系统结构图及等效变换梅森公式-讲义
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梅逊公式
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21
解: 有三条前向通路， 前向通路的增益分别为
n3
p1 G1G2 G3G4 G5 p2 G1G6 G4 G5 p3 G1G2 G7
有四个独立的回路，分别为
L1 G2 G3G4 G5 H 2 L2 G6 G4 G5 H 2
在四个回路中，L3与L4不接触。
L3 G2 G7 H 2 L4 G4 H1
特征式为
1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4
回章首 回节首 22
前向通路p1与四个回路均接触，
1 1
前向通路p2与四个回路均接触，
2 1
前向通路p3与回路L4不接触，
L3a L4 ,
a
3 1 L4
闭环传递函数为
Y (s) P 1 ( p11 p2 2 p3 3 ) R( s) p1 p2 p3 (1 L4 ) 1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4 G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4 H1 ) 1 G2G3G4G5 H 2 G6G4G5 H 2 G2G7 H 2 G4 H1 G2G7 H 2G4 H1
(2-123)
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18
特征式
的计算公式为
1 La Lb Lc
a b,c
d ,e, f
L
d
Le L f ....
(2-124)
L —所有独立回路增益之和； —所有每两个互不接触回路增益乘积之和； L L —所有每三个互不接触回路增益乘积之和。 L L L
a a
自动控制原理 梅森公式求系统传递函数
表达式为：
1 n
P k1 Pk k
式中： P 总传递函数；
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
Pk 第k个前向通道的总传输；
流图特征式；其计算公式为：
1 La LbLc Ld LeLf ...
2
流图特征式
1 n
P k1 Pk k
G2 G1 2G1G2 1 G2 G1 3G1G2
10
2.3.5 闭环控制系统的传递函数
N(s)
R(s) E(s)
-
G1(s)
C(s)
G2(s)
H(s)
控制系统在工作过程中受到各种外作用形式，一种为控制输 入信号，另一种为扰动信号。
输入作用下，系统的闭环传递函数及输出:
(s) C(s) G1(s)G2 (s) R(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
(s)
N
(s)
根据线性叠加原理，系统总输出 ：
C(s)
C(s)
CN
(s)
G2 (s)[G1(s)R(s) N (s)] 1 G1(s)G2(s)H (s)
12
闭环系统的误差传递函数：
R(s) E(s)
-
G1(s)
N(s)
C(s)
G2(s)
H(s)
输入作用下，系统误差传递函数:
e (s)
第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；
3
[几个术语]：
N
R1
E
G1
P
1 G2
Q
பைடு நூலகம்
1C
H
通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和 终点都在节点上。
系统结构图及等效变换、梅森公式
统结构图基础上应用等效变换和梅森 公式进行系统设计和实现，确保系统稳定性和可靠性。
05
结论与展望
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
研究结论
• 通过分析和比较不同系统结构图的特点和性能，本文得出了一些重要的结论。首先，等效变换在系统分析和设 计中具有重要的作用，它可以帮助我们简化复杂的系统结构，降低分析和设计的难度。其次，梅森公式是一种 有效的系统性能评估方法，它可以用于计算系统的传递函数和频率响应等关键性能指标。最后，通过实例分析 和仿真验证，本文证明了等效变换和梅森公式在系统分析和设计中的有效性和实用性。
案例一
分析一个简单的RC电路，利用梅 森公式计算其传递函数，并与实 验结果进行对比分析。
案例二
针对一个控制系统，利用梅森公 式分析其稳定性，并给出相应的 控制器设计建议。
案例三
