2021届江苏省启东中学高三下学期期初调研测试文科数学试卷

2021年江苏省启东中学高三下学期期初调研测试文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合A ＝{x|log 2x≤2}，B ＝（－∞，a ），若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（c ，＋∞），其中c ＝ ．2．由命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是______．3．圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是________.4．已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为 .5．设常数a 使方程 a x x =+cos 3sin 在闭区间]2,0[π上恰有三个解321,,x x x ，则=++321x x x ．6．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2)1(223x x x x y ，若关于x 的方程f （x ）＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .7．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()()20AB AC AD BD CD -⋅--=，则ABC ∆ 的形状是 ．8．设x y 、均为正实数，且111223x y +=++，则xy 的最小值为 ． 9．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角分别为α、β，则有22cos cos 1αβ+=，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=__________.10．已知点(,4)P m 是椭圆22221+=x y a b(0)>>a b 上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，若12∆PF F 的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为 ．11．若函数)1ln(2ln )(+-=x kx x f 不存在零点，则实数k 的取值范围是 ． 12．函数x e x x f 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ．13．设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ，对任意),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，若0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，且))(1,(*0N a a a x ∈+∈，则实数a = ．二、解答题14．底面边长为2 m ，高为1 m 的正三棱锥的全面积为 m 2. 15．已知定义域为R 的函数()122x x b f x a+-+=+是奇函数． （1）求,a b 的值；（2）已知()f x 在定义域上为减函数，若对任意的t R ∈，不等式()()2220(f t t f t k k -+-<为常数）恒成立,求k 的取值范围.16．（本小题满分为14分）已知函数)50)(36cos(2)(≤≤+=x x f ππ，点B A ,分别是函数 )(x f y =图象上的最高点和最低点．（1）求点B A ,的坐标以及OB OA ⋅的值；（2）设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求)22sin(βα-的值．17．如图1所示，在Rt ABC ∆中，6AC =，3BC =，90ABC ∠=︒，CD 为ACB ∠的平分线，点E 在线段AC 上，4CE =．如图2所示，将BCD ∆沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连结AB ，设点F 是AB 的中点．图1 图2（1）求证：DE ⊥平面BCD ；（2）在图2中，若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥BDEG 的体积．18．（本小题满分为16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为：⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+-=]500,144[8000020021)144,120[50408031223x x x x x x x y ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．（1）当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？19．（本小题满分为16分）设A ，B 分别为椭圆22221+=x y a b(0)>>a b 的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上． （1）求椭圆的方程；（2）设P 为直线4=x 上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：△MBP 为钝角三角形．20．（本小题满分为16分）已知函数x a x x f ln 21)(2+=． （1）若1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值；（3）若1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方．参考答案1．4；【解析】试题分析：由log 2x≤2，得0<x≤4，即A ＝{x|0<x≤4}，而B ＝（－∞，a ），由于A ⊆B ，则a>4，即c ＝4.考点：集合包含关系2．1【分析】存在x ∈R ，使220x x m ++≤是假命题，其否命题为真命题，即是说“x R ∀∈，都有220x x m ++＞ ”，根据一元二次不等式解的讨论，可知440m =-＜，所以1m ＞，则1a =．