特殊平行四边形中的常见辅助线

A . 4B .丄C .二D . 55 5上，点G H 在对角线AC 上.若四边形EGFH 是菱形，贝U AE 的长是（A. 2 _ * B . 3 ! C. 5 D. 6P 是AD 上的点，且 特殊平行四边形中的常见辅助线一、连结法1. （2014 陕西,第9题3分）如图，在菱形 ABCD 中，AB=5，对角线AC =6.若过点A 作AE! BC 垂足为 E ,贝U AE 的长为（ ）2. （2015安徽，第9题4分）如图，矩形 ABCD 中, AB=8 BC=4点E 在边AB 上，点F 在边CD3. 如图，在矩形 ABCC 中，AB=4, AD=6 M N 分别是 AB, CD 的中点, / PNB=3/ CBN（1）求证：/ PNM=Z CBN （2） 求线段AP 的长.• DA 彳 AC,4 . (2015山东德州,第20题8分)如图，在平面■直角坐标系中，矩形 OABC 勺对角线OB AC 相交于点D,且BE// AC, AE// OB(1) 求证：四边形 AEBD 是菱形；(2) 如果OA=3 OC=2求出经过点 E 的反比例函数解析式.考点：反比例函数综合题.• 分析： (1)先证明四边形 AEBD 是平行四边形，再由矩形的性质得出 DA=DB 即可证出四边形 AEBD 是菱形；(2)连接DE 交AB 于F ,由菱形的性质得出 AB 与DE 互相垂直平分，求出 EF 、AF,得出点E 的 坐标；设经过点 E 的反比例函数解析式为： y 」，把点E 坐标代入求出k 的值即可.X解答： (1)证明：••• BE// AC AE// OB•••四边形AEBD 是平行四边形，•••四边形OABC 是矩形,DB=[OB AC=OB AB=OC=2• DA=DB•四边形AEBD 是菱形；(2)解：连接DE,交AB 于F ,如图所示：•••四边形AEBD 是菱形，• AB 与DE 互相垂直平分，T OA=3 OC=2把点E (三1 )代入得:(1) (2015江苏泰州，第25题12分)如图，正方形BC CD DA 上的动点，且 AE=BF=CG=DH •求证：四边形 EFGH 是正方形； •判断直线EG 是否经过一个定点，并说明理由； • 求四边形EFGH 面积的最小值.ABCD 的边长为8cm, E 、F 、G H 分别是AB二点E 坐标为：(二，1),设经过点E 的反比例函数解析式为:•经过点E的反比例函数解析式为：y=A 点评： 本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性 质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是(2 )中，需要作辅助线求出点 E 的坐标才能得出结果.考点：四边形综合题. 分析： (1)由正方形的性质得出 / A=Z B=Z C=Z D=90° AB=BC=CD=DA 证出 AH=BE=CF=DG由 SAS 证明△ AEH^A BFE ^A CGF^A DHG 得出 EH=FE=GF=GH Z AEH 2 BFE 证出四边形 EFGH 是菱形，再证出/ HEF=90,即可得出结论；(2)连接AC EQ 交点为O;先证明△ AOE^A COG 得出OA=OC 证出0为对角线AC BD 的交点•，即O 为正方形的中心;Q 1• • EF = DF =-OA =-, AF ^AB=1,(3)设四边形EFGH面积为S, BE=xcm贝U BF= (8- x) cm,由勾股定理得出S=x2+ (8-x) 2=2 (x-4) 2+32, S是x的二次函数，容易得出四边形EFGH面积的最小值.解答：(1)证明：•••四边形ABCD是正方形，•••/ A=Z B=Z C=Z D=90°, AB=BC=CD=DA•/ AE=BF=CG=DH• AH=BE=CF=DG[AE=BF=CG=DHZ A=ZB^ZC=ZD,AH=BE=CF=DG• △AEH^A BFE^A CGF^A DHG( SAS ,• EH=FE=GF=GH Z AEH=/ BFE,•四边形EFGH是菱形，•••/ BEF+/ BFE=90,• / BEF+Z AEH=90 ,HEF=90,•四边形EFGH是正方形；(2)解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心( AC BD的交点)；理由如下:连接AC EG交点为0;如图所示：•••四边形ABCD是正方形，•AB// CD•Z 0AE=Z OCGr ZOAE=ZOCG在厶AOE和厶COG中〈ZAO匪ZOX ，•△ AOE^A COG(AAS，、AE=CG |•OA=OC 即即O为AC的中点，•••正方形的对角线互相平分，•O为对角线AC BD的交点，即O为正方形的中心；(3)解：设四边形 EFGH面积为 S,设 BE=xcn,贝U BF= ( 8 -x) cm,根据勾股定理得：EF2=BE?