空间曲线及其方程
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空间曲线及其方程
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 y2 a2上以
角速度 绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z 轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
螺距 h 2b
三、空间曲线在坐标面上的投影
（以后在求三重积分和曲面积分时需要确定 一个立体或曲面在坐标面上的投影）
z
问题：求已知曲线C在xoy面上的 C •( x, y, z)
投影曲线C的方程.
注意：一个点与其在xoy面上的 投影点的x,y坐标相同.
o
y
x C •( x, y,0)
所以求曲线在xoy面上的投影曲线的方程就是 求原曲线上点x,y坐标的关系.
z
o 1y x
要点:
第四节 空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程:
F(x, y, z) 0 C : G( x, y, z) 0
空间曲线可看作两个曲面的交线.
x x(t)
空间曲线的参数方程:
y
y(t )
z z(t)
空间曲线在坐标面上的投影: 注意一个点与其投影
点的x,y 坐标相同.
消去变量z 得：H ( x, y) 0 投影柱面
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可看作两个空间曲面的交线.
曲面S1 : F ( x, y, z) 0 曲面S2 : G( x, y, z) 0
曲 线C
:
13空间曲线及其方程27852
M 在xoy面的投影M ( x, y,0)
t
o
M
•
xA
M y
x acost y a sint
z vt
螺旋线的参数方程
❖1．3．3 空间直线的一般方程
空间直线可以看成是两个平面的交线．故其一 般方程为：
A1 x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
.
如直线
x yz10 2x y 3z 4 0
x
2
y2
R2
z
o
y
x
o
y
x
❖1．3．2 空间曲线的参数方程
把空间曲线 C 上的点M的坐标 x, y, z都表示为 另一个变量 t 的函数，即
x x(t)
Байду номын сангаас
y
y(t )
空间曲线的参数方程
z z(t)
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
❖1．3．2 空间曲线的参数方程
例 4 如果空间一点 M 在圆柱面 x2y2a2 上以角速度
绕 z 轴旋转 同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上
升(其中 、v 都是常数) 那么点 M 构成的图形叫做螺旋
线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出发，经过 t 时间，运动到M点
❖1．3．1 空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的一般方程
特点 曲线上的点都满足方程，
满足方程的点都在曲线上，不
高等数学 -空间曲线及其方程
高等数学(下)
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
空间曲线及其方程
n级排列的总数为n!个。
<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。 一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。 记为τ(i1, i2, … in)，简记为τ 。 例如： 例如： τ(1 2 3)=0, τ(3 1 2)=2, τ(4 5 2 1 3)=7, 1 3 2 2 1 3 3 1 2
3. 空间曲线在坐标面上投影 F (x, y, z) = 0 设空间曲线C的一般方程 G (x, y, z) = 0 由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
z
(4)
曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于: H (x, y) = 0 z=0
§6
二次曲面的标准方程 二次曲面的标准方程 曲面的标准
1.定义 由x, y, z的二次方程: 定义 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 + + 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为常数且a, b, c, d,e, f 不全为零. 研究方法是采用平面截痕法.
z = 4− x 2 − y 2 C: z = 3( x 2 + y 2 )
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
O x2 + y2 ≤ 1
空间曲线及其方程
平行于x轴的柱面
投影柱面
yoz面上的投影Cyoz为线段：
z
x
10,
| y | 1
（3）同理xoz面上的投影Czox也为线段:
z
y
10,
| x | 1.
15
例7 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z
解 截线C的方程为:
y2 z2 x
y
x 2y z 0
如图,
o
x
16
（1）消去z ，得 C 在 xoy 面上的投影：
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y ，得 C 在 zox 面上的投影：
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去 x，得 C 在 yoz 面上的投影：
y2 z2 2y z 0
F( x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
消去x
C yoz
:
x0 R( y, z)
0
C在zox 面上的投影 Czox:
F( x, y, z) 0 消去y G( x, y, z) 0
C z ox
:
T ( x, z)
y
0
0
9
例4
C
:
x
2
x2 (y
y2 1)2
z2 1 (z 1)2
.
x 0
17
四、一元向量值函数
1. 基本概念
(1) 一元向量值函数
r r(t), t I
其中r
xi
yj
zk ,
空间曲线的向量形式
r(t )
x(t)i
空间曲线及其方程
-0.5 -1
0
x
0
1
2
0.5
1
y
0.1
0.05
x
z
0
-0.05 x
-1
-0.1
-0.5
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5 y
1
例6
求曲线 C:z z
4x2 y2 3(x2 y2)
z
在 xoy 面上的投影曲线.
