2019-2020学年湖北省孝感市云梦县九年级(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年湖北省孝感市云梦县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个是正确的，每一小题选对得3分，不选、选错或选出的代号超过一个的一律得0分）1．（3分）若关于x 的方程2(2)10m x mx -+-=是一元二次方程，则m 的取值范围是( )A ．2m ≠B ．2m =C ．2m …D ．0m ≠2．（3分）抛物线22(1)3y x =-+-的顶点坐标是( )A ．(1,3)B ．(1,3)--C ．(1,3)-D ．(1,3)-3．（3分）用配方法解方程2650x x --=，下列配方结果正确的是( )A ．2(6)41x -=B ．2(3)14x -=C ．2(3)14x +=D ．2(3)4x -=4．（3分）把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是( )A ．23(3)2y x =+-B ．23(3)2y x =++C ．23(3)2y x =--D ．23(3)2y x =-+5．（3分）如图，ABC ∆的顶点都在O 上，50BAO ∠=︒，则C ∠的度数为( )A ．30︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒6．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，将R t A B C ∆绕点C 按逆时针方向旋转42︒得到Rt △A B C '''，点A 在边B C '上，则B '∠的大小为( )A ．42︒B ．48︒C ．52︒D ．58︒7．（3分）某品牌手机经过连续两次降价，每台售价由原来的3456元降到了2400元，设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程( )A ．23456(1)2400x +=B ．22400(1)3456x +=C ．23456(1)2400x -=D ．22400(1)3456x +=8．（3分）如图44⨯的正方形网格中，PMN ∆绕某点旋转一定的角度，得到△111PM N ，其旋转中心是( )A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点9．（3分）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，BC m =，D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，点P 为BC 边上的一个动点，连接PD ，PA ，PE ．设P C x =，图1中某条线段长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线可能是( )A ．PB B ．PEC ．PAD ．PD10．（3分）抛物线21y ax bx =++的顶点为D ，与x 轴正半轴交于A 、B 两点，A 在B 左，与y 轴正半轴交于点C ，当ABD ∆和OBC ∆均为等腰直角三角形(O 为坐标原点）时，b 的值为( )A ．2B ．2-或4-C ．2-D ．4-二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）点(3,4)P -关于原点对称的点的坐标是 ．12．（3分）已知二次函数23y ax ax c =++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)-，则它与x 轴的另个交点的坐标是 ．13．（3分）关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m = ．14．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x 个小分支，则可得方程为 ．15．（3分）如图，在O 中，AB 是直径，弦BE 的垂直平分线交O 于点C ，CD AB ⊥于D ，1AD =，6BE =，则BD 的长为 ．16．（3分）已知二次函数222y x x =-+在1t x t +剟时的最小值是t ，则t 的值为 ．三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（8分）解方程：（1）2410x x --=（2）23510x x -+=18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为(1,1)A ，(4,2)B ，(3,5)C ．（1）求ABC ∆的面积；（2）在图中画出ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到的△A B C '''，并写出点C 的对应点C '的坐标．19．（8分）如图是一张长12dm ，宽6dm 的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm 的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒．（1）无盖方盒盒底的长为 dm ，宽为 dm （用含x 的式子表示）．（2）若要制作一个底面积是240dm 的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x ．20．（8分）已知关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +++-=．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k 的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且2212()17x x k -+=，求k 的值．