定积分习题及答案

定积分习题及答案第五章 定积分(A 层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1； 10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ；13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。

(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。

4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。

5．()1lim202+⎰+∞→x dt arctgt xx 。

6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dtt f x 0ϕ。

7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x，求()⎰-21dx x f 。

8．()2221limn n n n n +++∞→Λ。

9．求∑=∞→+nk nk n k n nen e12lim 。

10．设()x f 是连续函数，且()()⎰+=12dt t f x x f ，求()x f 。

11．若⎰=-2ln 261xte dt π，求x 。

12．证明：⎰---<<212121222dx e ex 。

13．已知⎰∞+-+∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a xxx dx e x a x a x 224lim ，求常数a 。

14．设()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-0,0,12x e x x x f x，求()⎰-312dx x f 。

15．设()x f 有一个原函数为x 2sin 1+，求()⎰'202πdx x f x 。

16．设()x b ax x f ln -+=，在[]3,1上()0≥x f ，求出常数a ，b 使()⎰31dx x f 最小。

17．已知()2x ex f -=，求()()⎰'''1dx x f x f 。

18．设()()()⎰⎰+-=1222dx x f dx x f x x x f ，求()x f 。

19．()()[]⎰'-π2sin cos cos cos dx x x f x x f 。

20．设0→x 时，()()()dt t f t x x F x''-=⎰022的导数与2x 是等价无穷小，试求()0f ''。

(C 层次)1．设()x f 是任意的二次多项式，()x g 是某个二次多项式，已知()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎰12140611f f f dx x f ，求()dx xg b a ⎰。

2．设函数()x f 在闭区间[]b a ,上具有连续的二阶导数，则在()b a ,内存在ξ，使得()()()()ξf a b b a f a b dx x f b a''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰32412。

3．()x f 在[]b a ,上二次可微，且()0>'x f ，()0>''x f 。

试证()()()()()()2a fb f a b dx x f a f a b ba +-<<-⎰。

4．设函数()x f 在[]b a ,上连续，()x f '在[]b a ,上存在且可积，()()0==b f a f ，试证()()dx x f x f ba ⎰'≤21(b x a <<)。

5．设()x f 在[]1,0上连续，()01=⎰dx x f ，()11=⎰dx x xf ，求证存在一点x ，10≤≤x ，使()4>x f 。

6．设()x f 可微，()00=f ，()10='f ，()()d t t x tf x F x⎰-=022，求()4limxx F x →。

7．设()x f 在[]b a ,上连续可微，若()()0==b f a f ，则()()()x f dx x f a b bx a ba'≤-≤≤⎰max 42。

8．设()x f 在[]B A ,上连续，B b a A <<<，求证()()dx kx f k x f b ak ⎰-+→0lim()()a f b f -=。

9．设()x f 为奇函数，在()+∞∞-,内连续且单调增加，()()()dt t f t x x F x⎰-=03，证明：(1)()x F 为奇函数；(2)()x F 在[)+∞,0上单调减少。

10．设()x f 可微且积分()()[]dt xt xf x f ⎰+1的结果与x 无关，试求()x f 。

11．若()x f ''在[]π,0连续，()20=f ，()1=πf ，证明：()()[]⎰=''+π3sin xdx x f x f 。

12．求曲线()()⎰--=xdt t t y 021在点(0,0)处的切线方程。

13．设()x f 为连续函数，对任意实数a 有()⎰+-=aadx x xf ππ0sin ，求证()()x f x f =-π2。

14．设方程()⎰-=--yx tdt y x tg x 02sec 2，求22dxyd 。

15．设()x f 在[]b a ,上连续，求证：()()[]()()a f x f dt t f h t f hxa h -=-+⎰+→1lim 0(b x a <<) 16．当0≥x 时，()x f 连续，且满足()()x dt t f x x =⎰+102，求()2f 。

17．设()x f 在[]1,0连续且递减，证明()()⎰⎰≤λλ010dx x f dx x f ，其中()1,0∈λ。

18．设()x f '连续，()()()dt t a f t f x F x-'=⎰20，()00=f ，()1=a f ，试证：()()122=-a F a F 。

19．设()x g 是[]b a ,上的连续函数，()()dt t g x f xa⎰=，试证在()b a ,内方程()()0=--ab b f x g 至少有一个根。