考虑一个复杂的信号流图，利用 梅森公式进行化简，得到简化的 数学模型，便于后续分析和设计。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
案例分析
案例一
串联等效变换的应用。在某控制系统中，存在两个串联的控制器，通过串联等效变换，可以将这两个控制器 合并为一个等效控制器，从而简化系统分析。
案例二
并联等效变换的应用。在某电力系统中，存在两个并联的电源，通过并联等效变换，可以将这两个电源合并 为一个等效电源，方便进行系统性能评估。
案例三
反馈等效变换的应用。在某通信系统中，存在一个反馈环节，通过反馈等效变换，可以将该反馈环节进行简 化，使得简化后的系统与原系统在性能上保持一致。
系统结构图及等效变换、
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
05
结论与展望
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
研究结论
• 通过分析和比较不同系统结构图的特点和性能，本文得出了一些重要的结论。首先，等效变换在系统分析和设 计中具有重要的作用，它可以帮助我们简化复杂的系统结构，降低分析和设计的难度。其次，梅森公式是一种 有效的系统性能评估方法，它可以用于计算系统的传递函数和频率响应等关键性能指标。最后，通过实例分析 和仿真验证，本文证明了等效变换和梅森公式在系统分析和设计中的有效性和实用性。
案例一
分析一个简单的RC电路，利用梅 森公式计算其传递函数，并与实 验结果进行对比分析。
案例二
针对一个控制系统，利用梅森公 式分析其稳定性，并给出相应的 控制器设计建议。
案例三
考虑一个复杂的信号流图，利用 梅森公式进行化简，得到简化的 数学模型，便于后续分析和设计。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
案例分析
案例一
串联等效变换的应用。在某控制系统中，存在两个串联的控制器，通过串联等效变换，可以将这两个控制器 合并为一个等效控制器，从而简化系统分析。
案例二
并联等效变换的应用。在某电力系统中，存在两个并联的电源，通过并联等效变换，可以将这两个电源合并 为一个等效电源，方便进行系统性能评估。
案例三
反馈等效变换的应用。在某通信系统中，存在一个反馈环节，通过反馈等效变换，可以将该反馈环节进行简 化，使得简化后的系统与原系统在性能上保持一致。
系统结构图及等效变换、
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件
ABCD
然后，通过分析梅森公式 的各项系数，确定系统的 极点和零点。
最后，将梅森公式的分析 结果转换为信号流图，进 一步明确系统各变量之间 的传递关系。
梅森公式在信号流图中的应用实例
假设一个控制系统的传递函数为 (G(s) = frac{s^2 + 2s + 5}{s^2 + 3s + 2})
在信号流图中，将极点和零点表示为相 应的节点，并根据梅森公式的各项系数 确定各节点之间的传递关系。
02
信号流图基础
信号流图定义与构成
信号流图定义
信号流图是一种用于描述线性动 态系统数学模型的图形表示方法 ，通过节点和支路表示系统中的 信号传递和转换过程。
信号流图构成
信号流图由节点和支路组成，节 点表示系统的动态方程，支路表 示输入输出之间的关系。
信号流图的绘制方法
确定系统动态方程
根据系统描述，列出系统的动态方程。
2
梅森公式与信号流图在描述和分析线性时不变系 统时具有互补性，二者可以相互转换。
3
信号流图能够直观地表示系统各变量之间的传递 关系，而梅森公式则提供了对系统频率特性的分 析手段。
如何使用梅森公式进行信号流图分析
首先，将系统的传递函数 转换为梅森公式的形式。
根据极点和零点的位置， 判断系统的稳定性、频率 响应特性等。
在未来研究中的可能发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断变化，控制系统面临着越来越多的 挑战和机遇。
在未来研究中，可以利用梅森公式和信号流图进一步探索复杂系统的分析 和设计方法，提高系统的性能和稳定性。
同时，随着人工智能和大数据技术的应用，可以结合这些技术对控制系统 进行智能化分析和优化设计，提高系统的自适应和学习能力。
信号与系统7_梅森公式的证明及应用
W=[wij]，wij={ wij，i=j，wij是支路i的权，即支路传输 }
0，
i j
• 上述B，S，W三个矩阵完全描叙了信号流图。
梅森公式的推导
• 下面介绍一些定理和性质。
对于下列方程组： AX=Y ………………（1）
式中
A=
1
a a a a 21
...
12
1 ...
