高考数学三角函数典型例题(供参考)

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三角函数典型例题

1 ．设锐角ABC ?的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.

(Ⅰ)求B 的大小;

(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.

【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2

B =

, 由ABC ?为锐角三角形得π6B =

. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π??+=+π-

- ?6?

?

3A π?

?=+ ??

?.

2 ．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．

(Ⅰ)求角B 的大小;

(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ?的最大值是5,求k 的值.

【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C ,

∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．

即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )

∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0

2

1. ∵0

3

π. (II)m n ?=4k sin A +cos2A ． =-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,3

2π) 设sin A =t ,则t ∈]1,0(.

则m n ?=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(. ∵k >1,∴t =1时,m n ?取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k =

2

3. 3 ．在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22

sin 2sin

=++C

B A . I.试判断△AB

C 的形状;

II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.

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【解析】:I.)4

2sin(22sin 2cos 2sin

2

sin

ππ+=+=+-C C C C C

2

242π

ππ==+∴

C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2

)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,

此时面积的最大值为()

24632-.

4 ．在ABC ?中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,4

3cos =

A , (1)求

B

C cos ,cos 的值; (2)若2

27

=

?,求边AC 的长? 【解析】:(1)8

1116921cos 22cos cos 2=-?

=-==A A C

(2)24,2

27

cos ,227=∴=∴=

?ac B ac ① 又a A a c A C C c A a 2

3cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=6

5=∴b ,即AC 边的长为5.

5 ．已知在ABC ?中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652

=+-x x 的两个根.

(Ⅰ)求)tan(B A +的值; (Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.

【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652

=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==.

∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=

-23

1123

+==--?

(Ⅱ)∵

180=++C B A ,∴)(180B A C +-=

.

由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C ,

∵C 为三角形的内角,

∴sin C =

∵tan 3A =,A 为三角形的内角,

∴sin A =

, 由正弦定理得:

sin sin AB BC

C A

=

∴2

BC =

=6 ．在

ABC ?中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量