由z平面零极点位置设置来确定的简单的一阶二阶滤波器
由Z平面零、极点位置设计简单一阶、 二阶滤波器探讨
由Z平面零、极点位置设计简单一阶、二阶滤波器探讨摘要数字滤波器是工程领域中一种非常重要的器件，它可以将输入信号的某些频率成分或者某个频带进行压缩、放大，从而改变输入信号的频谱结构，因此，数字滤波器也可以说是一个频率选择器。
我们平时所接触到的最基本、最常见的滤波器就是简单一阶、二阶数字滤波器。
在之前的学习中，我们已经讨论过z平面零极点是如何影响系统的频率响应的，在本文中，我们将着重探讨如何根据需求放置零极点来设计简单的一阶、二阶滤波器。
关键词z平面；零点；极点；一阶滤波器；二阶滤波器1 零极点与滤波器性质通过之前的学习我们知道，对于系统函数为的某系统，其频率响应可以表示为其中，K为实数，为H（z）的M个零点，为H（z）的N各极点。
当N>M 时，H（z）在零点有N-M重零点；当N<M时，H（z）在零点有M-N重极点。
对于单位圆附近的零点而言，当越靠近单位圆，在该处的形成的波谷就越低，当零点在单位圆上，则此频率点上值为0。
对于单位圆附近的极点而言，若极点越靠近单位圆，则波峰越尖锐。
但极点不能再单位圆上，否则系统处于临界稳定状态，不应采用。
因此，在设计简单滤波器时，零极点放置的基本原理是：極点放置在要加强的频率附近（单位圆内），极点越靠近单位圆，频率响应的峰值越高；零点放置在要减弱的频率附近，零点越靠近单位圆，频率响应的谷值越小。
另外还有两个约束条件：①所有极点必须在单位圆内，以保证滤波器因果稳定；②所有零极点必须共轭成对，或者是实数，以保证滤波器的系数是实数[1]。
2 简单一阶滤波器简单一阶数字滤波器具有一个极点，零点可以有一个也可以没有。
零极点的分布如图所示。
图1（a）的极点在处，这是一个低通滤波器。
图1（b）在处增加了一个零点，进一步减弱了的幅度。
如果将图1（a）和（b）的零极点旋转180°，则得到图1（c）和（d）形成高通滤波器。
假设0<a<1，且幅度特性的最大值为1，（a）和（b）的系统函数分别为，。
数字滤波器的结构
1.1直接型 直接II型信号流图 合并两个具有相同输入的延时支路后的信号流图
减少了延迟单元数。是滤波器的常用形式，经常采用这种结构。
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
直接II型结构特点：
(1)两个网络级联。 第一个有反馈的N节延时网络实现极点； 第二个横向结构M节延时网络实现零点。 (2)实现N阶滤波器（一般N>=M)只需N级延时单元，所需延时单元最 少。故称典范型。 (3)直接I型滤波器的结构对于IIR非递归差分方程的实现不是最有效的 方法。如果采用直接II型，所用的存储器要少得多。
§6．数字滤波器的结构
3、数字滤波器表示方法
无论用软件还是用硬件，实现一个数字滤波都需要以下几种 基本的运算单元，其信号流图如下： 信号流图是一种有向图，它用带箭头的线段代表一条支路， 箭头的方向代表信号的流动方向。
（1） 加法器
x1(n)
x1(n)+x2(n)
x2(n)
（2） 乘法器
a x(n)
现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这 一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波 器、线性预测器、自适应滤波器。
作为基础理论，本课程主要讲经典滤波器。
4.3.模拟滤波器和数字滤波器
经典滤波器从功能上分又可分为：
• 低通滤波器(LPAF/LPDF):Low pass analog filter • 带通滤波器(BPAF/BPDF):Bandpass analog filter • 高通滤波器(HPAF/HPDF):High pass analog filter • 带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstop analog filter • 即它们每一种又可分为：数字(Digital)和模拟(Analog)滤波器。
计算机控制数字控制器的连续设计方法
数字控制器旳连续设计措施
引言
自动化控制系统旳关键是控制器。控制器旳任务是按照一定旳控制规律，产生满足工艺要求旳控制信号，以输出驱动执行器，到达自动控制旳目旳。在老式旳模拟控制系统中，控制器旳控制规律或控制作用是由仪表或电子装置旳硬件电路完毕旳，而在计算机控制系统中，除了计算机装置以外，更主要旳体目前软件算法上，即数字控制器旳设计上。
目旳：希望混合系统和等效连续系统旳特征尽量接近
量化单位
模拟量经A/D转换之后才干进入计算机，所以模拟量经过了整量化，假如整量化单位过大，相当于系统中引入了较大旳干扰。但是这个问题在工程上能够实现旳条件下，能够经过增长A/D转化旳位数来将干扰限制在很小旳程度。例如一种5V基准电源转换器，当位数n=8时，辨别率δ=20mV;当n=12时，辨别率 δ=1.25 mV，量化单位已很小，完全能够看成连续信号。
5.1.1 混合系统概念
图5-1 混合系统
5.1.2 等效连续系统
图5-2 等效连续系统
怎样确保离散化后信息不丢失？问题：按连续系统设计措施设计数字控制系统旳条件是什么？
量化单位：经过增长A/D转换旳位数实现。采样周期旳选择：采样频率旳高下会影响系统旳动态特征
5.1.3 等效连续系统旳两个条件
