圆心，以r =4√33为半径的圆， ∴当点Q 在直线x =−1上时，△QAP 的面积的最大， ∴(S △PAQ )max =12×4×4√33=8√33． 故选：B ．以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点Q 的轨迹方程，可得Q 到AB 距离的最大值，由此能求出△QAP 的面积的最大值．本题考查三角形面积的最大值的求法，注意两点间距离公式的合理运用，是中档题．5.【答案】(31124−3)【解析】解：由增广矩阵的定义可知，关于x ，y 的方程组{3x +y =12x +4y =−3的增广矩阵为(31124−3)， 故答案为：(31124−3)．由增广矩阵的定义可求解； 考查增广矩阵的概念，属于基础题；6.【答案】45°【解析】解：由直线x −y +1=0变形得：y =x +1 所以该直线的斜率k =1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1， ∵α∈[0,180°)， ∴α=45°．故答案为：45°．把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．7.【答案】2√3【解析】解：如图，过O 作OD ⊥AB 于点D ，连结AO ，则D 为AB 的中点．Rt △AOD 中，AD =√AO 2−OD 2=√22−12=√3． 则AB =2AD =2√3． 故答案是：2√3．利用垂径定理和勾股定理解答．考查了直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．8.【答案】(41)【解析】解：∵矩阵A =(0210)，B =(12)，∴AB =(0210)(12)=(41)．故答案为：(41)．利用矩阵的乘法法则能求出AB ．本题考查矩阵乘积的求法，考查矩阵乘法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】arctan 34【解析】解：由于直线l 的一个方向向量为d ⃗ =(1,2)， 故直线l 的斜率为2，直线x−12=y−21，即y =12x +32，它的斜率为12．设两直线的夹角为θ，则tanθ=|2−121+2×12|=34，∴θ=arctan 34， 故答案为：arctan 34．先求出两条直线的斜率，再求出两直线的夹角的正切值tanθ，可得两直线的夹角θ的值． 本题主要考查两条直线的夹角公式、反三角函数的应用，属于中档题．10.【答案】(2,4)【解析】解：设点P 的坐标为(x,y)，由点P 1(−1,1)，P 2(1,3)， 所以P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,y −1)，PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,3−y)， 又P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以{x +1=−3(1−x)y −1=−3(3−y)，解得{x =2y =4，所以点P 的坐标为(2,4)． 故答案为：(2,4)．设点P 的坐标为(x,y)，由平面向量的坐标表示，列方程组求出x 、y 的值即可． 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了解方程组的问题，是基础题．11.【答案】x +2y −5=0【解析】解：圆x 2+y 2=5的圆心为O(0,0)，半径r =√5．根据题意，可得过P(1,2)的切线斜率存在，设其方程为y −2=k(x −1)，即kx −y +2−k =0．∵直线与圆x 2+y 2=5相切，∴圆心O 到直线的距离等于半径r ，即d =√k 2+1=√5，化简整理得：4k 2+4k −1=0，解之得k =−12， ∴直线方程为y −2=−12(x −1)，化简得x +2y −5=0． 故答案为：x +2y −5=0．求出圆的圆心为O(0,0)，半径r =√5.设过P 点的切线方程为y −2=k(x −1)，利用点到直线的距离建立关于k 的等式，解之得k =−12，即可得到所求圆的切线方程． 本题给出圆的方程，求圆经过定点的切线方程．着重考查了直线的方程、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．12.【答案】−2<k <−13【解析】解：∵直线l 1：y =k(x −1)−1与l 2：y =12x +1相交于第二象限， 由{y =k(x −1)−1y =12x +1，可得{x =2k+42k−1y =3k+12k−1，∴{2k+42k−1<03k+12k−1>0，求得−2<k <−13， 故答案为：−2<k <−13．联立方程组，求出交点坐标，再根据交点在第二象限，求出k 的范围． 本题主要考查求直线的交点，属于基础题．13.【答案】−2【解析】解：由题意，画图如下：∵OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2)， ∴cos <OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，e ⃗ >=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅e ⃗|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|e ⃗ |=−1×45−2×35√(−1)2+(−2)2⋅√(45)2+(35)2=−2√55，∴|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|cos <OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，e ⃗ >|=√(−1)2+(−2)2⋅2√55=2，∵|e ⃗ |=1，∴|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||e ⃗ |=2，∵O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与e ⃗ 方向相反， ∴λ=−2． 故答案为：−2．本题根据题意画出大致图象，然后根据向量内积公式计算出cos <OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，e ⃗ >的值，再根据投影的内积计算方法计算出|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，即可得到|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||e ⃗ |=2，最后根据O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与e⃗ 方向相反可推导出λ的取值．本题主要考查向量的内积运用．考查了转化思想，数形结合法，定义法，向量的运算能力，直观想象能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．14.【答案】−7【解析】解：如图，以O 为坐标原点，以过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以过O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立坐标系， 则B(2,−2)，C(2,2)，∴2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(2,−2)+(1−λ)(2,2)=(2,2−4λ)，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1−2λ) 即P 点坐标为(1,1−2λ)，设M(a,−2)，则N(−a,2)，−2≤a ≤2， ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −1,2λ−3)，PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a −1,2λ+1) ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −1)(−a −1)+(2λ−3)(2λ+1)=1−a 2+4λ2−4λ−3， 当a =±2且λ=−−42×4=12时，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−7． 故答案为：−7．建立坐标系，根据2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出P 点坐标，设出M ，N 坐标分别为(a,−2)，(−a,2)，将PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为关于a ，λ的函数，即可得到其最小值． 本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题．15.【答案】解：由方程组{mx +2y =m +42x +my =m， 所以方程组的系数行列式为∣∣∣m 22m∣∣∣=m 2−4=(m +2)(m −2)， D x =∣∣∣m +42m m∣∣∣=m 2+4m −2m =m 2+2m =m(m +2)， D y =∣∣∣m m +42m∣∣∣=m 2−2m −8=(m −4)(m +2)； 当m 2−4≠0，即m ≠2且m ≠−2时，方程组有唯一的解；且该方程组的解为{x =m m−2y =m−4m−2．【解析】由题意写出方程组的系数行列式D 和D x ，D y ；当D ≠0时方程组有唯一解，再求出该方程组的解．本题考查了利用行列式求线性方程组的应用问题，是基础题．16.【答案】解：(1)由题意，以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，M(3,1)，N(1,2)，AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3×1+1×2=5． (2)由题意，设N 点坐标为(a,2)，a ∈[0,3]，则∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,2)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3×a +1×2=3a +2=8， 解得a =2，∴N 点坐标为(2,2)，故点N 的位置为线段CD 上靠近C 的三等分点．【解析】本题第(1)题根据题意可以建立以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴的平面直角坐标系，然后写出点M ，N 的坐标，计算出AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据向量内积的坐标运算公式进行计算即可得到结果；第(2)题可设N 点坐标为(a,2)，计算出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据向量内积的坐标运算公式进行代入计算即可得到a 的值，从而可判别出点N 的位置．本题主要考查运用向量解决集平面几何问题．考查了转化思想，向量的坐标运算，直观想象能力以及数学运算能力．本题属中档题．17.【答案】解：(1)由向量a ⃗ =(1,1+k)，b ⃗ =(k,2)，所以2a ⃗ −b ⃗ =(2−k,2k)，又2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 平行，所以2(2−k)−2k 2=0，解得k =−2或k =1；(2)若向量2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角，则(2−k)k +4k <0，解得k <0或k >6；由(1)知，当k =−2时，2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 平行，所以k 的取值范围是(−∞,−2)∪(−2,0)∪(6,+∞)．【解析】(1)由平面向量的坐标表示和向量共线定理，列方程求出k 的值；(2)由平面向量的数量积与夹角的关系，列不等式求出k 的取值范围，要去掉共线反向情况．本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，也考查了向量共线与夹角问题，是基础题．18.【答案】解：(1)由题意可得，中心R(0,1)到直线AB ：x −3y −1=0的距离d =√10=2√105， ∴正方形的面积S =(2d)2=325，(2)设对角线所在直线的方程为a(x −0)+b(y −1)=0，边AB 所在的直线方程为x −3y −1=0，两直线的法向量分别为n 1⃗⃗⃗⃗ =(a,b)，n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)，设两直线的夹角为θ，则cosθ=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10⋅√a 2+b 2=√22， ∴2a 2+3ab −2b 2=0，∴(2a−b)(a+2b)=0，∴b=2a或a+2b=0，两条对角线分别为x+2y−2=0或2x−y+1=0．【解析】(1)结合点到直线的距离公式可求d，然后代入正方形面积公式可求．(2)设对角线所在直线的方程为a(x−0)+b(y−1)=0，边AB所在的直线方程为x−3y−1=0，然后结合直线法向量与直线的夹角公式可求．本题主要考查了直线方程的求解，向量夹角公式及点到直线的距离公式的应用，属于基础试题．19.【答案】解：(1)由已知可得圆C1的圆心为原点，半径为1，则由已知定义可得：√32+42=2，解得m=±10，故实数m的值为±10；(2)当m=0时，直线l：3x−3y=0，圆C2与y轴相切于点A(0,3)，所以可设C2：(x−a)2+(y−3)2=a2，则根据定义可得：|3a−12|5|a|=65，解得a=−4或43，①当a=−4时，C2：(x+4)2+(y−3)2=16，两圆的圆心距d=5，半径之和为1+4=5，所以两圆外切，②当a=43时，C2：(x−43)2+(y−3)2=169，两圆的圆心距d大于半径之和，因此两圆外离．【解析】(1)根据新定义的要求即可求出m的值，(2)先设圆C2的方程，然后再根据新定义可求出a的值，再根据a的值判断两圆的位置关系．本题考查了新定义下直线与圆以及圆与圆的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．。
