机械振动和电磁振荡
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oscillation 用法(一)
oscillation 用法(一)Oscillation（振荡）的用法介绍什么是振荡？振荡（Oscillation）是指物体在固定时间内在两个或多个状态之间来回变化的过程。
在不同领域中，振荡都有不同的涵义和应用。
物理领域中的振荡1.机械振荡：机械振荡是指由于物体的弹性形变或势能的变化而产生的周期性运动。
例如，钟摆的摆动、弹簧的拉伸和压缩等都是机械振荡的例子。
2.电磁振荡：电磁振荡是指电荷或电磁场的能量在电路中周期性地来回转化的过程。
例如，交流电的频率就是电磁振荡的频率。
3.光学振荡：光学振荡是指光波在介质中传播时的周期性变化。
例如，激光器中的光波就是通过光学振荡来产生和放大的。
数学领域中的振荡1.正弦振荡：正弦振荡是指以正弦函数为基础的周期性变化。
在数学中，正弦函数是最基本的一类周期函数，描述了很多自然界中的变化规律。
2.傅里叶级数：傅里叶级数是把一个周期函数分解为多个正弦函数的和的方法。
利用傅里叶级数理论，我们可以分析和预测振荡的性质和特征。
3.振荡方程：振荡方程是描述振荡系统行为的方程。
例如，单摆的运动可以用简谐振动方程描述，而电路中的振荡行为可以用LCR电路的振荡方程表示。
其他领域中的振荡1.经济领域：在经济学中，振荡可以用于描述市场的周期性波动。
经济振荡往往与经济周期和商业周期有关，对于经济预测和政策制定有一定的指导意义。
2.生物领域：在生物学中，振荡现象广泛存在于生物体内。
例如，生物钟调控着生物体的昼夜节律，心脏的搏动也是一种生物振荡现象。
3.信息领域：在信息科学中，振荡可以用于描述信号的周期性变化。
例如，音频和视频信号中的波形振动就是一种经典的振荡现象。
以上只是振荡在不同领域中的一些常见应用和用法，振荡作为一个重要的概念和现象，还有许多其他领域中的应用和深入研究。
物理领域中的振荡的用法1. 机械振荡•弹簧振荡：当给弹簧施加力或变形后，会产生弹性形变，从而使弹簧发生周期性的振动。
•摆锤振荡：摆锤是一个具有一定质量的物体，在重力作用下能够以固定点为中心进行摆动。
11_机械振动和电磁振荡
1 ω v= = T 2π
4、角频率(angular frequency): 物体在 π秒内所作 、角频率( ): 物体在2 的完全运动的次数。 的完全运动的次数。
2π ω= = 2πv T
对于弹簧振子， 对于弹簧振子，因有 ω = 弹簧振子
k m ，得:
m T = 2π , k
k ν = 2π m
′ ′ φ 0 = ϕ + π / 2 x = A sin( ω t + φ 0 )
简谐振动的运动学特征: 简谐振动的运动学特征: 物体的加速度与位移成正比而方向相反， 物体的加速度与位移成正比而方向相反 ， 物 体的位移按余弦规律变化。 体的位移按余弦规律变化。
速度
dx v= = −ω A sin( ω t + φ 0 ) dt
速度、加速度的旋转矢量表示法： 速度、加速度的旋转矢量表示法：
v
a
vx
ax
v, a 沿X 轴的投
影为简谐运动的速度、 影为简谐运动的速度、 加速度表达式： 加速度表达式：
M
X
ωt + φ0
v x = − ω A sin (ω t + φ 0 )
a x = − ω A cos (ω t + φ 0 )
x = A cos(ωt + φ0 )
v = −vm sin(ωt + φ0 ) = vm cos(ωt + φ0 + π 2)
a = −am cos(ωt + φ0 ) = am cos(ωt + φ0 + π )
速度的相位比位移的相位超前 π 2 ，加速度的相 位比位移的相位超前 π。
三、谐振动的旋转矢量图示法
大学物理机械振动和电磁振荡第十五章机械振动课件
单摆周期 T与角振幅 m的关系为
T
T01
1 22
sin 2 m
2
1 22
32 42
sin 4 m
2
T0 为 m 很小时单摆的周期。
根据上述周期的级数公式，可以将周期计算 到所要求的任何精度。
31
(2) 复摆
一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。