香农采样定理: 采样角频率ωs≥2ωmax,ωmax为连续信号旳最大频率分量，连续信号能够由它旳采样信号复现。 零阶保持器旳传递函数为
其频率特征是
采样周期旳选择
图5-3 零阶保持器旳幅频和相频特征
零保持器带来旳附加相移为：
当采样频率取为10倍信号主频率旳最高频率时，
结论：采用连续设计措施，用离散控制器去近似连续控制器，要求有相当短旳采样周期。
第5章无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计方法
|ω|≤ωp
在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即
| H ( e jω ) |≤ δ 2
ωs≤|ω|≤π
式中，ωp, ωs分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是 数字域频率。幅度响应在过渡带（ωs-ωp）中从通带平滑地下降 到阻带，过渡带的频率响应不作规定。
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.1.2 滤波器的技术指标 理想滤波器(如理想低通滤波器)是非因果的， 其单位脉冲响 应从-∞延伸到+∞， 因此，无论用递归还是非递归方法， 理想滤 波器是不能实现的， 但在概念上极为重要。 一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的 允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图5-2（称容限图）所 示， 频率响应有通带、 过渡带及阻带三个范围（而不是理想的 陡截止的通带、阻带两个范围）。图中δ1为通带的容限，δ2为阻 带的容限。
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
无限长单位脉冲响应（IIR） 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR） 数字滤波器的设计方法
5.1 基本概念 5.2 IIR滤波器设计的特点 滤波器设计的特点 5.3 常用模拟低通滤波器的设计方法 5.4 用脉冲响应不变法设计 用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器 数字滤波器 5.5 用双线性变换法设计IIR数字滤波器 用双线性变换法设计 数字滤波器 5.6 设计 设计IIR滤波器的频率变换法 滤波器的频率变换法 5.7 Z平面变换法 平面变换法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.1.3 FIR型滤波器和 型滤波器 型滤波器和IIR型滤波器 型滤波器和 数字滤波器按单位脉冲响应h(n)的时域特性可分为无限长脉 冲响应IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和有限长脉冲响应 FIR（Finite Impulse Response）滤波器。 IIR滤波器一般采用递归型的实现结构。其N阶递归型数字滤 波器的差分方程为
数字信号处理 第五章
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
6
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
-1 a1 z
y(n)
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
7
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
z z
2 2
H (z)
1 1k z 1 1k z
1 1
x(n)
H 1(z)
y (n )
H 2(z)
H k (z)
数字信号处理—第五章
22
数字信号处理—第五章
23
IIR数字滤波器的级联型结构优点
1) 每个二阶或一阶子系统单独控制零、极点。 2）级联顺序可交换，零、极点对搭配任意，因此级联 结构不唯一。有限字长对各结构的影响是不一样的， 可通过计算机仿真确定子系统的组合及排序。 3）级联各节之间要有电平的放大和缩小，以使变量值 不会太大或太小。太大可能导致运算溢出；太小可 能导致信噪比太小。 4）级联系统也属于最少延时单元实现，需要最少的存 储器，但乘法次数明显比直接型要多。 4）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算 误差积累比直接型小。
数字信号处理—第五章
4
基本单元(数字滤波器结构）有两种表 示方法
数字信号处理—第五章
5
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
19春【西南大学】[1077]《数字信号处理》在线作业(题目)
![19春【西南大学】[1077]《数字信号处理》在线作业(题目)](https://img.taocdn.com/s3/m/eb16aa1fb90d6c85ec3ac633.png)
B.×
正确答案:
第15题,【判断题】对连续信号作频谱分析，设信号的采样频率为10KHz，频域的分辨能力为不大于10Hz，则对应DFS点数为 1000 点。
A.√
B.×
正确答案:
第16题,【判断题】陷波器的作用是 滤除某些单频或宽带干扰 。