20．设()x f 在[]b a ,连续，且()0>x f ，又()()()dt t f dt t f x F xbxa⎰⎰+=1，证明： (1)()2≥'x F (2)()0=x F 在()b a ,内有且仅有一个根。

21．设()x f 在[]a 2,0上连续，则()()()[]⎰⎰-+=aa dx x a f x f dx x f 0202。

22．设()x f 是以π为周期的连续函数，证明：()()()()⎰⎰+=+πππ0202sin dx x f x dx x f x x 。

23．设()x f 在[]b a ,上正值，连续，则在[)b a ,内至少存在一点ξ，使()()()⎰⎰⎰==ba badx x f dx x f dx x f 21ξξ。

24．证明()()()()⎰⎰⎰++=+10010ln 1lnln du u f du u f u f dt t x f x。

25．设()x f 在[]b a ,上连续且严格单调增加，则()()()⎰⎰<+bab adx x xf dx x f b a 2。

26．设()x f 在[]b a ,上可导，且()M x f ≤'，()0=a f ，则()()22a b Mdx x f ba-≤⎰。

27．设()x f 处处二阶可导，且()0≥''x f ，又()t u 为任一连续函数，则()()()⎪⎭⎫⎝⎛≥⎰⎰a adt t u a f dt t u f a0011，()0>a 。

28．设()x f 在[]b a ,上二阶可导，且()0<''x f ，则()()⎪⎭⎫⎝⎛+-≤⎰2b a f a b dx x f ba 。

29．设()x f 在[]b a ,上连续，且()0≥x f ，()0≤⎰badx x f ，证明在[]b a ,上必有()0≡x f 。

30．()x f 在[]b a ,上连续，且对任何区间[][]b a ,,⊂βα有不等式()δβααβ+-≤⎰1M dx x f (M ，δ为正常数)，试证在[]b a ,上()0≡x f 。

