含参数不等式恒成立问题的求解策略
含参不等式恒成立问题的求解策略
含参不等式恒成立问题的求解策略不等式是数学中的基础知识，它涉及到关系的研究，常用于数学等学科的计算。
它的解决方案可以用来帮助解决复杂的问题，或者提出观点并影响结果。
今天，我们将讨论如何解决含参不等式恒成立问题。
首先，让我们来讨论这种问题，即不等式含参恒成立问题，是指一个不等式变量以及一些参考变量满足不等式恒成立（比如x+y<5，当x=3，y=2时恒成立）的问题。
解决这类问题的思路主要有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法。
1.学解法。
数学解法是常用的解决含参不等式恒成立问题的方法，通常需要先将输入的参数值代入不等式，然后利用求解方程的方法求解问题。
例如，当给定不等式为x+y<5，求解x=3,y=2时恒成立，则可以分别代入x=3和y=2，得到x+y<5，因此恒成立。
2.序求解法。
程序求解法是更加实用的方法，特别是在需要处理大量数据时。
它需要把不等式构造成一个程序，然后通过程序求解。
例如，当给定不等式为x+y<5时，可以用程序编写一段代码，把输入的参数代入不等式，并判断结果是否满足不等式，从而解决问题。
3.明方法。
证明方法是解决含参不等式恒成立的另外一种方法，即通过证明不等式恒成立来解决问题。
证明方法需要对不等式或者相关公式进行证明，以达到满足不等式恒成立的目的。
例如，当给定不等式为x+y<5时，可以通过证明x=3,y=2时，x+y也小于5，从而解决问题。
从以上内容可以看出，解决含参不等式恒成立的问题的策略有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法。
其中，数学解法是最常用的方法，而程序求解法和证明方法则能够更加实用地解决复杂的问题。
因此在解决含参不等式恒成立问题时，要根据问题的复杂程度选择适当的策略，从而有效解决问题。
综上所述，解决含参不等式恒成立问题的策略有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法，根据不等式的复杂程度来选择适当的策略，从而有效求解问题。
把握这些解决含参不等式恒成立问题的策略，能够帮助我们有效解决复杂的问题，从而更快提出观点，影响结果。
含参数不等式恒成立问题的解题策略
解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般地，若函数()x f 的定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()Mx f ≥⇔min （()M x f ≥有解⇔M max )(x f ≤）；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔m a x（()M x f ≤有解⇔M x f ≤m i n )(）.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.例一 定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022s in 2c o s 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。
【解析】由()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ得到：()()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ 因为()x f 为奇函数，故有()()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立，又因为()x f 为R 减函数，从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于()1,0∈t 恒成立，在设函数()1222++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，即21-≥m ，又0<m ∴021<≤-m (如图1) ②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时, ()012442<+-=∆m m m 2∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m (故由①②③可知：21-≥m . 