上海市徐汇区2020-2021学年高二上学期期中数学试题(解析版)
徐汇区高二期中数学试卷一．填空题1. 直线210x y -+=的一个法向量为______.【答案】()2,1-【解析】【分析】先求得直线210x y -+=的斜率，由此与其垂直的直线的斜率，进而求得直线210x y -+=的一个法向量.【详解】直线210x y -+=的斜率为2，故与其垂直的直线的斜率为12-，故直线210x y -+=的一个法向量为()2,1-.故填：()2,1-.【点睛】本小题主要考查直线的法向量的求法，属于基础题.2. 直线350x -=的倾斜角大小为___________. 【答案】3π 【解析】【分析】根据直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再由tan k α=得直线的倾斜角，得解.【详解】由350x -=得3y =-，所以直线的斜率k =，设直线的倾斜角为α且0απ≤<，由tan k α=得直线的倾斜角为3π. 故填：3π. 【点睛】本题考查直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再得直线的倾斜角的问题，属于基础题.3. 椭圆22219x y a +=（3a >）的两个焦点为1F 、2F ，且12||8F F =，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长是_______．【答案】20【解析】【分析】由题意可得4c =，利用222a b c =+，求出a ，再运用椭圆定义得△2ABF 的周长为4a 即可.【详解】如图所示，由12||8F F =，得28c =，即4c =，椭圆22219x y a +=（3a >）， ∴22291625a b c =+=+=，得5a =，弦AB 过点1F ，根据椭圆定义得△2ABF 的周长为420a =. 故答案为：20.【点睛】结论点睛：在椭圆中，弦过椭圆的一焦点与椭圆相交于A ，B ，与另一焦点形成的三角形的周长为4a .4. 已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．【答案】11【解析】 试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=． 考点：简单的线性规划．5. 已知矩阵30x A y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，20112y B y x -⎛⎫= ⎪--⎝⎭，3301C -⎛⎫= ⎪⎝⎭，且A B C +=，则x y +的值为__. 【答案】6.【解析】【分析】由矩阵加法运算可得231121x y x -=⎧⎨-=⎩，求出,x y ，即可得出结论.【详解】由题意，231121x y x -=⎧⎨-=⎩，∴5x =，1y =， ∴6x y +=.故答案为：6.【点睛】本题考查矩阵的加法运算，属于基础题．6. 若行列式12311311a a a a--中第一行第二列元素的代数余子式的值为4，则a =__.【答案】2【解析】【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论. 【详解】∵行列式12311311a a a a--中第一行第二列元素的代数余子式的值为4， ∴1341a a-=， ∴()34a a --=，∴2a =.故答案为：2.【点睛】本题考查行列式的概念，考查代数余子式的定义，属于基础题．7. 椭圆221369x y +=的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，当12PF PF ⊥时，△12F PF 的面积是_______． 【答案】9【解析】【分析】根据椭圆定义有12212PF PF a +==，再由勾股定理得222221124108PF PF F F c +===，进而可得1218PF PF ⨯=，即可得到12F PF △面积.【详解】根据椭圆的定义，12212PF PF a +== ①，12PF PF ⊥，由勾股定理得，2222121244(369)108PF PF F F c +===⨯-= ②，①²-②得：21214410836PF PF ⨯=-=， 12121189221F PF S PF PF ∆∴=⨯=⨯=. 故答案为：9.8. 对任意实数m ，圆2224620x y mx my m +--+-=恒过定点，则其坐标为______. 【答案】()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】 将圆的方程重新按m 合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.【详解】由2224620x y mx my m +--+-=由得()2222320m x y x y -+-++-=，故2223020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故填：()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.9. 直线350x y -+=关于直线y x =对称的直线方程为_______【答案】350x y -++=【解析】【分析】在所求直线上设动点(,)M x y ,则M 关于直线y x =对称的点(,)N y x 在已知直线上,将N 的坐标代入已知直线方程可得答案.【详解】设所求直线上任意一个点(,)M x y ,则M 关于直线y x =对称的点(,)N y x 在已知直线350x y -+=上,所以350y x -+=,即350x y -++=.故答案为:350x y -++=.【点睛】本题考查了求直线与直线关于直线对称的直线方程,属于基础题.10. 设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A,B 两点，且弦AB 的长为23，则a =_____. 【答案】0【解析】【分析】由已知可得圆心(1,2)到弦的距离为1，利用点到直线的距离公式可得a 的值.【详解】解：由直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A,B 两点，且弦AB 的长为23，可得圆心(1,2)到弦的距离为1， 可得21,01a a ==+，故答案：0【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质及点到直线的距离公式，相对简单.11. 以AB 为直径的半圆，||2AB =，O 为圆心，C 是AB 上靠近点A 的三等分点，F 是AB 上的某一点，若AC ∥OF ，则AF BC ⋅=________【答案】32-【解析】【分析】 可以点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，并连接OC ，根据条件可得出60COA FOB ∠=∠=︒，并且1OC OF ==，这样即可求出点A ，B ，C ，F 的坐标，进而得出向量,AF BC的坐标，从而得出AF BC 的值．【详解】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，连接OC ，据题意，60COA ∠=︒，60CAO FOB ∴∠==︒，且1OC OF ==. ∴1313(1,0),(,),(1,0),(,)2222A FBC --， ∴3333(,),(,)2222AF BC ==-， ∴933442AF BC =-+=-． 故答案为：32-．【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将向量问题坐标化，使问题的求解更简便.12. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；② 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点；③ 如果直线l 经过两个不同的整点，则直线l 必经过无穷多个整点；④ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数．【答案】①③【解析】【分析】给直线l 分别取不同的方程，可得到②和④的反例，同时找到符合条件①的直线；通过直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，③正确.【详解】①令直线l 为：12y x =+，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线l为：y =-()2,0，②错误；③令直线l 为：y kx b =+，过两个不同的整点()11,x y ，()22,x y ，则1122y kx b y kx b =+⎧⎨=+⎩，两式作差得：()1212y y k x x -=-， 即直线l 经过整点()1212(),(),n x x n y y n Z --∈，∴直线l 经过无穷多个整点，③正确；④令直线l 为：1132y x =+，则l 不过整点，④错误. 故答案为：①③.【点睛】本题考查对于直线方程的理解，关键是能够通过特例来否定命题和验证存在性的问题，对于学生对直线方程特点的掌握有较高的要求. 二．选择题13. 如果曲线C 上任一点的坐标都是方程(),0F x y =的解，那么下列命题中正确的是（ ）A. 曲线C 的方程为(),0F x y =B. (),0F x y =的曲线是CC. 以方程(),0F x y =的解为坐标的点都在曲线C 上D. 曲线C 上的点都在方程(),0F x y =的曲线上【答案】D【解析】【分析】根据曲线和方程的关系选出正确选项.【详解】依题意可知，曲线C 上任一点的坐标都是方程(),0F x y =的解，也即曲线C 上的点都在方程(),0F x y =的曲线上.但是方程(),0F x y =的解，不一定是曲线C 上的点，所以A,B,C 选项错误，D 选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查曲线和方程的关系，属于基础题.14. 直线:10l y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是（ ） A. (0,1)B. (0,5)C. [1,5)(5,)⋃+∞D. [1,)+∞【答案】C【解析】【分析】 由于直线:10l y kx --=恒过点(0,1)，所以要使直线:10l y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有公共点，只要点(0,1)椭圆上或椭圆内即可，从而可求得m 的取值范围【详解】解：直线:10l y kx --=恒过点(0,1)，因为直线:10l y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有公共点， 所以点(0,1)椭圆上或椭圆内即可， 所以050115m m m⎧⎪>⎪≠⎨⎪⎪+≤⎩，解得m 1≥且5m ≠，所以m 的取值范围是[1,5)(5,)⋃+∞，故选：C15. 若圆C ：()()222x a y a a -++=被直线l ：20x y ++=分成的两段弧长之比是1:3，则满足条件的圆C （ ）A. 有一个B. 有两个C. 有三个D. 有四个【答案】B【解析】【分析】设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，根据圆被直线l 分成两段弧长之比是1:3可知AOB 90∠=，由此得到圆心到直线的距离，进而以此列方程，解方程求得a 的值，从而得出得出正确选项.【详解】设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，由于圆被直线l 分成的两段弧长之比是1:3，所以AOB 90∠=.由于圆的圆心为(),a a -，半径为a ，所以圆心到直线l 的距离为22a ，也即22,2,222a a a a a -+===±，所以满足条件的圆有两个. 故选B.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查数形结合的数学思想方法，考查圆的几何性质，属于基础题.16. 已知()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ） A. 无论12k P P 、、如何,总是无解B. 无论12k P P 、、如何,总有唯一解C. 存在12k P P 、、，使之恰有两解 D. 存在12k P P 、、，使之有无穷多解 【答案】B【解析】【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出1122,,,a b a b 的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案．【详解】由题意，点()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点， 直线1y kx =+的斜率存在，所以2121b b k a a -=-，即12a a ≠， 且11221,1b ka b ka =+=+，所以211212122121a b a b ka a ka a a a a a -=-+-=-，由方程组11221(1)1(2)a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩， 21(1)(2)b b ⨯-⨯可得：122121()a b a b x b b -=-，即1221()a a x b b -=-，所以方程组有唯一的解．故选B ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．三．解答题17. 求圆心为(1,1)且与直线4x y +=相切的圆的标准方程．【答案】22(1)(1)2x y -+-=．【解析】【分析】由于直线4x y +=与圆相切，所以圆心(1,1)到直线的距离等于半径，求出半径，从而可求出圆的标准方程【详解】解：由题意可知圆的半径为r ==， 所以所求的圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=18. 已知向量(1,2)a =，(,1)b x =．