解: 从方程组消去 z, 得
x2 y2 1.
Co
x
所以曲线C在 xoy 面的投影曲线为
2
4
xa2a2cots
y
a 2
sint
(0t2)
za
1 2
12
c
ots
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C的一般方程为
z
F(x, y,z) 0, G(x, y,z) 0.
C
y
从 方 程 组 中 消z去 后变 得量 到 方 程
H(x, y)0.
x C
当x、y和z满 足 方 程 , x组 、y必 时定 满 足, 方 这 说 明C曲 上线 的 所 有 点 都 所在 表由 示方 的程 面 上 .
y2
4x
0.
例1 方程组 x2y2 1, 表示怎样的 ? 曲线
2x3z6
z
解 因为 x2y21表示圆, 柱面
2
C
2x3z6表 示 平. 面
x2 y2 2x3z
1 表 6
示
二
者
的.
交线o
10
10
x
5
空间曲线及其方程
1第四节空间曲线及其方程⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.xozy1S 2S C空间曲线C 可看作空间两曲面的交线.特点：一、空间曲线的一般方程2方程组表示怎样的曲线？⎩⎨⎧=++=+6332122z y x y x 解122=+y x 表示圆柱面，6332=++z y x 表示平面，⎩⎨⎧=++=+6332122z y x y x 交线为椭圆.例13方程组表示怎样的曲线？⎪⎩⎪⎨⎧=+---=4)2(222222a y a x y x a z 解222yx a z --=上半球面,4)2(222a y a x =+-母线平行于z 轴的圆柱面,交线如图.例2Oxyz准线为xOy 面上的圆, 圆心在点.2),0,2(a a 半径为4⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 消去变量z 后得：0),(=y x H 曲线关于的投影柱面xoy 设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：二、空间曲线在坐标面上的投影如图:投影曲线的研究过程.投影柱面空间曲线投影曲线56类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影⎩⎨⎧==00),(x z y R ⎩⎨⎧==00),(y z x T 面上的投影曲线,yoz 面上的投影曲线,xoz ⎩⎨⎧==00),(z y x H 空间曲线在面上的投影曲线xoy7求曲线在坐标面上的投影.⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x （1）消去变量z 后得,4322=+y x 在面上的投影为xoy ,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 解例38求曲线在坐标面上的投影.⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 解例3所以在面上的投影为线段.xoz ;23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z （3）同理在面上的投影也为线段.yoz .23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z (2) 因为曲线在平面上，21=z9求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(342222y x z yx z 在xOy 面上的投影.消去z 得：122=+y x ,所求投影为圆周⎩⎨⎧==+0122z y x . 注：所围立体在xy 面上的投影为：122≤+y x .即上半球面与圆锥面的交线.解例4。
同济版高等数学第六版课件第八章第六节空间曲线及其方程
直角坐标方程
直角坐标方程是另一种描述空间曲线 的方法，它由一个方程组组成，表示 曲线上任意一点的坐标与三个直角坐 标轴之间的关系。
02
空间曲线的方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的一般方程是两个三维空间 的方程联立得到的，通常表示为： F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0。
一般方程描述了空间中曲线的形状和 位置，通过解方程组可以求得曲线上 点的坐标。
参数方程
参数方程是描述空间曲线 的一种常用方法，其中参 数的变化反映了曲线上点 的运动轨迹。
空间曲线的弯曲程度
曲率
曲率描述了曲线在某一点 的弯曲程度，曲率越大， 弯曲程度越剧烈。
挠率
挠率描述了曲线在某一点 的方向变化速率，与曲线 的形状和类型有关。
曲率和挠率的关系
曲率和挠率共同决定了空 间曲线的弯曲程度和形状 。
原曲线与投影曲线的位置关系
通过比较原曲线和投影曲线的形状，可以确定它们之间的位 置关系，如相交、相切或相离。
投影曲线的面积与原曲线的关系
投影曲线面积的求解
根据投影曲线的方程，利用定积分计算其面积。
投影曲线面积与原曲线的关系