+BF2=x2+ ( 8-x) 2,/• S=x2+ (8 - x) 2=2 (x - 4) 2+32,T 2>0,••• S有最小值，当x=4时，S的最小值=32,•四边形EFGH面积的最小值为32cm2.点评：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是( 2) (3 )中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用二次函数才能得出结果.6. (12分)(2015内蒙古赤峰25, 12分)如图，四边形 ABCD是边长为2, 一个锐角等于60。

的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交 CB BA (或它们的延长线)于点 E、F, / EDF=60,当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是 DE=DF(1)继续旋转三角形纸片，当CENAF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由;(2)再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB BA的延长线上时，如图 3请直接写出DE与DF的数量关系;(3)连EF,若厶DEF的面积为y, CE-x,求y与x的关系式，并指出当 x为何值时，y有最小值，最小值是多少?考点：几何变换综合题.分析：(1)如答图1,连接BD.根据题干条件首先证明 / ADF* BDE然后证明△ ADF^A BDE(ASA ，得 DF=DE(2)如答图2,连接BD.根据题干条件首先证明 /ADF=Z BDE然后证明△ ADF^A BDE(ASA),得 DF=DE(3)根据(2)中的△ ADF^A BDE得到：S AADF=S A BDE, AF=BE所以△ DEF的面积转化为：y=S^BEF+S A ABD据此列出y关于x的二次函数，通过求二次函数的最值来求y的最小值.解答：解：(1) DF=DE理由如下：如答图1，连接BD.•••四边形ABCD是菱形，D ___________ C ••• AD=AB又•••/ A=60°•••△ABD是等边三角形,• AD=BD / ADB=60,•••/ DBE=Z A=60°•••/ EDF=60°,•••/ ADF=Z BDE •••在△ ADF与厶BDE中，』AT 二BDZA^ZDBErZAEF=ZBD&•••△ADF^A BDE( ASA ,•- DF=DE(2) DF=DE理由如下:如答图2，连接BD. •••四边形ABCD是菱形,又•••/ A=60°• A ABD是等边三角形,• AD=BD / ADB=60,依题意得:y=S A BEF+S A ABD-'(2+x)xsin60 H 忍乞n60•••/ DBE=Z A=60°•••/ EDF=60, •••/ ADF=Z BDEr ZAEF=ZBDE •••在△ ADF与厶 BDE中, 4 AD二EDLZA=ZDBE•••△ ADF^A BDE( ASA ,• DF=DE(3) 由(2)知，△ ADF^A BDE 贝U S AADF=S A BDE, AF=BE=x2+;•该抛物线的开口方向向上,•••当x=0即点E、B重合时，y最小值=：：.2点评：本题考查了几何变换综合题，解题过程中，利用了三角形全等的判定与性质，菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，对于促进角与角（边与边）相互转换，将未知角转化为已知角（未知边转化为已知边）是关键。

二、中心对称法（倍长法）1. （2014山东临沂，第25题11分）【问题情境】(x+1)(x+1)如图1四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分/ DAM【探究展示】(1)证明：AM=AD+MC(2)AM=DE+B是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.【拓展延伸】(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2,探究展示(1 )、( 2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.