专题一 数列通项公式的求法含答案

专题一 数列通项公式的求法
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

本节总结几种求解数列通项公式的方法。

一、用观察法求数列的通项：
例1：根据数列的前几项，写出它的一个通项公式；
（1） 1716
,109,54,21 （2） 1,0,,0 1
（3） 32
31,1615,87,43
二、定义法：
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，
且931,,a a a 成等比数列，2
55a S =．求数列{}n a 的
通项公式.
解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123
a a a =，
即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒
∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵
2
5
5a S =
∴
2
11)4(2
455d a d a +=⋅⨯+
…………②
由①②得：5
31=
a ，5
3
=
d
∴n n a n 5
3
53)1(53=⨯-+=
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错
定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

三、公式法
若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列
{}
n a 的通项
n
a 可用公式
⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2
111n S S n S a n n n 求解。

例3：已知数列{}n a 的前n 项和为322
++=n n S n ，
求数列的通项公式。

（名49例2）
变式训练：已知数列{}n a 的前n 项和为
323
-=
n n a S ，求数列的通项公式。

（名师一号P70）
点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2
1
1n S S n S a n n n n 求解
时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．
四、累加法
形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且
(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法
求n a 。

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例4：在数列{n a }中，1a =1，
11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。

解：∵111n a ==时，
213243121
2
3.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=⎫
⎪
-=⎪⎪
-=⎬⎪⎪
-=-⎪⎭
时,
这n-1个等式累加得：
112...n a a -=+++（n-1）=
(1)2
n n -
故2
1(1)2
2
2
n n n n n a a --+=
+=
且11a =也
满足该式 ∴2
2
2
n n n a -+=
(n N *∈).
例:5．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *∈),求n a 。

解：n=1时, 1a =1212
323431
122
22 (2)
n n n n a a a a a a a a --≥-=⎫⎪-=⎪
⎪
-=⎬⎪⎪⎪-=⎭
时,
以上
n-1个等式累加得
2
1
122 (2)
n n a a --=+++=
1
2(12
)
12
n ---=22n -，故
1222
1n
n
n a a =-+=- 且11a =也满足该式 ∴
21n
n a =- (n N *
∈)。

一、累乘法
形如
1
()n n a f n a -= (n=2、3、4……)，且
(1)(2)...(
f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例6．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。

解：由已知得
1n n
a n a += ，分别取n=1、2、
3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即
324
1231
........n n a a a a a a a a -=1×2×3×…×
(n-1)=(n-1)!所以时，
1
(1)!
n a n a =-故(1)!n a n =-
且10!a ==1也适用该式 ∴(1)!n a n =-
(n N *∈).
例7．已知数列{n a }满足1a =23
，11
n n n a a n +=
+，
求n a 。

解：由已知得11
n n
a n a n +=
+，分别令n=1，2，
3，….(n-1),代入
上式得
n-1个等式累乘，即
324
1231
........n n a a a a a a a a -= 1231......234n n -⨯⨯⨯
三、构造法
例5、（06福建理22）已知数列{n a }满足1a =1，
1n a +=21n a + (n N *
∈)，求数列{n a }的通项公式。

解：构造新数列{}n a p +，其中p 为常数，使之成为公比是n a 的系数2的等比数列
即1n a p ++=2()n a p + 整理得：
1n a +=2n a p +使之满足1n a +=21n a + ∴p=1
即{}1n a +是首项为11a +=2，q=2的等比数列∴1n a +=122n -⋅ n a =21n -所以
1
1n a a n
=
，又因
为123
a =也满足该式，所以23n a n
=。