Jordan标准形
矩阵论第2章 Jordan标准型
1 2 2＝（－ 1 － 1 1 ） ，只有一个，则 J 2 ( 2) 0 。 2 T 由( A 2 I ) 2取一个 ＝（－ 1 －2 0 ） ，所以
T
P＝（1
矩阵A和JA的特征值相等
J1( 1 ) J ( ) 2 2 JA J s ( s )
AP i P i J i ( i )
细分矩阵Pi 和 Ji，在Jordan块上
J i (i )是主对角线元素为 i的k i阶Jordan矩阵，把可逆矩阵 P 依据上式J A的结构，相应取 k1列，k 2列， ，k s列分块为 P (P P2 Ps ), AP PJ A可具体表示为： 1 ( AP AP2 APs )＝( P P2 J 2 (2 ) Ps J s (s )) 1 1 J 1 (1 ) 从而有APi＝Pi J i (i )。不妨取AP ＝P 1 1 J 1 (1 )，设 J11 (1 ) J1 (1 )
2
1. (12 …n) 线性无关
n
一、变换T的特征值与特征向量 1. 定义(p35 ，定义2.1) 2. 求解分析：(p35 ，定理2.1)
A的特征值就是T的特征值
2. Ti= ii ； L{ i}是不变子空间
A的特征向量是T的特征向量的坐标
14
再把P1依n1列，n 2列， ，n t 列分块,
(1) P 1 (P 1 (1) P2(1) P )因此有APj(1) Pj(1) J1 j (1 ) t
设Pj(1) (
2 n ), 则上式化为
Jordan标准形简介(完整+简洁)
矩阵Jordan 标准型简介一、什么是矩阵的Jordan 标准型►1.1 设A ，B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 存在，使得1P AP B -=,则称矩阵A 与B 相似，记为A ~B 。
►1.2 任何方阵A 均可通过某一相似变换化为如下Jordan 标准型：1122()()()s s J J J J λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中 10()10i ii i i J λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为Jordan 块。
12,,,s λλλ为A 的特征。
说明：（1）()i i J λ中的特征值全为i λ，但是对于不同的i 、j ，有可能i j λλ=，即多重特征值可能对应多个Jordan 块矩阵。
（2）Jordan 标准型是唯一的，这种唯一性是指：各Jordan 块矩阵的阶数和对应的特征值是唯一的，但是各Jordan 块矩阵的位置可以变化。
二、如何求矩阵的Jordan 标准型►2.1. 多项式矩阵（又称为λ阵）()()()()()()()()()()111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a λλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为λ的多项式矩阵，其中矩阵元素()ij a λ为λ的多项式。
►2.2. 多项式矩阵的初等变换 （1） 互换两行（列）（2） 以非零常数乘以某行（列）[这里不能乘以λ的多项式或零，这样有可能改变原来矩阵的秩和属性]（3） 将某行（列）乘以λ的多项式加到另一行（列）►2.3. 多项式矩阵的Smith 标准型：采用初等变换可将多项式矩阵化为如下形式：()()()()12000r d d A d λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中，多项式()i d λ是首一多项式（首项系数为1，即最高幂次项的系数为1），且()()12d d λλ、()()23d d λλ、、()()1r r d d λλ-，即()i d λ是()1i d λ+的因式。
Jordan标准型
Jordan标准型Jordan标准型是一种非常经典的篮球鞋款，它以其独特的设计和优越的性能而备受球迷和运动员的青睐。
作为一名篮球鞋文档创作者，我将为大家介绍Jordan标准型的特点和优势。
