函数值域和最值
函数值域、最值的知识与求函数值域、最值的11种方法总结
，最小值是
y
1
，最大值为
y
1
。而
y
sin
x
，x
0,
2
的值域为
0,1
，但
0
不是
y
sin
x
，
x
0,
2
的最小值，1
也不是
y
sin
x
，
x
0,
2
的
最大值。
三、求函数值域和最值的 11 种方法
1、图象法 对某些给出函数的图象的函数，可以利用其图象直接“读取”出
函数的值域。 如右图所示，可知函数的最小值为 0，最大值为“ ”，
1 y2
∵ | sin x |1 ，∴ 2 y 1 ，两边平方得 3y2 1 ，
1 y2
∴
3 y 3
3 3
，∴原函数的值域为
3, 3
3 3
。
7、结合函数的单调性求值域
通过确定函数在定义域内或定义域内的某个子区间上的单调性来求函数的最大、最小值
等，进而得到函数的值域。
常 见 的 结 合 单 调 性 求 值 域 的 函 数 如 ： y ax b dx e （ a,b,c, d ,e 都 为 常 数 且 ad 0 ）。①当 ad 0 ，即 a 、d 同号时，可以直接利用函数的单调性求最值；②当 ad 0 ， 即 a 、 d 异号时，则需要用换元法求值域。
x
二 、函数最值
1. 最值的概念
函数 y f x 的最值指的是函数 y f x 的最大值和最小值。
（1）最大值
一般地，设函数 y f x 的定义域为 I ，若存在实数 M 满足：对任意的 x I ，都有
f x M ；同时，存在 x0 I ，使得 f x0 M ，则称 M 为 y f x 的最大值。
高中数学高频考点——函数最值、值域、恒成立问题知识点总结
函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最大值。
（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最小值。
2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。
求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。
【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。
二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。
（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。
（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。
【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。
2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。
求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。
三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。
四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。
五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。
六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。
高中数学解题方法系列：函数的值域与最值
①
y
k
b x2
型，可直接用不等式性质，
【及时反馈】
求
y
3 2 x2
的值域（答： (0,
3]） 2
②
y
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bx mx
n
型，先化简，再用均值不等式，
【及时反馈】
（2）求函数 y x 2 的值域（答：[0, 1] ）
x3
2
③ y x2 mx n 型，可用判别式法或均值不等式法， mx n
（3）、求函数 y x 2 2x 3 在如下区间中的的最值与值域。
ⅰ、 (4,2] ；ⅱ、 (1,2] ；ⅲ、 (3,5) ；ⅳ、 (,)
（4）、求函数 y sin x cos 2x 的最值与值域。（提示：先转化为带有限制条
件的二次型函数的最值与值域的求解）
（5）、若
所示：
定义域
值域
原函数 y f (x)
A
C
反函数 y f 1 (x)
C
A
由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）
①求 x ( y) ；②x、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域
【及时反馈】
（1）、求函数 f (x) 2x 4 的值域 x 1
解： y x x 1 (x 1) x 1 1
令 x 1 t（运用换元法时，要特别要注意新元 t 的范围），易知 t 0(why ?) 所 以 x 1 t 2 ， 所 以 y t 2 t 1(t 0) ， 欲 求 原 函 数 的 值 域 ， 只 需 求 y t 2 t 1(t 0) 的最值与值域即可（解法同上面的【及时反馈】）。
高考热点：函数值域、最值及极值
高考热点二：函数值域、最值及极值基础回顾1、 函数的值域是指：几种常见的基本初等函数的值域：（1） 一次函数)0()(≠+=a b ax x f 的值域为：（2） 反比例函数)0()(≠=k xk x f 的定义域、值域分别为： （3） 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为：当0>a 时，值域为： 当0<a 时，值域为：（4） 指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且的定义域、值域分别为：（5） 对数函数)10(log )(≠>=a a x x f a 且的定义域、值域分别为：（6） 幂函数)3,2,1,21,1()(-==ααx x f 的定义域、值域分别为： （7） 函数)0)(sin()(≠+=A x A x f ϕω的值域为：2、 函数的最大值、最小值是指：3、 函数的极大值、极小值是指：极大值、极小值统称为极值.4、 求函数)(x f 的极值的方法步骤：（1） （2） (3)5、 利用导数求函数)(x f 的最值的方法步骤：（1） （2）6、 求函数值域与最值的常用方法：（1）直接法 （2）配方法 （3）分离常数法（4）换元法（5）三角有界法 （6）基本不等式法 （7）单调函数法 （8）数形结合法 （9）逆求法（10）判别式法 （11）构造法 （12）导数法达标训练一、选择题1、已知函数)(x f y =的定义域为R ，值域为]1,3[-，则)2(+=x f y 的值域为（ ）A 、]1,3[-B 、]3,1[-C 、),3(+∞D 、),(+∞-∞2、函数)1)(111(log 21>+-+=x x x y 的最大值是（ ） A 、2- B 、2 C 、3- D 、33、函数)1(log ++=x a y a x 在]1,0[上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4 4、已知函数313)(23-++=ax ax x x f 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A 、31>a B 、012≤<-a C 、012<<-a D 、31≤a 。