刚体的质心为C, 对过O 点的
2
2
2
2
35
讨论
1 m 2 1 kx2 1 kA2
2
2
2
1) 普适 E A2
2) 时间平均值
EK
EP
1 kA2 4
能量平均值
EK
1 T
0T
1 m 2
2
A2
sin2 (t
0
)dt
1 kA2 4
EP
1 T
0T
1 2
kA2
cos2
(t
0
)
d
t
1 kA2 4
11
2. 动力学方程 以弹簧谐振子为例 设弹簧原长为坐标原点
km
0
kx x x
由牛顿第二定律 整理得
T 2 m k, 1 km
2
-
k
x
m
d2 dt
x
2
d2x k dt 2 m x 0
令 2 k
m
d2x dt 2
2x
0
简谐振动
12
二. 简谐振动的描述 1.解析描述
a A 2cos t 0 π
2A
机械振动和电磁振荡
010203定义稳态受迫振动和非稳态受迫振动。
类型应用振荡频率电感线圈振荡的频率与电感量、电阻和电容有关，通过调节这些参数可以改变振荡频率。
振荡原理电感线圈中，当电流发生变化时，会产生感应电动势来阻碍电流的变化，从而产生振荡。
应用振荡电路是许多电子设备中的重要组成部分，如信号发生器、无线电等。
电感线圈振荡电磁场振荡电磁波传播电磁波传播原理电磁波的特性应用单摆模型描述物体在平衡位置附近往复运动的模型，可以用于描述机械振动和某些电磁振荡。
单摆的周期公式是 T =2π√(L/g)，其中L是悬摆的长度，g是重力加速度。
在不同的星球或不同的重力场中，单摆的周期会发生变化，因此可以用来测量重力场的变化。
弹簧质量模型弹簧质量模型的振动方程是 m(d^2x/dt^2) = -kx，其中m 是质量块的质量，k是弹簧的弹性系数。
解这个方程可以得到振动的频率和振幅，从而可以描述物体的振动特性。
描述一个质量块在弹性力作用下运动的模型，可以用于描述机械振动和某些电磁振荡。
电感线圈模型描述电感线圈在电磁场中运动的模型，可以用于描述某些电磁振荡。
电感线圈的动态方程是d^2i/dt^2 + R(di/dt) + (1/L) *(Li) = 0，其中i是电流，R是电阻，L是电感。
解这个方程可以得到电流的时间变化，从而可以描述电磁振荡的特性。
简谐振动的数学公式简谐振动的数学公式简谐振动的特点简谐振动的描述阻尼振动的数学公式阻尼振动的描述阻尼振动的数学公式阻尼振动的特点03受迫振动的特点受迫振动的数学公式01受迫振动的描述02受迫振动的数学公式1电感线圈振荡的数学公式23电感线圈在电流变化时会产生感应电动势，从而产生振荡。
电感线圈振荡的描述i=Icos(ωt+φ)，其中I为电流幅度，ω为角频率，φ为初相位。
电感线圈振荡的数学公式电感线圈的振荡频率由电路阻抗决定，与电源频率无关。
电感线圈振荡的特点机械振动在工程中的应用机器运转机械振动可以提高机器的运转效率和精度，如振动筛、振动电机等。
15机械振动和电磁振荡
§15.4 简谐振动的能量
以水平弹簧振子为例) 一.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例 简谐振动的能量 以水平弹簧振子为例
1.简谐振动系统的能量特点 1.简谐振动系统的能量特点 (1) 动能
1 Ek = mυ 2 2 1 2 2 = kA sin (ω t + ϕ ) 2
1 2 Ek max = kA , Ek min = 0 2 1 t +T 1 2 Ek = ∫ Ek dt = kA T t 4 1 2 (2) 势能 E p = kx 2 1 2 2 = kA cos (ω t + ϕ ) 2
k m
单 摆:
ω
=
g l
固有频率决定于系统内在性质 4. 由初始条件求振幅和相位
υ A = x0 + ω
2
2 0 2
υ0 ) ϕ = tg (− ω x0
−1
二. 简谐振动的动力学解法
由牛顿定律列方程) 由牛顿定律列方程 1.由分析受力出发 (由牛顿定律列方程 2. 由分析能量出发 (将能量守恒式对 求导 将能量守恒式对t求导 守恒式对 求导)
d2x a = 2 = ω 2 Acos(ω t + ϕ + π ) dt a(t ) = Aa cos(ω t + ϕa ) 也是简谐振动
2A
ω ωA
A
x、 υ 、a υ x
a T t
o
-A -ω A -ω 2A