A.√
B.×
正确答案:
第17题,【判断题】靠近单位圆上的极点，对应幅频特性的 极大值 。
A.√
B.×
正确答案:
第40题,【判断题】窗函数法设计的滤波器，过渡带宽度等于窗谱主瓣的宽度。
A.√
B.×
正确答案:
第41题,【判断题】双线性映射为单值映射，无混叠产生。
A.√
B.×
正确答案:
第42题,【判断题】IIR的并联型结构能够单独调整零点，计算误差较小。
A.√
B.×
正确答案:
第43题,【判断题】原位运算是按时间抽选法基2FFT蝶形单元的特点。
正确答案:
第58题,【论述题】简述双线性映射的优缺点。
正确答案:
第59题,【论述题】简述稳定性的含义及系统稳定的充要条件。
正确答案:
第60题,【应用题】利用计算机分析信号x(t)=sin(20*pi*t)/(20*pi*t)的频谱，试利用Matlab编写相关的程序，实现信号的抽样、频谱的计算、频谱的显示等，并对每条语句加以必要的注释。
【西南大学】[1077]《数字信号处理》
试卷总分:100 得分:100
第1题,【判断题】应用DFT分析无限长信号的频谱时，必然会产生误差。
A.√
B.×
正确答案:
第2题,【判断题】离散周期信号的DFS中，频域的周期N对应数字频率为 2π 。
数字信号处理 第六章
各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言
数字滤波器的设计步骤：
按任务要求，确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR） 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。
零极点分布对系统相角的影响
相位“延时”（或相位“滞后”）系统
最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统
相位“超前”（或相位“领先”）系统
当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数， 当全部零点在单位圆外时，相位变化最小， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最大， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最小， 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定， 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制， 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的， 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
数字信号处理第五章-IIR数字滤波器的设计
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
34
20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
35
另外：
36
无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。
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由z平面零极点位置设置来确定的简单的一阶二阶滤波器
发表时间：2016-07-05T15:59:37.813Z 来源：《电力设备》2016年第7期作者：周士贻王涉叶汉霆[导读] 极点的位置影响频率响应的峰值，极点离单位圆越近，那么频率响应的峰值越大。
周士贻王涉叶汉霆
（重庆大学重庆 400030）
摘要：为了一阶二阶滤波器的设计，本文通过z平面上零极点位置的不同来确定设计滤波器的参数，包括一阶二阶滤波器的频率响应特性的种类，以及针对一阶滤波器当极点非常靠近，时提出了计算通频带宽度的近似公式，大大提高了运算效率。
关键字：z平面，零极点，一阶滤波器，二阶滤波器
1引论
由z平面零点、极点位置设置来确定的简单的一阶、二阶滤波器
稳定的滤波器的条件是极点必须在单位圆内，但是零点没有必须在单位圆内的限制。
极点的位置影响频率响应的峰值，极点离单位圆越近，那么频率响应的峰值越大；零点的位置影响频率响应的谷值，零点越靠近单位圆，那么频率响应曲线的谷值越小。
同时我们还要保证滤波器系统函数的系数是实数。
2简单一阶数字滤波器
一阶数字滤波器是指含有一个极点，也可以又一个零点或者没有零点的滤波器。
A 系统函数
图10 二阶带阻滤波器的频率响应
4结论：
本文简单探讨了一阶和二阶的滤波器的设计，其中对一阶数字滤波器提出了计算通频带宽度的近似公式，很大程度上提高了计算的容易度。
同时对二阶滤波器提出了零极点位置的不同会影响二阶滤波器的频率响应特性，对以后的一阶二阶提供了理论指导。
参考文献：
[1] 程佩青，数字信号处理教程，清华大学出版社，1995.08
Cheng Pei-qing.Digital signal processing course. Tsinghua university press.1995(08) 作者简介：
王涉（1994-），男，重庆大学本科生，2013级电气弘深班。