【详解】存在x ∈R ，使220x x m ++≤0是假命题，∴其否定为真命题，即是说“x R ∀∈，都有220x x m ++＞ ”，，∴440m =-＜，1m m ∴＞，的取值范围为1+∞（，）．则1a =.【点睛】考察了四种命题间的关系和二次函数的性质，属于基础题．3．-4【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径r ，利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线l 的距离，再根据截得弦的长度为4，得到关于a 的方程，解出即可【详解】由圆22220x y x y a ++-+=可得()()22112x y a ++-=-∴圆心为()11-，，半径)2r a <直线方程为20x y ++=∴圆心到直线的距离d ==截得弦的长度为42222a ∴+=-，解得4a =-故答案为4-【点睛】结合弦长的长度求出圆的标准方程，只需将圆化为标准方程，然后运用弦长公式的求法求出参量即可4．4+；【解析】 试题分析：BC AB BC AB S ⨯=⨯=424sin 21π，BC AB BC AB ⨯-+=2164cos 22π， 得BC AB BC AB BC AB ⨯≥+=⨯+221622，)22(8+≤⨯BC AB ，△ABC 面积的最大值为4+考点：余弦定理5．37π；【解析】试题分析： a x x x x x =+=+=+)3sin(2)cos 23sin 21(2cos 3sin π，直线与三角函数图象的交点，在]2,0[π上，当3=a 时，直线与三角函数图象恰有三个交点， 令32323)3sin(ππππ+=+⇒=+k x x 或)(3223Z k k x ∈+=+πππ，即πk x 2=或 )(32Z k k x ∈+=ππ，∴此时ππ2,3,0321===x x x ，37321π=++∴x x x ．考点：三角函数图像与性质6．（0,1），【解析】 试题分析：3220,1];2(1)(,1)x x x x ≥∈<-∈-∞时，（时，若f （x ）＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f （x ）的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为（0,1）.考点：分段函数图像7．等腰三角形；【解析】 试题分析：+=+++=--)()(2，BC AC AB =-， 由()()20AB AC AD BD CD -⋅--=，即)(+⊥，由四边形垂直平分可得ABC ∆的是等腰三角形．考点：向量数量积8．16【详解】 x 、y 均为正实数,且111223x y +=++,进一步化简得80xy x y ---=.8x y xy +=-≥令t 2280t t --≥,2t ∴≤- (舍去),或4t ≥,4≥,化简可得 16xy ≥,xy ∴的最小值为16.9．【解析】试题分析： 我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质，在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α、β,则有22cos cos 1αβ+=，我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，因为长方体1111ABCD A B C D -中，如图,对角线1AC 与过A 点的三个面ABCD 、1111D C B A 所成的角分别为α、β、γ，111cos ,cos ,AB AC AC AC αβ∴==11cos AD AC γ=，2222221121cos cos cos AC AB AD AC αβγ++∴++=，令同一顶点出发的三个棱的长分别为,,a b c ，则有2222221121cos cos cos AC AB AD AC αβγ++++=2222222222a b a c b c a b c +++++==++，故答案为2.考点: 1、类比推理；2、直线和平面成的角.10．35； 【解析】试题分析：一方面12∆PF F 的面积为1(22)2a c r +⋅；另一方面12∆PF F 的面积为122⋅p y c ，11(22)222+⋅=⋅p a c r y c ，∴()+⋅=⋅p a c r y c ，∴+=p y a c c r ，∴(1)+=p y a c r ，又4=p y ∴4511332p y a c r =-=-=，∴椭圆的离心率为35==c e a . 考点：椭圆的离心率11．)4,0(；【解析】 试题分析：由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=>+>)1ln(2ln 010x kx x kx ，解得1->x 且0≠x ，由对数的性质可得 2)1ln()1ln(2ln +=+=x x kx ，可得2)1(+=x kx )0,1(,21)1(2≠->++=+=⇒x x x x x x k 由于,21-<+x x 或02121<++⇒≥+x x x x 或421≥++xx ， 要使函数)1ln(2ln )(+-=x kx x f 不存在零点，只需k 取21++x x 取值集合的补集， 即}40|{<≤k x ，当0=k 时，函数无意义，故k 的取值范围应为：)4,0(考点：函数零点12．)0,1()2,3(-⋃--；【解析】试题分析：函数x e x x f 2)(=的导数为)2(22+=+='x xe e x xe y x x x ，令0='y ，则0=x 或2-=x ，当)0,2(-∈x 时)(x f 单调递减，当)2,(--∞∈x 和),0(+∞∈x 时)(x f 单调递增0∴和2是函数的极值点，因为函数x e x x f 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，所以12+<-<a a 或2310-<<-⇒+<<a a a 或01<<-a ，考点：函数极值点13．