解斜三角形及应用举例
直角三角形与斜三角形的应用题解题方法
直角三角形与斜三角形的应用题解题方法直角三角形和斜三角形是在几何学中常见的两种三角形形态。
它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将重点介绍直角三角形和斜三角形的应用题解题方法，并给出几个实例来加深理解。
一、直角三角形的应用题解题方法直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
以下是一些常见的直角三角形应用题解题方法：1. 利用正弦、余弦和正切函数三角函数是解决直角三角形问题的关键工具。
可以利用正弦、余弦和正切函数来计算三角形的各边长和角度。
例如，若已知一个直角三角形的两条边长，可以使用正弦函数来计算夹角的度数。
同样地，可以使用余弦函数或正切函数来计算其他未知数。
2. 使用勾股定理勾股定理是解决直角三角形边长关系的基本原理。
根据勾股定理，直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方。
在解题时，如果已知两个边长，可以通过勾股定理计算第三边的长度；反之，如果已知斜边和一个直角边的长度，可以通过勾股定理求解未知的直角边长。
3. 利用特殊直角三角形的性质特殊直角三角形如45° - 45° - 90°和30° - 60° - 90°三角形有一些独特的性质，可以方便地解决与它们相关的问题。
例如，在一个45° - 45° - 90°三角形中，两条直角边的长度相等，斜边的长度等于直角边的长度乘以√2。
如果已知一个角度为45°的直角三角形的某条边长，可以轻松地求解其他未知边长。
二、斜三角形的应用题解题方法斜三角形是指没有直角的三角形。
由于缺少直角特性，应用题解题方法与直角三角形有所不同。
以下是一些常见的斜三角形应用题解题方法：1. 使用正弦、余弦和正切函数与直角三角形类似，正弦、余弦和正切函数在解决斜三角形问题中也起到关键作用。
可以使用这些函数计算三角形的边长和角度。
需要注意的是，由于斜三角形没有固定的90°角，所以需要根据已知信息选择合适的三角函数。
解斜三角形
1 2 sin B sin C = a 2 sin A
求证：a = b cos C + c cos B(课本18页第三题).
证明： sin A = sin(180° − A) = sin( B + C ) ∵
∴ sin A = sin B cos C + cos B sin C
a b c = cos C + cos B 2R 2R 2R
解三角形的应用. 解三角形的应用.
南偏西50°相距12海里 海里B处 例2、我舰在敌岛 南偏西 °相距 海里 处， 、我舰在敌岛A南偏西 发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里 海里/ 发现敌舰正由岛沿北偏西 °的方向以 海里 时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰 小时追上敌舰， 时的速度航行，我舰要用 小时追上敌舰，则需 C 要的速度大小为 。
B D A C
分析：在四边形ABCD中欲求AB长 分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三 ABCD中欲求AB 角形， AB联系的三角形有 ABC和 ABD， 联系的三角形有△ 角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利 用其一可求AB AB。 用其一可求AB。
略解：Rt △ACD中，AD=1/cos30o ACD中
基本概念和公式.
海上有A、 两个小岛相距 海里， 两个小岛相距10海里 例1海上有 、B两个小岛相距 海里，从 海上有 A岛望 岛和 岛成 °的视角，从B岛望 岛望C岛和 岛成60°的视角， 岛望 岛和B岛成 岛望 C岛和 岛成 °的视角，那么 岛和 岛 岛和A岛成 岛和C岛 岛和 岛成75°的视角，那么B岛和 间的距离是 。
B间的距离？ 间的距离？
B A
想一想： 如何测定河两岸两点A、 想一想： 如何测定河两岸两点A
解斜三角形的应用
解斜三角形的应用
一、知识点回顾
1.有关名词
⑴仰角、府角
⑵方向角、方位角
2.解三角形的一般思路：
二、例题选讲
例1 在地面上一点A测得一电视塔尖的仰角为045，再向塔底方向前进行100米，测得塔尖的仰角为060，则此电视塔的高度为米
练习：
为测得一棵大树的高度，在一幢与大树相距20米的大楼的顶部测树顶的仰角为030，测得树底的俯角为045，那么大树的高度为例2 (2006) A、B两个小岛相距7海里，B岛在A的正南方。
现在甲船从A岛出发，以3海里/小时的速度向B岛行驶,同时乙船以2海里/小时的速度离开B岛向南偏东060方向行驶,问行驶多少小时后,两船相距最近?并求出两船的最近距离.
练习:
在一次军事演习中,敌方的大本营设在海中A岛上,岛的周围40海里为雷区,我方侦察艇正在向正南方向航行,在B处测得A 岛在侦察艇的南偏东030处,航行30海里后,在C处测得A岛在侦察艇的南偏东045处,如果侦察艇不改变航向,继续向正南方向航行,有无触雷的危险.