υ >0 a<0 减速
<0 <0 加速
<0 >0 减速
>0 >0 加速
§15.3
简谐振动实例(动力学部分) 简谐振动实例(动力学部分)
二. 同方向不同频率的简谐振动的合成
第十章机械振动和电磁振荡振动
x
F v
A
F
2
二、描述简谐振动的特征量
x(t)=Acos( t+ )
1、振幅 A (离开原点的最大距离) 2、振动圆频率 2 1 2 周期T T 3、相位 (1) ( t + )是 t 时刻的相位 (2) 是t =0时刻的相位 — 初相
3
解析法
x A o -A
x
2
x2
x1
2
t
0 A2
1
A1 x
超前、落后以小于 的 相位角来判断！！！
2 1
0 A1
x
7
例、振子的振动周期为12s，振子由平衡位置到正向最 大位置处所需的最短时间是多少？振子经历上述过程的 一半路程所需最短时间是多少？ 解： 旋转矢量转过的角度为 2 最短时间为： t2 x T 2 2 3s t 2 4 T 振子经历上述过程的一半路程时 t 1 旋转矢量转过的角度为 x 6 于是： T 6 6 1s t 3 2 12 T
8
例.一谐振动的振动曲线如图所示.求、以及振动方程 x 解：t = 0时x0 A v 0 0
t =1时
x1 0
3
2
π
A
3
x
A 2
A 0
1.0 t
Φ1 =ωt1 + j =ω × 1 π =π 3 2 π 5 x = A cos (6 πt 3 )
π Φ1 = 2
v1 0
第十章 机械振动和电磁振荡 振动：
物理量 (如位移、电流 等)在某一数值附近 反复变化。 机械振动 振 动 电磁振荡
{
受迫振动 自由振动
第十章 机械振动和电磁振荡
M = −mgl sin θ
sin θ = θ −
θ
3
3!
+
θ
5
5!
− ... ≈ θ
(θ 很小时) 很小时)
M = −mglθ
2
由转动定律 令
d θ M mglθ g = =− =− θ 2 2 dt J ml l
ω2 = g l
T = 2π ω = 2π g l
振动表达式： θ = θ m cos(ωt + ϕ 0 ) 振动表达式： 由初始条件求得。 角振幅 θm 和初相 ϕ0由初始条件求得。 当θ 不是很小时： 不是很小时： 很小时 单摆周期T与角振幅的关系为 单摆周期 与角振幅的关系为
t
-A1
较早达到正最大， 若 0<ϕ 20-ϕ 10<π，则 x2比x1较早达到正最大，称x2 落后)。 比x1超前 (或x1比x2落后 。 或
x
A1 A2
x1 x2
x2超前于 1 超前于x t
O
- A2 -A1
v = vm cos(ωt +ϕ0 + ) 2
π
a = am cos(ωt +ϕ0 ±π )
π
x t=0.5 = 0.12cos(0.5 − π
π
3 dx π v t=0.5 = = −0.12π sin( π t − ) t=0.5 = −0.189( m ) /s dt t=0.5 3 π dv 2 2 a t=0.5 = = −0.12π cos(π t − ) t=0.5 = −1.024 (m ) /s dt t=0.5 3
2π
x
O
ω
, ω= 2πν
t
3. 相位（phase）： ωt + ϕ0 ）— 描述振动状态 相位（ ） （ 初相位（ 初相位（initial phase） ：ϕ0 ） 相位差： 相位差： ∆ϕ = (ω 2 t + ϕ20 ) - (ω1t + ϕ10) 对两同频率的谐振动 ∆ϕ = ϕ20 - ϕ10 初相差 对两同频率的谐振动 同频率
第十五章 机械振动与电磁振荡
对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差
同相和反相 当Δ = ± 2k， ( k = 0,1,2,…)， 两振动步调相同， 称同相(in-phase)。Δ = ±(2k+1) ， ( k= 0,1,2,…)， 两振动步调相反，称反相(antiphase)。
领先和落后 若Δ = 2- 1> 0, 则x2比x1较早达到正最大，称x2 比x1领 先(或x1比x2落后)。
<0 欠阻尼，因振动能量不断损耗，振幅随 t 衰减。
严格讲，阻尼振动不是周期性振动(更不是简谐振动)，因为位 移x(t)不是t的周期函数。 但阻尼振动有某种重复性。位移相 继两次达到正向极大值的时间间隔