通过比较投影曲线面积和原曲线的面积，可以分析它们之间的数量关系，如相等 、成比例或相差一个常数倍。
02
极坐标方程的一般形式为：ρ=ρ(θ)，其中 ρ 是极径，θ是极角
。
极坐标方程可以用来表示各种形状的空间曲线，如球面曲线、
03
柱面曲线等。
03
空间曲线的性质
空间曲线的方向
01
02
03
方向向量
空间曲线的方向由其上的 方向向量决定，方向向量 表示了曲线上任意两点的 相对位置。
切线向量
直角坐标方程是另一种描述空间曲线 的方法，它由一个方程组组成，表示 曲线上任意一点的坐标与三个直角坐 标轴之间的关系。
02
空间曲线的方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的一般方程是两个三维空间 的方程联立得到的，通常表示为： F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0。
一般方程描述了空间中曲线的形状和 位置，通过解方程组可以求得曲线上 点的坐标。
参数方程
参数方程是描述空间曲线 的一种常用方法，其中参 数的变化反映了曲线上点 的运动轨迹。
空间曲线的弯曲程度
曲率
曲率描述了曲线在某一点 的弯曲程度，曲率越大， 弯曲程度越剧烈。
挠率
挠率描述了曲线在某一点 的方向变化速率，与曲线 的形状和类型有关。
曲率和挠率的关系
曲率和挠率共同决定了空 间曲线的弯曲程度和形状 。
原曲线与投影曲线的位置关系
通过比较原曲线和投影曲线的形状，可以确定它们之间的位 置关系，如相交、相切或相离。
投影曲线的面积与原曲线的关系
投影曲线面积的求解
根据投影曲线的方程，利用定积分计算其面积。
投影曲线面积与原曲线的关系
通过比较投影曲线面积和原曲线的面积，可以分析它们之间的数量关系，如相等 、成比例或相差一个常数倍。
02
极坐标方程的一般形式为：ρ=ρ(θ)，其中 ρ 是极径，θ是极角
。
极坐标方程可以用来表示各种形状的空间曲线，如球面曲线、
03
柱面曲线等。
03
空间曲线的性质
空间曲线的方向
01
02
03
方向向量
空间曲线的方向由其上的 方向向量决定，方向向量 表示了曲线上任意两点的 相对位置。
切线向量
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曲线C关于xOy的投影柱面 .
H ( x , y ) 0 若设 C xoy： z 0
则有 C xoy C xoy .
特别地，当Cxoy为闭曲线时，
Cxoy C xoy .
如图: 投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
类似地，可求C在yOz 面上的投影Cyoz: F ( x, y, z ) 0 消去x F( x, y, z) 0 G(x, y, z) 0 R( y, z) 0 x 0 则 C yoz C yoz : R ( y , z ) 0 C在zOx 面上的投影 Czox: F( x, y, z) 0 消去y T( x, z) 0 G(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0 T ( x, z ) 0 则 C zox Czox : y 0
(3) 向量值函数 r ( t )在 t0可导的充要条件是
x(t ), y(t ), z(t )均在t0处可导，且
r ( t 0 ) x ( t 0 )i y ( t 0 ) j z ( t 0 )k .
3. 导向量的几何意义
若向量值函数 r ( t )在 t0可导，且 r (t0 ) 0，则
曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程 .
x
C
o y
(二) 空间曲线的参数方程 x x(t ) y y(t ) z z(t )
t I —区间 空间曲线的参数方程
当 给 定 t t1 时 ， 就 得 到 曲 线 上 的 一 个 点
( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
Cxoy
2. 确定投影曲线Cxoy的方法
F( x, y, z) 0 C： G(x, y, z) 0 消去z F(x, y, z) 0 H( x, y) 0
z C
x
o O
y
H( x, y) = 0上， 曲线C在曲面 ：
Cxoy
而 正是母线平行 z 轴的柱面
x o y
设质点 M 的运动方程为 r r (t )，其中 t为时间，则
r (t0 ) v (t0 )
即为质点在 t0时刻运动的速度向量 .
二、典型例题
x 2 y 2 1 表示怎样的曲线？ 例1 方程组 2 x 3 y 3z 6
解
x 2 y 2 1 表示圆柱面，
面， 解（1）在xoy
2 2 2 x y z 1 消去z 1 z 2
在 xoy面上的投影为 x 2 y 2 3 4 z 0
x2 y2 3 4 1 z 2
（2）在zOx面上
x 2 y 2 z 2 1 1 Q在 1 中 z (不含y)是母线 2 z 2 平行于 y 轴的柱面 投影柱面 z 2 C zox C zox : 1 y 0
(四) 空间立体或曲面在坐标面上的投影
空 间 立 体
曲 面
1. 空间立体 (或曲面) 在坐标面 上的投影(区域): ( 或)上的所有点在该坐
标面上的投影点的集合.
