欧几里得空间习题-课件·PPT
第九章 欧几里德空间
第九章 欧几里德空间§1基本知识§1. 1 基本概念 1、欧式空间： 2、向量的长度：3、向量之间的夹角：4、单位向量：5、向量的正交：6、度量矩阵：7、正交向量组：8、正交基与标准正交基： 9、正交矩阵：10、欧式空间的同构： 11、正交变换：12、子空间、子空间的正交与正交补： 13、内射影或正射影： 14、对称变换：15、向量之间的距离： 16、最小二乘法：§1. 2 基本定理定理1（正交组的性质定理）正交向量组一定是线性无关组.定理2 （标准正交基的存在性定理）对于n 维欧式空间中任意一组基n ααα,,,21 ，都可以找到一组标准正交基n εεε,,,21 ，使得：n r L L r r ,,2,1),,,,(),,,(2121 ==αααεεε定理3（有限维欧式空间同构的条件）两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是：它们的维数相等.定理4（正交变换的等价条件）设σ是n 维欧式空间V 的一个线性变换，则如下条件等价（1）σ是正交变换；（2）σ保持向量的长度不变，即：V ∈∀=ααασ|,||)(|；（3）如果n εεε,,,21 是V 的一组标准正交基，则)(,),(),(21n εσεσεσ 也是V 的一组标准正交基；（4）σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
定理5如果子空间s V V V ,,,21 两两正交，那么：s V V V +++ 21是直和。
定理6（正交补存在性定理）n 维欧式空间V 的任何一个子空间1V 都有唯一的正交补。
定理7（实对称矩阵的性质定理）对于任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在一个n 阶正交矩阵P ，使得：AP P T 为对角矩阵。
§1. 3 基本性质1、欧式空间的性质：（1）零向量且仅有零向量与任何向量的内积为零；（2）对任何R a V ∈∈,,,ζηξ，有：),(),(),(ηζξζηξζ+=+；),(),(ηξηξa a =；（3）s j r i R b a V j i j i ,,2,1;,,2,1,,,, ==∈∈∀ηξ，有：∑∑∑∑=====r i sj j i j i j s j j i r i i b a b a 1111),(),(ηξηξ；（4）V ∈∀βα,，有：),)(,(),(2ββααβα≤，当且仅当βα,线性相关时，等号成立。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第9章欧几里得空间9.1复习笔记一、定义与基本性质1．欧几里得空间定义设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（kα，β）＝k（α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．2．长度（1）定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零，②|kα|＝|k||α|，③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，通常称此为把α单位化．3．向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．零向量才与自己正交．（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），显然a ij＝a ji，于是利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．说明：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②定理2对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，…，ηn，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做施密特正交化过程．例：把α1＝（1，1，0，0），α3＝（－1，0，0，1），α2＝（1，0，1，0），α4＝（1，－1，－1，1）变成单位正交的向量组．解：①先把它们正交化，得β1＝α1＝（1，1，0，0），②再单位化，得3．基变换公式设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．三、同构1．同构定义实数域R上欧式空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射σ，满足（1）σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），（2）σ（kα）＝kσ（α），（3）（σ（α），σ（β））＝（α，β），这里α，β∈V，k∈R，这样的映射σ称为V到V'的同构映射．同构的欧氏空间必有相同的维数．每个n维的欧氏空间都与R n同构．2．同构的性质同构作为欧氏空间之间的关系具有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性；（4）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同．.四、正交变换1．定义欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V，都有（Aα，Aβ）＝（α，β）．2．性质。
高等数学(高教版)第九章欧几里得空间第六节课件
实对称矩阵的标准形
主要内容
问题的提出 正交矩阵的求法
实对称矩阵的性质
主要结论
举例
正交的线性替换
一、问题的提出
在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同
于一个对角矩阵，
使
换句话说，都有一个可逆矩阵 C
CTAC
成对角形. 在这一节，我们将利用欧氏空间的理论
把第五章中关于实对称矩阵的结果进行加强，这就 是这一节要解决的主要问题：
下的矩阵就是 A .
(2)
引理 2
设 A 是实对称矩阵，A 的定义如上
则对任意的 , Rn , 有 (A , ) = ( , A ) ， 或 (3)
T ( A ) = TA .
证明
只要证明后一等式即可.
实际上 = ( A )T
T ( A )
= TAT = T( A ) .
1 6 1 6 2 6 0
1 12 1 12 1 12 3 12
1 2 1 2 . 1 2 1 2
TTAT = diag(1, 1, 1, -3) .
例2 设
3 A 2 0
2 2 2
0 2 1
x1 x2 x n
满足
A = 0 . 令
x1 x2 , x n
其中
xi 是 xi 的共轭复数，则
考察等式
A = 0 .
T (A )
= TAT
= (A )T
T 是一个正交矩阵，而
T-1AT = TTAT 就是对角形. 根据上面的讨论，求正交矩阵 T 的步骤如下： STEP 1 求出 A 的特征值. 设 1 , …, r 是 A
《欧几里得几何学》课件
公理一
任意两点A和B可以确定一条且仅有一 条直线。
02
公理二
给定一条直线，可以找到一个且仅有 一个点，使得该点到这条直线的距离 为零。
01
公理五
通过给定直线外的一个点，有且仅有 一条与给定直线平行的直线。
05
03
公理三
通过给定的一点和不在给定直线上的 另一点，可以确定一条且仅有一条与 给定直线不同的直线。
黎曼几何学
以球面几何为基础，挑战欧几里得几何学的平坦空间假设。
弯曲空间理论
挑战欧几里得几何学的直线和圆的概念，提出空间可以弯曲。
欧几里得几何学在现代科技中的应用前景
建筑学
01
利用欧几里得几何学原理设计建筑结构和外观。
工程学
02
在机械、航空、船舶等领域，利用欧几里得几何学进行精确设
计和制造。
计算机图形学
数学教育
欧几里得几何学是数学教育中的重 要组成部分，对于培养学生的逻辑 思维和空间想象力具有重要意义。
欧几里得几何学与其他几何学的关系
非欧几里得几何
与欧几里得几何学相对，非欧几里得 几何学包括球面几何、双曲几何等， 它们在空间定义和公理体系上与欧几 里得几何有所不同。
解析几何
解析几何通过引入坐标系和代数方法 来研究几何问题，它与欧几里得几何 学相互补充，共同构成了现代几何学 的基础。
《欧几里得几何学》ppt课件
目录
• 欧几里得几何学简介 • 欧几里得几何学的基本假设 • 欧几里得几何学的基本定理 • 欧几里得几何学的推论与证明 • 欧几里得几何学的实际应用 • 欧几里得几何学的未来发展与挑战
01
欧几里得几何学简介
定义与起源
定义
欧几里得几何学，也称为欧式几 何，是基于古希腊数学家欧几里 得的几何体系，它研究的是平面 和三维空间的几何结构。
高等代数欧几里得空间课件
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示
欧几里得空间练习题
欧几里得空间练习题一、填空题1. 与任何向量都正交。
2. 设A 、B 均为正交矩阵，则1AB -= 。
3. 若1234,,,εεεε为欧氏空间V 的一组标准正交基，且1234236αεεεε=+++，则α= 。
4. 设A 、B 均为3阶正交矩阵，则12AB -= 。
5. 若1234,,,εεεε为欧氏空间V 的一组标准正交基，且123423αεεεε=+++，则α= 。
6. 若1234,,,εεεε为欧氏空间V 的一组标准正交基，且1234234αεεεε=+++，则α= 。
7. 设欧氏空间的正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵是U ，则U = 。
8. 两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 。
1. 设,στ是欧氏空间V 的两个正交变换，则（ ） 。
A.στ+ 也是正交变换B.στ也是正交变换C.任意,k R k σ∈也是正交变换D.στ-也是正交变换2. 设V 是n 维欧氏空间 ，那么V 中的元素具有如下性质（ ）。
A ．若()()γβγαβα=⇒=,,B ．若βαβα=⇒=C ．若()11,=⇒=ααα D. 若()βα,>βα=⇒0 3. 关于欧氏空间与线性空间的关系，下列说法错误的是（ ）。
A . 欧氏空间是特殊的线性空间B .如果一个空间是线性空间则它一定是欧氏空间C . 如果一个空间是欧氏空间则它一定是线性空间D . 线性空间比欧氏空间范围大4. 设V 是n 维欧氏空间，W 是V 的子空间，则W 的正交补的维数等于（ ）。
A . dim WB . n -dim WC . n -2dim WD . 不确定5. 设u 是正交矩阵，则（ ）。
A . u 的行列式等于 1B . u 的行列式等于-1C . u 的行列式等于± 1D . u 的行列式等于06. n 维欧氏空间V 上的线性变换ϕ为正交变换的充要条件是（ ）。
A .ϕ在V 的任一组基下的矩阵都是正交矩阵B .ϕ在V 的任一组正交基下的矩阵都是正交矩阵C .ϕ在V 的任一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵D .ϕ在V 的任一组基下的矩阵都是实对称矩阵7. 设δ是n 维（n >0）线性空间V 的一个对称变换,则下列说法错误的是( )。
欧几里德空间知识点总结PPT共26页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
欧几里德空间知识点总结
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
谢谢你的阅读
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
高等代数-欧几里得空间
2) (, ) (, ) (, )
s
s
推广： ( , i ) ( , i )
i 1
i 1
3) (0, ) 0
§9.1 定义与基本性质
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R3向量 的长度（模） . 2) 欧氏空间V中， ,V , (, ) 0
使得 有意义.