在>0 (过阻尼)和 =0 (临界阻尼)情形下，阻尼振 动微分方程的解将是非振动性的运动。运动物体连一 次振动也不能完成，能量即已耗光，物体慢慢移向平 衡位置。临界阻尼情形下，物体回到平衡位置并停在 那里，所需时间最短。
§15-3 受迫振动(forced vibration) 共振(resonance)
受迫振动：振动系统在周期性外力（驱动力driving force)作用下的振动。
1.系统受力：以弹簧振子为例：弹性力 -kx 阻尼力 周期性驱动力
2.振动方程：由牛顿定律有 md d22 xtkxd dx tF0cots
阻尼振动的振动方程和表达式
1.阻力
Ff
v
dx dt
2.振动方程
d2x mdt2
kxdx dtxA0et os t020,
此方程的解应分三种情形讨论：
<0 称作欠阻尼(underdamping)
>0 称作过阻尼(overdamping)
=0 称作临界阻尼(critical damping )
同相和反相 当Δ = ± 2k， ( k = 0,1,2,…)， 两振动步调相同， 称同相(in-phase)。Δ = ±(2k+1) ， ( k= 0,1,2,…)， 两振动步调相反，称反相(antiphase)。
领先和落后 若Δ = 2- 1> 0, 则x2比x1较早达到正最大，称x2 比x1领 先(或x1比x2落后)。
<0 欠阻尼，因振动能量不断损耗，振幅随 t 衰减。
严格讲，阻尼振动不是周期性振动(更不是简谐振动)，因为位 移x(t)不是t的周期函数。 但阻尼振动有某种重复性。位移相 继两次达到正向极大值的时间间隔
在>0 (过阻尼)和 =0 (临界阻尼)情形下，阻尼振 动微分方程的解将是非振动性的运动。运动物体连一 次振动也不能完成，能量即已耗光，物体慢慢移向平 衡位置。临界阻尼情形下，物体回到平衡位置并停在 那里，所需时间最短。
§15-3 受迫振动(forced vibration) 共振(resonance)
受迫振动：振动系统在周期性外力（驱动力driving force)作用下的振动。
1.系统受力：以弹簧振子为例：弹性力 -kx 阻尼力 周期性驱动力
2.振动方程：由牛顿定律有 md d22 xtkxd dx tF0cots
阻尼振动的振动方程和表达式
1.阻力
Ff
v
dx dt
2.振动方程
d2x mdt2
kxdx dtxA0et os t020,
此方程的解应分三种情形讨论：
<0 称作欠阻尼(underdamping)
>0 称作过阻尼(overdamping)
=0 称作临界阻尼(critical damping )
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28、一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图
x
x A O a
x
所示．当振子处在位移为零、速度为-ωA、
e d b c f t
加速度为零和弹性力为零的状态时，应对应
于曲线上的________ 点．当振子处在位移的 b,f 绝对值为A、速度为零、加速度为-ω2A和弹
-A
性力为-kA的状态时，应对应于曲线上的 ____________ a,e 点．
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已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时 x0 12cm, v0 0,
解：作t = 0时刻的旋转矢量 A0
求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
作x = -12cm处的旋转矢量 A A
-12
A0
o 12 24 x(cm)
t min
——理想模型
•忽略物体运动时的一切阻力； •忽略弹簧的质量；
•忽略物体的弹性.
O
x
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受力情况：
N
F
O
m o
F
x
x
mg
x
F
O
x
物体在任意位置x 所受的力为
F kx
―–‖表示力与位移的方向相反.