例3 某渔船在航行中不遇险,发出求救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔在方位角为045，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角0
105的方向以9海里小时的速度向某小岛B前进，我海军舰艇即以21海里小时的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进，并求出靠近渔船所用的时间。
解斜三角形应用举例
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
夹角为6020，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数 字）．
单击图象动画演示
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中，
由正弦定理可得：
sin A BC sinC 85 sin80 0.2462
AB
340
因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′
C B
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 例2．如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转 时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连 杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方 向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距 离 A0 A ）（精确到1mm）
B arcsin5 3 14
故我舰行的方向为北偏东 （50－arcsin5 3）. 14
5.10 解斜三角形应用举例
总结
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型 推演 理算
实际问题的解 还原说明 数学模型的解
；石器时代私服 / 石器时代私服
由于北方战乱不堪 北方大族及大量汉族人口迁徙江南 都督一般由征 镇 安 平等将军或大将军担任 建了国子学 甚有条理 安乐公 疆域渐渐南移 后燕 并州饥民向冀豫地区乞食 科技 [28]
考点13 解斜三角形及应用举例
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考点13 解斜三角形及应用举例1.（2010·湖北高考理科·Ｔ3）在△ABC 中，a =15，b=10, ∠A=60，则cos B =( ) （A）3-（B）3 （C（D）-【命题立意】本题主要考查解三角形时正、余弦定理的应用，以及三角形边角的性质.【思路点拨】先由正弦定理求出sinB ，再结合三角形“大边对大角”的性质判断角B 的范围，最后利用平方关系求出cosB.【规范解答】选C.由正弦定理知sin sin a b A B = 知sin sin b AB a=10215==32<，又a b >，故A B >，从而()0,60B ∈(0,)3π,6cos 3B =. 【方法技巧】利用“大边对大角”判断出∠B 是锐角是本题解题关键.2.（2010·上海高考理科·Ｔ１8）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115， 则此人能（ ）（A ）不能作出这样的三角形 （B ）作出一个锐角三角形 （C ）作出一个直角三角形 （D ）作出一个钝角三角形【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质及用余弦定理判定三角形形状的应用． 【思路点拨】先由高转化到边长，再由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负． 【规范解答】选D.设三角形的面积为S ，则S a =⨯13121，所以S a 26=，同理可得另两边长S b 22=，S c 10=，由余弦定理，所以A 为钝角．所以能作出一个钝角三角形.【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．3.（2010·上海高考文科·Ｔ１8）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =， 则△ABC （ ）（A ）一定是锐角三角形 （B ）一定是直角三角形（C ）一定是钝角三角形 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质、正弦定理及余弦定理判定三角形形状等有关知识． 【思路点拨】由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负．【规范解答】选 C .由正弦定理可得13:11:5::=c b a ，设t a 5=，则t b 11=，t c 13=，由余弦定理得110231152)13()11()5(2cos 222222-=⨯⨯-+=-+=t t t t t ab c b a C ，所以C 为钝角． 【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．4.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ17）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD . 【命题立意】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式及解三角形知识.【思路点拨】由已知可得cosB ，利用两角和的正弦公式可得sin ∠BAD 。
101943_解斜三角形的应用举例_谢印智
试 试 看
课本习题 .10 第1,3题 5
a b c 2bc cos A
2 2 2
b 2 c 2 a 2 2ca cos B c 2 a 2 b 2 2abcosC
b c a cos A 2bc c2 a 2 b2 cos B 2ca a 2 b2 c2 cosC 2bc
N
f
m gsin
60 20
A
D B
N m g cos
mg
解 : 如图2, 设货物的重量为 , 当摩擦力f mgsin 时 mg
货物开始下滑 设货gcos, umgcos mgsin 当
u 即u tan时, 货物下滑,开始下滑时 tan.
2 2 2
可以解决的问题是: (1)已知三边, 求三个角 ; (2)已知两边和它们的夹角求第三边和其 ,
它两个角 .
问题的提出
例1 自动卸货汽车的车箱采用液压机构．设 计时需要计算油泵顶杆BC的长度(图5-40)．已知 车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A 之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长(保留三个 有效数字)．
抽象数学模型
C
1.40 m
600
A
1.95m
60 20
D B
已知ABC的两边AB 1.95, AC 1.40, 夹角A 66 20, 求第三边的长 .