例二 定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)若()()02933<--+⋅x x x f k f 对任意x ∈R 恒成立，求实数k 分析: 问题(1)欲证f(x)为奇函数即要证对任意x 都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x 可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x ∈R 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t 2-(1+k)t+2＞0对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．【解析】(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R)， ①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，所以f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．()()()2932933++-=---<⋅x x x x x f f k f ， 2933++-<⋅x x x k 即()023132>+⋅+-x x k 对于任意R x ∈恒成立.令t=3x ＞0，、问题等价于()0212>++-t k t 对于任意0>t 恒成立.令()()212++-=t k t t f ,其对称轴为直线21k x +=当021<+k ,即1-<k 时, ()020>=f 恒成立,符合题意,故1-<k ; 当021≥+k 时,对于任意0>t ,()0>t f 恒成立()⎪⎩⎪⎨⎧<⨯-+=∆≥+⇔02410212k k ， 解得2211+-<≤-k综上所述,当221+-<k 时,()()02933<--+⋅x x x f k f 对于任意R x ∈恒成立.本题还可以应用分离系数法,这种解法更简捷.t =m分离系数,由2933++-<⋅x x x k 得1323-+<x x k . 由于R x ∈,所以03>x ,故1221323-≥-+=x x u ,即u 的最小值为122-. 要使对于R x ∈不等式1323-+<x x k 恒成立,只要122-<k 说明: 上述解法是将k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．例三 已知向量=(2x ，x+1)，= (1-x ，t)。
求解不等式恒成立中参数问题的五大策略
ｆ ａ ＜ ０ ，
【 △＝ ６ — ４ ∞＜ ０ ．
．
策 略一 ：利 用一 次 函数 的性 质
若 已 ） 一 ＋ ６ ＞ ０ 对 叵成 ’
例２ ． 已知关于 的二次不等式 （ Ｊ ｝ － ５ ） （ １ ） ｘ ＋ ３ ＞ ０的解集为 Ｒ． 则实数 ｋ的取值范围为 解 析 ：当 ． ＿ ５ ＝ ０时 ．要使原不等式 的解 集为
解析 ：如果将两边分别设成两个 函数 ｙ ｌ ＝ （ Ｘ 一 １ ） 和
因为 当 ≥ｅ时 ， （ — ｌ ｎ ｘ 一 １ ） ＝ １ 一 ＞ ０ ， 所 以 — ｌ 眦一
１ ≥ｅ — ｌ ｎ ｅ －ｌ ＝ ｅ 一 ２ ＞ ０ ．
所 以 （ ） ＞ ０ ， 所以＾ （ ） （ ｅ ） ＝ ＿， 所 以 ｎ≤一 旦 ＿ ＿ ．
ｅ－ｌ ｅ－Ｉ
若已
）
删
’
＞ 乱 一
Ｒ， 则必有一次项系数也为零 ，且常数项大于零．
ｆ － ５ ＝ Ｏ．
例１ ． 对 于满 足 Ｏ ≤ｐ ≤４的实数 Ｐ， 使
３恒成立 的 的取值范 围是 ．
即｛ ４ （ １ － ｋ ） ＝ ０ ， 解得ｋ ＝ １ ．
１ ３ ＞ ０ ，
） ＝ Ｉ
一 １ 厂
．
Ｄ ／ ２
然后观察两个 图像 （ 尤其要注意交点处和临界处 ）的 位 置关 系 ，进而列 出含参数 的不等式． 例５ ． 不 等式 （ 一 １ ） ＜ 】 ｏ 在 ∈（ １ ， ２ ） 上恒 成立 ，