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受力分析：
由牛顿第二定律知
d2x F ma m 2 kx dt d2x k 所以 x0 2 m dt
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6、已知一质点沿ｙ轴作简谐振动．其振动方程 为 y A cos(t 3 / 4) ．与之对应的振动曲线是
y A o (A) A y A t (B) o A t (C) y A o A (D) t y
t
o
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求解振动三要素中的初相位： （一）解析法 （二）图像法 （三）旋转矢量法
(简谐振动的三要素)
x A cos(t 0 )
1.振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。 2 周期和频率 周期：物体作一次完全振动所经历的时间。
x A cos(t 0 ) A cos[ (T t ) 0 ]
T 2π
频率：单位时间内物体所作完全振动的次数。
A, 为积分常数
x可代表任意物理量
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用旋转矢量图画简谐运动的 x
t图
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简谐振动的运动学方程为
x A cos t 0
此式表示出了作简谐振动物体的位移随 时间变化的关系. x-t 曲线称之为振动曲线.
x A o A
0
2
t
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令
2
k 2 m
d x 2 则 x0 2 dt
——动力学方程
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d x 2 2 x 0 dt
2
——动力学方程
解此二阶常系数线性微分方程可得
x Ae x A cos t 0 ——或 运动方程
振 幅 角 频 率
i(t 0 )
初 相 位
求解振动三要素中的初相位： （一）解析法 （二）图像法
由振动曲线决定初相
(给定振动曲线，写出振动方程)
x0 A cos0 0 v0 A sin 0 0
sin 0 0
A x0 0 t 0
v0
x
t
x0 0 arccos A
为四象限角
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m o
采用旋转矢量直观表示为
两个同频率的简谐运动：
A2
ω
A1
D 2 f
O
1
x
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例题 10-1 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅 A=0.12 m, 周期T=2 s。当t=0时,物体的位移x=0.06 m,且向x轴正 向运动。求 :(1) 简谐振动表达式 ;(2)t =T/4 时物体的 位置、速度和加速度;(3)物体从x =-0.06 m向x轴负方 向运动，第一次回到平衡位置所需时间。 解: (1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为
x A cos(2π t 0 )
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3.相位和初相
相位 (t 0 ) ：决定简谐运动状态的物理量。 初相位 0 ：t =0 时的相位。 怎样用初始条件求振幅和初相位？ 假设作简谐振动的物体在初始时刻的速 度和位移分别为 v0 和 x0
x A cos t
1 T 0.5 s 6
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补充知识：
利用旋转矢量法作 x-t 图:
x
t=0
t T 12 T t 6
x(cm)
A
O
T t 2
O
T
t(s)
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速度、加速度的旋转矢量表示法： 沿X 轴的投 影为简谐运动的速度、 加速度表达式。
, a
t 0
m o x x A cos t
对运动学方程求导得振动速度为
dx v A sin t dt
x
对振动速度求导得振动的加速度为
d2x 2 2 x a 2 A cos t dt
从以上两式可知，作简谐振动物体的速 度和加速度是时间的周期函数，而且加速度 和位移成正比但方向相反.
k m
弹簧振子
初相位 ：决定于初始时刻的状态。
x0 A cos t 0时刻 v0 A sin
A x
2 0
2
2 v0
tg
v0 x0
解 析 法
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例题分析
1.一个质量为m 的物体系于一倔强系数为 k 的轻弹簧 下，挂在固定的支架上，由于物体的重量使弹簧伸长 了l =9.810-2m. 如图所示，如果给物体一个向下的瞬 时冲击力，使它具有向下的速度v =1ms-1，它就上下 振动起来，试写出振动方程.
a am cos(t 0 ) am cos(t 0 π)
速度的相位比位移的相位超前 π 2 ，加速度的相 位比位移的相位超前 π 。
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简谐振动的表达式
x A cos t
振动三要素：
振幅A：给出了简谐振动的振动范围
角频率 ：决定于振动系统的固有属性；
相位究竟是什么东西？ 相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动 步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动，表达式分别为
x1 A1 cos(t 10 )
x2 A2 cos(t 20 )
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二者的相位差为
(t 20 ) (t 10 ) 20 10
x
o
0 时,称第二个振动超前第一个振动 ；
t
d.当 0 时,称第二个振动落后第一个振动 。
xБайду номын сангаас
o
t
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相位可以用来比较不同物理量变化的步调。 对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在:
x A cos(t 0 )
v vm sin(t 0 ) vm cos(t 0 π 2)
a
ax
vx
M
A
M 点:vm
A 2 am A
2
a
X
vm cos( t )
a am cos(t )
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x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) 相位之差为 (t 2 ) (t 1 ) 2 1.