1；【解析】试题分析：对任意的),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，又由)(x f 是定义在),0(+∞上的单调函数，则x x f 2log )(-为定值，设x x f t 2log )(-=，则x t x f 2log )(+=，又由6)(=t f ，可得6log 2=+t t ，可解得4=t ，故 2ln 1)(,log 4)(2x x f x x f ='+=，又0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，所以0x 是函数2ln 1log 4)()()(2x x x f x f x F -=-'-=的零点，分析易得04ln 112ln 211)2(,02ln 1)1(>-=-=<-=F F ，故函数)(x F 的零点介于)2,1(之间，故1=a考点：函数与方程14．【解析】试题分析：由条件得斜高为32)33(12=+ （m ）．从而全面积212+322S =⨯⨯（m 2）． 考点：正三棱锥的全面积15．解：（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201,().2222xx b b f x +--=⇒=∴=++………………………3 （2）由（1）知11211()22221x x x f x +-==-+++，………………………5 设12x x <，则211212121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++. 因为函数y=2x 在R 上是增函数且12x x <， ∴2122x x ->0.又12(21)(21)x x ++>0 ，∴12()()f x f x ->0，即12()()f x f x >，∴()f x 在(,)-∞+∞上为减函数.另法：或证明f′(x)0 (9)（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式 22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-， (3)因为()f x 为减函数，由上式推得2222t t k t ->-．即对一切t ∈R 有2320t t k -->， 从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<- (13)【解析】定义域为R 的奇函数()00f =，得b=1，在代入1，-1，函数值相反得a; ()()22220f t t f t k -+-<()()()()22222222f t t f t k f t t f t k ∴-<--∴-<-+,通常用函数的单调性转化为自变量的大小关系．（1）()f x 是奇函数，∴()00f =，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 即102b a -+=+∴1b =∴()1212x x f x a+-+=+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分()()11f f =--∴1121241a a-+-+=-++┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 ∴2a =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分（2）由（1）知由上式易知()f x 在R 上为减函数． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分又因为()f x 为奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<， 等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 ()f x 为减函数∴2222t t t k ->-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分即对一切t R ∈都有2320t t k -->┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分∴4120k ∆=+<∴13k <-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分16．（1）(0,1),(4,2)A B -,2OA OB ⋅=-（2）【解析】试题分析：（1）由三角函数性质知，当,0633x x πππ+==时，()f x 取最大值1，当,463x x πππ+==时，()f x 取最大值2-，因此可得(0,1),(4,2)A B -，从而根据向量数量积得(0,1)(4,2)2OA OB ⋅=⋅-=-（2）由三角函数定义可得,sin 2παββ===，根据二倍角公式可得43sin 2,cos255ββ=-=，因此sin(2)sin(2)24απββ-=-= 试题解析：（1）71051cos()3633632x x x ππππππ≤≤∴≤+≤∴-≤+≤ 当,0633x x πππ+==时，()f x 取最大值1， 当,463x x πππ+==时，()f x 取最大值2-，因此所求坐标为(0,1),(4,2)A B -，则(0,1)(4,2)2OA OB ⋅=⋅-=-（2）因为点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，则,sin 2παββ===43sin 2,cos255ββ=-=sin(2)sin(2)24απββ∴-=-=考点：三角函数图像与性质，二倍角公式17．（1）证明见解析；（2【解析】试题分析：（1）取AC 的中点P ，连接DP ，证明,90,DP AC EDC ED DC ⊥∠=⊥，利用平面与平面垂直的性质证明DE ⊥平面BCD ；（2）过点B 作BH CD ⊥交于点H ,因为平面BCD ⊥平面ACD ，BH ⊂平面BCD ，所以BH ⊥平面ACD ,求得32BH =，利用棱锥的体积公式，即可求三棱锥B DEG -的体积.试题解析：（1）在题图1中，因为6AC =，3BC =，90ABC ∠=︒，所以60ACB ∠=︒． 因为CD 为ACB ∠的平分线，所以30BCD ACD ∠=∠=︒，所以CD =又因为4CE =，30DCE ∠=︒，所以2DE =则222CD DE CE +=，所以90CDE ∠=︒，即DE CD ⊥在题图2中，因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD ⋂平面ACD CD =，DE ⊂平面ACD ，所以DE ⊥平面BCD ．