则 ａ的取值 范围为 ．
ｘ ＞ ３ 或 １ ， 所以 的取值范围是（ 一 ， 一 １ ） Ｕ（ ３ ， ＋ ） ．
不等式中恒成立问题的参数范围求解策略
解 使。ｌ ｌ／ｍ， Ｘ［，】 析要 ｌ｝ ｏ￣＋ 当 Ｊ ｇ ≤ｇ－生 Ｅ０二 ｘ１ 一 Ｌ１ １
时恒成立， 只要、 ／
时 ｍ 必 须 大 于 ０ ．
Ｖ ｌ ～
例 ５ 设 函数
） ｎ ＋ ＝Ｉ ． 若 ∈ｆ ， ］ 厂 ）≤ １ ２ 时＿ （
．
只要 ＿ 一 ） 厂 ２ ＜０与 ｌ ２ ＜０同 时 成 立 即 可 ． 得 的 取 （ 厂 ） （ 可
的极 限值 就 可 以 了． 种 方 法 就 是 构 造 函 数 求 最 值 法 ． 谓 这 所
构 造 的 函数 可 以是 ｇ（ ） ｘ．
￣
（＋ｆＴ Ｔ． －Ｎ－＋ ） ｌ ，Ｖ ２一 ｆＩ
【 键 词 巨成 立 ； 数 范 围； 略 关 参 策
在含有两个变量 的不等式恒成立 的问题 中． 往会 出 往 现 已知 其 中一 个 变 量 的 范 围 ， 确 定 另 一 个 变 量 的 范 围 要 的问 题 ． 么如 何 考 虑 解 答此 类 问题 呢 ？ 那 一方 面解 答 要 看 题 目的特 点 ， 一 方 面 还 要 注 重 解 答 策 略． 面 就 数 学 中常 见 另 下 的恒 成 立 问 题 中 参数 范 围 的求 解 策 略 作 一 归 纳 ． １ 如 果 参 数 为 ｍ，能 把 ｍ 表 示 成 关 于 的 不 等 式 ． ． 即 形 如 ｍ￣ｇ ｘ （ ｍ≤ｇ ） （ ）或 （ ） 的形式 ， 么 只要 ｍ 不 小 于 ｇ ｘ 那 （） 的 最大 值 （ ｍ 不 大 于 ｇ ｘ 的 最 小 值 ） 可 求 得 参 数 的 范 或 （） 即 围． 时 如果 ｇ ｘ 在 特定 的范 围 内取 不 到 最 值 ， 有 （） 只要 考 虑 它
含参数不等式恒成立问题的求解策略
＋（ ａ ） ２ 一３ ≤０恒 成立
§
＜ ６在 ∈［一 ， ］ ２ ２ 时恒成立．
ｆ ０
【。 （ａ １ 一ａ２ 一 ） ０ Ａ ＝ ３ 一 ） ４（ａ １≤
ｆ ２ 显然 ｎ ） ａ＜ （ ≠２
由 ［ ２ ］ 一 ＋ ∈÷ ， ， ～ ＋ ＞ 于 ∈ 一， 时， １ ［ ７ 即 １ ２ ］
ｎ ≤Ｏ ）
对 于 二 次 函 数 ＿ ）＝ 厂 （ 似 ＋ ＋ｃ ａ ， （ ≠Ｏ ∈Ｒ） 有 ，
匣 成 立 甘
…
…
匣成 立 甘
ｌ ＞ 对 ∈ 厂 ）０ （ Ｒ恒成立舒｛
Ｌ ＜０ Ａ
ｒ ＜０ ０
（ ＜ 对 ∈Ｒ恒 ） ０
成立甘 ｛
．
Ｌ ＜０ Ａ
例 ３ 已知 二 次 函数 ＿ ） 足 Ｌ ２ ０ ： 厂 满 厂 （ （一 ）＝ ， 且 ３ ５ （ ≤２ ＋ ＋７对 一 切 实 数 都成 立． ＋ ≤厂 ） ７ （ ） － 一１ 的值 ；２ 求 ＿ ） １求 厂 （ ） （ ） 厂 的解 析式 ． （
Ｉ 羹
方 法点拨
ｌ
歉 攀
卿枉线
含参不等式 的求解是 高考 、 竞赛 中的热点 问题 ， 而这类 习题 中含参数不 等式恒 成立 的问题 ， 方法 灵活多 样 ， 不 少 令 同学望而生畏 ， 束手无策． 本文将结 合实例 ， 谈谈这 类习题 的
常 见求 解 策 略 ． １ 利 用 一 次 函数 的 性 质 ．
ｆ 成甘 ≥ 恒立 ＞， 一。。０ —Ｉ３＞，得÷＜ ＜ ㈩…噎立 ｆ 成骨 ０即１ｌ；＞且１３ｇ ｏ解 Ⅱ 沤 ｇ 。Ⅱ
ｍ）＜ ０
ｎ ）＜０
２ 利 用二 次 函 数 的 判 别 式 ．
含参数不等式的恒成立的求解策略
对 ∈Ｒ恒 成立 ㈢
解： 若 一０ 则 不 论 ｎ取 何 值 ， （ ≥ ０显 然 成 ， ＿ ） 厂
立；
当 ＞０ 即 ∈（ ，］ ， （ ＝ ｎ 。 ｚ ≥Ｏ ， ｏ １ 时 厂 ）＝ 一３ 十１ ＝
可化 为 ｎ ≥ 一 ．
设 （一 一 ，ｇ ） ｇ）≥ 专则 一 （
中学 教 学 参 考
解 题 方 法 与 技 巧
含 参数 不 等 式 的恒 成 立 的 求解 策 略
浙 江 慈溪实验 高级 中学 （ １ ３ ０ 李 书庆 ３ ５Ｏ ）
个变 量 的范 围 已知 ， 一 个 变 量 为所 求 ， 先 确 定 某 另 则
一
变 量 （ 本 是 已 知 范 围 的 那 个 变 量 ） 自变 量 ， 一 基 为 另