2. 简单曲面：若过曲面在xOy面上的投影区 域Dxy内任一点，作平行于z轴的
直线，该直线与只有一个交点 ，则称曲面是关于xOy 面的简 单曲面. 如：曲面 z 2 x2 y2 关于xOy面是简单曲面，
r (t ) 的 矢端曲线 C 在 r ( t 0 )的终点处存在切线 .
r ( t 0 ) : 曲线C在r (t0 )的终点处切线的方向向 量 r ( t ) 其指向与参数 t 增大 0 z r (t0 t ) 时曲线C上的点移动 r ( t0 ) C 的方向一致. r 4. 导向量的物理意义
y 2 z 2 x x 2 y z 0
如图 ,
y
x
（1）消去z ，得 C 在 xOy 面上的投影：
x 2 5 y2 4 xy x 0 , z 0
（2）消去 y ，得 C 在 zOx 面上的投影：
x 2 5 z 2 2 xz 4 x 0 , y 0
上半球面,
a 2 2 a2 圆柱面, (x ) y 2 4
交线如图.
例3 如果空间一点M在圆柱面 x 2+ y2 = a2上以 角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v沿平行 于z轴的正方向上升(其中 ，v 都是常数)，那 么点M的几何轨迹称为圆柱螺旋线，试建立其
参数方程.
解 取时间t 为参数， 动点从A点出发， 经过 t 时间，运动到M点. M在xOy面上的投影 为M' (x, y, 0). x
(五) 一元向量值函数
1. 基本概念 (1) 一元向量值函数 r r (t ), t I
I为区间. r r (t ), t I 确定了从 I R R 3
空间曲线的向量形式
z
其中r xi yj zk , r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k ,
x
z(t )
r (t )
O
M
y
y(t )
(2) 向量值函数的极限 设向量值函数 r (t ) 在点t0的某邻域内有定义， 若存在常向量 r0，使
t t0
lim r (t ) r0 0,
则称当t t0时，向量值函数 r (t )的极限为r0,
记作
t t0
lim r (t ) r0.
M z(t ) M M M C r ( t ) C r ( t ) r (tr)(t )
o O
的一个映射，称此映射为 x(t ) 一元向量值函数. x
y
y(t )
注
1 ° 又称曲线 C 为向量
z
值函数 r (t ) 的 矢端曲线. 2° 在平面坐标系中， 向量值函数 r ( t ) x ( t )i y ( t ) j , t I 表示一条平面曲线. C x(t )
（ 3）消去 x ，得 C
在 yOz 面上的投影：
y2 z 2 2 y z 0 . x 0
例8 设一个立体 ,由上半球面 z 4 x 2 y 2
3( x 2 y 2 )锥面所围成 , 求它在 xoy z 面上的投影 . 和z
解
半球面和锥面的交线为 z C : z
z
M( x, y, z ) y M A( a, 0, 0 )
O
螺旋线的参数方程
x a cos t y a sin t z vt
或
x a cos y a sin z b
( t ,
螺旋线的重要性质：
b
v
)
上升的高度与转过的角度成正比，即
: 0 0 , z : b0 b0 b ,
2 ,
上升的高度
h 2b 螺距
x 2 y2 z2 1 例4 C : 2 2 2 x ( y 1) ( z 1) 1 在xOy 面上的投影曲线方程为 x 2 2 y2 2 y 0 z0
z
C
o x
1
y
x 2 y2 z 2 1 例5 求曲线 1 在坐标面上的投影. z 2
平行于x轴的柱面
投影柱面
z 1 : C yoz C yoz x 0
所以在yOz 面上的投影Cyoz为线段： z | y | 1 1 x, 0 （3）同理在zOx面上的投影Czox也为线段: z | x | 1. 1 y, 0
例7 求抛物面 y 2 z 2 x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z 解 截线C 的方程为:
z
解（1）在xoy面，
z 2 x2 y2 z 1
消去z
x2 y2 1 z 1
o
y
x
在 xOy面上的投影为
x 2 y 2 1 z 0
（2）在yOz面上
z 2 x2 y2 中 Q在 z 1
z 1 ( 不含x)是母线
所以在 zOx 面上的投影Czox为线段：
z 1 2, y 0 3 | x | 2
（3）同理在 yOz 面上的投影Cyoz也为线段:
z 1 2, x 0 3 | y | . 2
2 y2 z 2 x 例6 求曲线C ： z 1 在各坐标面上的投影.