（2）在题图2中，因为EF 平面BDG ，EF ⊂平面ABC ，平面ABC ⋂平面BDG BG =， 所以EF BG因为点E 在线段AC 上，4CE =，点F 是AB 的中点，所以2AE EG CG === 过点B 作BH CD ⊥交于点H因为平面BCD ⊥平面ACD ，BH ⊂平面BCD ，所以BH ⊥平面ACD由条件得32BH =又13DEG ACD S S ∆∆==11sin3032AC CD ⨯⋅⋅︒= 所以三棱锥B DEG -的体积为13DEG V S BH ∆=⋅=1332= 【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的性质、棱锥的体积公式，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论(||,)a b a b αα⊥⇒⊥；（3）利用面面平行的性质(),||a a ααββ⊥⇒⊥；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.18．（1）不会获利，至少补贴5 000元（2）400【解析】试题分析：（1）解决实际问题关键为读懂题意：能否获利，决定于利润是否为正，故列出利润S 函数关系式S ＝200x －⎪⎭⎫⎝⎛+-80000200212x x ＝－12x 2＋400x －80 000＝－12 （x －400）2，当x ∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利，补贴的标准为S 取得最大值-5 000，而不是最小值（2）先列出每吨的平均处理成本的函数关系式，为一个分段函数，需分段求最值，最后比较两段最小值的较小值为所求.试题解析：（1）当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎪⎭⎫ ⎝⎛+-80000200212x x ＝－12x 2＋400x －80 000＝－12 （x －400）2， 所以当x ∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利.当x ＝300时，S 取得最大值-5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损.（2）由题意可知二氧化碳的每吨处理成本为⎪⎩⎪⎨⎧∈-+∈+-=]500,144[2008000021)144,120[504080312x x x x x x x y①当x ∈[120,144）时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13 （x －120）2＋240， 所以当x ＝120时，y x取得最小值240. ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时，y x 取得最小值200.因为200<240， 答：当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.考点：基本不等式求最值19．（1）2214+=x y （2）详见解析 【解析】试题分析：（1）求椭圆的方程一般利用待定系数法求解，本题两个独立条件可求出方程中两个未知数，关键长轴长为4的条件不能列错，（2）证明△MBP 为钝角三角形，可利用向量数量积求证：0BM BP ⋅<，这样只需列出各点坐标即可.试题解析：（1）由题意：24=a ，所以2=a ．所求椭圆方程为22214+=x y b．又点在椭圆上，可得21=b ．所求椭圆方程为2214+=x y ． （2）证明：由（1）知：(2,0),(2,0)-A B ．设(4,)P t ，(,)M M M x y ．则直线PA 的方程为：(2)6=+t y x ． 由22(2),644,⎧=+⎪⎨⎪+=⎩t y x x y 得2222(9)44360+++-=t x t x t ． 因为直线PA 与椭圆相交于异于A 的点M ， 所以22429--+=+M t x t ，所以222189-+=+M t x t ． 由(2)6=+M M t y x ，得269=+M t y t ．所以2222186(,)99-+++t t M t t ． 从而22246(,)99=-++t t BM t t ，(2,)=BP t ． 所以22228699⋅=-+++t t BM BP t t 22209=-<+t t ． 又,,M B P 三点不共线，所以∠MBP 为钝角．所以△MBP 为钝角三角形．考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系20．（1）极小值是21)1(=f ，无极大值． （2）2max min 11()()1,()(1).22f x f e e f x f ==+== （3）详见解析【解析】试题分析：（1）由求函数极值步骤依次求解：先确定定义域，再求导函数，在定义域内求导函数零点，列表分析函数单调性变化规律，由函数极值定义得出结论（2）由求函数最值步骤依次求解：先确定定义域，再求导函数，在定义域内求导函数零点，列表分析区间端点函数值及导数为零的点函数值的大小，得出结论（3）先将函数图像问题转化为一个不等式恒成立问题：2312ln 0(1)23x x x x +-<≥，利用导数研究左边函数最小值，即可解决问题. 试题解析：（1）)(x f 的定义域是),0(+∞xx x x x x x x f )1)(1(11)(2-+=-=-=' 当)1,0(∈x 时)(0)(x f x f ⇒<'在)1,0(上递减；当),1(+∞∈x 时)(0)(x f x f ⇒>' 在),1(+∞上递增，)(x f ∴的极小值是21)1(=f ，无极大值． （2）01)(ln 21)(2>+='⇒+=x x x f x x x f 恒成立对],1[e x ∈， )(x f ∴在],1[e 上递增，.21)1()(,121)()(min 2max ==+==∴f x f e e f x f （3）证明：令)1(32ln 21)()()(32≥-+=-=x x x x x g x f x h 0)12)(1(1221)(2232≤++--=++-=-+='xx x x x x x x x x x h 在),1[+∞上恒成立， )(x h ∴在区间),1[+∞上递减，0613221)1()(<-=-=≤∴h x h ∴在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方 考点：利用导数求函数极值，利用导数求函数最值，利用导数证不等式。