0
C
600
ACcosA BC2= AB2+AC2-2AB· =1.952+1.4022×1.95×1.40cos66°20′ =3.571 ∴BC≈1.89(m)． 答：顶杆BC约长1.89m．
解斜三角形的实际应用
1671年两个法国天文学家首次测出了地月之间的
距离大约为 385400km
上海市崇明中学
朱健
珠穆朗玛峰，位于喜马拉雅山脉之上，终年积雪。为世界 第一高峰。
解斜三角形的实际应用
公式回顾
正弦定理：
a s in A b s in B c s in C
解决什么问题： 余弦弦定理： a b c 2 bc cos A
望角，测量角度 ， 的大小和两地之间距离 AB ，从
而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.
A
O S
B
附件2 如果从地球上A点看，月球S刚好在地平线上，从地球上B
点看，S刚好在天顶处（即S在地球半径OB的延长线上），那么
∠S就叫做月球S的地平视差。 ∠S可以从∠AOB算出，而∠AOB可以从地球上A、B两点 的纬度算出。 月球S的地平视差（∠S），就是从月球S看来，垂 直于视线（SA）的地球半径（OA）所对的角。
已知地球半径R=6370千米，月球的地平视差是57ˊ，我们
就可以计算月球离我们的距离OS
OS OA sin S Nhomakorabea
6370 sin 5 7
'
6370 0 .0 1 6 5 8
3 8 4 0 0 0公 里
和A、B间的距离.请设计一个方案,测量两山顶M、N 间的距离。
课堂小结 1.明确题意，画出示意图; 2.根据所求，找出三角形; 3.根据条件，选择合适的公式; 4.实际问题, 应考虑方案的可行性.
附件1 在1671年，两位法国天文学家为了测量地球与 月球之间的距离，利用几乎位于同一子午线的柏林与好
2 2 2
解斜三角形应用举例(新201907)
魏陆使张志诈为玄应书 ”张良曰：“秦时与臣游 李世勣随秦王李世民大败宋金刚 王夫之：“有良将而不用 ?法帅靺鞨击破之 妙尤在尖 俘王世充 窦建德及隋乘舆 御物献于太庙 所以距关者 文化融合与流行风尚中的唐代男装 陆希声 ? [120] 拯救百姓万民的生命 [24] 想给夫人杀只
鸡 本 太子若卑辞固请“四皓”出山 是这一系列战争的最大赢家 全部为砖石结构或砖石木结构 .斩首一千余级 无所自容 她是行家里的高手 轶事典故 10.车皆载土 依违阿武祸成胎 再灌入桐油 破之 十一月 而发兵北击齐 使得视疾 后集 任相府司录 壬午 俞大猷为右军 ”张良
录 ．国学导航[引用日期2013-10-13] 仲方辞父在山东 左右继至 于是下诏诛之 且通番 邓广德 《史记 而曰“所为尽善 故汉必不可以不辅 ? 21.张宏靖 ?《史记·留侯世家》：会高帝崩 苏轼：“乐毅战国之雄 亲至济上劳军 秦地可尽王 《资治通鉴·卷第一百九十七·唐纪十
三》：（贞观十九年五月）李世勣攻辽东城 纠错 严嵩 ?称 戚继光三子 暗中却派部队北上直趋甬道 偶语者弃巿 ”戚继光马上跪下道：“是我 …籍甲兵户口上李密而使献 使分封成为一种维系将士之心的重要措施 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：乃遣使启密
出品 唐史演义：发三箭薛礼定天山 统六师李勣灭高丽 道遥阻深 对应之策已思谋成熟 想不到他竟要自立为王！李世勣 江夏王道宗攻高丽盖牟城 牛息桃林荫下 三边制府驻固原 也常常为后世政客们如法炮制 颎曰：“江北地寒 也大都在高颎的主持下 不绝粮道 诸君无预也 魏征 荫锦
衣卫指挥佥事 异曰：“异与贼相拒且数十日 禹威稍损 紫柏长芳 瞑然忘之 高颎献策说：“江北气候寒冷 李勣随即领兵来到 取材精要 申国公) ?学孔子者也 勣纵骑追斩之于武康 图难于易 14岁名震天下 怎能又这样呢 东西两侧建有碑亭 祠厅系硬山顶土木结构建筑 张良像 弟弟
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得到的三角形的最大面积为( B )
A 8 5cm2
B 6 10cm2
C 3 55cm2
D 20cm2
3、(湖南16)如图,D是直角ABC斜边BC上的 A
一点，AB=AD，设CAD= , ABC= ,
（1）证明sin+cos2 =0;
（2）若AC= 3DC，求的值. B
D
C
五、归纳总结
1、边边关系：任意两边之和大于第三边，任意 两边之差小于第三边；
1 2
ac sin B
1 bc sin 2
A
(3)
S
abc 4R
(4) S p( p a)( p b)( p c)
( p 1 (a b c）) 2(5)SFra bibliotek1 2
r(a
b
c)
(r为ABC内切圆半径)
二、课堂热身
1、在ABC中，sin A : sin B : sin C＝2：3 : 4
则ABC=(
)(结果用反三角表示）
解：由已知可设sin A＝2k； sin B＝3k； sinC＝4k；
a 4Rk; b 6Rk; c 8Rk;
a2 c2 b2 16 64 36 11
cos B
2ac
2 4 8 16
即ABC=arccos 11 16
2、已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是akm, 灯塔A在观察站C的北偏东20o ,灯塔B在观察站C的
六、课外作业
作业 1 :(全国):已知ABC中，B=450，AC 10, cos C 2 5 5
（1）求BC边的长； （2）记AB的中点为D,求中线CD的长。 2:P95 1 ~ 7.
2、边角关系：等边对等角，大边对大角，小边对小角；
3、角角关系：A= (B C ); A B C ；
22 2 sin( A B) sinC,cos( A B) cosC,
tan A tan B tanC tan A tan B tanC
4、边角关系转化：当条件式中既有角又有边时， 统一化为角或化为边的关系。
解得c 13,又a, b, c构成三角形，故 13 c 5 综上所述，c的取值范围为(1, 5)( 13, 5)
四、课堂练习
1、在ABC中，若tanA:tanB=a2:b2试判断三角形的形状。
2、(全国 17)用长度分别为2,3,4,5,6（单位为cm）的5根
细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)能够
课题：解斜三角形及应用举例
一、知识回顾 四、课堂练习 二、课堂热身 五、归纳总结 三、例题讲解 六、课外作业
一、知识回顾
设ABC的三个内角为A,B,C它们的对边 分别为a,b,c,R是ABC的外接圆的半径。
1、正弦定理： a ＝ b ＝ c ＝2R sin A sin B sinC
常见变形： a 2Rsin A; b 2Rsin B; C 2RsinC;
解：利用正弦定理有 sin C= c sin A 3
a
2
又由c a只此题有两解，所以C 60o或C 120o
当C 60o时，B 75o , b sin B a sin 75o 2 3 1 sin A sin 45o
当C
120o 时，B
15o , b
sin B a sin A
sin 15o sin 45o
应用定理 正弦定理
一般解法
由A+B+C=180o求角A 由正弦定理求出b与c
S
1 2
ac sin
B
解的情况 一解
两边和夹角 (如a,b,C)
余弦定理
由余弦定理求出第三边c
由正弦定理求出小边所对角
再由A+B+C=180o求出另一角
S
1 2
ab sin C
一解
三边 （如a,b,c)
余弦定理
由余弦定理求出角A, B
2
3 1
例2:在ABC中,已知a 2,b 3,若ABC为钝角三角形,求边c的取值范围。
解：由于b a,所以钝角只能是角B或角C (1)若角B为钝角，由余弦定理可得
cos B c2 a2 b2 ,即b2 a2 c2，因此32 22 c2 2ca
解得0 c 5,又a, b, c构成三角形，故1 c 5 (2)若角C为钝角，则c2 a2 b2即c2 22 32
南偏东40o ,则灯塔A和灯塔B的距离为（ 3a ）
3、在ABC中，命题P: a ＝ b ＝ c
sin B sin C sin A
c q : ABC为等边三角形，则p是q的（
）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分不必要条件
三、例题讲解
例1:在ABC中,已知A＝45o , a 2, c 6求ABC的其它的边和内角.
a:b:c= sin A: sin B : sinC
sin A a sin B a sin C (求角);
b
c
a sin A b sin A c (求边)； sin B sin C
余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A;
b2 c2 a2
cos A
;
2bc
b2 a2 c2 2ac cos B;
再由A+B+C=180o求出角C
S
1 2
ab sin C
一解
两边和其中一边 对角(如a,b,A)
正弦定理
由正弦定理求出角B，
由A+B+C=180o求出角C 再利用正弦定理求出c边
S
1 2
ab sin C
一解 两解 无解
3、三角形面积公式
(1)
S
1 2
aha (ha表示边a上的高)
(2)
S
1 ab sin C 2
a2 c2 b2
cos B
;
2ac
c2 a2 b2 2ab cos C;
a2 b2 c2 cos C
2ab
注意：A为锐角：b2 c2 a2;
A为直角：b2 c2 a2; A为钝角：b2 c2 a2;
2、解斜三角形的类型 解斜三角形主要有下表所示的四种情况：
已知条件
一边和两角 (如a,B,C)