21．（8分）某商品现在的售价为每件25元，每天可售出50件，市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件，已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为y 件，售价为每件x 元(x 为正整数）（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润W （元)最大，最大利润是多少元？22．（10分）已知O 的半径为5，点A 、B 、C 都在O 上，CAB ∠的平分线交O 于点D ．（1）如图1，若BC 为O 的直径，6AB =，求AC 和BD 的长；（2）如图2，若60CAB ∠=︒，过圆心O 作OE BD ⊥于点E ，求OE 的长．23．（10分）在正方形ABCD 和正方形AEFG 中，点B 在边AG 上，点D 在线段EA 的延长线上，连接BE ．（1）如图1，求证：DG BE ⊥；（2）如图2，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转，使点B 恰好落在线段DG 上． ①求证：DG BE ⊥；②若2AB =，3AG =，求线段BE 的长．24．（12分）已知：如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A 点，与y 轴交于C 点，且(1,0)A 、(3,0)B ，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式（2）在y 轴上是否存在M 点，使得MAC ∆是以AC 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P 为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若ADP ∆面积为3，求点P 的坐标．2019-2020学年湖北省孝感市云梦县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个是正确的，每一小题选对得3分，不选、选错或选出的代号超过一个的一律得0分）1．（3分）若关于x 的方程2(2)10m x mx -+-=是一元二次方程，则m 的取值范围是( )A ．2m ≠B ．2m =C ．2m …D ．0m ≠【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：由题意，得20m -≠，2m ≠，故选：A ．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是20ax bx c ++=（且0)a ≠．特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．（3分）抛物线22(1)3y x =-+-的顶点坐标是( )A ．(1,3)B ．(1,3)--C ．(1,3)-D ．(1,3)-【分析】由抛物线的顶点式2()y x h k =-+直接看出顶点坐标是(,)h k ，仿照模型解题．【解答】解：因为抛物线22(1)3y x =-+-是顶点式，根据顶点式的坐标特点可知该抛物线的顶点坐标是(1,3)--．故选B ．【点评】掌握抛物线顶点式的运用．3．（3分）用配方法解方程2650x x --=，下列配方结果正确的是( )A ．2(6)41x -=B ．2(3)14x -=C ．2(3)14x +=D ．2(3)4x -=【分析】将常数项移到等式的右边，再在两边都配上一次项系数一半的平方即可得．【解答】解：265x x -=，26959x x ∴-+=+，即2(3)14x -=，故选：B ．【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为20(0)ax bx c a ++=≠的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．4．（3分）把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是( )A ．23(3)2y x =+-B ．23(3)2y x =++C ．23(3)2y x =--D ．23(3)2y x =-+【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：抛物线23y x =先向上平移2个单位，得：232y x =+；再向右平移3个单位，得：23(3)2y x =-+；故选：D ．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．5．（3分）如图，ABC ∆的顶点都在O 上，50BAO ∠=︒，则C ∠的度数为( )A ．30︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒【分析】连接OB ，由O A O B =，根据等腰三角形的性质，可求得OBA ∠的度数，继而求得AOB ∠的度数，然后由圆周角定理，求得C ∠的度数．【解答】解：连接OB ，OA OB =，50OBA OAB ∴∠=∠=︒，18080AOB OAB OBA ∴∠=︒-∠-∠=︒，1402C AOB ∴∠=∠=︒． 故选：B ．【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心以及圆周角定理和等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，将R t A B C ∆绕点C 按逆时针方向旋转42︒得到Rt △A B C '''，点A 在边B C '上，则B '∠的大小为( )A ．42︒B ．48︒C ．52︒D ．