首先，Jordan标准型采用了轻量化的设计，鞋身采用了高质量的材料，既保证了鞋子的耐用性，又减轻了运动员的负担，使得他们在比赛中更加灵活自如。
鞋底采用了高强度的橡胶材料，具有良好的抓地力和耐磨性，可以在不同地面上提供稳定的支撑，让运动员可以更加专注于比赛。
其次，Jordan标准型在缓震性能方面表现出色。
鞋底采用了先进的缓震科技，能够有效地吸收冲击力，减轻脚部的压力，保护运动员的脚部免受受伤。
这种设计不仅能够提高运动员的比赛表现，还能够减少运动中的不适感，让他们能够更加专注于比赛。
此外，Jordan标准型的鞋面设计也非常出色。
采用了透气性良好的材料，能够有效地排出脚部的汗液，保持鞋内干爽舒适。
鞋面的设计也非常时尚，符合现代年轻人的审美需求，不仅在比赛中展现出色，日常穿着也非常合适。
最后，Jordan标准型的品牌影响力也是其优势之一。
作为Nike旗下的明星产品，Jordan标准型凭借着其卓越的品质和独特的设计，深受球迷和运动员的喜爱。
许多知名篮球明星都是Jordan标准型的忠实粉丝，他们的支持也为这款鞋子增添了不少光环。
总的来说，Jordan标准型作为一款经典的篮球鞋，不仅在外观设计上独具匠心，而且在性能表现上也非常出色。
它的轻量化设计、优秀的缓震性能、透气舒适的鞋面以及强大的品牌影响力，使得它成为了众多篮球爱好者和专业运动员的首选。
相信随着篮球运动的不断发展，Jordan标准型将会继续发光发热，为更多的篮球爱好者带来无尽的激情和动力。
线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解
线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解在线性代数中，Jordan标准型（Jordan Canonical Form）和Jordan 分解（Jordan Decomposition）是两个重要的概念。
它们广泛应用于矩阵理论、线性变换及微分方程等领域。
本文将详细介绍Jordan标准型和Jordan分解，并探讨它们在实际应用中的价值。
1. Jordan标准型Jordan标准型是指一个线性变换或矩阵的标准形式。
对于一个n阶方阵A，如果存在可逆方阵P，使得P逆AP的形式为Jordan标准型，那么A就具有Jordan标准型。
Jordan标准型的特点是，它的主对角线由Jordan块组成，每个Jordan块对应一个特征根，而Jordan块的结构由其几何重数和代数重数决定。
1.1 Jordan标准型的计算方法要计算一个矩阵的Jordan标准型，可以按照以下步骤进行：（1）求出矩阵A的特征多项式；（2）求出A的特征值，即特征多项式的根；（3）对于每个特征值，求出其对应的特征向量；（4）根据特征向量构造Jordan块，并将它们排列在一起形成Jordan矩阵；（5）得到Jordan标准型。
1.2 Jordan标准型的应用Jordan标准型在线性代数的研究中具有重要意义。
它可以用来分析矩阵的性质，如可对角化条件、矩阵的相似性等。
此外，Jordan标准型还可以用来解决微分方程的问题，在微分方程的理论和应用中有广泛的应用。
2. Jordan分解Jordan分解是将一个矩阵分解成若干个Jordan块之和的形式。
对于一个n阶方阵A，如果可以将其分解成 A=S+D，其中S是具有零特征值的Jordan矩阵，D是具有非零特征值的对角矩阵，那么A就具有Jordan分解。
2.1 Jordan分解的计算方法要计算一个矩阵的Jordan分解，可以按照以下步骤进行：（1）求出矩阵A的特征多项式；（2）求出特征值和对应的特征向量；（3）根据特征向量构造Jordan块，并将具有非零特征值的Jordan 块排列在一起形成S；（4）构造对角矩阵D，将每个特征值放在对角线上。
jordan标准型_初等变换法技巧_概述说明
jordan标准型初等变换法技巧概述说明1. 引言1.1 概述在线性代数的学习中，矩阵是一个重要的概念。
通过对矩阵的运算和变换，我们可以更好地理解它们的特征和性质。
而Jordan标准型作为矩阵的一种特殊形式，在代数学和应用领域中扮演着重要角色。
在本篇文章中，我们将介绍Jordan标准型及其相关背景知识，并讨论初等变换法技巧在求解Jordan标准型中的应用。
同时，我们还会对于结果进行分析与说明，并提供实际应用案例的讨论。
最后，我们将探讨Jordan标准型方法存在的局限性，并提出改进方法建议。
1.2 文章结构本文按以下结构展开：首先，在第二部分中，我们将介绍Jordan标准型的定义、背景以及其特征和性质；接着，在第三部分中，我们将概述矩阵初等变换法以及行初等变换法和列初等变换法的技巧；然后，在第四部分中，我们将对结果进行解释与分析，并展示一些实际应用案例；最后，在第五部分中，我们将总结全文内容并对未来发展进行展望。
1.3 目的本文的目的是提供一个关于Jordan标准型和初等变换法技巧的概述，帮助读者理解它们在线性代数中的重要性和应用。
同时，我们也希望通过实际应用案例的讨论以及对方法局限性的探讨，激发读者对于改进方法和未来研究方向的思考。
通过深入学习和理解这些知识，读者可以运用它们解决实际问题，并为相关领域的发展做出贡献。
2. Jordan标准型2.1 定义和背景Jordan标准型是线性代数中一个重要的概念，它用于描述矩阵的特征值和特征向量。
对于n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得逆矩阵P^-1AP可以化为如下形式：```J = [ J₁0 0 ... 0 ][ 0 J₂0 ... 0 ][ ... ][ 0 0 0 ... Jₙ]```其中J₁, J₂, ..., Jₙ分别是Jordan块（Jordan block），满足以下条件：- 每个Jordan块对应着A的一个互异的特征值。
- 每个Jordan块由特征向量链构成，其中每条链包含多个长度不同但相差为1的特征向量。
Jordan标准形
Jordan标准形⼀、引⼊ 前⾯已经指出，⼀切n阶矩阵A可以分成许多相似类。
今要在与A相似的全体矩阵中，找出⼀个较简单的矩阵来作为相似类的标准形。
当然以对⾓矩阵作为标准形最好，可惜不是每⼀个矩阵都能与对⾓矩阵相似。
因此，急需引⼊⼀种较为简单⽽且对于⼀般矩阵都可由相似变换得到。
当矩阵A能相似于某对⾓矩阵时，该对⾓矩阵就是A的⼀个Jordan形。
⽽当矩阵A不能相似于对⾓矩阵时，它必然与⼀个⾮对⾓的Jordan 形相似。
此时的Jordan形J与对⾓矩阵的差别也只是在主对⾓线元素的上邻位有某些元素为1.在这个意义上，Jordan标准型可以说是与A相似的矩阵中最简单的了。
Jordan标准型应⽤⼴泛。
如果能够得到⼀个线性变换或者线性变换矩阵，那么我们可以迅速地得到线性微分⽅程组，特征多项式等。
⼆、定义 设T是复数域C上的线性空间Vn的线性变换，任取Vn上⼀个基，T在该基下的矩阵是A，T(或A)的特征多项式可分解因式为 φ(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2...(λ-λt)mt m1+m2+...+mt=n 则Vn可分解成不变⼦空间的直和 Vn=N1直和N2直和...Nt 其中Nt=（x|（T-λiTi）mi=0，x属于Vn）是线性变换T-λiTi的核⼦空间。
（有点看不清） 举个例⼦： 特征多项式为φ(λ)=（λ+1）2（λ-5） 则Jordan标准型为 -1 1 或 5 -1 -1 1 5 -1三、简单的结论（1）对于给定的矩阵A，在不计各Jordan块排列次序的意义下，A的Jordan标准型是唯⼀的。
（2）⽅阵A的Jordan标准型J是上三⾓矩阵，其主对⾓线上元素恰好是A的全部特征值。
（3）对⾓矩阵本社是Jordan形，它的每个对⾓元都是⼀个⼀阶的Jordan块。
四、定理（1）两个同阶⽅阵相似的充要条件是它们的Jordan形⼀致。
（忽略排序因素）（2）矩阵A能与对⾓矩阵相似的充要条件是它的初等因⼦全为⼀次式。
jordan标准形
jordan标准形Jordan标准形。
Jordan标准形是指矩阵的一种特殊形式，它可以将任意矩阵通过相似变换转化为Jordan标准形。
Jordan标准形在线性代数和矩阵理论中有着重要的应用，对于矩阵的特征值和特征向量的研究具有重要意义。
本文将介绍Jordan标准形的定义、性质以及如何将一个矩阵转化为Jordan标准形。
首先，我们来定义什么是Jordan标准形。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=D，其中D是一个Jordan块对角矩阵，那么我们称D是矩阵A的Jordan标准形。
Jordan块是指形如λI+N的矩阵，其中λ是矩阵的特征值，I是单位矩阵，N是上三角的特殊矩阵。
Jordan标准形的存在性是线性代数中一个重要的结论，它告诉我们任意一个n阶矩阵都可以通过相似变换转化为Jordan 标准形。
接下来，我们来看一下Jordan标准形的性质。
首先，Jordan标准形是唯一的，即对于一个矩阵A，它的Jordan标准形是唯一确定的。
其次，Jordan标准形的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
最后，Jordan标准形的非对角线上的元素对应着矩阵A的特征向量。
这些性质使得Jordan标准形成为了研究矩阵特征值和特征向量的重要工具。
最后，我们来看一下如何将一个矩阵转化为Jordan标准形。
假设我们有一个n阶矩阵A，我们首先需要求出矩阵A的特征值和特征向量。
然后，我们构造出一个可逆矩阵P，它的列向量是矩阵A的特征向量。
接下来，我们可以得到P^{-1}AP，它的对角化矩阵D就是矩阵A的Jordan标准形。
这个过程可以通过线性代数中的特征值分解和相似对角化的理论来实现。
总之，Jordan标准形是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们研究矩阵的特征值和特征向量。
通过相似变换，我们可以将任意矩阵转化为Jordan标准形，从而更好地理解和分析矩阵的性质。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解Jordan标准形的定义、性质和转化过程。
求矩阵的Jordan标准形的两种方法
求矩阵的Jordan标准形的两种方法矩阵的Jordan标准形是线性代数中一个重要的概念，它是将矩阵分解为初等因子的一种形式。
这里将介绍两种求矩阵Jordan标准形的方法，一种是基于初等行变换的行阶梯形，另一种是基于特征值的特征多项式。
方法一：基于初等行变换的行阶梯形步骤1：将矩阵A放置在矩阵M中，并选取一个新的矩阵B，其大小至少与A 相同。
步骤2：对矩阵M进行初等行变换，使得A成为行阶梯形。
这意味着对A进行一系列的行交换和行简化操作，使得矩阵A的左上角成为一个单位矩阵。
步骤3：对行阶梯形的矩阵A进行进一步的行变换，使得它成为Jordan标准形。
这通常涉及到将矩阵A的某些行乘以非零常数，然后将这些行与位于它们下方的行相加。
步骤4：最终得到的矩阵A就是Jordan标准形。
这种方法需要熟练掌握初等行变换的操作，包括交换、简化、提公因子等。
同时需要注意在进行行变换的过程中保持其他行的状态不变。
方法二：基于特征值的特征多项式步骤1：首先计算矩阵A的特征值。
这些特征值可以通过解方程组Ax = λx 得到，其中x为特征向量，λ为特征值。
步骤2：对于每个特征值λ，求解方程组(λE - A)x = 0，其中E为单位矩阵。
这个方程组可以用来找到对应于特征值λ的线性独立的特征向量v。
步骤3：将找到的特征向量v组成一个矩阵V，使得V的每一列都是一个对应的特征向量。
同时选取一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = V。
步骤4：计算矩阵V的特征多项式f(λ) = |λE - V|。
可以证明f(λ)是一个整系数多项式，并且f(λ) = f(A)。
步骤5：对f(λ)进行因式分解，得到f(λ) = Product_{i=1}^{n}(λ -λ_i)。
其中λ_i是f(λ)的根，也就是矩阵V的特征值。
步骤6：令f(λ) = 0，解出λ的值。
这些值就是矩阵A的特征值。
根据特征值的性质，可以确定矩阵A的Jordan标准形。
这种方法需要理解矩阵的特征值和特征向量的概念和性质，掌握求解特征值和特征向量的方法，同时还需要熟悉多项式的因式分解和求解根的方法。
矩阵论-Jordan标准型
d1
dm
={|(iI A) 0},由亏加秩定理得：
dimE(i )= dim N (i I A)
n r(iI A)
n r(P1(i I A)P)
n r(i I P1AP)
n r(iI D)
n (n di ) di.
3) 1),在E(i )(1 i m)中各取一组基，合起来有n个向量，
第三节 Jordan标准型
一、可对角化矩阵
定义：n阶方阵A若相似于一个对角阵，则称A为可对 角化矩阵（或称单纯矩阵）
注1：对角阵的和，积，逆（若存在）仍是对角阵， 其对角线的元就是它的特征值.
注2：若线性变换T的矩阵为可对角化矩阵，等价 于T在某基下的矩阵为对角阵.
定理1: 设A Cnn , A的全部互异特征根为1, , m ,
定理4：A() B() A()与B()有完全一致的不变因子.
初等因子： C上多项式可分解成一次因子的幂的乘积,设A()的不变 因子d1(), , dr ()的分解为：
dd21
( (
) )
( (
)e11 1
)e21 1
( (
2 2
)e12 )e22
dr () ( 1)er1 ( 2 )er2
1 0 -2 T（e1, e2, e3）=（e1, e2, e3） 0 0 0 ，
-2 0 4 问：1）T可否对角化；
2）若T可对角化，试求满秩阵P，使P-1AP为对角阵.
例3：若A Fnn ,且A2 =A（幂等阵），则A必可对角化.
证明：设()=2 -=(-1),由条件知(A)=0，所以 m A()|(), m A()无重根，故结论成立.
例6，例7
定理6：设A,B Cnn ,则A与B相似当且仅当I-A与I-B 等价，即A B I-A I-B.
Jordan标准形与Jordan分解
Jordan标准形与Jordan分解Jordan标准形和Jordan分解是线性代数中非常重要的概念，在矩阵理论和线性变换研究中有着广泛的应用。
本文将介绍Jordan标准形以及Jordan分解的定义、性质、计算方法和应用。
1. Jordan标准形Jordan标准形是一个矩阵的特征值表达形式，它是一个对角矩阵，每个对角块都是由相同的特征值组成。
对于一个n阶矩阵A，如果它的特征多项式可以分解为f(x)=(x-λ₁)^(k₁)(x-λ₂)^(k₂)...(x-λₙ)^(kₙ)其中λ₁,λ₂,...,λₙ是A的特征值，k₁,k₂,...,kₙ是它们的代数重数，则存在一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=J其中J是Jordan标准形矩阵。
Jordan标准形的计算方法主要有以下几步：(1) 计算矩阵A的特征值和对应的代数重数。
(2) 对于每个特征值λᵢ，构造属于λᵢ的Jordan块，其形式为：J(λᵢ)=[λᵢλᵢ ... λᵢ][ λᵢλᵢ ...][... λᵢ...](3) 将所得的Jordan块按照特征值的顺序排列组合成Jordan标准形矩阵J。
2. Jordan分解Jordan分解将一个n阶可逆矩阵分解为一个特殊的形式，其中矩阵的上三角部分是Jordan标准形矩阵，而下三角部分为0矩阵。
对于一个n阶可逆矩阵A，存在一个可逆矩阵P，使得A=PJP⁻¹Jordan分解的计算方法主要有以下几步：(1) 计算矩阵A的特征值和对应的代数重数。
(2) 对于每个特征值λᵢ，构造属于λᵢ的Jordan块。
(3) 将所得的Jordan块按照特征值的顺序排列组合成Jordan标准形矩阵J。
(4) 计算可逆矩阵P，使得A=PJP⁻¹。
3. Jordan标准形和Jordan分解的应用Jordan标准形和Jordan分解在数学和工程领域有广泛的应用。
其中一些重要的应用包括：(1) 系统稳定性分析：可以使用Jordan标准形来分析线性时不变系统的稳定性。
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3.1 Jordan 标准型
矩阵理论第3讲 - 1
内容回顾
相似矩阵的定义及性质
定义: 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得
P 1 AP B
则称矩阵 B 是矩阵A 的相似矩阵， 或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A B 对 A 进行运算 P
AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。
Jordan标准形
如何将矩阵A化为Jordan标准形J
A (aij ) C nn , E A是A的特征矩阵，记为 A（）。
1、k 级行列式因子： A( ) 中所有非零的k 阶子式的首项系 数为1的最大公因式 Dk ( )
2、不变因式： Dk ( ) d1 ( ) D1 ( ), d k ( ) (1 k n) Dk 1 ( ) Dk ( ) d1 ( )d 2 ( )d k ( ) (k 1,n) 3、初级因子：将 A( ) 的每个次数大于0的不变因式分解成互 不相同的一次因式的方幂的乘积，这些一次因式方幂（相同 的出现必须按出现次数计算）就是 A( ) 的初级因子
矩阵理论第3讲 - 18
Jordan标准形 举例（1）：
1 0 1 A 1 2 0 4 0 3
1 1 J 1 2
p2 p3 ) 可得 AP PJ 设相似变换矩阵 P ( p1 ，由
Ap1 p1 Ap2 p1 p2 Ap 2 p 3 3 ( I A) p1 0 ( I A) p2 p1 (2 I A) p 0 3
从而 D2 ( ) D1 ( ) 1 于是 A( 的不变因子为： )
d1 () d2 () d3 () 1, d4 () ( 1)3 ( 3) A(的初等因子为： ) ( 1)3 , ( 3)
A的Jordan标准形为：
1 0 J 0 0
2 3 4 1 2 3 ( 1) 4 0 1 2 0 0 1
2 3 2 4 3 4 ( 1)
1
A) 考察 (I 的一个三阶子式：
0
1 2
矩阵理论第3讲 - 12
Jordan标准形（Continue）
显然，要让 D3 ( 同时整除上面的三阶子式及 ) 以：
Jordan标准形
所以， ( I A) p2的通解为： p1
1 1 2 2 1 1 p2 k 2 2 0 1 0 1 取k = 1，则 p2 ，那么所用的相似变换矩阵为 1 1 p1 1 2 0 p3 1 0
矩阵理论第3讲 - 17
Jordan标准形 的相似变换矩阵 P的求法： A ~J nn P Cn P 1 AP J 设
nn P 1 , 2 i 1 , i n Cn
AP PJ
1 0 A 1 , 2 i 1 , i n 1 , 2 i 1 , i n 0 0
1 (1 )) 1 0 2 2 0 1 1 II ((1 2 2) I (1 2 ( 1)) 1 1 0 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0
1 2 1 2 0
矩阵理论第3讲 - 20
1 1 1 2 1 1 ( 1)3 ( 3) 2 1 2 0 0 3
2
A) 考察 (I 的一个三阶子式：
2 1
1
1 1 ( 1) 3
2
2
1
矩阵理论第3讲 - 14
Jordan标准形（Continue）
考察
(的一个三阶子式： I A)
矩阵理论第3讲 - 3
内容回顾
相似矩阵的线性变换语言叙述
相似的矩阵是同一个线性变换在不同基/坐标系下的 的不同描述。 我们知道一个有限维线性空间到自己上的线性变换可 以用矩阵表示，但是对于同一个线性变换，当取不同 的基时，对应的矩阵是不同的。这个不同就等价于矩 阵的相似。换句话说，矩阵商掉相似这个等价关系之 后就是线性变换全体。而相似标准型就是对于一个线 性变换，来找一组基，使得它在这组基下有比较漂亮 容易处理的形式。
求出 A( 的不变因子 )
) 3. 求出 A( 的初等因子，并据此写出 A的Jordan标准形
矩阵理论第3讲 - 11
Jordan标准形 例(1)
1 2 0 1 A 0 0 ——上三角阵 0 0
3 4 2 3 1 2 0 1
1
0 D4 ( ) det(I A) 0 0
矩阵理论第3讲 - 4
Jordan标准形
但是不是任何一个n阶方阵A 都与对角阵相似，不过我们可
以找到一个比对角阵稍复杂的约旦标准型J，使得A与J 相
似。
矩阵理论第3讲 - 5
Jordan标准形
Jordan块
i 0 Ji 0 0 1 0 0 F ri ri 1 i 0