三、同步练习
求椭圆抛物面2 y 2 x 2 z 与抛物柱面
2 x 2 z 的交线关于xoy面的投影柱面和
在 xoy面上的投影曲线方程 .
四、同步练习解答
2 y2 x 2 z , 交线方程为 2 2 x z
第六节 空间曲线及其方程
一、主要内容
第七章
二、典型例题
三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容
(一) 空间曲线的一般方程
空间曲线 C 可看作空间两曲面的交线.
F( x, y, z ) 0 G( x, y, z ) 0
空间曲线的一般方程
z
S1
S2
特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在
为 r (t )在t0的导向量，记作 r (t0 ), 即
r ( t 0 t ) r ( t0 rr(t0) lim ) t 0 . t
2. 重要结论
设 r ( t ) x ( t )i y ( t ) j z ( t )k ,
r0 x0 i y0 j z0 k .
但关于yOz面，zOx 面均不是简单曲面.
H ( x , y ) 0 若设 C xoy： z 0
则有 C xoy C xoy .
特别地，当Cxoy为闭曲线时，
Cxoy C xoy .
如图: 投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
类似地，可求C在yOz 面上的投影Cyoz: F ( x, y, z ) 0 消去x F( x, y, z) 0 G(x, y, z) 0 R( y, z) 0 x 0 则 C yoz C yoz : R ( y , z ) 0 C在zOx 面上的投影 Czox: F( x, y, z) 0 消去y T( x, z) 0 G(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0 T ( x, z ) 0 则 C zox Czox : y 0
(3) 向量值函数 r ( t )在 t0可导的充要条件是
x(t ), y(t ), z(t )均在t0处可导，且
r ( t 0 ) x ( t 0 )i y ( t 0 ) j z ( t 0 )k .
3. 导向量的几何意义
若向量值函数 r ( t )在 t0可导，且 r (t0 ) 0，则
曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程 .
x
C
o y
(二) 空间曲线的参数方程 x x(t ) y y(t ) z z(t )
t I —区间 空间曲线的参数方程
当 给 定 t t1 时 ， 就 得 到 曲 线 上 的 一 个 点
( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
Cxoy
2. 确定投影曲线Cxoy的方法
F( x, y, z) 0 C： G(x, y, z) 0 消去z F(x, y, z) 0 H( x, y) 0
z C
x
o O
y
H( x, y) = 0上， 曲线C在曲面 ：
Cxoy
而 正是母线平行 z 轴的柱面
x o y
设质点 M 的运动方程为 r r (t )，其中 t为时间，则
r (t0 ) v (t0 )
即为质点在 t0时刻运动的速度向量 .
二、典型例题
x 2 y 2 1 表示怎样的曲线？ 例1 方程组 2 x 3 y 3z 6
解
x 2 y 2 1 表示圆柱面，
面， 解（1）在xoy
2 2 2 x y z 1 消去z 1 z 2
在 xoy面上的投影为 x 2 y 2 3 4 z 0
x2 y2 3 4 1 z 2
（2）在zOx面上
x 2 y 2 z 2 1 1 Q在 1 中 z (不含y)是母线 2 z 2 平行于 y 轴的柱面 投影柱面 z 2 C zox C zox : 1 y 0
(四) 空间立体或曲面在坐标面上的投影
空 间 立 体
曲 面
1. 空间立体 (或曲面) 在坐标面 上的投影(区域): ( 或)上的所有点在该坐
标面上的投影点的集合.
2. 简单曲面：若过曲面在xOy面上的投影区 域Dxy内任一点，作平行于z轴的
直线，该直线与只有一个交点 ，则称曲面是关于xOy 面的简 单曲面. 如：曲面 z 2 x2 y2 关于xOy面是简单曲面，
r (t ) 的 矢端曲线 C 在 r ( t 0 )的终点处存在切线 .
r ( t 0 ) : 曲线C在r (t0 )的终点处切线的方向向 量 r ( t ) 其指向与参数 t 增大 0 z r (t0 t ) 时曲线C上的点移动 r ( t0 ) C 的方向一致. r 4. 导向量的物理意义
y 2 z 2 x x 2 y z 0
如图 ,
y
x
（1）消去z ，得 C 在 xOy 面上的投影：
x 2 5 y2 4 xy x 0 , z 0
（2）消去 y ，得 C 在 zOx 面上的投影：
x 2 5 z 2 2 xz 4 x 0 , y 0
上半球面,
a 2 2 a2 圆柱面, (x ) y 2 4
交线如图.