58︒【分析】先根据旋转的性质得出90A BAC ∠'=∠=︒，42ACA ∠'=︒，然后在直角△A CB ''中利用直角三角形两锐角互余求出9048B ACA ∠'=︒-∠'=︒．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，将R t A B C ∆绕点C 按逆时针方向旋转42︒得到Rt △A B C '''，90A BAC ∴∠'=∠=︒，42ACA ∠'=︒，9048B ACA ∴∠'=︒-∠'=︒．故选：B ．【点评】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．7．（3分）某品牌手机经过连续两次降价，每台售价由原来的3456元降到了2400元，设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程( )A ．23456(1)2400x +=B ．22400(1)3456x +=C ．23456(1)2400x -=D ．22400(1)3456x +=【分析】先列出第一次降价的售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价的售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程．【解答】解：依题意得：第一次降价的售价为：3456(1)x -，则第二次降价后的售价为：23456(1)(1)3456(1)x x x --=-，23456(1)2400x ∴-=．故选：C ．【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，要注意题意指明的是降价，应该是(1)x -而不是(1)x +．8．（3分）如图44⨯的正方形网格中，PMN ∆绕某点旋转一定的角度，得到△111PM N ，其旋转中心是( )A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．【解答】解：如图，连接1NN ，1PP ，可得其垂直平分线相交于点B ，故旋转中心是B 点．故选：B ．【点评】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．9．（3分）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，BC m =，D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，点P 为BC 边上的一个动点，连接PD ，PA ，PE ．设P C x =，图1中某条线段长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线可能是( )A ．PB B ．PEC ．PAD ．PD【分析】分别假定y 等于选项中的各个线段，数形结合进行分析，即可作出判断．【解答】解：选项A ：若y P B =，已知BC m =，观察图形可知PB 在x m =取得最小值为0，故A 错误；选项B ：若y PE =，E 是AC 边的中点，且AB AC =，可知PE 在4m x =取得最小值，观察图2，可知选项B 错误； 选项C ：若y PA =，由AB AC =，可知PA 在2m x =取得最小值，故C 错误； 选项D ：由前三个错误，可知本选项正确，且由题意及图形可知PD 在34m x =处取得最小值，本选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键．10．（3分）抛物线21y ax bx =++的顶点为D ，与x 轴正半轴交于A 、B 两点，A 在B 左，与y 轴正半轴交于点C ，当ABD ∆和OBC ∆均为等腰直角三角形(O 为坐标原点）时，b 的值为( )A ．2B ．2-或4-C ．2-D ．4-【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质和等腰三角形的性质，可以求得b 的值，本题得以解决．【解答】解：抛物线21y ax bx =++，0x ∴=时，1y =，∴点C 的坐标为(0,1)，1OC ∴=，OBC ∆为等腰直角三角形，OC OB ∴=，1OB ∴=，∴抛物线21y ax bx =++与x 轴的一个交点为(1,0)，10a b ∴++=，得1a b =--，设抛物线21y ax bx =++与x 轴的另一个交点A 为1(x ，0)，111x a∴⨯=， ABD ∆为等腰直角三角形，∴点D 的纵坐标的绝对值是AB 的一半， ∴2114142x a b a -⨯--=， 2114(1)14(1)2b b b b ------∴-=--， 解得，2b =-或4b =-，当2b =-时，1(2)1a =---=，此时2221(1)y x x x =-+=-，与x 轴只有一个交点，故不符合题意，当4b =-时，1(4)3a =---=，此时2341y x x =-+，与x 轴两个交点，符合题意， 故选：D ．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）点(3,4)P -关于原点对称的点的坐标是 (3,4)- ．【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点(,)P x y ，关于原点的对称点是(,)x y --，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【解答】解：根据中心对称的性质，得点(3,4)P -关于原点对称的点的坐标是(3,4)-．【点评】这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆．12．（3分）已知二次函数23y ax ax c =++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)-，则它与x 轴的另个交点的坐标是 (1,0) ．