（1）若(2)(2)a b a b +⊥-时，求x 的值；（2）若向量a 与向量b夹角为锐角，求x 的取值范围． 【答案】（1）2x =-或72；（2）{2|x x >-且1}2x ≠． 【解析】【分析】（1）先求出2a b +，2a b -的坐标，再由(2)(2)a b a b +⊥-得(2)(2)0a b a b +⋅-=，列方程可求出x 的值；（2）由向量a 与向量b 的夹角为锐角，可得0a b ⋅>，且向量a 与向量b 不共线，从而可求出x 的取值范围【详解】解：（1）因为向量(1,2)a =，(,1)b x =，所以2(1,2)2(,1)(21,4)a b x x +=+=+，22(1,2)(,1)(2,3)a b x x -=-=-，因为 (2)(2)a b a b +⊥-，所以(2)(2)0a b a b +⋅-=，所以(21)(2)430x x +-+⨯=，即223140x x --=，解得2x =-或72x =， （2）因为向量a 与向量b 的夹角为锐角，所以0a b ⋅>，且向量a 与向量b 不共线， 所以20121x x +>⎧⎪⎨≠⎪⎩，解得2x >-且12x ≠， 所以x 的取值范围为{2|x x >-且1}2x ≠19. 已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标.【答案】（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0-【解析】【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S ∆=以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标.【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,. 【点睛】本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.20. 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l 过点(,0)A a -，且与椭圆相交于另一点B ．（1）求椭圆的方程；（2）若线段AB，求直线l 的倾斜角． 【答案】（1）2214x y +=；（2）4π或34π． 【解析】【分析】（1）由题设列出基本量方程组，解得基本量，从而得方程.（2）设直线l 方程，代入椭圆方程得关于x 的一元二次方程，韦达定理整体思想及弦长公式得关于斜率的方程，解得斜率得直线方程.【详解】(1)由题意可知22222212242b a a b a b c⨯=⎧⎪⎪⨯⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩ ， 2a = ，1b =，c =。
2020-2021上海第四中学高二数学上期中一模试题带答案
2020-2021上海第四中学高二数学上期中一模试题带答案一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>3．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A ．45,75,15B ．45,45,45C ．45,60,30D ．30,90,154．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④5．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A．5B．7C．9D．116．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（）A．111B．211C．355D．4557．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（）A．1.19B．1.23C．1.26D．1.318．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n的值为（）A ．20B ．25C ．30D ．359．已知0,0,2,a b a b >>+=则14y a b=+的最小值是 ( ) A ．72B ．4C ．92D ．510．A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生09-之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数： 402 978 191 925 273 842 812 479 569 683 231 357 394 027 506 588 730 113 537 779 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为( ) A ．14B ．25C ．710D ．1511．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．？B ．？C ．？D ．？12．已知平面区域()20,4yx y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，直线2y mx m =+和曲线24y x =-有两个不的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（ ）A ．202,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B ．202,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C ．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D ．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦二、填空题13．某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是______．14．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________．15．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为_________________16．某商家观察发现某种商品的销售量x 与气温y 呈线性相关关系，其中组样本数据如下表：已知该回归直线方程为ˆˆ1.02yx a =+，则实数ˆa =__________． 17．已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2x ，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则数据x 的所有可能值为__________．18．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校,,A B C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）若从高校,B C 抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C 的概率P =__________．19．为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为__________.20．如果执行下面的程序框图，那么输出的s ＝______________.三、解答题21．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.22．(1)从区间[1，10]内任意选取一个实数x ，求26160x x --≤的概率； (2)从区间[1，12]内任意选取一个整数x ，求()ln 22x -<的概率.23．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F .享受情况如下表，其中“d ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率.24．“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.共生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),(1,2,,6)i i x y i =L ，如表所示：已知611806i i y y ===∑，613050i i i x y ==∑.（1）已知变量,x y ，只有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （元）的线性回方程y bx a =+$$$；（2）用µi y 表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值.当销售数据(),i i x y 对应的差的绝对值µ||1i i y y -≤时，则将售数数(),i i x y 称为一个“好数据”.现从6小销售数据中任取2个；求“好数据”至少有一个的概率.（参考公式：线性回归方程中,b a的最小二乘估计分别为1221ni iiniix y nx ybx nx==-=-∑∑$，a y bx=-$$）25．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),...,[80,90),[90,100]（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率. 26．高一(1)班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求高一(1)班参加校生物竞赛的人数及分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选2人进行某项研究，求至少有1人分数在[90,100]之间的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 2．A解析：A 【解析】 【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x L ， 则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()2221248170707050050x x x L ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦L ， 故275s <．选A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．3．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 4．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的n 的值. 【详解】执行如图所示的程序框图如下：409S =≥不成立，11S 133==⨯，123n =+=； 1439S =≥不成立，1123355S =+=⨯，325n =+=； 2459S =≥不成立，2135577S =+=⨯，527n =+=； 3479S =≥不成立，3147799S =+=⨯，729n =+=. 4499S =≥成立，跳出循环体，输出n 的值为9，故选C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C 【解析】 【分析】利用列举法求得基本事件的总数，再得出选取两个不同的数且和等于30，所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共有11个， 其中随机选取两个不同的数且和等于30的有30=7+23=11+19=13+17，共有3组，所以所求概率为2113355C =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.8．B解析：B 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的n 的值. 【详解】输出20,80,100n m s ==≠；21,79,100n m s ==≠； 22,78,100n m s ==≠； 23,77,100n m s ==≠；24,76,100n m s ==≠； 25,75,100n m s ===，退出循环，输出25n =，故选B.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．C解析：C【解析】【分析】 由题意结合均值不等式的结论即可求得14y a b=+的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可得： 14y a b =+()11414522b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭152⎛≥⨯+ ⎝92=， 当且仅当24,33a b ==时等号成立. 即14y a b =+的最小值是92. 故选：C.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．10．D解析：D【解析】【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数，所求概率为41205=， 故选D ．【点睛】 本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．11．A解析：A【解析】【分析】 根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论． 【详解】由题意可知输出结果为， 第1次循环，，， 第2次循环，，， 此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题． 12．D解析：D【解析】【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案．