≥可 为≤ 一 ｇｚ ０化 以≥ ，（一 ）
４ 从 而 ＆ ４ 综 上 ｎ＝ ４ ， ≤ ． ＝ ． ＝
＞．（ ０ ｇ）
在 区间［ ， ） 一１ ０ 上单 调递增 ， 因此 ｇ ） （ ） （ Ⅱ 一ｇ 一１ 一 Ⅲ
含参 数不 等式 的恒 成 立 问 题 主 要是 运 用 等 价 转
解 得 ￡ 一 ９或 ３ ≤ ≥ ． 五 、 类讨论 求最值 分
∈，ｃ 。 ∈ 成㈢ 厂＜ Ｒ ，对 Ｒ 立｛ ｃ 。 恒 有 ＞
Ｉ “＜ Ｏ，
【 ５ 设 函数 － ） 。 ３ 例 】 厂 （ 一ｎ 一 ＋ １ ∈Ｒ） 若 （ ，
对 于任 意 的 ∈［ ， ］ 一１ １ 都有 － ） 厂 ≥０成立 ， （ 求实数 口
变量 为应 变量 ， 然后 再利 用 函数 的最 值．
四 、 形 结 合 数
【 ４ 若 对 于 ｚ∈ （ 例 】 一１ ３ ， ｚ 一２ｚ ， ） ３ 。 ｆ 一 ≤ Ｏ
不等式恒成立问题中参数范围的求解策略
条件
A1#2@
4&= <
( 1#2&>
条件 B1#2&= #2< 4&+C
其中 可以 判断 函 数 1#2&是 周 期为 ,4的周 期
函数 的条 件是
C
D0设函 数 1#2&的 定义 域 为 E3任 取 2(F
2,F28 G3且 2(5 2,31#2&5H (3给出 下列 I
个关 系式 :
#(&1#2(@ 2,&= 1#2(&J1#2,&> #,&1#2(J2,&= 1#2(&@ 1#2,&> #’&1#2(< 2,&= (1@ #2(1&#< 2(&11##22,,&&>
每 一个 2都成 立3其 中#45 +365 +3437368
9&: #(&条件 ; 1#2&< 1#< 2&= +> 条件 ?1#4@ 2&= 1#4< 2&> 条件 A1#62@ 7&= 1#< 62< 7&> 条件 B1#2&= #2< 4&+C
其 中 判 断 函 数 1#2&是 偶 函 数 的 条 件 是
又 设 25 4 1)%则 它是 过原 点%斜 率为 1的直 线 9& 在同 一 直角 坐 标 系 下作 出
它们 的图 像-如 图 3/&依题 意%半 圆 8恒 在直 线 9上方 时%只 有 1: #时成 立%故 1
图3
高一数学 不等式恒成立问题中的参数求解策略
不等式恒成立问题中的参数求解策略不等式恒成立问题的题目一般综合性都比较强，本文结合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略 关键词：不等式；恒成立；求解策略在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。
恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。
下面结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略题型一、可化为二次函数类型有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
常常有以下两类情况： ㈠可化为二次函数在R 上恒成立问题 设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
例1 对于x ∈R ，不等式0m 3x 2x 2≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解：不妨设m 3x 2x )x (f 2-+-=，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使)R x (0)x (f ∈≥，只需0≤∆，即0)m 3(4)2(2≤---，解得]2(m 2m ，-∞∈⇒≤。
变形：若对于x ∈R ，不等式03mx 2mx 2>++恒成立，求实数m 的取值范围。
此题需要对m 的取值进行讨论，设3mx 2mx )x (f 2++=。
①当m=0时，3>0，显然成立。
②当m>0时，则△<03m 0<<⇒。
③当m<0时，显然不等式不恒成立。
由①②③知)30[m ，∈。