【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称性求出与x 轴的另一个交点坐标．【解答】解：二次函数23y ax ax c =++的对称轴为：3322a x a =-=-， 二次函数23y ax ax c =++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)-，∴它与x 轴的另一个交点坐标与(4,0)-关于直线32x =-对称，其坐标是(1,0)． 故答案是：(1,0)．【点评】本题主要考查抛物线与x 轴的交点，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称性．13．（3分）关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m = 1- ．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将0x =代入原方程，列出关于m 的方程，通过解关于m 的方程即可求得m 的值．【解答】解：关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，0x ∴=满足关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=，且10m -≠，210m ∴-=，即(1)(1)0m m -+=且10m -≠，10m ∴+=，解得，1m =-；故答案是：1-．【点评】本题考查了一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为零．14．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x 个小分支，则可得方程为 2191x x ++= ．【分析】由题意设每个支干长出x 个小分支，因为主干长出x 个（同样数目）支干，则又长出2x 个小分支，则共有21x x ++个分支，即可列方程．【解答】解：设每个支干长出x 个小分支，根据题意列方程得：2191x x ++=．故答案为2191x x ++=．【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．15．（3分）如图，在O 中，AB 是直径，弦BE 的垂直平分线交O 于点C ，CD AB ⊥于D ，1AD =，6BE =，则BD 的长为 9 ．【分析】证明()BOF COD AAS ∆≅∆，得3CD BF ==，设O 的半径为r ，则1OD r =-，根据勾股定理列方程可得结论【解答】解：弦BE 的垂直平分线交BE 于点F ．132BF BE ∴==，90BFO ∠=︒， CD AB ⊥，90ODC BFO ∴∠=∠=︒，OB OC =，BOF COD ∠=∠，()BOF COD AAS ∴∆≅∆，3CD BF ∴==，设O 的半径为r ，则1OD r =-，由勾股定理得：222OC OD CD =+，222(1)3r r =-+，5r =，12519BD AB ∴=-=⨯-=，故答案为：9．【点评】本题考查了垂径定理的应用，同时还考查了全等三角形的性质和判定，与勾股定理相结合，列方程解决问题；解答有关于圆的计算题时，需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．16．（3分）已知二次函数222y x x =-+在1t x t +剟时的最小值是t ，则t 的值为 1或2 ．【分析】结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围1t x t +剟右侧时以及顶点横坐标在范围1t x t +剟内时和顶点横坐标在范围1t x t +剟左侧时，分别结合二次函数增减性求出最值即可．【解答】解：2222(1)1y x x x =-+=-+，分类讨论：（1）若顶点横坐标在范围1t x t +剟右侧时，有1t <，此时y 随x 的增大而减小， ∴当1x t =+时，函数取得最小值，()2(1)212y t t t ==+-++最小值，方程无解．（2）若顶点横坐标在范围1t x t +剟内时，即有11t t +剟，解这个不等式，即01t 剟．此时当1x =时，函数取得最小值，1y =最小值，1t ∴=．（3）若顶点横坐标在范围1t x t +剟左侧时，即1t >时，y 随x 的增大而增大，当x t =时，函数取得最小值，222y t t t ==-+最小值，解得2t =或1（舍弃）1t ∴=或2．故答案为：1或2．【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数的增减性等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（8分）解方程：（1）2410x x --=（2）23510x x -+=【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据公式法即可求出答案；【解答】解：（1）241x x -=2(2)5x ∴-=∴2x -=∴1222x x ==（2）3a =，5b =-，1c =，△224(5)431130b ac =-=--⨯⨯=>，方程有两个不等的实数根∴x ===∴1x ，2x 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为(1,1)A ，(4,2)B ，(3,5)C ．（1）求ABC ∆的面积；（2）在图中画出ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到的△A B C '''，并写出点C 的对应点C '的坐标．