函数值域(最值)
b 与区间 m, n 的位置关系 2a
b b m, n ,则当 a>0 时， f ( ) 是函数的最小值，最大值为 f (m), f (n) 中较大者；当 a<0 2a 2a
b ) 是函数的最大值，最大值为 f (m), f (n) 中较小者。 2a b m, n ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a
5、 y 7、 已知二次函数 f ( x) ax bx 满足 f (1 x) f (1 x) ， 且方程 f ( x) x 有两个相等实根， 若函数 f ( x)
2
在定义域为 [ m, n] 上对应的值域为 [2m, 2n] ，求 m, n 的值。
2 x 2 bx c 8、已知函数 f ( x) (b 0) 的值域为 [1,3] ，求实数 b, c 的值。 x2 1
1
知人善教 培养品质 引发成长动力
四、形如： y
cx d 的值域： ax b b a c a
1、若定义域为 x x 时，其值域为 y y
2、若 x m, n 时，我们把原函数变形为 x 函数的值域。 如：1、求函数 y
二、一次函数在区间上的值域（最值）： 一次函数 y=ax+b(a 0)在区间 m, n 上的最值，只需分别求出 f m , f n ，并比较它们的大小即可。 如：y=3x+2(-1 x 1) 三、二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 在区间 m, n 上的值域(最值)： 首先判定其对称轴 x （1）若 时， f (
知识要点
一、利用常见函数的值域 一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R； 反比例函数 y
求函数的值域、最值的13种方法
⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部
函数的值域与最值知识点归纳
函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。
在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。
本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。
一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。
确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。
2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。
需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。
3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。
例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。
二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。
确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。
需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。
2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。
首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。
3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。
需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。
综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。
确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。
函数值域与最值
函数值域与最值1、求函数值域（1）函数值域的定义：函数y = f(x), x ∈A 表示f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数， 其中集合A 叫做函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域, 于是C ⊆B 。
函数值域由函数的定义域和对应法则而确定。
（2）确定函数值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定的集合(){}|f x x A ∈；④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域还得由问题的实际意义确定。
（3）熟练掌握常见函数的值域常见函数有一次、二次函数，反比例函数，指数、对数函数，幂函数、正、余弦函数以及特殊的函数，如函数y=,(0)ax a x+>等，掌握它们的值域，有利于应用解题。
（4）求函数值域的常用方法；一般地，求函数值域的常用方法有配方法、图象法、判别式法、换元法、单调法、基本不等式法、反解法、导数法、利用已知函数的值域等方法。
2、求函数最值 （1）最值定义：函数y=f (y )，定义域为A ，若存在y 0∈A ，使得对任意的x ∈A ，恒有)()(0x f x f ≥))()((0x f x f ≤成立，则称)(0x f 为函数的最小（大）值。
（2）常规方法：求函数最值的常用方法有配方法，二次方程Δ法，图象法，单调法，换元法，基本不等式法，导数法等。
3、值域与最值的关系函数一定有值域，但不一定有极值或最值，函数值域在一定条件下可以存在最值；函数有最值，其最值一定是函数值域区间的端点值。
（1）如果函数值域是连续（即不间断）的闭区间，那么闭区间端点的值就是函数最大值与最小值。
（2）如果函数值域是连续（即不间断）的半闭半开区间，那么半闭区间端点的值就是函数最大值或最小值。
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(2)【解题思路】 本题若由 y＝x＋2x≥2 2，得 y∈[2 2，＋∞)，则错误．故不等式法失效．同样， 判别式法失效，改用单调性法．
【解析】 设 0＜x1＜x2＜1， 则 y1－y2＝x1＋x21－x2－x22 ＝x1x2x1－xx21x＋2 2x2－x1 ＝x1－x2x1xx21x2－2＞0 ∴y＝x＋2x在(0,1)上为减函数， ∴y∈(3，＋∞)
• 6.对于分段函数或含有绝对值符号的函数 (如y＝|x－1|＋|x＋4|)可用分段求值域(最值) 或数形结合法．
• 7.定义在闭区间上的连续函数可用导数法 求函数的最值，其解题程序为第一步求导， 第二步求出极值及端点函数值，第三步求 最大、最小值.
例 1 求下列函数的值域 (1)y＝logsin3 4－x2；(2)y＝xx＋－12； (3)y＝ －2x2＋x＋3.