，Y=
y
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与
第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；
梅森公式的推导
梅森公式的推导（先 用一个一般性的图来证明）
如右图已知信号流图如图所 示，所对应的代数方程为
V1 mV1 lV3 bR
f
m
h
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
• 由定理6和7很容易推出梅森公式。
梅森公式
• 梅森公式不仅能求输入输出函数的比值的 （传输函数），对与流图中的任意一个节 点的信号与输入结点信号的比值也同样是 成立的。这个很好理解，因为输出节点并 没有什么特殊的地方，也仅仅是流图中的 一般点，只是我们赋予了它特殊的含义罢 了。下面就就举一例说明梅森公式对流图 中任一点与输入点的信号的比值的作用。
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
mk e
于是传递函数为
(s) C(s) 2
bde f (1 m dl) bg
R(s) R 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
信号流图梅森公式市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
R1C2 )s 1
2/18/2024
16 第16页
梅逊公式||例2-14
例2-14：使用Mason公式计算下述结构图传递函数
G4
R
E
-
G1Βιβλιοθήκη G2+ -
G3
C
+
H1
H2
C(s) R(s)
解：在结构图上标出节点，如上图。然后画出信号流图，以下：
G4
R
E G1 G2 H1
G3 H2
C
H1H2
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u1 ( s)
u2 (s)
ua (s)
(s)
G1
G2
G3
Gu
u f (s)
Gf
图以下先列在图结所构1 表图示上G。标1 出节点G 2，如上G 3图所表GMu示c 。G m然1 后画出信号流
ug ue
u1
u2
ua
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G f
第9页
9
例2: 已知结构图以下，可在结构图上标出节点，如上图所表示。 然后画出信号流图以下列图所表示。
G3
1
H2
G8
H1
G7
G3
+
++
+
G4
C
G8
为节点
注意：①信号流
G4
1
图与结构图对应
C 关系；②仔细确
定前向通道和回
路个数。
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小结
小结
信号流图组成；术语； 信号流图绘制和等效变换； 梅逊公式极其应用； 信号流图和结构图之间关系。
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21 第21页
课件：系统框图及其等效变换
能简明的表示系统中各环节间的关系和信号的传递过程不用消元就能求系统的传递函数适合用于非线性控制系统消元繁琐消元后仅剩下输入输出2个变量无法反映系统中信息的传递过程用框图表示的优点gshsrscs比较点引出点一个负反馈系统的结构图表明了系统的组成信号的传递方向
2.4 系统框图及其等效交换
系统框图将系统中所有的环节用方块来表示，按照
C1 s
,
I2
s
U c1
s Uc
R
s
,
2
图2 R-C滤波网络
Uc
s
1 C2 s
I2
s
2）画出上述四式对应的方框图，如图2 a所示 3）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，就得到 图2 b所示的方框图
7
图3 图 2 所示电路的系统框图
8
二: 框图的等效变换
原则: 变换后与变换前的输入量和输出量都保持不变,或者说
系统中各个环节之间的联系，将各方块连接起来构成的；方
块的一端为相应环节的输入信号，另一端为输出信号，用箭
头表示信号传递的方向，并在方块内标明相应环节的传递函
数。
C(s) G(s)R(s)
将结构图化简，相当于联立方程组，消去中间变
量的过程，最后可得到系统输入和输出之间的传递函数。
1
构成框图的符号
相同性质的信号进行取代数和 (相同量纲的物理量)
图5 环节的并联连接
Cs C1s C2 s C3s
G1sRs G2sRs G3sRs
通式：
G1s G2s G3sRs
Cs Rs
Gs
G1
s
G
2
s
G
3
s
n
Gs Gi s i 1
2.4 系统框图及其等效交换
系统框图将系统中所有的环节用方块来表示，按照
C1 s
,
I2
s
U c1
s Uc
R
s
,
2
图2 R-C滤波网络
Uc
s
1 C2 s
I2
s
2）画出上述四式对应的方框图，如图2 a所示 3）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，就得到 图2 b所示的方框图
7
图3 图 2 所示电路的系统框图
8
二: 框图的等效变换
原则: 变换后与变换前的输入量和输出量都保持不变,或者说
系统中各个环节之间的联系，将各方块连接起来构成的；方
块的一端为相应环节的输入信号，另一端为输出信号，用箭
头表示信号传递的方向，并在方块内标明相应环节的传递函