【分析】（1）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可计算出ABC ∆的面积；（2）利用网格特点和旋转的性质画出B 、C 的对应点B '、C '，从而得到△A B C '''．【解答】解：（1）如图：111344231315222ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=； （2）如图，△A B C '''为所作，点C '的坐标为(3,3)-．【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．19．（8分）如图是一张长12dm ，宽6dm 的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm 的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒．（1）无盖方盒盒底的长为 (122)x - dm ，宽为 dm （用含x 的式子表示）．（2）若要制作一个底面积是240dm 的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x ．【分析】（1）用长方形纸板的长和宽减去两个小正方形的边长，即可求出结论；（2）根据长方形的面积公式结合底面面积为240dm ，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）无盖方盒盒底的长为(122)x dm -，宽为(62)x -．故答案为：(122)x -；(62)x -．（2）依题意，得：(122)(62)40x x --=，整理，得：2980x x -+=，解得：11x =，28x =（不合题意，舍去）．答：剪去的正方形的边长为1dm ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20．（8分）已知关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +++-=．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k 的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且2212()17x x k -+=，求k 的值．【分析】（1）根据题意得到关于K 的不等式，解出k 的取值范围，即可得到结论；（2）根据根与系数的关系和代数式变形进行解答．【解答】解：（1）原方程由两个不相等的实数根∴△22(21)4(1)0k k =+-->，整理，得 450k +>， 解之，得54k >-， k ∴的最小整数值是1-；（2）由原方程，得：21212(21),1x x k x x k +=-+=-；2212()17x x k -+=；∴221212()417x x x x k +-+=；222(21)4(1)17k k k ∴+--+=；24120k k ∴+-=；(2)(6)0k k ∴-+=；16k ∴=-，22k =；54k >-； 2k ∴=．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式求出k 的取值范围，然后利用根与系数的关系得到关于k 的方程，解方程即可解决问题．21．（8分）某商品现在的售价为每件25元，每天可售出50件，市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件，已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为y 件，售价为每件x 元(x 为正整数）（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润W （元)最大，最大利润是多少元？【分析】（1）根据销量在50件的基础上不断减少列出函数关系式即可；（2）利用总利润=单件的利润⨯销量列出二次函数求得最值即可．【解答】解：（1）502(25)1002y x x =--=-，(2550)x 剟；（2）(1002)(20)W x x =--221402000x x =-+-22(35)450x =--+，∴当35x =时，W 有最大值450，答：该商品的售价定为每件35元时，每天的销售利润最大，最大利润是450元．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型求最值．22．（10分）已知O 的半径为5，点A 、B 、C 都在O 上，CAB ∠的平分线交O 于点D ．（1）如图1，若BC 为O 的直径，6AB =，求AC 和BD 的长；（2）如图2，若60CAB ∠=︒，过圆心O 作OE BD ⊥于点E ，求OE 的长．【分析】（1）利用圆周角定理可以判定CAB ∆和DCB ∆是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC 的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知DCB ∆也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD 的长；（2）连接BO ，DO ，易证BOD ∆是等边三角形，进而可求出BE 的长，再由勾股定理即可求出OE 的长．【解答】解：（1）如图1，BC 为O 的直径，10BC ∴=，且90BAC BDC ∠=∠=︒，则在Rt ABC ∆中，10BC =，6AB =，∴8AC ，又AD 是CAB ∠的平分线CAD BAD ∴∠=∠，∴CD BD =，CD BD ∴=，BDC ∴∆是等腰直角三角形，10BC =∴BD =（2）如图2，连接BO ，DO ， AD 是CAB ∠的平分线，60CAB ∠=︒，30BAD ∴∠=︒，260BOD BAD ∴∠=∠=︒，又OB OD =，BOD ∴∆是等边三角形，又OE BD ⊥，30BOE ∴∠=︒，BE BD =，又5OB =， ∴1522BE OB ==，∴OE =．