是不可能的，所 D4 ( )
D3 ( ) 1
从而 D2 ( ) D1 ( ) 1
) 于是 A(的不变因子为：
d1 () d2 () d3 ( ) 1, d4 () ( 1)4
A( ) 的初等因子为：
( 1)4
A的Jordan标准形为：
1 0 J 0 0
矩阵理论第3讲 - 8
Jordan标准形 问题： 求矩阵
1 2 A 1 2
的特征矩阵的不变因子和初等因子 解： A的特征矩阵为
1 2 I A 1 2
矩阵理论第3讲 - 9
1 0 0 P 1 1 1 2 1 0
矩阵理论第3讲 - 21
Jordan标准形（Continue）
A(的行列式因子为 )
D4 ( ) det(I A) ( 1)( 1)( 2)( 2)
D3 ( ) D2 ( ) D1 ( ) 1
A(的不变因子为 )
d1 ( ) D1 ( ) 1 d 2 ( ) d 3 ( ) 1 d 4 ( ) D4 ( ) D3 ( ) ( 1)( 1)( 2)( 2)
0
i 1 0 0 0
0 1 0 0 i 0 1 0 0 n 0 0
A i i i A i i 1 i i
A的属于 i 的特征向量 A的属于 i 的广义特征向量
(i I A) i 0 (i I A) i i 1
A(的全部初等因子为 ) ( 1), ( 1), ( 2), ( 2)
矩阵理论第3讲 - 10
Jordan标准形（Continue）
行列式因子法求方阵的Jordan标准形的步骤
A 1. 求特征矩阵 (I 的 n) 个行列式因子
2. 根据
Dk ( ) , (k 1,2,, n) D ( ) d k ( ) k (1 k n) Dk 1 ( ) di ( ) , (i 1,2,, n)
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 0 3
矩阵理论第3讲 - 16
Jordan标准形 每个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan标准型J相似。这个Jordan标准型 在不计入其中Jordan块的排列次序时，完全由矩阵A 唯一确定。 用线性变换的语言叙述就是：设T 是复数域n 维线性空间V 上的线 性变换，则在V 中必存在一组基，使T 在这组基下的矩阵是Jordan 形矩阵。在不计入其中Jordan块的排列次序时，这个Jordan形矩阵 由T 唯一确定。 A与对角阵相似 A的初级因子全是一次的。
性质: 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、
相同的行列式、相同的迹、相同的秩
矩阵理论第3讲 - 2
－1
内容回顾
对 n 阶方阵 A ，如果可以找到可逆矩阵 P， 使得 P 1 AP 为对角阵，就称为把方阵 A 对角化。
1 2 相似， A 若矩阵 nn 与对角阵 n 则 1 , 2 ,, n 是 A 的 n 个特征值。
i
0 0
其中 i 可以是实数，也可以是复数。
2 1 0 2
0 1 i 1 0 1 i 1 0 0 1 i
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
矩阵理论第3讲 - 6
1 p1 1 2
0 p3 1 0
矩阵理论第3讲 - 19
Jordan标准形
考察增广矩阵
2 0 1 1 I (3( 1 )) 2 I (1( 1 ) 3) ( I A , p1 ) 1 1 0 1 4 0 2 2
2
2 1
比较：
1
1 1 ( 3)(2 5) 2 1 1 ( 1) 3
2
2 1
2
2 1
显然，要让
2
2
1
D4 ( ) 是不可能的，所以：
同时整除上面的三阶子式及 D 3 ( )
D3 ( ) 1
矩阵理论第3讲 - 15
Jordan标准形（Continue）
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
矩阵理论第3讲 - 13
Jordan标准形 举例(2)
2 1 1 1 2 2 1 1 A 1 2 1 2 0 0 0 3