【详解】由题意知，平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨≤-⎪⎪⎩⎩，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆24y x =-(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ，若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题13．16【解析】高一高二高三抽取的人数比例为所以高三抽取的人数是 解析：16【解析】高一、高二、高三抽取的人数比例为300300400=334：：：：， 所以高三抽取的人数是440=16.3+3+4⨯ 14．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为： 解析：15【解析】若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间，则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间，满足条件的P 点对应的线段长为2cm ，而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==． 故答案为：15. 15．【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度即可得到结论【详解】分别设两个互相独立的短信收到的时间为xy 则所有事件集可表示为0≤x≤50≤y≤5由题目得如果手机受则到干扰的事件发生必有|x 解析：1625【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．【详解】分别设两个互相独立的短信收到的时间为x ，y ．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x-y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x-y=2和y-x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25， 阴影部分的面积2125252162-⨯-=（） ， 所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为1625． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础． 16．【解析】分析：根据表格中数据及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标结合样本中心点的性质可得进而可得关于的回归方程详解：由表格数据可得样本中心点坐标为代入可得故答案为点睛：本题主要考查线性回 解析： 2.4-【解析】 分析：根据表格中数据及平均数公式可求出x 与y 的值，从而可得样本中心点的坐标，结合样本中心点的性质可得 2.4a ∧=，进而可得y 关于x 的回归方程. 详解：由表格数据可得，1015202530205x ++++==， 813172428185y ++++==， ∴样本中心点坐标为()20,18，代入 1.0ˆ2ˆya =+，可得ˆ 2.4a =-，故答案为 2.4-. 点睛：本题主要考查线性回归方程，属于简单题. 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.17．-11或3或17【解析】分析：设出未知数根据这组数的平均数中位数众数依次成等差数列列出关系式因为所写出的结果对于x的值不同所得的结果不同所以要讨论x的三种不同情况详解：由题得这组数据的平均数为众数是解析：-11或3或17【解析】分析：设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x的值不同所得的结果不同，所以要讨论x的三种不同情况．详解：由题得这组数据的平均数为10252422577x x+++++++=，众数是2，若x≤2，则中位数为2，此时x=﹣11，若2＜x＜4，则中位数为x，此时2x=2527x++，x=3，若x≥4，则中位数为4，2×4=2527x++，x=17，所有可能值为﹣11，3，17.故填-11或3或17.点睛：本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．在求数列的中位数时，必须分类讨论,不能不分类讨论.18．【解析】根据分层抽样的方法可得解得所以若从高校抽取的人中选人作专题发言共有种情况则这二人都来自高校共有种情况所以概率为点睛：本题主要考查了分层抽样和古典概型及其概率的计算问题其中解答中涉及分层抽样的解析：3 10【解析】根据分层抽样的方法，可得2361854x y==，解得1,3x y==，所以若从高校,B C抽取的人中选2人作专题发言，共有10种情况，则这二人都来自高校C共有3种情况，所以概率为3 ()10 P C=．点睛：本题主要考查了分层抽样和古典概型及其概率的计算问题，其中解答中涉及分层抽样的方法的计算，古典概型及其概率计算的公式的应用，试题比较基础，属于基础题，解答中牢记古典概型及其概率的求解是解答的关键．19．64【解析】结合频率分布直方图可得平均分为：即这些学生的平均分为64分点睛：利用频率分布直方图求众数中位数和平均数时应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形解析：64【解析】结合频率分布直方图可得，平均分为：()()()()()500.02010600.04010700.02510800.01010900.0051064⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，即这些学生的平均分为64分.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.20．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可解析：46【解析】第一次执行程序2,2(11)4i s ==⨯+=，执行第二次程序3,2(41)10i s ==⨯+=，执行第三次程序4,2(101)22i s ==⨯+=，执行第四次程序5,2(221)46i s ==⨯+=，符合判断框条件，退出循环，输出46s =，故填46．点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题。
2020-2021上海中国中学高二数学上期中试题带答案
2020-2021上海中国中学高二数学上期中试题带答案一、选择题1．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π2．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．493．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )A．45,75,15B．45,45,45C．45,60,30D．30,90,154．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（）A．13B．14C．15D．165．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（ ） A ．111B ．211C ．355D ．4556．下面的算法语句运行后，输出的值是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．457．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．7109．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．410．下列说法正确的是（ ）A ．若残差平方和越小，则相关指数2R 越小B ．将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变C ．若2K 的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小D ．若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r = 11．已知函数()cos3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A ．670B ．16702C ．671D ．67212．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题13．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.14．某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是______．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得101i i x =∑＝80， 101i i y =∑＝20， 110i i i x y =∑＝184， 1210i i x =∑＝720.则家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程为__________． 附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中， 1221ni i i n i i x y nxyb x nx==-=-∑∑，a ＝y －b x ，其中x ， y 为样本平均值．线性回归方程也可写为ˆy＝ˆb x ＋ˆa . 16．在1270x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域内任取一点(),x y ，则满足230x y -≥的概率是__________．17．如图程序框图的输出结果是_________.18．如果执行下面的程序框图，那么输出的s ＝______________.19．甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．20．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：x0 1 23 y 1357则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________三、解答题21．为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民生产粮食的积极性，从2014年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴的政策通过对2014~2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额x （单位：亿元）与该地区粮食产量y （单位：万亿吨）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 补贴额x /亿元 9 10 12 11 8 粮食产量y /万亿2526313721（1）请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆybx a =+； （2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴7亿元，请根据（1）中所得到的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.参考公式：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 22．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率； （3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.23．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量为y （万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组x 与y 的对应数据：x 元25 30 38 45 52 销量为y （万份）7.57.16.05.64.8由上表，知x 与y 有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为10.0ˆybx =-．（ⅰ）求参数b 的值；（ⅱ）若把回归方程10.0ˆybx =-当作y 与x 的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入=每份保单的保费⨯销量．24．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班 乙班 合计优秀不优秀合计参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考数据：()20P K k ≥0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.82825．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[)[)[)[)[)50,100,100,150,150,200,200,250,250,300，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中x 的值及续驶里程在[)200,300的车辆数；（2）若从续驶里程在[)200,300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率.26．为了了解某省各景区在大众中的熟知度，随机从本省1565:岁的人群中抽取了n 人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该省有哪几个国家AAAAA 级旅游景区？”，统计结果如下表所示： 组号 分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组 [)1525， a0.5第2组 [)2535， 18x第3组 [)3545， b 0.9 第4组 [)4555， 9 0.36第5组[)5565，3y（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .2．