【点评】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线．23．（10分）在正方形ABCD 和正方形AEFG 中，点B 在边AG 上，点D 在线段EA 的延长线上，连接BE ．（1）如图1，求证：DG BE ⊥；（2）如图2，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转，使点B 恰好落在线段DG 上． ①求证：DG BE ⊥；②若2AB =，3AG =，求线段BE 的长．【分析】（1）由题意可证ADG ABE ∆≅∆，可得AGD AEB ∠=∠，由90ADG AGD ∠+∠=︒，可得90ADG AEB ∠+∠=︒，即DG BE ⊥；（2）①由题意可证DAG BAE ∆≅∆，得出AGD AEB ∠=∠，由对顶角BNG ANE ∠=∠，结合三角形内角和定理得出90GBE GAE ∠=∠=︒即可得出结论； ②连接AC ，交DG 于点M ，根据勾股定理可求MG 的长度，即可求DG 的长度，由DAG BAE ∆≅∆，可得BE DG ==【解答】（1）证明：延长EB ，交DG 于H ，如图1所示： 四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，AD AB ∴=，AG AE =，90DAG BAE ∠=∠=︒，在DAG ∆和BAE ∆中DA AB DAG BAE AG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAG BAE ∴∆≅∆ ()SASDGA BEA ∴∠=∠，又90DGA GDA ∠+∠=︒，90BEA GDA ∴∠+∠=︒，90DHE ∴∠=︒，DG BE ∴⊥；（2）①证明：设AG 交BE 于N ，如图2所示：由旋转的性质得：90BAD ∠=︒，AB AD =，90BAD ∠=︒，90GAE ∠=︒，BAD BAG GAE BAG ∴∠+∠=∠+∠，即DAG BAE ∠=∠，在DAG ∆和BAE ∆中，AD AB DAG BAE AG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAG BAE ∴∆≅∆ ()SAS ，AGD AEB ∴∠=∠，又BNG ANE ∠=∠，90GBE GAE ∴∠=∠=︒，DG BE ∴⊥；②解：如图3，连接AC ，交DG 于点M ，四边形ABCD 是正方形，2AB =，AC BD ∴⊥，2AD AB ==，且ADM ∆是等腰直角三角形，AM DM AD ∴===在Rt AMG ∆中，MG =∴DG DM MG =+=由①知，DAG BAE ∆≅∆，∴BE DG =【点评】本题是四边形综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．24．（12分）已知：如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A 点，与y 轴交于C 点，且(1,0)A 、(3,0)B ，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式（2）在y 轴上是否存在M 点，使得MAC ∆是以AC 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P 为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若ADP ∆面积为3，求点P 的坐标．【分析】（1）将(1,0)A ，(3,0)B 代入抛物线23y ax bx =+-，即可求解；（2）等腰MAC ∆中，点M 在y 轴上，AC 是腰，分两种情况：①当AC AM =时，有3OM OC ==，②当AC CM =时，有CM =（3）22(1)(43)32PQ x x x x x =---+-=-+，ADP APQ PQD S S S ∆∆∆=-，即可求解．【解答】解：（1）将(1,0)A ，(3,0)B 代入抛物线23y ax bx =+-中030933a b a b =+-⎧⎨=+-⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为243y x x =-+-；（2）(1,0)A ，(0,3)C -1OA ∴=，3OC =∴AC =，等腰MAC ∆中，点M 在y 轴上，AC 是腰，分两种情况：①当AC AM =时，有3OM OC ==(0,3)M ∴，②当AC CM =时，有CM =设(0,)M y则|3|y --=∴3y =-∴(0,3M -，综上：在y 轴上存在点M 适合题意，点M 的坐标为()((0,3,0,30,3--或，（3）如图，过点P 作y 轴的平行线，与x 轴交于点N ，与AD 的延长线交于点Q ，过D 作DH PQ ⊥， 设直线AD 的解析式为y kx n =+将(1,0)A ，(2,1)D 代入012k n k n =+⎧⎨=+⎩，解得11k n =⎧⎨=-⎩， ∴直线AD 的解析式为1y x =-；设2(,43)P x x x -+-，则(,1)Q x x -，(,0)N x ，(,1)H x22(1)(43)32PQ x x x x x ∴=---+-=-+2111111()[(1)(2)](32)222222ADP APQ PQD S S S PQ AN PQ DH PQ AN DH PQ x x PQ x x ∆∆∆∴=-=-=-=---==-+，3ADP S ∆=∴21(32)32x x -+= 即2340x x --=解得：14x =，21x =-（舍)将4x =代入抛物线解析式，3y =-(4,3)P ∴-．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．。