例3 如果空间一点M在圆柱面 x 2+ y2 = a2上以 角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v沿平行 于z轴的正方向上升(其中 ，v 都是常数)，那 么点M的几何轨迹称为圆柱螺旋线，试建立其
参数方程.
解 取时间t 为参数， 动点从A点出发， 经过 t 时间，运动到M点. M在xOy面上的投影 为M' (x, y, 0). x
(五) 一元向量值函数
1. 基本概念 (1) 一元向量值函数 r r (t ), t I
I为区间. r r (t ), t I 确定了从 I R R 3
空间曲线的向量形式
z
其中r xi yj zk , r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k ,
x
z(t )
r (t )
O
M
y
y(t )
(2) 向量值函数的极限 设向量值函数 r (t ) 在点t0的某邻域内有定义， 若存在常向量 r0，使
t t0
lim r (t ) r0 0,
则称当t t0时，向量值函数 r (t )的极限为r0,
记作
t t0
lim r (t ) r0.
M z(t ) M M M C r ( t ) C r ( t ) r (tr)(t )
o O
的一个映射，称此映射为 x(t ) 一元向量值函数. x
y
y(t )
注
1 ° 又称曲线 C 为向量
z
值函数 r (t ) 的 矢端曲线. 2° 在平面坐标系中， 向量值函数 r ( t ) x ( t )i y ( t ) j , t I 表示一条平面曲线. C x(t )
（ 3）消去 x ，得 C
在 yOz 面上的投影：
y2 z 2 2 y z 0 . x 0
例8 设一个立体 ,由上半球面 z 4 x 2 y 2
3( x 2 y 2 )锥面所围成 , 求它在 xoy z 面上的投影 . 和z
解
半球面和锥面的交线为 z C : z
z
M( x, y, z ) y M A( a, 0, 0 )
O
螺旋线的参数方程
x a cos t y a sin t z vt
或
x a cos y a sin z b
( t ,
螺旋线的重要性质：
b
v
)
上升的高度与转过的角度成正比，即
: 0 0 , z : b0 b0 b ,
2 ,
上升的高度
h 2b 螺距
x 2 y2 z2 1 例4 C : 2 2 2 x ( y 1) ( z 1) 1 在xOy 面上的投影曲线方程为 x 2 2 y2 2 y 0 z0
z
C
o x
1
y
x 2 y2 z 2 1 例5 求曲线 1 在坐标面上的投影. z 2
平行于x轴的柱面
投影柱面
z 1 : C yoz C yoz x 0
所以在yOz 面上的投影Cyoz为线段： z | y | 1 1 x, 0 （3）同理在zOx面上的投影Czox也为线段: z | x | 1. 1 y, 0
例7 求抛物面 y 2 z 2 x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z 解 截线C 的方程为:
z
解（1）在xoy面，
z 2 x2 y2 z 1
消去z
x2 y2 1 z 1
o
y
x
在 xOy面上的投影为
x 2 y 2 1 z 0
（2）在yOz面上
z 2 x2 y2 中 Q在 z 1
z 1 ( 不含x)是母线
所以在 zOx 面上的投影Czox为线段：
z 1 2, y 0 3 | x | 2
（3）同理在 yOz 面上的投影Cyoz也为线段:
z 1 2, x 0 3 | y | . 2
2 y2 z 2 x 例6 求曲线C ： z 1 在各坐标面上的投影.
三、同步练习
求椭圆抛物面2 y 2 x 2 z 与抛物柱面
2 x 2 z 的交线关于xoy面的投影柱面和
在 xoy面上的投影曲线方程 .
四、同步练习解答
2 y2 x 2 z , 交线方程为 2 2 x z
第六节 空间曲线及其方程
一、主要内容
第七章
二、典型例题
三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容
(一) 空间曲线的一般方程
空间曲线 C 可看作空间两曲面的交线.
F( x, y, z ) 0 G( x, y, z ) 0
空间曲线的一般方程
z
S1
S2
特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在
为 r (t )在t0的导向量，记作 r (t0 ), 即
r ( t 0 t ) r ( t0 rr(t0) lim ) t 0 . t
2. 重要结论
设 r ( t ) x ( t )i y ( t ) j z ( t )k ,
r0 x0 i y0 j z0 k .
但关于yOz面，zOx 面均不是简单曲面.