C解析：C 【解析】 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形， 其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .3．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 4．C解析：C【分析】 【详解】由题意得等差数列{}n a 中258715,28a a a S ++== 求15a25855153155a a a a a ++=⇒=⇒=1774428772845412a a S a a d +=⇒⨯==⇒=∴=-= 154(154)1415415a a ∴=+-⨯=+-=，选C.5．C解析：C 【解析】 【分析】利用列举法求得基本事件的总数，再得出选取两个不同的数且和等于30，所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共有11个， 其中随机选取两个不同的数且和等于30的有30=7+23=11+19=13+17，共有3组，所以所求概率为2113355C =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式22000i <的解中最大自然数，即可求解. 【详解】 由算法语句知，运行该程序实现求不等式22000i <的解中最大自然数的功能， 因为24520252000=>，24419362000=<，所以44i =， 故选：C 【点睛】本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．B【解析】 【分析】由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断A ；由方差的性质可判断B ；由的随机变量2K 的观测值的大小可判断C ；由相关系数r 的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断D .【详解】对于A ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，相关指数2R 越大，故A 错误；对于B ，将一组数据的每一个数据都加上或减去同一常数后，由方差的性质可得方差不变，故B 正确；对于C ，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误；对于D ，若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r =，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=， ∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ． 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n ＝30n ﹣19，由401≤30n ﹣21≤755，求得正整数n 的个数，即可得出结论． 【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为a n ＝11+（n ﹣1）30＝30n ﹣19， 由401≤30n ﹣19≤755，n 为正整数可得14≤n ≤25， ∴做问卷C 的人数为25﹣14+1＝12， 故选C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．二、填空题13．2【解析】【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识解析：2 【解析】 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可. 【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.14．16【解析】高一高二高三抽取的人数比例为所以高三抽取的人数是解析：16 【解析】高一、高二、高三抽取的人数比例为300300400=334：：：：， 所以高三抽取的人数是440=16.3+3+4⨯ 15．y ＝03x －04【解析】由题意知又由此得故所求回归方程为故答案为解析：y ＝0.3x －0.4【解析】由题意知1118012010,8,21010n n i i i i n x x y y n n =========∑∑， 又222172010880nii xnx =-=-⨯=∑，1184108224ni i i x y nxy =-=-⨯⨯=∑，由此得240.3ˆˆˆ,20.380.480bay bx ===-=-⨯=-，故所求回归方程为ˆy 0.30.4x =-，故答案为ˆy0.30.4x =-. 16．【解析】分析：首先绘制可行域结合点的坐标求得可行域的面积然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示由解得即A(32）且故作出直线2x-3y=0则2x- 解析：29【解析】分析：首先绘制可行域，结合点的坐标求得可行域的面积，然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果.详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，由127x y x y -=⎧⎨+=⎩解得32x y =⎧⎨=⎩，即A (3,2）.且()70,,0,12B C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故172713224ABC S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭V . 作出直线2x -3y =0.则2x -3y ≥0所以表示区域为△OAC ， 即不等式2x -3y ≥0所表示的区领为△OAC ，面积为131322AOC S =⨯⨯=V ， 所以满足230x y -≥的概率是为3222794AOCABCS p S V V ===.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.17．【解析】执行程序框图第一次循环；第二次循环；第三次循环；第十五次循环；退出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆 解析：15S =【解析】执行程序框图，第一次循环，1S = ；第二次循环，2S = ；第三次循环，3S = ；... 第十五次循环，15S = ；退出循环，输出15S =，故答案为15.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.18．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可解析：46 【解析】第一次执行程序2,2(11)4i s ==⨯+=，执行第二次程序3,2(41)10i s ==⨯+=，执行第三次程序4,2(101)22i s ==⨯+=，执行第四次程序5,2(221)46i s ==⨯+=，符合判断框条件，退出循环，输出46s =，故填46．点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题。
2020-2021学年上海市交通大学附属中学高二上学期期中数学试题及答案
绝密★启用前2020-2021学年上海市交通大学附属中学高二上学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知曲线22:1C mx ny +=22(0)m n +≠.下列说法中不正确的是（ ） A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若0m n =>，则C 是圆，其半径为C ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线的方程为y = D ．若0,0m n =>，则C 是两条直线 答案B【分析】根据方程表示椭圆和双曲线的条件求解可得答案.解：对于A ，若0m n >>，则方程可化为22111x y m n+=，因为110n m>>，所以C 是椭圆，其焦点在y 轴上，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则CB 不正确； 对于C ，若0mn <，则C是双曲线，其渐近线的方程为y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则方程化为y =，C 是两条直线，故D 正确. 故选：B点评：关键点点睛：根据方程表示椭圆和双曲线的条件求解是解题关键.2．已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条答案C【分析】将问题转化为圆的公切线条数的求解，根据两点间距离公式求得5AB =，可确定两圆外切，由此得到公切线为3条. 解：由题意得：()()2214225AB =-++=∴以A 为圆心，半径为1的圆与以B 为圆心，半径为4的圆相外切 ∴满足条件的直线l 为两个圆的公切线，共有3条故选C点评：本题考查圆与圆的位置关系的应用，关键是能够根据两点间距离确定两圆的位置关系，考查了转化化归的数学思想.3．如图，设点A 和B 为抛物线22(0)y px p =>上除原点以外的两个动点，已知,OA OB OM AB ⊥⊥，则点M 的轨迹方程为（ ）A ．2220x y px +-= （原点除外） B ．2220x y py +-=（原点除外） C ．2220x y px ++= （原点除外） D ．2220x y py ++=（原点除外） 答案A【分析】当斜率存在时，由题意设(,)M x y ，直线AB 的方程为y kx b =+，根据直线AB 与抛物线有两个公共点，且OA OB ⊥，整理可得2b kp =-，所以(2)y kx b k x p =+=-，又OM AB ⊥可得xk y=-，代入直线方程，可得2220(0)x y px y +-=≠，当斜率不存在时，设直线AB 的方程为0x x =，00(),M x ，解得02x p =，故点(2,0)M p ，满足方程2220x y px +-=，从而确定动点M 的轨迹方程.解：当斜率存在时，设(,)M x y ，直线AB 的方程为y kx b =+， 由OMAB ⊥得x k y=-， 联立22y px =和y kx b =+消去y 得222(22)0k x x kb p b +-+=，所以2122bx x k=，所以2212121212()2()()y y kx b kx b k x pbx kb x x kb =++=+++=， 由OA OB ⊥得12120x x y y +=，所以2220b pbk k+=，所以2b kp =-，所以(2)y kx b k x p =+=-，把xk y=-代入得2220(0)x y px y +-=≠， 当斜率不存在时，设直线AB 的方程为0x x =，00(,)A x y ，00(,)B x y -， 由OMAB ⊥得点M 在x 轴上，即00(),M x ，OA OB ⊥，22000x y ∴-=，又点00(,)A x y 在抛物线上，故2002y px =，整理得02x p =，故点(2,0)M p ，满足方程2220x y px +-=，综上所述：动点M 的轨迹方程为2220x y px +-=（除原点外） 故选：A.点评：（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．4．已知⊙M：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=答案D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程． 解：圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l 的距离为2d ==>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得， 10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D.点评：本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．二、填空题5．直线l 经过点(1,1)A ，且与直线230x y --=平行，则l 的方程为_________（请写出一般方程）. 答案210x y --=【分析】由直线l 与直线230x y --=平行，可知直线l 的斜率，又直线l 经过点(1,1)A ，利用直线方程的点斜式可求得直线l 的方程.解：由直线l 与直线230x y --=平行，可知直线l 的斜率2k =， 又直线l 经过点(1,1)A ， 则直线方程为12(1)y x -=-， 整理得210x y --=. 故答案为：210x y --=6．设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为_________.答案【分析】由椭圆方程求出a ，再根据椭圆的定义可求得结果.解：由22153x y +=得25a =，所以a =，由椭圆的定义可得P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a =.故答案为：7．已知A 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p =______. 答案6【分析】根据点A 到C 的焦点的距离为12，由抛物线的定义得到122A pAF x =+=，然后由点A 到y 轴的距离为9，得到9A x =求解.解：设抛物线的焦点为F ，因为点A 到C 的焦点的距离为12， 所以由抛物线的定义知122A pAF x =+=， 又因为点A 到y 轴的距离为9， 所以9A x =， 所以32p ，解得6p .故答案为：6.点评：本题主要考查抛物线的定义，还考查了转化化归思想，属于基础题.8．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为_________. 答案221x y -=【分析】根据直线l 过抛物线焦点和点(0,)b ，可知该直线斜率为b -，由双曲线的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，可求得1a b ==，从而得到双曲线方程. 