数。
C(s) G(s)R(s)
将结构图化简，相当于联立方程组，消去中间变
量的过程，最后可得到系统输入和输出之间的传递函数。
1
构成框图的符号
相同性质的信号进行取代数和 (相同量纲的物理量)
图5 环节的并联连接
Cs C1s C2 s C3s
G1sRs G2sRs G3sRs
通式：
G1s G2s G3sRs
Cs Rs
Gs
G1
s
G
2
s
G
3
s
n
Gs Gi s i 1
(完整)系统的信号流图与梅森公式
6-5 系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。
例如，图6—29(a）所示的系统框图，可用图6-29(b）来表示,图（b)即为图（a)的信号流图。
图（b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输（或流动）方向,支路上标注的H(s）代表支路(子系统）的传输函数.这样，根据图6—29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系,即图6—29二、三种运算器的信号流图表示三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。
由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加（求和）的作用，如表中第一行中的节点Y（s)即是。
三、模拟图与信号流图的相互转换规则模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换,其规则是:（1) 在转换中,信号流动的方向（即支路方向)及正、负号不能改变。
(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。
根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即。
(3) 模拟图（或框图）中先是“分点"后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6—31所示。
（4) 模拟图(或框图）中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路（若不增加,就会出现环路的接触,此时就必须增加)，但有时则不需增加（若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。
见例6—17）。
(5) 在模拟图（或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点"之间增加一条传输函数为1的支路（见例6—17).(6) 在模拟图（或框图）中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中,可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路（也可以不增加,见例6—17)。
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G2_(s) 1 C(s)
1+G2H G2(Hs)(Hs)(s)
交换3;((Gss移，传R))3(=s动再递) 1引进函+G-1G1+出 行 数1GG1G+G21点 等 。GG2+G2H22G3+和 效HG3 综 变3 +合 换= 1点 ，-+G， 最G22GHH消 后1G+除 求CG2(+s交得1)GG1叉系32++G连统G123H
R(s)
C(s)
G(s)
R(s)
R(s)
C(s) G(s)
R(s)
1 R(s) G(s)
被移动的支路中串入适当R的(s传) 递函数。
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
例 化简系统的结构图，求传递函数。
移动a 等效变换G后3(s)系统的结构图：
R(s)
+ C(s)
R_(s)
G1(s) -
Ga1GG2+2(_Gs)3
U1(s)
UC(s)
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
二、 动态结构图的等效变换与化简
系统的动态结构图直观地反映了系统内部各 变量之间的动态关系。将复杂的动态结构图进行 化简可求出传递函数。
1．动态结构图的等效变换
等效变换： 被变换部分的输入量和输出量 之间的数学关系，在变换前后 保持不变。
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
=R(s) +– E(s)G(s)H(s)
RC((ss))=1±GG((ss))H(s) 等效
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
（4）综合点和引出点的移动
1) 综合点之间或引出点之间的位置交换
综合点之间交换： 不改变数学关系
a ±
aa±±cb±±bc ±
bc cb
引出点之间的交换： b
aa
不改变数学关系
R(s)
_
1 R1C1S+1
1
C(s)
R2C2S+1
R1C2S
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
2．梅逊公式
n
梅逊公式： Φ(s)=
Σk=1Pk Δk