③ ( , ) R.
§9.1 定义与基本性质
例1．在 Rn 中，对于向量
a1,a2, ,an , b1,b2, ,bn
1）定义 ( , ) a1b1 a2b2 anbn
（1）
易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ～ 4 .
所以, ( , ) 为内积. 这样Rn 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
2. 向量长度的定义
,V , ( , ) 称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
§9.1 定义与基本性质
3. 向量长度的简单性质
1) 0; 0 0
2) k k
3）非零向量 的单位化：
1.
（3）
§9.1 定义与基本性质
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引入夹角概念的可能性与困难
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即 cos, 0
.
§9.1 定义与基本性质
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
证： 2 , , 2, ,
2 2 2
( , ) 0
.
§9.1 定义与基本性质
推广：若欧氏空间V中向量1,2 , ,m 两两正交，
当 n 3 时，1）即为几何空间 R3中内积在直角 坐标系下的表达式 . ( , )即 .
欧几里得空间习题
TT 1 从而 1
因为 Q1 , Q
为正交阵,
所以 Q11Q 也是正交阵,
TT 1是上三角阵, 也是正交阵, 另一方面, 1
由7题知 TT 1 是主对角线上元素为1或-1的对角阵, 1
1 而 T1 , T 的主对角线元素为正，故 TT E 1
即 T1 T , 从而 Q1 Q.
7.证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角
线上元素为1或-1.
证：设
a11 a1n A A 是正交矩阵，且 ann
b11 b1n 1 则 A A bnn
也是上三角矩阵，
a11 b11 b1n 从而 a a bnn nn 1n
单位化得
1 1 2 6 ,2 x 1 2 2
10 14 2 3 (3x 1),4 (5 x3 3x) 4 4
则 1,2 ,3 ,4 为一组标准正交基.
5.设V 是 n 维欧氏空间， 0 是V 中一固定向量.
V 1）证明： 1 x ( x, ) 0, x V 是V 的一个子空间；
1
1 1
xdx 1dx
x
1
3 3
x2
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
1 1 1
x 2 dx 1dx
1
1
1
1 1
x 3 dx x 2 dx
x x2
1 3
n
n
j
a y y
高等代数欧几里得空间习题
4. 将特征向量1 , 2 ,,n正交化,单位化,得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1
y12
n
y
2 n
.
§6 向量到子空间旳距离，最小二乘法
一. 向量到子空间旳距离
欧氏空间V旳两个向量和旳距离定义为:
d(, ) = -
距离旳性质:
d(, )=d(, ); d(, )0, 而且仅当=时等号成立; d(, )d(, ) + d(, ) (三角不等式)
§2 原则正交基旳定义与求法
一. 正交向量组
定义 设1,2,…,s是一组非零实向量,
假如它们两两正交,则称为正交向量组; 假如其中每个向量旳长度都是1,则称 为正交单位向量组(或原则正交向量组).
事实 向量组1, 2, …, s是一种
原则正交向量组, 当且仅当
(
i
,
j
)
1 0
i j, i j.
定理 设1, 2, , m是欧氏空间
V中一组线性无关旳向量,则一定存在
一种正交单位向量组1, 2, , m,
使得
1, 2, , i
与
1, 2, , i
等价( i = 1, 2, …, m )．
令1=1, 若已构作出正交向量组1,2,,j-1,
则令
j
j
( j , 1 ) (1, 1)
1
( j , 2 ) (2 , 2 )
(2)正交变换作为欧氏空间旳自同构,其 乘积和逆也是正交变换.
(3)在原则正交基下,正交变换与正交矩 阵相应，对称变换与对称矩阵相应。
引理 设A是欧氏空间V上旳一种对称 变换, W是A-子空间, 则W也是A-子 空间.