y＝2＋2 2时，x＝ 2－1 y＝2－2 2时，x＝－ 2－1 ∴函数 y＝x2＋x＋4x1＋5的值域为 (－∞，2－2 2]∪[2＋2 2，＋∞)
方法二(均值不等式法)： 设 x＋1＝t，则 y＝x2＋x＋4x1＋5＝t－12＋4t t－1＋5 ＝t2＋2tt＋2＝t＋2t ＋2 当 t＞0 时，t＋2t ≥2 2(t＝ 2时取“＝”号)
探究 2 (1)形如 y＝paxx22＋＋qbxx＋＋dc，(a、p 不同时为 0)型的 函数，可转化为 x 的二次方程利用判别式法求值域，但要注 意二次函数系数不为 0 等限制条件。
另外，如函数式中能出现“和的式子积为常数”或“积 的式子和为常数”可用基本不等式法，又如求函数 y＝ x2＋x＋x＋1 1的法失效时，可 以考虑单调性法，此法在高考题中曾多次 出现．
思考题 1 求函数 y＝x2＋x＋4x1＋5的值域．
【解析】 方法一(判别式法)： 由 y＝x2＋x＋4x1＋5得 yx＋y＝x2＋4x＋5 整理得 x2＋(4－y)x＋5－y＝0 由△＝(4－y)2－4(5－y)＝y2－4y－4≥0 得 y≥2＋2 2或 y≤2－2 2
∴sin(θ＋π4)∈[－ 22，1]，∴y∈[－2,2 2]．
思路二：分离常数法：y＝x＋x＋1－1 3＝1－x＋3 1， ∵x＋3 1≠0，∴y≠1 (3)配方法：y＝ －2x－142＋285， ∴0≤y≤54 2
探究 1 (1)较简单的值域问题可利用函数的定义域 及对应法则观察得解，又如 y＝x2＋2，y＝ x1－1(可用观 察法求解)
(2)形如 y＝acxx＋＋db的函数可用反函数法或分离变量法 求解，又如：y＝2xx－＋31等
当 t＜0 时，t＋2t ≤－2 2(t＝－ 2时取“＝”号) ∴y≥2 2＋2 或 y≤－2 2＋2 ∴函数 y＝x2＋x＋4x1＋5的值域为 (－∞，－2 2＋2]∪[2 2＋2，＋∞)
【探究】 对于较复杂的分式函数，一般情况先通过 换元、分离常数等手段转化为简单的分式函数，如 y＝xk＋ m， y＝Ax＋Bx＋C 等形式，然后再利用单调性、均值不 等式法、图象法、导数法等求其值域．
• 求函数的值域与最值没有通性通法，只能 根据函数解析式的结构特征来选择对应的 方法求解，因此，对函数解析式结构特征 的分析是十分重要的．常见函数解析式的 结构模型与对应求解方法可归纳为：
1. 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 及 二 次 型 函 数 y ＝ a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0)可用换元法． 2.形如 y＝aa21xx22＋＋bb21xx＋＋cc21(其中 a1，a2 不全为 0 且 a2x2＋b2x ＋c2≠0)的函数可用判别式法． 3.形如 y＝ax＋b± cx＋d(a、b、c、d 为常数，ac≠0)的 函数，可用换元法或配方法． 4.形如 y＝acxx＋＋db(c≠0)或 y＝22xx－ ＋11或 y＝ssiinnxx－ ＋12的函数， 可用反函数法或分离常数法． 5.形如 y＝x＋kx(k>0，x>0)的函数可用图象法或均值不等 式法．
例 3 (1)求函数 y＝x＋ 2－x的值域； (2)求函数 y＝x＋ 4－x2的值域．
• 题型三 换元法
【解析】 (1)换元法，设 2－x＝t(t≥0)， 则 2－x＝t2，x＝2－t2， ∴y＝2－t2＋t＝－(t－12)2＋94 ∵t≥0，∴y≤94.
(2)换元法：由 4－x2≥0 得－2≤x≤2，∴设 x＝2cosθ(θ ∈[0，π])，则 y＝2cosθ＋ 4－4cos2θ＝2cosθ＋2sinθ＝2 2 sin(θ＋π4)，∵θ＋π4∈[π4，54π]
思路 2：不等式法 x＝0 时，y＝1，x≠0 时 y＝xx22－＋xx＋＋11＝1－x2＋2xx＋1＝1－x＋12x＋1，当 x＞0 时， x＋1x≥2(x＝1 时，等号成立)，y≥1－23＝13，∴13≤y＜1，当 x＜0 时，x＋1x≤－2(x＝－1 时，等号成立)，1<y≤3，∴当 x∈R 时，y∈[13，3]
(3)二次函数求值域用配方法
例 2 (1)求函数 y＝xx22－ ＋xx＋ ＋11的值域 (2)求函数 y＝x＋2x (0＜x＜1)的值域．
• 题型二 判别式法，不等式法，单调性法
【解析】 (1)思路一：判别式法 去分母，得 yx2＋yx＋y＝x2－x＋1，(y－1)x2＋(y＋1)x ＋y－1＝0 (i)当 y＝1 时，x＝0；(ii)当 y≠1 时，∵x∈R， ∴Δ＝(y＋1)2－4(y－1)2≥0，即 3y2－10y＋3≤0， ∴13≤y≤3(y≠1) 综合(i)(ii)得 y∈[13，3]
• 题型一 观察法，反函数法，分离常数法， 配方法
【解析】 (1)观察法：∵0＜ 4－x2≤2,0＜sin3 ＜1，∴logsin3 4－x2≥logsin32，即 y∈[logsin32，＋∞)
(2)思路一：反函数法 由 y＝xx＋－12得 x＝1y＋－2y，∴y≠1，即原函数的值域 为(－∞，1)∪(1，＋∞)