Δ
Pk回Σ—路Li传第k—递条函各前数回向：路通道传的递传函递数函之数和。。 函△k数Σ的—回L乘i的路将L积j回内△中—路。前与所两 递向第在两 函通项k互 数道条去不 乘前和掉向相 积之反通后接 之馈道的触 和通相剩回。道接余路触传部的递传 Σ△Li—Lj分特L，z 征—称式所为余有子三式个。互不相接触回路
R(s)
C(s)
G±(s) G(s)±
F(s)
C(s)=[R(s)±F(s)]G(s)
F(s) FG(s()s) C(s)
数学关G系(s)不变！
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
3）引出点相对方框的移动
R(s) G(s)
C(s)
C(s)
前移：
R(s)
C(s)
G(s)
G(s) C(s)C(s)
后移： C(s)
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
例 求RC串联网络的传递函数。 解注：意：综R合C点串系与联统引网传出络递点动函的态数位结：置构不图作交换！ R(GS)(sRC)_=((ss())R=R1_1(1CR11RRSCR111+1C11S11_S+)(11RC)111(SCR12错1SC+2！S1_)+1)RR1+22R1CCH221S(SCsC)212=SSRC1C(S2)S
精品
系统结构图及等效变换梅森公 式
第二章 自动控制系统的数学模型
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
动态结构图是系统数学模型的另一种形 式，它表示出系统中各变量之间的数学关 系及信号的传递过程。
一、建立动态结构图的一般方法
二、动态结构图的等效变换与化简
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
一、 建立动态结构图的一般方法
以电设流一作R为C电路如U图r(s:)
初输始出微：分 ur=Ri+uc -
取方拉程氏组变换综：合i=点c方ddUu框t cc(s)
R
+ 1 I(s)
+
R
1ur
i 引C 出点uc
C-S
信号线-
系系UI统(统rs(动)s动=)态=C态RS结结UI(构cs构()图s+图)U将由c(各四s)变种量基之本UU间符rc((的ss号))R–=数构UI学(成cs()s关：·)C=系1SI(用s)结
（1）串联
R(s)
两个F(环s) 节串C联(s) 的R等(s)效变换：
C1(s) C(s)
G1(s)
RG(s2()GsG)11((ss))GC2(1s()s)CG(Gs2()s1)(s)C(s) G2(s)
不是串C联1(s！)=R(s)G1(s也) 不是串联！
C(s)=C1(s)G2(s) =R(s)G(s)1G2(s)
G(s)= RC((ss))=G1(s)+G2(s) 等效
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
（3）反馈连接
环节的反馈连接等效变换：
R(s) E(s)
C(s)
G(s)
R(s)
G(s)
C(s)
±
B(s)
1±G(s)H(s)
H(s)
根据框图得： E(s)=R(s) +–B(s)
E(s)=1±GR((ss))H(s) C (s)=E(s)G(s)
（3）根据信号在系统中的流向，依次将各 方框连接起来。
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
例 画出图所示电路的动态结构图。
+
R1
U1(s) R2
+
i1
i2
ur
C1 i1-i2 C2 uc
-
-
解：
Ur(s) _
I1(s) 1
I_2(s) 1
U1(s)
R1
C1S
_
1
1 UC(s)
R2 I2(s) C2S
G(s)=
C(s) R(s)
=G1(s)G2(s)
等效
n个环节串联
n
G(s) =Πi=1Gi (s)
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
(2) 并联
两个环节的并联等效变换：
C1(s)
R(s)
G1(s) + C(s)
R(s)
C(s)
G1(s)+G2(s)
+ G2(s) C2(s)
Cn(个Cs)1环=(sC)节=1(Rs的)(+s并)CG2联(1s(s))=R(Cs)2G(sG1)(=s(Rs)+)(=sRΣ)i=(Gns1)G2G(si 2()(ss))
a
a
aa
综合点与引出点之间不能交换！
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
2）综合点相对方框的移动
R(s) G(s)
C(s) ±
前移： R(s)
G±(s)
C(s) G(s)±
F(s)
C(s)=R(s)G(s)±F(s)
C(s)G1(s) F(s)F(s) ±
R(s)
C(s)
± G(s)
后移：
F(s)
表 组构意示合两图为变表量：示之出U间来r(s的，) 传将U-递c结(s)函构R1数图。I简(s)化C1，SI(可sU) c方(sC)1S便地Uc(求s) 出任
第四节 控制系统的结构图及其等效变换
绘制动态结构图的一般步骤:
（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。
（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传 递函数、输入量和输出量。