关键点拨：对于有关二次不等式0c bx ax 2>++（或<0）的问题，可设函数c bx ax )x (f 2++=，由a 的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x 轴的交点问题，由判别式进行解决。
破解含参不等式恒成立的5种常用方法
破解含参不等式恒成立的5种常用方法含参数不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势。
对含有参数的不等式 恒成立问题，破解的方法有：分离参数法、数形结合法、单调性分析法、最值定位法、构造函数法等。
一 分离参数法分离参数法是解决含问题的基本思想之一。
对于含参不等式的问题，在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等 式的性质将参数分离出来 ，得到一个一端是参数、另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性式就可以解决问题。
例1 已知函数a x f x x 421)(++=在（－∞，1］上有意义，试求的取值范围。
分析 ：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，这里参数的系数04>x ，故可以分离参数。
解析：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥x x a 2141，∈x （－∞，1］恒成立，记)(x g a ≥，∈x （－∞，1］，因此问题又等价于)(x g a ≥在)(x g a ≥上恒成立，)(x g 在（－∞，1］上是增函数，因此)(x g 的最大值为)1(g 。
)(x g a ≥在（－∞，1］上恒成等价于43)1()(max -==≥g x g a 。
于是工的取值范围为43-≥a 。
【点评】)(x f a ≥恒成立等价于max )(x f a ≥；)(x f a ≤恒成立等价于min )(x f a ≤。
如果函数)(x f 不存在最值，上面的最大值就替换为函数值域的右端点，最小值就替换为函数值域的左端点。
解这类问题时一定要注意区间的端点值。
二 数形结合法数形到结合法是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”，从而达到解决问题的目的，数形结合法是破解含参数不等式恒成立问题的又一个主要方案。
高考中函数含参量不等式恒成立问题的解题
高考中函数含参量不等式恒成立问题的解题函数在高中数学的学习中处于十分重要的地位，从高考卷的出题形式也可看出其重要性。
尤其是关于含参量不等式恒成立问题，更是屡见不鲜。
该类题型不仅考察学生对知识的掌握和理解能力，同时考察学生的思维转换能力，是一种综合类题型。
含参量不等式恒成立问题，一般题型包括已知不等式恒成立求参数范围问题、证明含参量不等式恒成立问题和已知含参量不等式的解，求参数取值范围。
本文主要介绍已知含参量不等式恒成立求参数范围的不同的处理方式，对于相似的题目，怎样分析并抉择哪种方案更为简洁，更有效率。
一、直接求导，确定参数范围在做过大量函数相关问题后，学生们一定会意识到求导对于这类题型的重要性，一般情况下，“求导”的步骤是学生们一定会想到的，然而求导后呢，该如何判断和处理呢?(一)参数看成已知，根据极值点判断例1 已知函数f(x) = a(x2-1)-ln x，若f(x) ≥0，在[1,+∞)上恒成立，求a 范围。
思路探索 f(x) ≥0 在[1,+∞)上恒成立，那么就可以转化为在[1,+∞)求函数f(x)的最小值，使其最小值大于等于零即可。
求函数最大值问题，也就是对该函数求导，之后观察导函数，确定极值点，通过极值点与x 的取值范围确定参数范围进行讨论，进而判断函数取最大值时x 的值，从而求出参数范围。
解1)当a ≤0 时，f′(x) ＜0，所以f(x)在[1,+∞)上单调递减，当x ＞1 时，则有f(x)＜f(1)=0，与题干矛盾，舍去。
2) 当a ＞0 时，令f′(x) ＞0，得得当即时，所以时，f′(x)＜0，即f(x)单调递减，所以f(x)＜f(1)=0 与题干矛盾，舍去。
当即时， x ∈ [1,+∞) 时，f′(x) ＞0，即f(x) 单调递增，所以f(x) ＞f(1) = 0 满足题意。
