完全平方公式变形公式专题

半期复习(3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型

一．公式拓展：

拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+

2)1(1222-+=+

a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二:a

b b a b a 4)()(22=--+

()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=-

拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2

222---++=++

拓展四:杨辉三角形

3223333)(b ab b a a b a +++=+

4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+

拓展五： 立方和与立方差

))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-

二.常见题型：

（一）公式倍比 例题:已知b a +=4,求ab b a ++2

2

2。 (１)1=+y x ,则222

121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2

222)()1(则=

（二)公式变形

(１)设(５a ＋3b ）2=(5ａ－３b ）2＋A ，则A=

(2)若()()x y x y a

-=++22，则a 为 (３)如果2

2)()(y x M y x +=+-,那么M 等于

（4）已知(ａ+b)2=m ，(a —b)２=n ，则ａb 等于

(５)若N b a b a ++=-22)32()32(,则N 的代数式是 （三）“知二求一”

1．已知ｘ﹣ｙ=1,x ２+y ２＝25，求xy 的值.

2.若x ＋y=3,且（x+2)（y ＋2）=12.

（1)求ｘｙ的值；

（2）求x 2＋3x ｙ+ｙ2的值．

3．已知：x ＋y=3,ｘy=﹣８，求：

（1)x 2+y ２

(2)（ｘ2﹣1)(ｙ２﹣１）.

4．已知a ﹣b ＝3,ab=2,求:

(１）（a+ｂ）2

（２）a 2﹣６ab+b ２的值．

(四)整体代入

例１:2422=-y x ，6=+y x ,求代数式y x 35+的值。

例2:已知a= 201x ＋2０，ｂ=201x ＋1９,c ＝20

1x+2１,求a 2＋ｂ2＋ｃ2-ab-bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ,则y x 3+＝

⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ,则b ab a 3052++= ⑶已知a 2+b 2=6a ｂ且a>ｂ＞0,求 b

a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ,则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．

(五)杨辉三角

请看杨辉三角（1)，并观察下列等式（2）:

根据前面各式的规律，则（a ＋b ）

6= .

(六）首尾互倒

1．已知ｍ2﹣6ｍ﹣1＝0,求２m 2﹣6m+

= ． 2．阅读下列解答过程:

已知：x ≠0,且满足ｘ2﹣3ｘ=1．求:

的值．

解:∵ｘ2﹣3x=1,∴x ２﹣3x ﹣１=０

∴

,即. ∴＝=32+２=11． 请通过阅读以上内容,解答下列问题:

已知a ≠0,且满足（2ａ+1）(1﹣２a ）﹣(3﹣2a)2＋9ａ2=１4a ﹣7,

求：(1）的值；（2）的值.

（七）数形结合

1.如图（１）是一个长为２m，宽为2n的长方形,沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．

（１）你认为图(2)中的阴影部分的正方形边长是多少?

（２)请用两种不同的方法求图(２)阴影部分的面积；

(3）观察图(2）,你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?

三个代数式：（m+n)2,（m﹣ｎ）２，mn．

(４）根据（3）题中的等量关系,解决下列问题:若a+ｂ=7,ａｂ=5,求（a﹣b）２的值.

2．附加题:课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如:(2a+b)（a+ｂ)＝２ａ2＋3ａｂ+b２就可以用图1或图2的面积来表示．

（1）请写出图3图形的面积表示的代数恒等式;

(２）试画出一个几何图形,使它的面积能表示(a+b）（a+3b）=a２＋4ab+3b２.

(八)规律探求

１5．有一系列等式：

1×2×3×４＋1＝５2＝(12+3×1+1)22×３×４×５+1=112＝（２2+３×2+1）２3×4×５×6＋1＝１9２=(３2＋３×3＋1)24×５×6×７＋1=292=（42+3×4+1)2…

(1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果

（2)试猜想n(ｎ+1)(n＋2)（n+3)+１是哪一个数的平方,并予以证明.

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