A cos 10 A cos 20
x
A/2 o
t
20 10 t 20 10 t
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讨论： a.当 2kπ 时,称两个振动为同相；
x
o
t
b.当 (2k 1) π 时,称两个振动为反相；
x
o
t
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c.当
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30、一简谐振动用余弦函数表示，其振动 曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量 (/6) rad/s ； φ 为 A =________ 10 cm ； ω =__________ =___________ ． /3
x (cm) 10 5 O 1 4710 -10 13 t (s)
dx v A sin t dt x0 A cos 解之可得 则t 0 有 v0 A sin
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A
在
x
2 0
2
2 v0
v0 tg x0
v0 A sin 0 进行取舍。
π 到 π 之间，通常 0 存在两个值，可根据
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简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系 :
初始相位为零时
x A cos t
x
2
4
t
dx v dt A sin t
d2x a 2 dt A 2 cos t
t
a
t
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二、描述谐振动的特征量
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什么是振动？
•振动: 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化
力学量（如位移、速度） 电磁量（如I 、V、 E、 B）
模型 （弹簧振子）
推广
如何研究振动？
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§10-0 教学基本要求
1．掌握描述谐振动和简谐波动的各物理量（特别是 位相和位相差）的物理意义及各量的相互关系。 2．掌握旋转矢量法，并能用以分析有关问题。 3．掌握谐振动的基本特征。能根据给定的初始条件 建立一维谐振动的运动方程，并理解其物理意义。理 解谐振动的能量及其特点。
x
x A O a
x
所示．当振子处在位移为零、速度为-ωA、
e d b c f t
加速度为零和弹性力为零的状态时，应对应
于曲线上的________ 点．当振子处在位移的 b,f 绝对值为A、速度为零、加速度为-ω2A和弹
-A
性力为-kA的状态时，应对应于曲线上的 ____________ a,e 点．
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已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时 x0 12cm, v0 0,
解：作t = 0时刻的旋转矢量 A0
求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
作x = -12cm处的旋转矢量 A A
-12
A0
o 12 24 x(cm)
t min
——理想模型
•忽略物体运动时的一切阻力； •忽略弹簧的质量；
•忽略物体的弹性.
O
x
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受力情况：
N
F
O
m o
F
x
x
mg
x
F
O
x
物体在任意位置x 所受的力为
F kx
―–‖表示力与位移的方向相反.
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受力分析：
由牛顿第二定律知
d2x F ma m 2 kx dt d2x k 所以 x0 2 m dt
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6、已知一质点沿ｙ轴作简谐振动．其振动方程 为 y A cos(t 3 / 4) ．与之对应的振动曲线是
y A o (A) A y A t (B) o A t (C) y A o A (D) t y
t
o
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求解振动三要素中的初相位： （一）解析法 （二）图像法 （三）旋转矢量法
(简谐振动的三要素)
x A cos(t 0 )
1.振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。 2 周期和频率 周期：物体作一次完全振动所经历的时间。
x A cos(t 0 ) A cos[ (T t ) 0 ]
T 2π
频率：单位时间内物体所作完全振动的次数。
A, 为积分常数
x可代表任意物理量
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用旋转矢量图画简谐运动的 x
t图
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简谐振动的运动学方程为
x A cos t 0
此式表示出了作简谐振动物体的位移随 时间变化的关系. x-t 曲线称之为振动曲线.
x A o A
0
2
t
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令
2
k 2 m
d x 2 则 x0 2 dt
——动力学方程
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d x 2 2 x 0 dt
2
——动力学方程
解此二阶常系数线性微分方程可得
x Ae x A cos t 0 ——或 运动方程
振 幅 角 频 率
i(t 0 )
初 相 位
求解振动三要素中的初相位： （一）解析法 （二）图像法
由振动曲线决定初相
(给定振动曲线，写出振动方程)
x0 A cos0 0 v0 A sin 0 0
sin 0 0
A x0 0 t 0
v0
x
t
x0 0 arccos A
为四象限角
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m o
采用旋转矢量直观表示为
两个同频率的简谐运动：
A2
ω
A1
D 2 f
O
1
x
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例题 10-1 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅 A=0.12 m, 周期T=2 s。当t=0时,物体的位移x=0.06 m,且向x轴正 向运动。求 :(1) 简谐振动表达式 ;(2)t =T/4 时物体的 位置、速度和加速度;(3)物体从x =-0.06 m向x轴负方 向运动，第一次回到平衡位置所需时间。 解: (1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为
x A cos(2π t 0 )
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3.相位和初相
相位 (t 0 ) ：决定简谐运动状态的物理量。 初相位 0 ：t =0 时的相位。 怎样用初始条件求振幅和初相位？ 假设作简谐振动的物体在初始时刻的速 度和位移分别为 v0 和 x0
x A cos t
1 T 0.5 s 6
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补充知识：
利用旋转矢量法作 x-t 图:
x
t=0
t T 12 T t 6
x(cm)
A
O
T t 2
O
T
t(s)
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速度、加速度的旋转矢量表示法： 沿X 轴的投 影为简谐运动的速度、 加速度表达式。
, a
t 0
m o x x A cos t
对运动学方程求导得振动速度为
dx v A sin t dt
x
对振动速度求导得振动的加速度为
d2x 2 2 x a 2 A cos t dt
从以上两式可知，作简谐振动物体的速 度和加速度是时间的周期函数，而且加速度 和位移成正比但方向相反.
k m
弹簧振子
初相位 ：决定于初始时刻的状态。
x0 A cos t 0时刻 v0 A sin
A x
2 0
2
2 v0
tg
v0 x0
解 析 法
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例题分析
1.一个质量为m 的物体系于一倔强系数为 k 的轻弹簧 下，挂在固定的支架上，由于物体的重量使弹簧伸长 了l =9.810-2m. 如图所示，如果给物体一个向下的瞬 时冲击力，使它具有向下的速度v =1ms-1，它就上下 振动起来，试写出振动方程.
a am cos(t 0 ) am cos(t 0 π)
速度的相位比位移的相位超前 π 2 ，加速度的相 位比位移的相位超前 π 。
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简谐振动的表达式
x A cos t
振动三要素：
振幅A：给出了简谐振动的振动范围
角频率 ：决定于振动系统的固有属性；
相位究竟是什么东西？ 相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动 步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动，表达式分别为
x1 A1 cos(t 10 )
x2 A2 cos(t 20 )
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二者的相位差为
(t 20 ) (t 10 ) 20 10
x
o
0 时,称第二个振动超前第一个振动 ；
t
d.当 0 时,称第二个振动落后第一个振动 。
xБайду номын сангаас
o
t
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相位可以用来比较不同物理量变化的步调。 对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在:
x A cos(t 0 )
v vm sin(t 0 ) vm cos(t 0 π 2)
a
ax
vx
M
A
M 点:vm
A 2 am A
2
a
X
vm cos( t )
a am cos(t )
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x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) 相位之差为 (t 2 ) (t 1 ) 2 1.
A cos 10 A cos 20
x
A/2 o
t
20 10 t 20 10 t
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讨论： a.当 2kπ 时,称两个振动为同相；
x
o
t
b.当 (2k 1) π 时,称两个振动为反相；
x
o
t
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c.当
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30、一简谐振动用余弦函数表示，其振动 曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量 (/6) rad/s ； φ 为 A =________ 10 cm ； ω =__________ =___________ ． /3
x (cm) 10 5 O 1 4710 -10 13 t (s)
dx v A sin t dt x0 A cos 解之可得 则t 0 有 v0 A sin
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A
在
x
2 0
2
2 v0
v0 tg x0
v0 A sin 0 进行取舍。
π 到 π 之间，通常 0 存在两个值，可根据
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简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系 :
初始相位为零时
x A cos t
x
2
4
t
dx v dt A sin t
d2x a 2 dt A 2 cos t
t
a
t
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二、描述谐振动的特征量
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什么是振动？
•振动: 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化
力学量（如位移、速度） 电磁量（如I 、V、 E、 B）
模型 （弹簧振子）
推广
如何研究振动？
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§10-0 教学基本要求
1．掌握描述谐振动和简谐波动的各物理量（特别是 位相和位相差）的物理意义及各量的相互关系。 2．掌握旋转矢量法，并能用以分析有关问题。 3．掌握谐振动的基本特征。能根据给定的初始条件 建立一维谐振动的运动方程，并理解其物理意义。理 解谐振动的能量及其特点。