解：双曲线的渐近线方程为by x a=±，抛物线24y x =的焦点为(1,0)， 所以直线l 过点(1,0)和(0,)b ，斜率为01b b -=--， 所以直线l 的方程为0(1)y b x -=--，即y bx b =-+， 因为直线l 与双曲线的一条渐近线平行，一条渐近线垂直，所以1b b a b b a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-⋅=-⎪⎩，解得1a b ==，所以双曲线的方程为221x y -=， 故答案为：221x y -=9．已知直线l 的参数方程是1sin 62cos6x t y t ππ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角是_________. 答案23π【分析】将直线l 的参数方程化简为普通方程求得斜率，再利用斜率与倾斜角的关系求解.解：化简参数方程得11222x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去参数t得2y =， 所以直线l的斜率为因为倾斜角的范围是[0,)π所以倾斜角为2 3π.故答案为：23π10．设x、y满足约束条件10103x yx yx-+>⎧⎪+-≥⎨⎪⎩，则23z x y＝﹣的最小值是________.答案-6【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线23z x y＝-过可行域内的点A时，从而得到23z x y＝-的最小值即可．解：解：由23z x y＝-得233zy x=-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线233zy x=-，由图象可知当直线233zy x=-，过点A时，直线233zy x=-截距最大，此时z最小，由310xx y=⎧⎨-+=⎩得34xy=⎧⎨=⎩，即(34)A，，代入目标函数23z x y＝﹣，得23346126z⨯⨯＝-＝﹣＝-．∴目标函数23z x y＝﹣的最小值是﹣6．故答案为：6-点评：本题考查简单线性规划问题，属中档题．11．已知221:(2)1C x y+-=，222:(2)9C x y++=，动圆与1C，2C均外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________.答案221(0)3x y y -=>【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过动圆与已知圆的位置关系列出方程求解即可． 解：已知圆221:(2)1C x y +-=和圆22(2)9x y ++=，得圆()110,2,1C r =，圆()220,2,3C r -=，设动圆圆心(),M x y ，因为与圆1C 和圆2C 都相切，所以121,3MC r MC r =+=+， 即2112(3)(1)24MC MC r r r r -=+-+=<=+，所以点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的上支，其中1,2a c ==，所以点M 的轨迹方程为221(0)3x y y -=>.故答案为：221(0)3x y y -=>.点评：方法点睛：求轨迹方程的方法：定义法，直接法，相关点代入法，消参法，交轨法等.12．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.答案26米解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得0x =，故水面宽为 抛物线的应用13．设双曲线221916x y -=的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若17PF =，则2PF =_________. 答案13【分析】根据双曲线定义12||2PF PF a -=，求解.解：由双曲线的定义得12||26PF PF a -==，又17PF =， 所以21PF =，或213PF =经检验21PF c a =-＜，舍去， 所以213PF =. 故答案为：13.14．已知x 、y 满足22236x y +=，则23x y +的最大值为_________.【分析】设23t x y =+，联立2223236t x yx y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，可得出关于x 的二次方程，利用0∆≥求出t 的取值范围，由此可求得结果.解：设23t x y =+，联立2223236t x yx y =+⎧⎨+=⎩，消去y 可得22104180x tx t -+-=，则()()222164101824300t t t ∆=-⨯⨯-=⨯-≥，解得t ≤≤因此，23x y +15．已知点A 为(,0)y x x R x =∈>上一点，B 为y 轴上动点，C 为y x=上动点（,,A B C 三点不共线），则ABC 周长的最小值为_________.答案32【分析】设出(,)A m n ，作点A 关于y 轴的对称点(,)A m n '-，作点A 关于3y x =的对称点(,)A p q ''，根据对应关系求出A ''的坐标，根据中垂线的性质表示出三角形的周长，结合基本不等式的性质求出三角形周长的最小值即可．解：解：不妨先固定点(,)A m n ，作点A 关于y 轴的对称点(,)A m n '-，作点A 关于33y x =的对称点(,)A p q ''，则33232q np m n q m p-⎧=⎪-⎪⎨++⎪=⋅⎪⎩， 解得132312p m q n ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即13312(2)m A n '-'，由垂直平分线的性质得ABC 的周长A B BC CA A A ''''''=++≥， 当且仅当,,,A B C A '''四点共线时取等号，而2213312222m n m m n A n A ⎛⎫⎛⎫+++-- ⎪ ⎪ ⎪''' ⎪⎝⎭⎝⎭=22223333332222m m m n n n ⎛⎫⎛⎫++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎝+⎪⎝⎭22224333232334+22333m m m m m =+=++≥⎛⎫+ ⎪ ⎪=⎝⎭ 当且仅当232m =时取等号，所以ABC 的周长的最小值为32故答案为：32点评：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点11(,)A x y 、22(,)B x y 在函数y =图像上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的取值范围是_________.答案1⎤+⎦【分析】由y =，表示圆224x y +=的上半圆，且()()1122,,,OA x y OB x y ==，根据12122OA OB x x y y ⋅=+=-，易得23AOB π∠=，设22(2cos ,2sin ),(2cos(),2sin())33ππA ααB αa ++，其中0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用两角和与差的三角函数和辅助角公式得到1212x x y y +++=)αφ--，再利用正弦函数的性质求解.解：函数y =224x y +=的上半圆，且()()1122,,,OA x y OB x y ==，12122OA OB x x y y ⋅=+=-，所以1cos 2||||OA AO OA OB B OB ⋅∠==-⋅，即23AOB π∠=，不妨设A 在B 的右边， 并设22(2cos ,2sin ),(2cos(),2sin())33ππA ααB αa ++，其中0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以1212222cos 2sin 2cos()2sin()33ππαααx x αy y =++++++++，2cos 2sin cos sin αααααα=+---+，(1(1)αααφ=++=--，其中tan 2ϕ==，ϕ为锐角，且3πφ＞，所以,3παφφφ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则sin()αφ-在0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调，所以1212)1x x y y αφ⎤+++=--∈⎦.故答案为：1⎤⎦点评：关键点点睛：本题关键点是将函数y =的图象转化为圆224x y +=的上半圆，利用三角换元，将问题质转化为三角函数的性质问题求解.三、解答题17．设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为60,1F 到直线l的距离为（1）求椭圆C 的焦距；（2）如果222AF F B =，求椭圆C 的方程.答案（1）4；（2）22195x y +=.【分析】（1）由题意可设直线l的方程为)y x c -，再利用点到直线的距离公式即可求解.（2）由（1）可得)2y x =-，联立方程)222221y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消x ，求出两交点的纵坐标，再由222AF F B =得出两交点纵坐标的关系即可求解. 解：（1）由题意可得：直线l的方程为)y x c =-，()1,0F c -到直线l的距离为=2c =，∴椭圆C 的焦距24c =.（2）由（1）可得)2y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，10y <，20y>，联立)222221y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()22224330ab y y b ++-=，解得()2122223a y a b +=+，()2222223a y a b-=+，因为222AF F B =，所以122y y -=，即()()2222222222233a a a b a b+-=⋅++，解得3a =，又2c =，故b ==故椭圆C 的方程为22195x y +=.点评：本题考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算求解能力，属于中档题.18．已知点1F 、2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作垂直于x轴的直线在x 轴上方交上双曲线于点M ，且1230MF F ∠=，12MF F △的面积为（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线实轴右端点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值.答案（1）22124x y -=；（2）49. 【分析】（1）求出点M 的坐标，根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 的值，即可得出双曲线的方程；（2）设渐近线10l y -=的倾斜角为θ，可得tan θ=cos2θ的值，利用点到直线的距离公式求出1PP 、2PP ，利用平面向量数量积的定义可求得12PP PP ⋅的值.解：（1）设()2,0F c 、()()00,0M c y y >，则222c a b =+，将点M 的坐标代入双曲线的方程得220221y c a b -=，可得4202b y a =，00y >，20b y a∴=，22b MF a∴=，1230MF F ∠=，2MF x ⊥轴，所以，21222b MF MF a==，由双曲线的定义可得2122b MF MF a a -==，2b a ∴=，则223c a b a =+=，122221223432MF F b b c S c a a a=⨯⨯===△，2a ∴=，2b =， 因此，双曲线的方程为22124x y -=；（2）双曲线的两条渐近线为1:20l x y -=，2:20l x y +=， 易知()2,0P，渐近线1l 的倾斜角为θ，则tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin cos sin 1tan 3θθθθθθθθθ--∴=-===-++，21213PP PP ===+， 由平面向量数量积的定义可得()1212414cos 2339PP PP PP PP πθ⋅=⋅-=⨯=. 点评：方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．19．如图是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面是所示的半圆弧ACB ，其中C 为半圆弧中点，渠宽AB 为2米.（1）当渠中水深CD 为0.4米时（D 为水面中点），求水面的宽;（2）若把这条水渠改挖（不准填上）成横断面为等腰梯形的水渠，使渠的底面与水平地面平行，则改挖后的水渠底宽为多少米时（精确到0.01米），所挖的土最少? 答案（1）1.6米；（2）1.15米.【分析】（1）本题实际上为求对应半圆上点的坐标：先建立直角坐标系，求出半圆弧ACB所在曲线方程：221(11,0)x y x y +=-≤≤≤．再根据水深CD 确定对应点纵坐标，代入圆方程求得横坐标，从而确定水面的宽度；（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，因此问题转化为求圆的切线：设切点 (cos ,sin )(0)2P θθθπ-<<，则切线EF 的方程为 cos sin 1x θy θ+=．从而可根据切线方程与两直线y ＝-1和y ＝0的交点坐标，求出对应等腰梯形的面积2sin 2cos S θθ+=，再根据辅助角公式求出S 取最大值时点的坐标，从而求出底面的宽度.