综上，该题无需对原函数或是导函数进行变换转化，直接进行求导，通过观察导函数小于零(或大于零)，对参数进行分情况讨论，进而确定参数符合题意的范围。
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含参数不等式恒成立问题的求解策略
恒成立问题，解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题。
近年来，含参数的不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，本节将高考数学中常见的恒成立问题进行归类和探讨。
一、 分离参数法
如果含参数的不等式恒成立问题，其中的参数比较容易从变量中分离出来，可以把它放到不等式的一边，而另一边是变量，通过研究变量对应的函数最值，利用极端原理得到参数范围的方法叫做分离参数法。
例1 ．已知函数2()3f x x x =-．当(0,)x ∈+∞时,不等式()1f x ax >-恒成立,求实数a
的取值范围．
【能力提升】()x f a ≥恒成立等价于()()x f a x f a ≤≥;m ax 恒成立等价于()m in x f a ≤。
利用分离参数法求解不等式恒成立问题，前提条件是参数较易从变量中分离出来，
二、根的分布法
当恒成立的问题只是对部分区间恒成立时，研究这类不等式的恒成立，就需要研究它所对应的方程的根与其函数值，通过根的位置和函数值的符号，建立一个满足条件的不等式组，这种求解参数范围的方法叫做根的分布法。
例3 已知函数()222+-=ax x x f ，当[)+∞-∈,1x 时，()a x f ≥恒成立，求a 的取值范围。
【能力提升】利用根的分布法求参数的取值范围，要注意判别所对应函数的形式，常见命题中的函数有一次函数和二次函数两类，对应的题型是：（1）())0(0≠≥+=a b ax x f 对[]n m x ,∈恒成立，则()()⎩⎨⎧≥≥;
0,0n f m f （2）
()=x f 2ax +bx +c 0≥)0(>a 对[]n m x ,∈恒成立，则分三种情形：①△=;042≤-ac b ②m a b x <-=2时，();0≥m f ③n a b x >-=2时，();0≥n f （3）
()02≤++=c bx ax x f )0(>a 对[]n m x ,∈恒成立，则()()⎩⎨⎧≤≤.
0,0n f m f 三、 主参换位法
对于给出了参数范围的恒成立问题，常常把参数视为主元，把主元视为已知数，即把原题视为参数的函数，从函数的角度来进行解答，这种方法叫做主参换位法。
例2、对于实数m ∈[2
1，3]，不等式x m mx x 4242+>++恒成立，求x 的取值范围。
【能力提升】某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使
能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。
即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。
四、导数分析法
利用导数分析法求解恒成立问题，主要思想是根据函数和导数的关系讨论函数的单调性，因此，解答问题时，一般的解题思路是先通过对函数求导，判断导函数的符号，从而确定函数在所给区间上的单调性，找到在指定区间上函数值的变化趋势，通过函数值的变化趋势，根据区间的端点值、函数的极值，确定参数所满足的不等式或不等式组，基本的数学思想是等价转化。
例4 已知函数3223
()39
f x x ax a x a
=--+.
(1)设1
a=，求函数()
f x的极值；
(2)若
1
4
a>，且当[]
1,4
x a
∈时，)
('x
f≤12a恒成立，试确定a的取值范围.
五、构建函数法
对于()()()()型
g
x
≤含参数恒成立不等式，可以考虑通过构造函数f≥
x
f
g
型或x
x
()()()x g
F-
=，然后根据这个函数在指定区间上的性质（单调性、极值、最值、x
x
f
区间端点值），得到关于参数的不等式。
例5、设函数22
=++-∈>
R，．
f x tx t x t x t
()21(0)
（Ⅰ）求()
h t；
f x的最小值()
（Ⅱ）若()2
t∈，恒成立，求实数m的取值范围．
h t t m
<-+对(02)。