圏I 圏2考点：四边形综合题；角平分线的定义；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质专题：综合题；探究型.分析：(1)从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N,如图1 (1)，易证△ ADE^A NCE从而有 AD=CN只需证明 AM=NM卩可.(2)作FA丄AE交CB的延长线于点 F,易证AM=FM只需证明FB=DE即可；要证FB=DE只需证明它们所在的两个三角形全等即可.(3)在图2 (1 )中，仿照(1)中的证明思路即可证到 AM=AD+M仍然成立；在图2 (2)中，采用反证法，并仿照(2 )中的证明思路即可证到 AM=DE+B不成立.解答：(1)证明：延长AE、BC交于点N,如图1 (1),•••四边形ABCD是正方形,••• AD// BC.•••/ DAE=Z ENCFAB=90° - / BAE=Z DAE•/ AE 平分 / DAM•••/ DAE* MAE•••/ ENC=Z MAE•- MA=MN在厶ADE 和厶NCE 中，ZEAE=ZCNEZ AED -Z NECDBCEADE^A NCE( AAS .• AD=NC• MA=MN=NC+MC=AD+MC(2) AM=DE+B 成立.证明：过点 A 作AF 丄AE 交CB 的延长线于点•••四边形ABCD 是正方形，•••/ BAD=Z D=Z ABC=90, AB=AD AB// DC••• AF 丄 AE,•••/ FAE=90°.在厶ABF 和厶ADE 中,ZFAB=ZEAEAB 二 ADZW=ZD=90fl[F,如图1 (2)所示. •••△ABF^ A ADE( ASA• BF=D E / F=Z AED ••• AB// DC•••/ AED= Z BAE•••/ FAB= Z EAD= /EAM•••/ AED=Z BAE= BAM丄 EAM=Z BAM# FAB=Z FAMF=Z FAM• AM=FM•- AM=FB+BM=DE+BM(3)①结论AM=AD+M仍然成立.证明：延长 AE BC交于点P,如图2 (1), •••四边形ABCD是矩形, •AD// BC.•/ DAE=# EPC•/ AE平分 / DAMDAE=Z MAE•/ EPC=Z MAE •- MA=MP在厶ADE和厶PCE中,[ZEAE=ZCPEZAED=ZPECDE二血ADE^A PCE( AAS• AD=PC• MA=MP=PC+MC=AD+MC②结论AM=DE+BI不成立. 证明：假设AM=DE+B成立.过点A作AQLAE,交CB的延长线于点 Q如图2 (2)所示.•••四边形ABCD是矩形，•••/ BAD* D=Z ABC=90, AB// DC •/ AQL AE,QAE=90.•••/ QAB=90 - / BAE=Z DAE •••/ Q=90° - / QAB=90° - / DAE=Z AED•/ AB// DC•••/ AED=Z BAE•••/ QAB=Z EAD=/ EAM•/ AED』BAE=/ BAM L EAM=Z BAM社 QAB=Z QAM•••/ Q=Z QAM•AM=QM•AM=QB+B.M••• AM=DE+B M•QB=DE在厶ABQ和厶ADE中, [ZQ^=ZEAEZ赵二ZD二BQ=DE• △ABQ^A ADE( AAS .• AB=AD与条件AB^AD矛盾，故假设不成立. • AM=DE+BI不成立.2. （2014黑龙江绥化，第26题9分）在菱形ABC［和正三角形BGF中, / ABC60° P是DF的中点，连接PG PC.（1）如图1,当点G在BC边上时，易证：P（=_ ;P C•如图2,当点F在AB的延长线上时，线段PC PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；（3）如图3,当点F在CB的延长线上时，线段PC PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）考点：四边形综合题.分析：(1)延长GP交DC于点E,利用△ PED^^ PGF 得出PE=PG DE=FG 得到CE=CG CP是EG的中垂线，在RT^CPG^, / PCG60° 所以P(^3PC.(2)延长GF交DA于点E,连接EC GC先证明△ DPE^A FPG再证得△ CD^A CBG利用在RT^CPG中, / PCG60° 所以PG^jPC.（3）延长GP到H使PH=PG连接CH DH作ME/ DC先证△ GFP^AHDP再证得△ HDC^A GBC 在在RI A CPG^ , / PCG60。