解：（1）以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，因为2AB =米，所以半圆的半径为1米， 所以半圆的方程为221(11,0)x y x y +=-≤≤≤因为水深0.4CD =米，所以0.6OD =米， 在直角ODM ∆中，0.8DM ===米，所以2 1.6MN DM ==，故水面的宽为1.6米；（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两条腰必须和半圆相切， 设切点(cos ,sin )02πP θθθ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭是第四象限内半圆上的一点， 因为(cos ,sin )OP θθ=，所以切线方程为cos (cos )sin (sin )0θx θθy θ-+-=，即cos sin 1x θy θ+=，令0y =，得1,0cos E θ⎛⎫⎪⎝⎭，令1y =-，得1sin ,1cos θF θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设直角梯形OCFE 的面积为S ，则1111sin 12sin ()1022cos cos 2cos 2θθπS CF OE OC θθθθ++⎛⎫⎛⎫=+⋅=+⨯=⨯-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 2cos 2θS θ-=-)2θφ+=-，于是sin()1θφ+=≥-，解得2S ≥，取等号的条件为22S φS ==-=3πϕ=-，又sin()1θϕ+=-，所以6πθ=-，此时0E ⎫⎪⎭，1F ⎫-⎪⎪⎝⎭1.15≈米时，所挖的土最少. 点评：本题考查圆，圆的切线的应用，考查三角函数求最值以及取最值时角的取值，属于中档题.结论点睛：（1）()sin cos a b θθθϕ+=+，其中tan baϕ=； （2）圆的方程为()()222x a y b r -+-=，则圆上一点()00,x y 的切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=.20．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-.（1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅的值（其中O 为坐标原点）；（3）已知点()1,2A ，在抛物线上是否存在两点B 、C ，使得AB BC ⊥？若存在，求出C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由.答案（1）24y x =；（2）3-；（2）存在， C 点的纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞；【分析】（1）设直线:2pMN x my =+，与抛物线联立，利用韦达定理可得2124y y p =-=-，解方程求得p 即可得到抛物线方程；（2）根据221212121216y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+，利用（1）中韦达定理的结论可求得结果；（3）设233,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫⎪⎝⎭，根据垂直关系可得0AB BC ⋅=，从而整理得到()43316222y y y =--+++，分别在320y +<和320y +>两种情况下利用基本不等式求得4y 的范围即可. 解：（1）由22y px =得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 方程为：2p x my =+与抛物线方程联立可得：2220y mpy p --=设()11,M x y ，()22,N x y ，则2124y y p =-=-，解得：2p =∴抛物线方程为：24y x =（2）由（1）知：221212121214316y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+=-=-（3）设233,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫⎪⎝⎭ 则2334,24y AB y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，224343,4y y BC y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ AB BC ⊥ 0AB BC ∴⋅=，即()()()()22234334342016yy y y y y --+--=由题意知：32y ≠，43y y ≠ ()()3432160y y y ∴+++=()4333316162222y y y yy ∴=--=--++++ ①当320y +<时，()43316222102y y y ≥⋅++=+ 当且仅当()331622y y -=-++，即36y =-时等号成立 ②当320y +>时，()4331622262y y y ≤-⋅++=-+ 当且仅当()331622y y -=-++，即32y =时取等号 又32y ≠ 46y ∴<-综上所述：存在点,B C ，使得AB BC ⊥；C 点纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞点评：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、向量数量积的运算、垂直关系的向量表示、存在性问题的求解等知识；求解存在性问题的关键是能够利用已知的等量关系将问题转化为关于某一变量的方程，通过方程求得结果；本题易错点是在运用基本不等式求最值时，忽略等号成立的条件，造成范围求解错误.21．如图，椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>中，长半轴的长度与短轴的长度相等，点(2,1)M -是椭圆内一点，过点M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l ，设1l 与椭圆C 相交于点,A B ，2l 与椭圆相交于点,D E .当点M 恰好为线段AB 的中点时，10AB =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若2MB AM =，试求直线AB 的方程； （3）求AD EB ⋅的最小值.答案（1）221123x y +=；（2）4(2)17y x ⎛=++ ⎝⎭；（3）165. 【分析】（1）由长半轴与短轴关系有2a b =，根据()()1122,,,A x y B x y 在椭圆上及M 为线段AB 的中点，即可求得直线1l 的方程，联立椭圆方程求参数2b ，写出椭圆方程即可.（2）设直线AB 的方程为(2)1(0)y k x k =++≠，根据直线与椭圆的关系联立方程，应用韦达定理有1212,x x x x +，结合已知2MB AM =应用向量数乘的坐标表示有1226x x +=-，即可的12,x x 关于k 的表达式，进而求得k 值，写出直线AB 的方程；（3）根据向量的数量积的坐标表示可得()()()2222201144k AD EB k k +⋅=++，利用基本不等式求其最小值.解：（1）∵长半轴的长度与短轴相等，有2a b =，∴椭圆的方程为222214x y b b+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则22211222224444x y b x y b⎧+=⎨+=⎩，两式相减，得()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=，又(2,1)M -为线段AB 中点，即12124,2x x y y +=-+=，∴直线AB 的斜率1211212y y k x x -==-，所以直线AB 的方程为122y x =+，由222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得224820x x b ++-=，由0∆>得22b >，则212124,82x x x x b +=-=-，∴12||AB x x =-==23b =，∴椭圆C 的标准方程为221123x y +=；（2）设直线AB 的方程为(2)1(0)y k x k =++≠，由221123(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=++⎩得()222148(21)4(21)120k x k k x k +++++-=， 所以21212228(21)4(21)12,1414k k k x x x x k k-++-+==++， 因为2MB AM =，2211(2,1),(2,1)MB x y AM x y =+-=---， 所以2122(2)x x +=--，即1226x x +=-， 所以1126x x x ++=-，即128(21)614k k x k-++=-+， 所以2221221686248861414k k k k k x k k +---+-==++， 所以22222221688868166141414k k k k k k x k k k---+---+=-=+++， ∴综上有()222122224441128868166141414k k k k k k x x k k k ++--+---+=⋅=+++，即()()()()222288681661616814kk k k k k k -+---+=+-+，展开化简得432432646412814436646416168k k k k k k k k +-+-=+-+-， 所以221281443616168k k k k -+-=-+-，即2283270k k -+=，解得4157k =±∴直线AB的方程为4(2)17y x ⎛=++ ⎝⎭.（3）设()()3344,,,D x y E x y ，则()()AD EB AM MD EM MB AM MB EM MD⋅=+⋅+=⋅+⋅()()()()112244332,12,12,12,1x y x y x y x y =---⋅+-+---⋅+-，∵()()()()()21122122,12,1122x y x y k x x ---⋅+-=-+++()()()22121224114214k k x x x x k +=-++++=⎡⎤⎣⎦+，同理()()()244332412,12,14k x y x y k +---⋅+-=+，∴()()()()22222222011141144144k AD EB k kk k k +⎛⎫⋅=++= ⎪++++⎝⎭()222222011651442k k k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当1k =±时取等号，点评：关键点点睛：（1）利用椭圆长短轴数量关系，中点坐标及直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式求椭圆参数，并写出方程.（2）设直线AB 的方程，联立椭圆方程，并根据已知条件应用向量的坐标表示，得到12,x x 关于k 的表达式，建立方程求k 值.（3）由向量数量积的坐标表示得到关于k 的表达式，利用基本不等式求最值.。
第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程(讲义)解析版
第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程知识梳理一、理解复数的几何意义(1)复平面的有关概念：实轴是x 轴,虚轴是y 轴；与复数(,)z a b i a b R =+∈ 一一对应的点是(,)a b ； 非零复数22(,,0)z a bi a b R a b =+∈+≠与复平面上自原点出发以点(,)Z a b 为终点的向量OZ 一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根2b a-±，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．例题解析一、复数的几何意义例1．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）若复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z +=122z z -的值是______.【答案】【分析】设复数所对应的向量分别为a ，b ，根据123z z ==，12z z +=面向量的模的运算，由2222a b ba ab +++=⋅，得到0a b ⋅=，再由222424a a b a b b --+=⋅求解.【详解】设复数所对应的向量分别为a ，b因为复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z += 所以3a =，3b =，32a b +=， 所以222218a a b b a b+⋅+=+=，即0a b ⋅=， 所以a b ⊥， 所以22244524b ba a ab -=⋅-+=，解得352a b -=所以122z z -的值是故答案为：例2．（2021·上海市松江二中高二期末）已知复数z 满足242z i +-=，则1z -的取值范围是__________. 【答案】[]3,7【分析】设(,)z x y =，(,)x y R ∈，由复数z 满足|24|2z i +-=，可得在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，求出圆心与点(1,0)之间的距离d ．可得|1|z -的范围是[d r -，]d r +． 【详解】解：设(,)z x y =，(,)x y R ∈， 复数z 满足|24|2z i +-=，∴2，即22(2)(4)4x y ++-=． ∴在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，圆心与点(1,0)之间的距离5d =． 则|1|z -的范围是[d r -，]d r +，即[]3,7． 故答案为：[]3,7．例3．（2021·上海市西南位育中学高二期末）设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________.【答案】2π【分析】根据|||1|z i z -+-=z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.例4．（2021·徐汇区·上海中学高二期末）已知关于x 的方程2430x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值.【答案】【分析】根据题意，设x ∈R ，且0x ≠，得到43z x i x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据复数模的计算公式，得到z =.【详解】由题意，可设x ∈R ，且0x ≠，则24343x i z x i x x x ++⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，832z ==当且仅当2225x x=，即x =故min z =【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.例5.已知复数z x yi =+满足22z z i =--，则33x y+的最小值是（ ）A 、18B 、6C、D、3【难度】★★ 【答案】 B例6.设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为 ． 【难度】★★【答案】[ 【巩固训练】1．若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 . 【难度】★★ 【答案】12．设O 为坐标原点，已知向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，i a a z )10(5321-++=， 212),()52(12z z R a i a az +∈-+-=若其中是实数，求2z 的值。
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上海中学2020-2021学年高二年级第一学期期中考试数学试卷 2020.11.考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、班级、考号等；2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分54分，共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 点(2,3)P 到直线320x -=的距离为2. 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(2,0)-重合，且点(2020,2021)与点(,)m n 重合，则n m -=3. 已知(2,1)A ，(4,2)B -，(1,)C x -，若向量OA OB +与OC 垂直（O 为坐标原点），则实数x 的值为4. 直线2(1)10()x a y a +++=∈R 的倾斜角的取值范围是5. 若实数x 、y 满足不等式组523030y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则||2z x y =+的最大值是6. 平面内b 为单位向量，(1,1)a =，且|2|6a b -=，则向量a 、b 的夹角为7. 若关于x 、y 、z 的三元一次方程组212sin 32sin 3x z x y z x z θθ⎧+=⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，则实数θ的取值集合是8. 平行四边形ABCD 中，3AB =，4AD =，6AB AD ⋅=-，13DM DC =，则MA MB ⋅的值为 9. 已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,1)，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为10. 若不全为零的实数a 、b 、c 成等差数列，点(1,2)A 在动直线:+0l ax by c +=上的射影为P ，点Q 在直线1:34120l x y -+=上，则线段PQ 长度的最小值是11. 实数x 、y 满足221x y +≤，则22x y x y ++-+的取值范围为 12. 过点(2,1)P 任意作一条直线分别交x 轴、y 轴的正半轴于点M N 、，若||||OM ON +-||()MN m m ≤∈R 恒成立，则m 的最小值为二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13. 已知{(,)|(1)(1)}A x y x x y y =-≤-，22{(,)|}B x y x y a =+≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（） A. B. 1[,)2+∞ C.[2,)+∞ D. )2+∞14. 已知向量a 、b 为平面内的单位向量，且12a b ⋅=-，向量c 与a b +共线，则||a c +的最小值为（ ） A. 1 B. 12 C. 34D. 3 15. 如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且22||||PA PB +2||PC a +=（a 为常数），下列结论中，正确的是（ ）A. 当01a <<时，满足条件的点P 有且只有一个B. 当1a =时，满足条件的点P 有三个C. 当1a >时，满足条件的点P 有无数个D. 当a 为任意正实数时，满足条件的点P 总是有限个16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE x AD y AP x y =+∈R ，则2x y +的最小值为（ ）A. 1- B. 1 C. 2 D. 3三、解答题（本大题満分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17. 已知直线l 经过原点，且与直线31y x =+的夹角为30°，求直线l 的方程.18. 若矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，定义det()A 为行列式11122122a a a a 的值，已知t ∈R ，102t t B -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2011C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵BC 、CB ，并比较det()BC 和det()CB 的大小.19. 如图，3xOy π∠=，定义平面坐标系xOy 为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：1e 、2e 分别为与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若1OP xe =+2(,)ye x y ∈R ，则规定点P 的斜坐标为(,)x y .（1）求以O 为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程；（2）已知点A 的斜坐标为(1,2)，点B 的斜坐标为(2,0)-，求直线AB 在该仿射坐标系中的方程.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .（1）求k 的取值范围；（2）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线，如果存在，求k 的值，如果不存在，说明理由.21. 已知△ABC 的三个顶点(1,0)A ，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H .（1）求圆H 的方程；（2）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（3）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M 、N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围.上海中学2020-2021学年高二年级第一学期期中考试数学试卷 2020.11.一、填空题（本大题满分54分，共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 点(2,3)P 到直线320x -=的距离为【答案】 432. 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(2,0)-重合，且点(2020,2021)与点(,)m n 重合， 则n m -=【答案】 13.已知(2,1)A ，(4,2)B -，(1,)C x -，若向量OA OB +与OC 垂直（O 为坐标原点），则实数x 的值为 【答案】23- 4. 直线2(1)10()x a y a +++=∈R 的倾斜角的取值范围是 【答案】3[,)4ππ 5. 若实数x 、y 满足不等式组523030y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则||2z x y =+的最大值是【答案】146. 平面内b 为单位向量，(1,1)a =，且|2|6a b -=，则向量a 、b 的夹角为【答案】23π 7. 若关于x 、y 、z 的三元一次方程组212sin 32sin 3x z x y z x z θθ⎧+=⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，则实数θ的取值集合是【答案】{|,}2k k πθθ≠∈Z 8. 平行四边形ABCD 中，3AB =，4AD =，6AB AD ⋅=-，13DM DC =，则MA MB ⋅的值为 【答案】 169. 已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,1)，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为【答案】230x y +-=10. 若不全为零的实数a 、b 、c 成等差数列，点(1,2)A 在动直线:+0l ax by c +=上的射影为P ，点Q 在直线1:34120l x y -+=上，则线段PQ 长度的最小值是【答案】111. 实数x 、y 满足221x y +≤，则22x y x y ++-+的取值范围为 【答案】23,23⎡⎤-+⎣⎦12. 过点(2,1)P 任意作一条直线分别交x 轴、y 轴的正半轴于点M N 、，若||||OM ON +-||()MN m m ≤∈R 恒成立，则m 的最小值为【答案】二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13. 已知{(,)|(1)(1)}A x y x x y y =-≤-，22{(,)|}B x y x y a =+≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,2) B. 1[,)2+∞ C. [2,)+∞ D. 2[,)+∞ 【答案】C14. 已知向量a 、b 为平面内的单位向量，且12a b ⋅=-，向量c 与a b +共线，则||a c +的最小值为（ ） A. 1 B.12 C. 34D. 3 【答案】D 15. 如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且22||||PA PB +2||PC a +=（a 为常数），下列结论中，正确的是（ ）A. 当01a <<时，满足条件的点P 有且只有一个B. 当1a =时，满足条件的点P 有三个C. 当1a >时，满足条件的点P 有无数个D. 当a 为任意正实数时，满足条件的点P 总是有限个【答案】C16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE x AD y AP x y =+∈R ，则2x y +的最小值为（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 3【答案】B三、解答题（本大题満分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17. 已知直线l 经过原点，且与直线31y x =+的夹角为30°，求直线l 的方程.【答案】 0x =或3y x =.18. 若矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，定义det()A 为行列式11122122a a a a 的值，已知t ∈R ，102t t B -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2011C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵BC 、CB ，并比较det()BC 和det()CB 的大小. 【答案】19. 如图，3xOy π∠=，定义平面坐标系xOy 为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：1e 、2e 分别为与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若1OP xe =+2(,)ye x y ∈R ，则规定点P 的斜坐标为(,)x y .（1）求以O 为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程；（2）已知点A 的斜坐标为(1,2)，点B 的斜坐标为(2,0)-，求直线AB 在该仿射坐标系中的方程.【答案】20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .（1）求k 的取值范围；（2）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线，如果存在，求k 的值，如果不存在，说明理由.【答案】（1）3(,0)4-；（2）不存在.21. 已知△ABC 的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H .（1）求圆H 的方程；（2）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（3）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M 、N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围.【答案】 （1）22(3)10x y +-=；（2）3x =或423y x =-；（3）10410(,).。