第五章 定积分(A)1．⎰203cos sin πxdx x解：原式41cos 41cos 204203=-=-=⎰ππx xdx2．⎰-adx x a x 0222解：令t a x sin =，则tdt a dx cos = 当0=x 时0=t ，当a x =时2π=t原式⎰⋅⋅=2022cos cos sin πtdt a t a t a()⎰⎰-==20420244cos 182sin 4ππdt t a tdt a42044164sin 41828a t a a πππ=-=3．⎰+31221xxdx解：令θtg x =，则θθd dx 2sec = 当1=x ，3时θ分别为4π，3π原式θθθθππd tg ⎰=3422sec sec()⎰-=342sin sin ππθθd3322-= 4．⎰--1145xxdx解：令u x =-45，则24145u x -=，udu dx 21-= 当1-=x ，1时，1,3=u 原式()61581132=-=⎰du u 5．⎰+411x dx解：令t x =，tdt dx 2=当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t 原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+=⎰⎰⎰2121211212t dt dt t tdt()[]32ln221ln 22121+=+-=t t6．⎰--14311x dx解：令u x =-1，则21u x -=，udu dx 2-= 当1,43=x 时0,21=u 原式2ln 21111212210021-=-+-=--=⎰⎰du u u du u u7．⎰+21ln 1e xx dx解：原式()⎰⎰++=+=2211ln 1ln 11ln ln 11e e x d xx d x232ln 1221-=+=e x8．⎰-++02222x x dx解：原式()()⎰--+=++=0222111x arctg x dx()24411πππ=+=--=arctg arctg9．dx x ⎰+π2cos 1解：原式⎰⎰==ππ2cos 2cos 2dx x dx x()⎰⎰-+=πππ220cos 2cos 2dx x xdx22sin sin 2220=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πππx x 10．dx x x ⎰-ππsin 4解：∵x x sin 4为奇函数∴⎰-=ππ0sin 4xdx x11．dx x ⎰-224cos 4ππ解：原式()⎰⎰=⋅=2022204cos 22cos 24ππdx x xdx()()⎰⎰++=+=2022022cos 2cos 2122cos 12ππdx x x dx x()⎰⎰+++=2020204cos 12cos 22πππdx x xdx x⎰+++=202044cos 4122sin 2ππππx xd x πππ234sin 412320=+=x12．⎰-++55242312sin dx x x xx 解：∵12sin 2423++x x xx 为奇函数 ∴012sin 552423=++⎰-dx x x xx 13．⎰342sin ππdx x x解：原式⎰-=34ππxdctgx⎰+-=3434ππππctgxdx xctgx34sin ln 9341πππx +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 22ln 23ln 9341-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π 23ln 219341+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π 14．⎰41ln dx xx解：原式⎰=41ln 2x xd⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰4141ln ln 2x d x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰4112ln 42dx x x⎰--=412122ln 8dx x42ln 8-= 15．⎰10xarctgxdx解：原式⎰=10221arctgxdx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰1022102121dx x x arctgx x ⎰⎰++-=10210121218x dx dx π101021218arctgx x +-=π214-=π16．⎰202cos πxdx e x解：原式⎰=202sin πx d e x⎰⋅-=2022022sin sin ππdx e x xe x x⎰+=202cos 2ππx d e e x⎰⋅-+=2022022cos 2cos 2πππdx e x xe e x x⎰--=202cos 42ππxdx e e x故()251cos 202-=⎰ππe xdx e x17．()dx x x ⎰π2sin 解：原式()⎰⎰-==ππ020222cos 1sin dx xx dx x x ⎰⎰-=ππ02022cos 2121xdx x dx x ⎰-=ππ232sin 4161x d x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--=⎰πππ002322sin 2sin 416xdx x x x ⎰-=ππ032cos 416x xd 462cos 2cos 4163003πππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰xdx x x 18．()dx x e⎰1ln sin解：原式()()⎰⋅-=eedx xx x x x 111ln cos ln sin()⎰-=edx x e 1ln cos 1sin()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-=⎰e e dx x x x x x e 111ln sin ln cos 1sin()⎰-+-=edx x e e 1ln sin 11cos 1sin故()()11cos 1sin 2ln sin 1+-=⎰edx x e19．⎰--243cos cos ππdx x x解：原式()⎰--=242cos 1cos ππdx x x()⎰⎰+-=-2004sin cos sin cos ππxdx x dx x x()()2230423cos 32cos 32ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-x x32344-=20．⎰+4sin 1sin πdx xx解：原式()⎰--=42sin 1sin 1sin πdx xx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4022cos sin πdx x tg x x ()⎰⎰---=402421sec cos cos ππdx x xx d ()242cos 14040-+=--=πππx tgx x21．dx xxx ⎰+π02cos 1sin 解：令t x -=2π，则原式⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2222cos 12sin 2πππππdt t t t ⎰-+-+-=2222sin 1cos sin 1cos 2πππdt t t t t t()4sin sin 1cos 220202πππππ==+=⎰t arctg dt t t22．⎰-+2111lndx xxx 解：原式⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2102211ln x d x x ()()()⎰--+--⋅+-⋅--+=210222102111111211ln 2dx x x x x x x x x x⎰-+=210221ln 3ln 81dx x x⎰⎰-++=210221013ln 81x dxdx21011ln 21213ln 81+-++=x x3ln 8321-=23．⎰∞+∞-++dx x x 4211 解：原式⎰⎰∞+∞+++=++=022242111211dx x x x dx x x⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞+x x d x x 1211202π221220=-=+∞+x x arctg24．⎰20sin ln πxdx解：原式()⎰⎰++⎪⎭⎫ ⎝⎛-==40220cos ln sin ln 2ln 22cos 2sin 2ln ππdt t t dx x x t x 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰4040cos ln sin ln 22ln 2πππtdt tdt⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎰⎰-=24402sin ln sin ln 22ln 2πππππudu tdt ut⎰+=20sin ln 22ln 2ππtdt故2ln 2sin ln 20ππ-=⎰xdx25．()()⎰∞+++0211αx x dx ()0≥α解：令t x 1=，则dt tdx 21-=原式()()⎰⎰∞+∞+++=+⋅+-=020********ααααt t dt t t t t t dt t ∴()()()()()()⎰⎰⎰∞+∞+∞++++++=++0202021111112ααααxx dxx x x dx x x dx 21102π==+=∞+∞+⎰arctgx dx x 故()()41102πα=++⎰∞+x x dx(B)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyt tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy。