上海市各区中考数学二模试卷精选汇编二次函数专题

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2023届上海市区域中考数学模拟试题分层分类汇编专项真题练习—选择题(提升题)含解析

2023届上海市区域中考数学模拟试题分层分类汇编专项真题试卷练习—选择题（提升题）目录一．二次函数的性质（共2小题） (1)二．二次函数图象与系数的关系（共1小题） (1)三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） (1)四．三角形的重心（共2小题） (2)五．矩形的性质（共1小题） (2)六．旋转的性质（共3小题） (2)七．比例的性质（共1小题） (3)八．相似三角形的性质（共1小题） (3)九．相似三角形的判定（共1小题） (3)一十．相似三角形的判定与性质（共3小题） (3)一十一．解直角三角形（共1小题） (4)一十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共3小题） (4)一．二次函数的性质（共2小题） (6)二．二次函数图象与系数的关系（共1小题） (6)三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） (6)四．三角形的重心（共2小题） (7)五．矩形的性质（共1小题） (9)六．旋转的性质（共3小题） (10)七．比例的性质（共1小题） (14)八．相似三角形的性质（共1小题） (14)九．相似三角形的判定（共1小题） (14)一十．相似三角形的判定与性质（共3小题） (17)一十一．解直角三角形（共1小题） (18)一十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共3小题） (19)一．二次函数的性质（共2小题）1．（2023•松江区一模）已知一个二次函数的图象经过点（0，2），且在y轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是（只要写出一个符合要求的解析式）．2．（2023•青浦区一模）抛物线y＝3x2﹣1在y轴右侧的部分是．（填“上升”或“下降”）二．二次函数图象与系数的关系（共1小题）3．（2023•金山区一模）抛物线y＝（k+2）x2﹣3x﹣1有最高点，那么k的取值范围是．三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）4．（2023•长宁区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．四．三角形的重心（共2小题）5．（2023•金山区一模）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1为△ABC的重心，E为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE（点D在直线BC的上方），G2为Rt△CDE的重心，设G1、G2两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是．6．（2023•松江区一模）已知△ABC，P是边BC上一点，△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，那么的值为．五．矩形的性质（共1小题）7．（2023•青浦区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4．点H、F分别在边AD、BC 上，点E、G在对角线AC上．如果四边形EFGH是菱形，那么线段AH的长为．六．旋转的性质（共3小题）8．（2023•松江区一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，将△ABC绕点C旋转至△A'B′C，如果直线A′B'⊥AB，垂足记为点D，那么的值为．9．（2023•青浦区一模）如图，点P是正方形ABCD内一点，AB＝5，PB＝3，PA⊥PB．如果将线段PB绕点B顺时针旋转90°，点P的对应点为Q，射线QP交边AD于点E，那么线段PE的长为．10．（2023•普陀区一模）如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，BC＝2AC，BC＝6，AD ＝2．将△ADC绕点D以逆时针方向旋转得到△A′DC′，点A′、C′分别与点A、C对应．连接BC′，BC′与线段AD交于点G．如果点A′、A、C′在同一条直线上，那么C′G ＝．七．比例的性质（共1小题）11．（2023•松江区一模）如果＝，那么＝．八．相似三角形的性质（共1小题）12．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．九．相似三角形的判定（共1小题）13．（2023•徐汇区一模）规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，CD是斜边AB上的高，其中△ACD是等腰三角形，且△BCD和△ABC相似，所以△ABC是“和谐三角形”，直线CD为△ABC的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知△DEF是“和谐三角形”，∠D＝42°，当直线EG是△DEF的“和谐分割线”时，∠F的度数是.（写出所有符合条件的情况）一十．相似三角形的判定与性质（共3小题）14．（2023•金山区一模）如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA：C△CDF＝1：2，那么S△EAF：S四边形ABCF＝．的延长线交于点E，如果C△EAF15．（2023•奉贤区一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB．如果DE：BC＝2：5，那么EF：AB的值是．16．（2023•奉贤区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC：AD＝3：2，那么S△ADC：S△ABC的值为．一十一．解直角三角形（共1小题）17．（2023•金山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠BCD＝，AC ＝12，则BC＝．一十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共3小题）18．（2023•金山区一模）某商场场业厅自动扶梯的示意图如图所示，自动扶梯AB坡度i＝1：，自动扶梯AB的长度为12米，那么大厅两层之间的高度BC＝米．19．（2023•长宁区一模）小杰沿着坡度i＝1：2.4的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了米．20．（2023•松江区一模）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比i＝1：0.75，堤高BC＝4.8米，那么坡面AB的长度是米．上海市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-02填空题（提升题）2答案与试题解析一．二次函数的性质（共2小题）1．（2023•松江区一模）已知一个二次函数的图象经过点（0，2），且在y轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是y＝﹣x2+2，（答案不唯一）（只要写出一个符合要求的解析式）．【正确答案】y＝﹣x2+2，（答案不唯一）．解：由题意得抛物线开口向下，抛物线对称轴为y轴或在y轴右侧，∴y＝﹣x2+2符合题意．故y＝﹣x2+2，（答案不唯一）．2．（2023•青浦区一模）抛物线y＝3x2﹣1在y轴右侧的部分是上升．（填“上升”或“下降”）【正确答案】上升．解：∵y＝3x2﹣1，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∴y轴右侧部分上升，故上升．二．二次函数图象与系数的关系（共1小题）3．（2023•金山区一模）抛物线y＝（k+2）x2﹣3x﹣1有最高点，那么k的取值范围是k＜﹣2．【正确答案】k＜﹣2．解：∵抛物线有最高点，∴抛物线开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，故k＜﹣2．三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）4．（2023•长宁区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1＞y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．【正确答案】＞．解：∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵y＝ax2﹣2ax+2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∵1﹣（﹣1）＞2﹣1，∴y1＞y2，故＞．四．三角形的重心（共2小题）5．（2023•金山区一模）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1为△ABC的重心，E为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE（点D在直线BC的上方），G2为Rt△CDE的重心，设G1、G2两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是0≤d≤．【正确答案】0≤d≤．解：当E与B重合时，G1与G2重合，此时d最小为0，当E与A重合时，G1G2最大，连接并延长AG1交BC于H，连接并延长DG2交AC于K，连接HK，过G2作G2T⊥AH于T，如图：∵G1为等腰直角三角形ABC的重心，∴H为BC中点，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴△ABH和△ACH是等腰直角三角形，∴BH＝CH＝AH＝＝3，∵AG1＝2G1H，∴AG1＝2，G1H＝，∵G2是为等腰Rt△CDE的重心，∴K为AC中点，∴∠AKD＝∠CKD＝90°，∠AKH＝∠CKH＝90°，∴∠AKD+∠AKH＝180°，∴D，K，H共线，∵AK＝CK＝DK＝AC＝AB＝3＝HK，∴G2K＝DK＝1，G2D＝DK﹣G2K＝2，∴G2H＝G2K+HK＝4，∵TG2∥ED，∴＝＝＝＝，即＝＝，∴TG2＝2，TH＝2，∴TG1＝TH﹣G1H＝，∴G1G2＝＝，∴G1G2最大值为，∴G1G2的范围是0≤G1G2≤，故0≤d≤．6．（2023•松江区一模）已知△ABC，P是边BC上一点，△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，那么的值为．【正确答案】．解：延长AG1交PB于D，延长AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中点，E是PC中点，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，∵D是PB中点，E是PC中点，∴△ADE的面积＝×△ABC的面积，∴的值为．故．五．矩形的性质（共1小题）7．（2023•青浦区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4．点H、F分别在边AD、BC上，点E、G在对角线AC上．如果四边形EFGH是菱形，那么线段AH的长为．【正确答案】．解：连接FH交AC于O，如图：∵四边形EFGH是菱形，∴FH⊥AC，OF＝OH，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，在△AOH与△COF中，，∴△AOH≌△COF（AAS），∴AO＝CO，Rt△ABC中，AB＝2，BC＝4，∴AC＝＝＝2，∴AO＝AC＝，∵∠CAD＝∠HAO，∠AOH＝∠D＝90°，∴△AOH∽△ADC，∴＝，即＝，∴AH＝，故．六．旋转的性质（共3小题）8．（2023•松江区一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，将△ABC绕点C旋转至△A'B′C，如果直线A′B'⊥AB，垂足记为点D，那么的值为或．【正确答案】或．解：设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，当旋转90°时，A′B＝x，∵sin A＝，∴B′D＝x，∴AD＝x，∴BD＝AB﹣AD＝x，∴＝，同理：当旋转270°时，＝，故或．9．（2023•青浦区一模）如图，点P是正方形ABCD内一点，AB＝5，PB＝3，PA⊥PB．如果将线段PB绕点B顺时针旋转90°，点P的对应点为Q，射线QP交边AD于点E，那么线段PE的长为．【正确答案】．解：以B为原点，以BC所在直线为x轴建立直角坐标系，过P作PF⊥AB于F，过Q作QG⊥AB交AB延长线于G，如图：∵AB＝5，PB＝3，PA⊥PB，∴AP＝＝4，＝AP•PB＝AB•PF，∵2S△ABP∴PF＝＝，∴BF＝＝，∴P，∵将线段PB绕点B顺时针旋转90°，点P的对应点为Q，∴∠PBQ＝90°，BP＝BQ，∴∠FBP＝90°﹣∠QBG＝∠BQG，∵∠PFB＝∠BGQ＝90°，∴△PFB≌△BGQ（AAS），∴PF＝BG＝，BF＝QG＝，∴Q（，﹣），由P，Q（，﹣）得直线PQ解析式为y＝7x﹣15，在y＝7x﹣15中，令y＝5得x＝，∴E（，5），∵P，∴PE＝＝，故．10．（2023•普陀区一模）如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，BC＝2AC，BC＝6，AD ＝2．将△ADC绕点D以逆时针方向旋转得到△A′DC′，点A′、C′分别与点A、C对应．连接BC′，BC′与线段AD交于点G．如果点A′、A、C′在同一条直线上，那么C′G＝．解：以D为原点，DC所在直线为x轴建立直角坐标系，过A作AH⊥DC于H，设A'C'交y轴于M，如图：∵AD为边BC上的中线，BC＝2AC，BC＝6，∴BD＝CD＝AC＝3，∴B（﹣3，0），设DH＝m，则CH＝3﹣m，∵AD2﹣DH2＝AH2＝AC2﹣CH2，∴22﹣m2＝32﹣（3﹣m）2，解得m＝，∴DH＝，AH＝，∴A，由D（0，0），A得直线DA解析式为y＝2x，∵将△ADC绕点D以逆时针方向旋转得到△A′DC′，∴AD＝A'D，∠CAD＝∠C'A'D，∴∠AA'D＝∠A'AD，∴∠CAD＝∠A'AD，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC，∴∠A'AD＝∠ADC，∴A'C'∥DC，∴四边形AMDH是矩形，∴AM＝DH＝，DM＝AH＝，∵AD＝A'D，∴A'M＝AM＝，∴C'M＝A'C'﹣A'M＝3﹣＝，∴C'，由B（﹣3，0），C'得直线BC'解析式为y＝x+，联立得，∴G，∴C'G＝＝，故．七．比例的性质（共1小题）11．（2023•松江区一模）如果＝，那么＝．【正确答案】见试题解答内容解：∵＝，则x＝y，∴＝＝＝．故．八．相似三角形的性质（共1小题）12．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是1：3．【正确答案】1：3．解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，∴两个三角形的相似比为，1：3，∴它们的周长比是1：3，故1：3．九．相似三角形的判定（共1小题）13．（2023•徐汇区一模）规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，CD是斜边AB上的高，其中△ACD是等腰三角形，且△BCD和△ABC相似，所以△ABC是“和谐三角形”，直线CD为△ABC的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知△DEF是“和谐三角形”，∠D＝42°，当直线EG是△DEF的“和谐分割线”时，∠F的度数是54°或27°或46°或32°．.（写出所有符合条件的情况）【正确答案】54°或27°或46°或32°．解：若△DEG是等腰三角形，△EFG与△DEF相似，如图1，当DG＝EG，∠GEF＝∠D＝42°时，∴∠DEG＝∠D＝42°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠DEF＝180°﹣3×42°＝54°，如图2，当DE＝DG，∠FGE＝∠D＝42°时，∴∠DGE＝∠DEG＝＝69°，∴∠F＝∠DGE﹣∠FEG＝69°﹣42°＝27°，当△EFG是等腰三角形，△DEG与△DEF相似时，如图3，当EG＝FG，∠DEG＝∠F时，∴∠F＝∠FEG，∴∠F＝∠FEG＝∠DEG＝＝46°，如图4，当EF＝FG，∠DEG＝∠F时，∴∠FEG＝∠FGE，设∠F＝∠DEG＝x°，∴∠FEG＝∠FGE＝（42+x）°，∴x+2（42+x）＝180，∴x＝32°，∴∠F＝32°，综上所述：∠F＝54°或27°或46°或32°，故答案为54°或27°或46°或32°．一十．相似三角形的判定与性质（共3小题）14．（2023•金山区一模）如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA：C△CDF＝1：2，那么S△EAF：S四边形ABCF＝1：8．的延长线交于点E，如果C△EAF【正确答案】1：8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，∴△EAF∽△CDF，：C△CDF＝1：2，∵C△EAF∴＝，∴＝，∴＝，∵AF∥BC，∴△EAF∽ABC，∴＝（）2＝（）2＝，：S四边形ABCF＝1：8，∴S△EAF故1：8．15．（2023•奉贤区一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB．如果DE：BC＝2：5，那么EF：AB的值是3：5．【正确答案】3：5．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，＝，故3：5．16．（2023•奉贤区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC：AD＝3：2，那么S△ADC：S△ABC的值为2：3．【正确答案】2：3．解：∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∴△ADC的边BC上的高和△ADC的边AD上的高相等，：S△ABC＝，∴S△ADC∵BC：AD＝3：2，∴AD：BC＝2：3，：S△ABC＝＝2：3，∴S△ADC故2：3．一十一．解直角三角形（共1小题）17．（2023•金山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠BCD＝，AC ＝12，则BC＝9．【正确答案】见试题解答内容解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴tan∠BCD＝tan A＝，在Rt△ABC中，AC＝12，∴tan A＝＝，则BC＝9，故9一十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共3小题）18．（2023•金山区一模）某商场场业厅自动扶梯的示意图如图所示，自动扶梯AB坡度i＝1：，自动扶梯AB的长度为12米，那么大厅两层之间的高度BC＝6米．【正确答案】6．解：∵自动扶梯AB坡度i＝1：，∴＝，设BC＝x米，则AC＝x米，∵∠BCA＝90°，AB＝12米，∴AC2+BC2＝AB2，∴（x）2+x2＝122，解得x1＝6，x2＝﹣6（不合题意，舍去），即BC的长为6米，故6．19．（2023•长宁区一模）小杰沿着坡度i＝1：2.4的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了50米．【正确答案】50．解：设坡度的高为x米（x＞0），则水平距离为：2.4x米，则：x2+（2.4x）2＝1302，解得：x＝50，故50．20．（2023•松江区一模）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比i＝1：0.75，堤高BC＝4.8米，那么坡面AB的长度是6米．【正确答案】6．解：∵i＝BC：AC＝1：0.75＝4：3，∴令BC＝4x（米），AC＝3x（米），∴AB＝＝＝5x（米），∵BC＝4x＝4.8（米），∴x＝1.2，∴AB＝5x＝6（米）．故6．。

2024年上海市长宁区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．（4分）下列是最简二次根式的是（）A．B．C．D．．2．（4分）关于一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况，正确的是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根3．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（）A．y＝2x2B．C．y＝﹣2x D．y＝2x+14．（4分）为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单位：元）分别是3000，4000，5000，6000，50000，那么能够较好的反映他们收入平均水平的是（）A．中位数B．标准差C．平均数D．众数．5．（4分）如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（）A．B．∠AOD＝3∠BOC C．AC＝2CD D．OC⊥BD6．（4分）下列命题是假命题的是（）A．对边之和相等的平行四边形是菱形B．一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2﹣2＝．8．（4分）截至2023年底，全国高铁营业里程约为45000公里，这个数45000用科学记数法表示为．9．（4分）函数的定义域为．10．（4分）方程的解是．11．（4分）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为．12．（4分）如果二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，那么m的值为．13．（4分）在1，2，3中任取两个不重复的数字组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率是．14．（4分）为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了该校六年级50名学生同一天来校的方式，并绘制了如图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有_____名．15．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝2AD，点E是AC的中点，联结DE，设向量，，如果用、表示，那么＝．16．（4分）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F不与点C重合），且∠EAF＝45°，那么的值为．17．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，将△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果点A在DE的延长线上，且CE∥AB，那么∠CAE的余弦值为．18．（4分）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，如果△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）如图，⊙O经过平行四边形ABCD的顶点B，C，D，点O在边AD上，AO＝3，OD＝5．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求∠D的正弦值．22．（10分）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动商店优惠方式甲所购商品按原价打八折乙所购商品按原价每满300元减80元设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题：（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式（不必写出函数定义域）；（2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值；（3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围．23．（12分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AD，点E在边AD上（点E不与点A、D重合），点F在边CD上，且∠ABD＝∠EBF＝∠C．（1）求证：；（2）联结EF，与BD交于点G，如果BG＝EG，求证：四边形BEDF为等腰梯形．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、线段BC交于点D、E．①当CF＝DF时，求CD的长；②联结AC，如果△ACF的面积是△CDE面积的3倍，求点F的坐标．25．（14分）已知在△ABC中，CA＝CB，AB＝6，cos∠CAB＝，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交边AC于点D（点D不与点A、C重合）．（1）当AD＝4时，判断点B与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点C作CE⊥OD，交OD延长线于点E．以点E为圆心，EC为半径作⊙E，延长CE，交⊙E 于点C′．①如图1，如果⊙O与⊙E的公共弦恰好经过线段EO的中点，求CD的长；②联结AC′、OC，如果AC′与△BOC的一条边平行，求⊙E的半径长．2024年上海市长宁区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可．【解答】解：A、＝，故不符合题意；B、＝＝，故不符合题意；C、是最简二次根式，符合题意；D、＝＝5，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．2．【分析】先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣3）＝13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质及正比例函数的性质、二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、函数y＝2x2中，当x＜0时y随x的增大而减小，不符合题意；B、函数y＝﹣中，在每一象限内y随x的增大而增大，不符合题意；C、函数y＝﹣2x中，y随x的增大而减小，不符合题意；D、函数y＝2x+1中，y随x的增大而增大，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数的性质、一次函数的性质及正比例函数的性质、二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．4．【分析】利用平均数，中位数、众数和给出的数据分别进行分析，即可得出答案．【解答】解：根据给出的数据可得，中位数根据能够较好的反映他们收入平均水平．故选：A．【点评】此题考查了平均数、众数、中位数和标准差，众数是指一组数据中出现次数最多的数据；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．5．【分析】分别根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定判断即可．【解答】解：A、∵OB⊥AC，∴＝，故不符合题意；B、∵＝，∴∠AOB＝∠COB，∵BC＝CD，∴∠BOC＝∠DOC，∴∠AOD＝3∠BOC，故不符合题意；C、∵∠AOB＝∠BOC＝∠DOC，∴∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD，∵BD＜BC+CD＝2CD，∴AC＜2CD，故符合题意；D、∵OB＝OC，BC＝DC，∴OC⊥BD，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【解答】解：A、∵平行四边形的对边相等，∴对边之和相等舒，邻边线段，∴平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；B、根据菱形的面积公式可知：一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；C、一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；D、有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，故被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形是假命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】根据负整数指数幂法则进行解题即可．【解答】解：2﹣2＝．故答案为：．【点评】本题考查负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键．8．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：45000＝4.5×104．故答案为：4.5×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．10．【分析】方程两边平方得出x﹣1＝9，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边平方，得x﹣1＝9，解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解．故答案为：x＝10．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．11．【分析】设，则原方程转化为y﹣＝2，再方程两边都乘3y即可．【解答】解：，设，则原方程转化为：y﹣＝2，方程两边都乘3y，得3y2﹣1＝6y，即3y2﹣6y﹣1＝0．故答案为：3y2﹣6y﹣1＝0．【点评】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．12．【分析】求出函数图象向右平移3个单位后的函数解析式，再由函数图象过原点即可得出m的值．【解答】解：二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后的解析式为y＝（x﹣3）2+m，∵二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，∴（0﹣3）2+m＝0，解得m＝﹣9．故答案为：﹣9．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键．13．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这个两位数是素数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：123112132212333132共有6种等可能的结果，其中这个两位数是素数的结果有：13，23，31，共3种，∴这个两位数是素数的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．14．【分析】总人数乘以样本中步行人数所占比例即可．【解答】解：估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有300×（1﹣12%﹣32%﹣26%）＝90（名），故答案为：90．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．15．【分析】首先由向量的知识，得到与的值，即可得到的值．【解答】解：在△ABC中，，，则＝﹣＝﹣．∵BD＝2AD，点E是AC的中点，∴＝＝，＝＝﹣，∴＝+＝+﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查向量的知识．解题的关键是注意数形结合思想的应用．16．【分析】通过证明△BAE∽△CAF，可得．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB，∠ABD＝∠ACD＝45°，∠BAC＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．17．【分析】由△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，点A在DE的延长线上，且CE∥AB，得∠ACE＝∠BAC＝D＝x°，得3x+90＝180，得∠CAE＝x＝30°，得∠CAE的余弦值为．【解答】解：由△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，点A在DE的延长线上，且CE∥AB，得∠ACE＝∠BAC＝∠D＝x°，由△ADC中，∠ACB＝90°，得3x+90＝180，得∠CAE＝x＝30°，得∠CAE的余弦值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题关键是正确应用旋转的性质．18．【分析】当⊙O与AB、AC相切时（切点是M、N），⊙O与△ABC的三边有4个公共点，连接OM，由△AOM∽△ABH，得到OM：BH＝AO：AB，即可求出OM＝3.2，当⊙O′与AB、AC分别有一个公共点，与BC有两个公共点时（⊙O′不过B、C两点），△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，于是得到当4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，即可得到答案．【解答】解：如图，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝10，∴HB＝HC＝BC＝×16＝8，∴AH＝＝6，设O是△ABC的重心，∴AO＝AH＝4，当⊙O与AB、AC相切时（切点是M、N），⊙O与△ABC的三边有4个公共点，连接OM，∴OM⊥AB，∴∠AMO＝∠AHB＝90°，∵∠OAM＝∠BAH，∴△AOM∽△ABH，∴OM：BH＝AO：AB，∴OM＝8＝4：10，∴OM＝3.2，∴重心圆的半径r＝3.2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，如图，过作AK⊥BC于K，∵∵AB＝AC＝10，∴KB＝KC＝BC＝×16＝8，∴AK＝＝6，设O′是△ABC的重心，∴AO′＝AH＝4，∴KO′＝6﹣4＝2，∴BO′＝＝2，当⊙O′与AB、AC有一个公共点，与BC有两个公共点时（⊙O′不过B、C两点），△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，∴当4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，∴重心圆的半径r＝3.2或4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，故答案为：r＝3.2或4＜r＜2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的重心，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是要分两种情况讨论．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：原式＝2+（﹣+3）﹣2+＝2﹣＝4．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．20．【分析】把②变形为（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，可得x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，故原方程组相当于和，分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解．【解答】解：由②得：（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，∴x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，∴原方程组相当于和，分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解为和．【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用因式分解法“降次“，把二元二次方程组变形为两个二元一次方程组．21．【分析】（1）过O点作OE⊥BC，如图，先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝8，AD∥BC，再利用垂径定理得到BE＝CE＝4，接着利用勾股定理计算出OE＝3，然后利用平行四边形的面积公式求解；（2）先证明四边形OECF为矩形得到CF＝OE＝3，OF＝CE＝4，所以DF＝1，再利用勾股定理计算出CD，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：（1）过O点作OE⊥BC，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝3+5＝8，AD∥BC，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝4，在Rt△OEC中，OE＝＝＝3，∴平行四边形ABCD的面积＝8×3＝24；（2）∵OF∥CE，OE⊥CE，CF⊥OF，∴四边形OECF为矩形，∴CF＝OE＝3，OF＝CE＝4，∴DF＝OD﹣OF＝5﹣4＝1，在Rt△CDF中，CD＝＝＝，∴sin D＝＝＝．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和解直角三角形．22．【分析】（1）根据甲商店实际付款是原价的0.8倍列出函数解析式；（2）根据题意可知300≤x＜500，然后按活动价列出等式，解方程即可；（3）分当300≤x＜600和600≤x＜900两种情况列出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得：y＝0.8x，∴y关于x的函数解析式为y＝0.8x；（2）若x＜300，则甲商店按原价打八折，乙商店按原价，此时实际付款金额不可能相等，∴300≤x＜500，∴0.8x＝x﹣80，解得x＝400；（3）当300≤x＜600时，x﹣80＜0.8x，解得x＜400，∴300≤x＜400；当600≤x＜900时，x﹣160＜0.8x，解得x＜800，∴600≤x＜800，综上所述，x的取值范围为300≤x＜400或600≤x＜800．【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键是列出函数解析式和不等式．23．【分析】（1）由AD∥BC，BD⊥AD，得∠ADB＝∠DBC＝90°，而∠ABD＝∠EBF＝∠C，可推导出∠ABE＝∠DBF，∠A＝∠BDF，进而证明△ABE∽△DBF，则＝；（2）将＝，变形为＝，因为∠ABD＝∠EBF，所以△ABD∽△EBF，得∠ADB＝∠EFB，再证明△BGF∽△EGD，得＝＝＝1，则BF＝ED，FG＝DG，所以∠GDF＝∠GFD，由∠BGE ＝2∠GEB＝2∠GFD，证明∠GEB＝∠GFD，则BE∥DF，所以四边形BEDF为等腰梯形．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BD⊥AD，∴∠ADB＝∠DBC＝90°，∵∠ABD＝∠EBF＝∠C，∴∠ABD﹣∠DBE＝∠EBF﹣∠DBE，∴∠ABE＝∠DBF，∵∠A+∠ABD＝90°，∠BDF+∠C＝90°，∴∠A＝∠BDF，∴△ABE∽△DBF，∴＝．（2）证明：联结EF，与BD交于点G，∵＝，∴＝，∵∠ABD＝∠EBF，∴△ABD∽△EBF，∴∠ADB＝∠EFB，∵∠BGF＝∠EGD，∠GFB＝∠GDE，BG＝EG，∴△BGF∽△EGD，∠GBE＝∠GEB，∴＝＝＝1，∴BF＝ED，FG＝DG，∴∠GDF＝∠GFD，∵∠BGE＝∠GBE+∠GEB＝2∠GEB，∠BGE＝∠GDF+∠GFD＝2∠GFD，∴2∠GEB＝2∠GFD，∴∠GEB＝∠GFD，∴BE∥DF，∴四边形BEDF为等腰梯形．【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△ABE∽△DBF及△ABD∽△EBF是解题的关键．24．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①当CF＝DF时，则点F在CD的中垂线上，则（6﹣m+6）＝﹣m2+2m+6，即可求解；②证明△EMD∽△FNA，得到DE：AF＝DM：AN＝1：3，则＝（m+2），即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6；（2）由抛物线的表达式得，点A（﹣2，0）、C（0，6），设点F（m，﹣m2+2m+6），由点A（﹣2，0）、F的坐标得，直线AF的表达式为：y＝﹣（m﹣6）（x+2），则点D（0，6﹣m），①当CF＝DF时，则点F在CD的中垂线上，则（6﹣m+6）＝﹣m2+2m+6，解得：m＝0（舍去）或5，则CD＝6﹣（6﹣m）＝m＝5；②由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，联立上式和AF的表达式得：﹣x+6＝﹣（m﹣6）（x+2），解得：x＝＝DM，由点F的坐标得，AN＝m+2，∵△ACF的面积是△CDE面积的3倍，则DE：AF＝1：3过点D作DM∥x轴，作EM⊥DM，过点F作FN⊥x轴，则△EMD∽△FNA，则DE：AF＝DM：AN＝1：3，则＝（m+2），解得：m＝﹣4（舍去）或4，即点F（4，6）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，有一定的综合性，难度适中．25．【分析】（1）借助垂径定理，利用cos A表示出AO和BO，通过比较AO和BO的大小确定点与圆的位置关系；（2）①需要紧扣∠CDE＝∠A，结合连心线和公共弦的性质可以发现圆E和圆O是等圆，借助相似三角形的性质或锐角三角函数，用含k的代数式表示出CD、AD，从而求解；②当AC′∥CB时，过点C′作C′N⊥AD，证明出∠C′AD＝∠C′DA，在Rt△C′NC中，cos∠C'CN＝＝，得到，解得，则；当AC′∥OC，延长OE交AC′延长线于点F，由AC′∥OC，得到，解得或5（舍去），则CE＝4k＝．【解答】解：（1）点B在⊙O内；理由如下：过点O作OH⊥AC，垂足为点H，∵OH过圆心，OH⊥AD，∴，∵OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，在Rt△AOH中，，∴，∵AB＝6，∴，∵OB＜AO，∴点B在⊙O内；（2）过点C作CM⊥AB，垂足为M，如图2，∵AC＝BC，CM⊥AB，∴，在Rt△ACM中，，∴AC＝5，∵OA＝OD，∴∠CAB＝∠ODA，又∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CAB＝∠CDE，∵，在Rt△CDE中，∠CED＝90°，，设DE＝3k，CD＝5k，则，∴AD＝5﹣k，①两圆的交点记为P、Q，连接PE，PO，如图3，⊙O与⊙E相交，PQ是公共弦，∴OE垂直平分PQ，即OE⊥PQ，∵PQ经过OE的中点，∴PQ垂直平分OE，∴PE＝PO，即CE＝AO，，在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，∴，∵，∴，解得，∴；②由于点A在直线AB上，∴AC′不可能与OB平行，则当AC′∥CB时，过点C′作C′N⊥AD，如图4，∵AC＝CB，∴∠CAB+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣2∠CAB，∵AC′∥CB，∴∠C′AD＝∠ACB＝180°﹣2∠CAB，∵DE⊥CC′，CE＝C′E，∴DC′＝DC，∴∠CDE＝∠C′DE，∵∠C′DA+∠C′DE+∠CDE＝180°，∴∠C′DA＝180°﹣2∠CDE，∵∠CAB＝∠CDE，∴∠CAD＝∠CDA，∵C′N⊥AD，∴，∴，在Rt△C′NC中，，∴，∴，∴；当AC∥OC，延长OE交AC延长线于点F，如图5，∵AC′∥OC，∴，∴OE＝EF，∴，DE＝3k，∴，∴，∴，∵AC′∥OC，∴，∴，解得或5（舍去），∴，综上：或．【点评】本题考查了圆和三角形相结合的问题，锐角三角函数，点与圆的位置关系，相交两圆的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，构造直角三角形，并灵活运用勾股定理是解答本题的关键。

2023上海16区九年级二模数学函数应用及答案

第1页共16页如果函数12y x m =+的图像经过第一、三、四象限，那么m 的取值范围是（）(A)0m >；(B)0m ≥；(C)0m <；(D)0m ≤．如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（）（A）0a b +<；（B）0b a -<；（C）22a b ->-；（D）a b >．第3题图一次函数b kx y +=（k ≠0）的图像经过第一、二、三象限，它的解析式可以是()（A）1+=x y ；（B）1y x =-；（C）1y x =-+；（D）1y x =--．下列函数图像中，可能是反比例函数xy 6=的图像的是()（A）（B）（C）（D）已知正比例函数(3)y a x =-的图像经过第二、四象限，那么a 的取值范围是（）A．3a >；B．3a <；C．3a >-；D．3a <-.一次函数23y x =-+的图像不经过．．．（）（A）第一象限；（B）第二象限；（C）第三象限；（D）第四象限．页已知函数kxy=（0≠k，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是()．（A）（0.5，1）；（B）（2，1）；（C）（2-，4）；（D）（2-，2-）．如果点1(2,)y-、2(1,)y-、3(2,)y在反比例函数(0)ky kx=<的图像上，那么（）（A）123y y y>>；（B）213y y y>>；（C）312y y y>>；（D）321y y y>>.下列函数中，y的值随自变量x的值增大而增大的是()（A）2xy=；（B）2xy=-；（C）2yx=；（D）2yx=-．某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为25元，如果纯燃油行驶，则燃油费为75元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．如果设每行驶1千米纯用电的费用为x元，那么下列方程正确的是()（A）75250.6x x=-；（B）75250.6x x=-；（C）75250.6x x=+；（D）75250.6x x=+．在研究反比例函数的图像时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图像，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图像上，那么这个点是（）x (2)1212...y...-14-2-1...（A）(-2,-1)；（B）（-12，4）；（C）(1,-2)；（D）(2,-1).在平面直角坐标系中，如果把抛物线22=xy向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是()（A）开口方向相同；（B）对称轴相同；第2页共16（C）顶点的横坐标相同；（D）顶点的纵坐标相同．“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数3y x=-，其图像经过（）（A）第一、二象限；（B）第三、四象限；（C）第一、三象限；（D）第二、四象限．关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点（﹣2，2）；乙：函数图像经过第四象限；丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是()（A）y x=-（B）4y x=+（C）212y x=（D）4yx=-已知抛物线)0(2≠++=acbxaxy经过点),2(tA，),3(tB，)2,4(C，那么cba++的值是（）.（A）2；（B）3；（C）4；（D）t．冬季某日中午12时的气温是3℃，经过10小时后气温下降8℃，那么该时刻的气温是℃．根据电影发行方的数据，电影《满江红》截至2023年3月17日，以4535000000元的票房高居春节档前列，数据4535000000用科学记数法表示为________．已知1纳米000000001.0=米，那么5.2纳米用科学记数法表示为米．如果一个二次函数的图像顶点是原点，且它经过平移后能与221y x x=-+-的图像重合，那么这个二次函数的解析式是．已知抛物线2y x bx c=++的对称轴为直线4x=，点A（1，y1）、B（3，y2）都在该抛物线上，那么y1y2．（填“”或“”或“”）．如图2，已知点A（-1，2），联结OA，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，如果点B在反比例函数(0)ky xx=>的图像上，那么k的值是．第3页共16页第4页共16页图2AO Byx如果正比例函数kx y =（k 是常数，k ≠0）的图像经过点（4，-1），那么y的值随x的增大而．（填“增大”或“减小”）近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么眼镜度数y关于镜片焦距x的函数解析式是．如果反比例函数xa y 1-=的图像经过点），（21-，那么这个反比例函数的解析式为．点A （2-，5）在反比例函数kyx=的图像上，那么k=．如果抛物线32-=axy的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是．在平面直角坐标系中，如果点),3(xx A-在第二象限，那么x的取值范围是.抛物线22y x =-在y 轴的左侧部分，y 的值随着x的值增大而．（填“增大”或“减小”）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有人．如果函数k x y +=2的图像向左平移2个单位后经过原点，那么=k ．页抛物线1212+-=xy在y轴的右侧呈趋势（填“上升”或者“下降”）．已知一个反比例函数图像经过点P(2,3)-，则该反比例函数的图像在各自的象限内，函数值y随自变量x的值逐渐增大而．（填“增大”或“减小”）已知某反比例函数的图像在其所在的每个象限内，y的值随x 的值增大而增大，那么这个反比例函数可以是．（只需写出一个）已知点),(11yxA和点),(22yxB在反比例函数1yx=的图像上，那么当210xx<<时，1y2y．（填“>”、“=”、“<”）将抛物线2=y x向左平移1个单位，所得新抛物线的表达式为．已知一次函数的图像经过点（1，3），且与直线26y x=+平行，那么这个一次函数的解析式是．已知一次函数3y=x+m的图像经过点（-1,1），那么m=.已知点(1,2)M-和点N都在抛物线22y x x c=-+上，如果MN//x轴，那么点N的坐标为．已知点),4(mA-在反比例函数xky=的图像上，点A关于y轴的对称点1A恰好在直线xy21=上，那么k的值为．某地长途汽车客运公司规定：旅客可免费随身携带一定重量的行李，如果行李超过规定重量，则需要购买行李票.行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其像如图1所示，那么旅客最多可免费携带行李千克.第5页共16页某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图3所示，已知二月份产值是36万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是万元．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系：111=´亿万万，1兆=111创万万亿，那么2兆=．（用科学记数法表示）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为．小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离1y（米）、2y（米）与时间x（分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是分钟．第6页共16第7页共16页（第15题图）如图1，图中反映轿车剩余油量q (升)与行驶路径s (千米)的函数关系，那么q 与s 的函数解析式为．某公司产品的销售收入1y 元与销售量x 吨的函数关系记为1()y f x =，销售成本2y 与销售量x 的函数关系记为2()y g x =，两个函数的图像如图所示．当销售收入与销售成本相等时，销售量x 为吨．在直角坐标平面内，已知点A (1，-3)，B (4，-1),将线段AB 平移得到线段11A B (点A 的对应点是点1A ，点B 的对应点是点1B ），如果点1A 坐标是(-2，0),那么点1B 的坐标是．一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆私家车从乙地驶往甲地．两车之间的距离s （千米）与行驶的时间x （小时）之间的函数关系如图3所示.已知私家车的速度是90千米/时，客车的速度是60千米/时，那么点A 的坐标是．第8页共16页CD Bs （千米）AOx（小时）（图3）600如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线y =2x 上，点A的横坐标为1，点P 是x 轴正半轴上一点，点B 在反比例函数(0)ky x x=>图像上，联结AP、PB和OB ．如果四边形OAPB 是矩形，那么k 的值是．如图4，某电信公司提供了A、B 两种方案的移动通讯费用y （元）与通话时间x （元）之间的关系．如果通讯费用为60元，那么A方案与B 方案的通话时间相差分钟．中国古代数学著作《四元玉鉴》记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆），这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，那么可列出的方程是．“新定义：函数图像上任意一点),(yxP，xy-称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数)12(32≤≤-+=xxy的“特征值”是．如图，抛物线C1：223y x x=+-与抛物线C2：2y ax bx c=++组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果BD=CD，那么抛物线C2的表达式是．在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x（瓶）之间的函数关系如图所示．（1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量．第9页共16页页已知一次函数y kx b=+的图像与反比例函数4yx=的图像相交于点A（1，m），B（n，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）过点A作直线AC，交y轴于点D，交第三象限内的反比例函数图像于点C，联结BC，如果CD=2AD，求线段BC的长．O xy12-3-412345-1-2-3-1-2-4第21题图3第10页共16页某商店以20元/千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图7中线段AB所示．（1）求y关于x的函数解析式（不需要写定义域）；（2）要使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元?如图6，在平面直角坐标系xOy中，直线l上有一点A（3，2），将点A先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B，点B恰好在直线l上．（1）写出点B的坐标，并求出直线l的表达式；（2）如果点C在y轴上，且∠ABC=∠ACB，求点C的坐标．O xy11图6A（3，2）第11页共16页小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；优惠活动二：所有商品打八折．（两种优惠活动不能同享）（1）如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；（2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？BA、两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．（1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值；（2）如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由．第12页共16页已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，小明家与街心公园相距900米，小明家与超市相距1200米．小明和妈妈从家里出发，匀速步行了20分钟到达街心公园；两人在公园停留20分钟后，妈妈按原来相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行5分钟到达超市购买文具用品，停留10分钟后，匀速骑自行车返回家，发现妈妈比他早到家10分钟．如图反映了这个过程中小明离开家的距离y（米）与离开家的时间x（分钟）的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：（1）小明从家到街心公园的速度为（米/分）；（2）小明从街心公园到超市的速度为（米/分）；（3）小明从超市骑车返回家时，求他离开家的距离y（米）与离开家的时间x（分钟）的函数解析式，并写出x的取值范围．900x/分钟O201200404555y/米第22题图第13页共16页某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表：（1）如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？（2）居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图7所示，求第二阶梯（线段AB）的表达式；（3）如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？By（元）Ax（立方米）O（图7）2203001355第14页共16页小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的A处，花洒AD的长度为20厘米.（1）已知花洒与墙面所成的角∠BAD=︒120，求当花洒喷射出的水流CD与花洒AD成︒90的角时，水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离.（结果保留根号）（2）某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为2400元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜20元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，求这个此款花洒的原价是多少元？第22题图1第22题图2第15页共16页已知点),2(mA-在双曲线xy4-=上，将点A向右平移5个单位得到点B.（1）当点B在直线bxy+-=2上时，求直线bxy+-=2的表达式；（2）当线段AB被直线bxy+-=2分成两部分，且这两部分长度的比为2:3时，求b的值.第16页共16第1页共26页如果函数12y x m =+的图像经过第一、三、四象限，那么m 的取值范围是（）(A)0m >；(B)0m ≥；(C)0m <；(D)0m ≤．C如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（）（A）0a b +<；（B）0b a -<；（C）22a b ->-；（D）a b >．第3题图C一次函数b kx y +=（k ≠0）的图像经过第一、二、三象限，它的解析式可以是()（A）1+=x y ；（B）1y x =-；（C）1y x =-+；（D）1y x =--．A下列函数图像中，可能是反比例函数xy 6=的图像的是()（A）（B）（C）（D）C已知正比例函数(3)y a x =-的图像经过第二、四象限，那么a 的取值范围是（）第2页共26页A．3a >；B．3a <；C．3a >-；D．3a <-.B一次函数23y x =-+的图像不经过．．．（）（A）第一象限；（B）第二象限；（C）第三象限；（D）第四象限．C已知函数kx y =（0≠k ，k 为常数）的函数值y 随x 值的增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是()．（A）（0.5，1）；（B）（2，1）；（C）（2-，4）；（D）（2-，2-）．函数(0,y kx k k =≠为常数)的函数值y 工x 值的增大而减小,0k ∴<,∴正比例函数(0,y kx k k =≠为常数)的图象经过第二、四象限，∴这个函数图象可能经过的点是()2,4-.故选:C.如果点1(2,)y -、2(1,)y -、3(2,)y 在反比例函数(0)ky k x=<的图像上，那么（）（A）123y y y >>；（B）213y y y >>；（C）312y y y >>；（D）321y y y >>.B0k <∴ 反比例函数(0)ky k x=<的图象在二、四象限,在每个象限内y 随x 的增大而增大,∴点()()122,1,y y --、在第二象限,()2130;2,y y y >>在第四象限32130.y y y y ∴><>下列函数中，y 的值随自变量x 的值增大而增大的是()（A）2xy =；（B）2x y =-；（C）2y x=；（D）2y x=-．A第3页共26页在函数2xy =中,y 随x 的增大而增大,故选项A 符合题意;在函数2xy =-中,y 随x 的增大而减小,故选项B 不符合题意；在函数2y x =中,在每个象限内,y 随x 的增大而减小，故选项C 不符合题意;在函数2y x=-中,在每个象限内,y 随x 的增大而增大,故选项B 不符合题意;故选:A.某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为25元，如果纯燃油行驶，则燃油费为75元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．如果设每行驶1千米纯用电的费用为x 元，那么下列方程正确的是()（A）75250.6x x =-；（B）75250.6x x =-；（C）75250.6x x =+；（D）75250.6x x=+．D在研究反比例函数的图像时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图像，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图像上，那么这个点是（）x ...-2-1212...y...-14-2-1...（A）(-2,-1)；（B）（-12，4）；（C）(1,-2)；（D）(2,-1).A()()()()()121412212,1.2-⨯-≠-⨯=⨯-=⨯-∴-- 这个点是∴这个点是()2,1--.故选:A .页在平面直角坐标系中，如果把抛物线22=xy向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是()（A）开口方向相同；（B）对称轴相同；（C）顶点的横坐标相同；（D）顶点的纵坐标相同．D把抛物线22y x=向下平移3个单位得到新的二次函数解析式为223y x=-,∴这两条抛物线的开口方向都是向上,对称轴都为直线0x=,顶点的横坐标都为0,顶点的纵坐标一个为0,一个为-3;“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数3y x=-，其图像经过（）（A）第一、二象限；（B）第三、四象限；（C）第一、三象限；（D）第二、四象限．D当0x<时,0y>;此时点在二象限；当0x>时,0y<;此时点在四象限;故选:D.关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点（﹣2，2）；乙：函数图像经过第四象限；丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是()（A）y x=-（B）4y x=+（C）212y x=（D）4yx=-D把点()1,1-分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项B不符合题意;又函数过第四象限,而2y x=只经过第一、二象限，故选项C不符合题意;对于函数y x=-,当0x>时,y随x的增大而减小,与丙给出的特征不符合,故选项C不符合题意.故选:D.第4页共26页已知抛物线)0(2≠++=acbxaxy经过点),2(tA，),3(tB，)2,4(C，那么cba++的值是（）.（A）2；（B）3；（C）4；（D）t．A抛物线)0(2≠++=acbxaxy过点),2(tA，),3(tB，)2,4(C，()235=524225242,b b a a ac c aaa b c a a a A+∴-==-⨯+∴=+∴++=-++=即，将点C代入得216+4故选冬季某日中午12时的气温是3℃，经过10小时后气温下降8℃，那么该时刻的气温是℃．-5根据电影发行方的数据，电影《满江红》截至2023年3月17日，以4535000000元的票房高居春节档前列，数据4535000000用科学记数法表示为________．910535.4⨯已知1纳米000000001.0=米，那么5.2纳米用科学记数法表示为米．9105.2-⨯如果一个二次函数的图像顶点是原点，且它经过平移后能与221y x x=-+-的图像重合，那么这个二次函数的解析式是．22y x=-设二次函数的解析式为2y ax=，因为平移后能与221y x x=-+-的图像重合，所以2a=-，所以解析式为22y x=-.故答案为22y x=-已知抛物线2y x bx c=++的对称轴为直线4x=，点A（1，y1）、B（3，y2）都在该抛物线上，那么y1y2．（填“”或“”或“”）．第5页共26第6页共26页>因为10a =>，所以开口向上，又因为对称轴为直线4x =，所以当4x <时，y随x 的增大而减小，因为1<3,所以y1<y2,.故答案为>如图2，已知点A （-1，2），联结OA ，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB ，如果点B 在反比例函数(0)ky x x=>的图像上，那么k 的值是．图2AOBy x2如图,过点A 作AC x ⊥轴于点C ,过点B 作BD x ⊥轴于点D ,则9018090ACO ODB OAC AOC ACO ∠=∠=∴∠+∠=-∠= 由旋转的性质得,90OB AO AOB =∠= ,18090BOD AOC AOB BOD OAC∴∠+∠=-∠=∴∠=∠ 在BOD ∆和OAC ∆中,(),,ODB ACO BOD OAC BOD OAC AAS OD AC BD OC OB AO ∠=∠⎧⎪∠=∠∴∆≅∆∴==⎨⎪=⎩,()()1,22,1A B -∴ 点B 在反比例函数ky x=的图象上,122k ∴=⨯=.故答案为:2.如果正比例函数kx y =（k 是常数，k ≠0）的图像经过点（4，-1），那么y 的值随x 的增大而．（填“增大”或“减小”）减小第7页共26页函数kx y =经过点（4，-1），所以11404k k -==-<即，所以y 随x 的增大而减小，故答案减小近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么眼镜度数y 关于镜片焦距x 的函数解析式是．100y x=设ky x=,400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25m ,0.25400100k ∴=⨯=,100y x ∴=.故答案为:100y x=如果反比例函数xa y 1-=的图像经过点），（21-，那么这个反比例函数的解析式为．xy 2-=把()1,2-代入1a y x-=得()1122a -=⨯-=-,∴这个反比例函数的解析式为2y x =-.故答案为:2y x=-.点A （2-，5）在反比例函数ky x=的图像上，那么k =．10- 点()2,5-在反比例函数k y x =的图象上,52k∴=-,解得10k =-如果抛物线32-=ax y 的顶点是它的最高点，那么a 的取值范围是．a< 顶点是抛物线23y ax =-的最高点，0a ∴<在平面直角坐标系中，如果点),3(x x A -在第二象限，那么x的取值范围是.第8页共26页30<<x 在平面直角坐标系中，第二象限内点坐标符号：横坐标为负，纵坐标为正，则30x x -<>⎧⎨⎩，解得03x <<，故答安为:03x <<.抛物线22y x =-在y 轴的左侧部分，y 的值随着x 的值增大而．（填“增大”或“减小”）减小第一季度的总产值是()()36145%25%120,÷--=万元则该企业第一季度月产值的平均值是()1120403⨯=万元。

二次函数(解答题24题压轴题)-2021年中考数学二模试题考点分类汇编(上海市16区)(原卷版)

2021年上海16区二模汇编专题11二次函数解答题24题1.（2021崇明二模）2.（2021静安二模）3.（2021宝山二模）4.（2021金山二模）5.（2021普陀二模）6.（2021闵行二模）7.（2021虹口二模）8.（2021长宁二模）9.（2021杨浦二模）10.（2021松江二模）11.（2021嘉定二模）12.（2021奉贤二模）13.（2021青浦二模）14（2021黄埔二模）15（2021浦东新区二模）16.（2021松江二模）【2021年崇明二模】24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线上一点，且在第四象限内，联结AC、BC、CD、BD．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；＝4S△AOC时，求点D的坐标；（2）当S△BCD（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上的一点，点F是抛物线上一点，当点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．【2021年静安区】24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（2）小题3分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（5，0）（如图），经过点A 的抛物线25y x bx =++与y 轴相交于点B ，顶点为点C ．（1）求此抛物线表达式与顶点C 的坐标；（2）求∠ABC 的正弦值；（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线顶点为D ，且△DCA 与△ABC 相似，求平移后的新抛物线的表达式．（第24题图）AOxy24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，n），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；（2）将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求△ODE的面积；（3）如果点P在y轴上，△PCD与△ABC相似，求点P的坐标．第24题图21.（本题满分12分，每小题满分4分）已知直线b kx y +=经过点()0,2-A ，()3,1B 两点，抛物线b ax ax y +-=42与已知直线交于C 、D 两点（点C 在点D 的右侧），顶点为P .（1）求直线b kx y +=的表达式.（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a 的取值范围.（3）若直线DP 与直线AB 所成的夹角等于 15，且点P 在直线AB 的上方，求抛物线b ax ax y +-=42的表达式.24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E．（1）求b、c的值和直线BC的表达式；（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．【2021年闵行二模】24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b，经过点A，与线段BC交于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式；（2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD，当BD＝EO时，求∠DAO的余切值．【2021年虹口二模】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图8，在平面直角坐标系xOy中，直线l：3 4y x b=+与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：kyx=交于点P(2，92)，直线x m=分别与直线l和双曲线H交于点E、D．（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED=BO，求m的值；（3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标．【2021年长宁二模】P图824.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣163x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC 时，求点P的坐标．【2021年杨浦二模】24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y ＝ax2+6x+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ 是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD ＝∠ABC，求线段DQ的长．【2021年松江二模】24.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．【2021年嘉定二模】24.在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣32），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A、C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB上的点C′处，求m 的值；（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．24．（12分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）＝时，求OE的长．【2021年黄浦区二模】24．（12分）如果抛物线C1：y＝ax2+bx+c与抛物线C2：y＝﹣ax2+dx+e的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线．（1）求抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线y＝x2﹣4x+7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积．（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c 与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．【2021年浦东新区二模】24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．【2021年徐汇区二模】24.如图，已知抛物线y＝12x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣43x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；（3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值．。

2024年4月上海市中考数学二模题型分类汇编5--- 二次函数压轴题(24题)

2024年4月上海市中考数学二模题型分类汇编5---二次函数压轴题（24题）【2024.4月奉贤区二模】24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图9，在直角坐标平面xOy 中，抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴正半轴交于点C ，顶点为P ，点A 坐标为（-1，0）.（1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点P 的坐标（用a 的代数式表示）；（2）将抛物线向下平移后经过点（0，1），顶点P 平移至P'.如果锐角∠CP'P 的正切值为12，求a 的值；（3）设抛物线对称轴与x 轴交于点D ，射线PC 与x 轴交于点E ，如果∠EDC =∠BPE ，求此抛物线的表达式.图9xyO11-124．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）新定义：已知抛物线2y ax bx c =++（其中abc ≠0），我们把抛物线2y cx ax b =++称为2y ax bx c =++的“轮换抛物线”．例如：抛物线y ＝2x 2+3x +1的“轮换抛物线”为y ＝x 2+2x +3．已知抛物线C 1：24(45)y mx m x m =+-+的“轮换抛物线”为C 2，抛物线C 1、C 2与y 轴分别交于点E 、F ，点E 在点F 的上方，抛物线C 2的顶点为P ．（1）如果点E 的坐标为（0，1），求抛物线C 2的表达式；（2）设抛物线C 2的对称轴与直线38y x =+相交于点Q ，如果四边形PQEF 为平行四边形，求点E 的坐标；（3）已知点M （-4，n ）在抛物线C 2上，点N 坐标为（-2，172-），当△PMN ∽△PEF 时，求m 的值．备用图Oy xyOx24．（本题满分12分）问题：已知抛物线L ：22y x x =-．抛物线W 的顶点在抛物线L 上（非抛物线L 的顶点）且经过抛物线L 的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W 的表达式．（1）解这个问题的思路如下：先在抛物线L 上任取一点（非顶点），你所取的点是①；再将该点作为抛物线W 的顶点，可设抛物线W 的表达式是②；然后求出抛物线L 的顶点是③；再将抛物线L 的顶点代入所设抛物线W 的表达式，求得其中待定系数的值为④；最后写出抛物线W 的表达式是⑤．（2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W ，请再写出一个抛物线W的表达式．（3）如果问题中抛物线L 和W 在x 轴上所截得的线段长相等，求抛物线W 的表达式．24.（本题满分12分,第（1）小题4分，第（2）小题中①②题各4分）已知：抛物线2y x bx c =++经过点A （3，0）、B （0，-3），顶点为P ．（1）求抛物线的解析式及顶点P 的坐标；（2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q 在直线AB 上，且点Q 在y 轴右侧．①若点B 平移后得到的点C 在x 轴上，求此时抛物线的解析式；②若平移后的抛物线与y 轴相交于点D ，且△BDQ 是直角三角形，求此时抛物线的解析式．yxO24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于直线25=x 对称，且经过点A （0，3）和点B （3，0），横坐标为4的点C 在此抛物线上．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、AC ，求tan BAC ∠的值；（3）如果点P 在对称轴右方的抛物线上，且∠PAC =45°，过点P 作PQ ⊥y 轴，垂足为Q ，请说明∠APQ =∠BAC ，并求点P 的坐标．24．（满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线212y x bx c =++与x 轴相交于A （1-，0）、B两点，且与y 轴交于点C （0，2-）．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点D 是x 正半轴上一点，∠ADC=2∠ACO ，且四边形AQCD 是菱形，请直接写出点D 和点Q 的坐标（不需要说明理由）；（3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点E 是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t ，且四边形ACBE 是凹四边形（线段AE 与线段BC 不相交），求t 的取值范围．yxO（第24题图）24．（本题满分12分，其中每小题各4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线+2y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，抛物线C 1：2y x bx c =-++经过点A 、B 两点，顶点为点C ．（1）求b 、c 的值；（2）如果点D 在抛物线C 1的对称轴上，射线AB 平分∠CAD ，求点D 的坐标；（3）将抛物线C 1平移，使得新抛物线C 2的顶点E 在射线BA 上，抛物线C 2与y 轴交于点F ，如果△BEF 是等腰三角形，求抛物线C 2的表达式．（第24题图）11OxyAB24．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线()()20y a x m n a =-+≠与x 轴交于点A 、B ，抛物线的顶点P 在第一象限，且90APB ∠=︒．（1）当点P 的坐标为()4,3时，求这个抛物线的表达式；（2）抛物线()()20y a x m n a =-+≠表达式中有三个待定系数，求待定系数a 与n 之间的数量关系；（3）以点P 为圆心，PA 为半径作P ，P 与直线2ny x =+相交于点M 、N ．当点P 在直线12y x =上时，用含a 的代数式表示MN 的长．图8yxOPAB24.（本题满分12分，每小题满分各4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y axbx =+-的图像与x 轴交于点A （-3，0）和点B （1，0），与y 轴交于点C ，D 是线段OA 上一点．（1）求这条抛物线的表达式和点C 的坐标；（2）如图，过点D 作DG ⊥x 轴，交该抛物线于点G ，当DGA ＝DGC 时，求△GAC 的面积；（3）点P 为该抛物线上第三象限内一点，当OD ＝1，且∠DCB +∠PBC ＝45°时，求点P 的坐标．第24题图24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题第①问4分，第（2）小题第②问4分）如图8,在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，0）、点B （0，2），抛物线2y x bx c =-++经过点A ，且顶点C 在线段AB 上（与点A 、B 不重合）．（1）求b 、c 的值；（2）将抛物线向右平移m （0m >）个单位，顶点落在点P 处,新抛物线与原抛物线的对称轴交于点D ，联结PD ，交x 轴于点E ．①如果m =2,求△ODP 的面积；②如果EC =EP ,求m 的值.(图8)11OxyA B24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(442>+-=a ax ax y 与x 轴交于点)0,1(A 和点B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）已知点),0(m M ，联结BC ，过点M 作BC MG ⊥，垂足为G ，点D 是x 轴上的动点，分别联结GD 、MD ，以GD 、MD 为边作平行四边形GDMN ．①当23=m 时，且□GDMN 的顶点N 正好落在y 轴上，求点D 的坐标；②当0≥m 时，且点D 在运动过程中存在唯一的位置，使得□GDMN 是矩形，求m 的值．（第24题图）A O xyB C24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题9分）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q 是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题：已知直线OA外有一点P，PA⊥OA，OA=4，AP=2，圆M是点P与直线OA的点切圆．（1）如果圆心M在线段OP上，那么圆M的半径长是▲(直接写出答案)．（2）如图2，以O为坐标原点、OA为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，点P在第一象限，设圆心M的坐标是（x，y）．①求y关于x的函数解析式；②点B是①中所求函数图像上的一点，联结BP并延长交此函数图像于另一点C．如果CP：BP=1：4，求点B的坐标．lH Q第24题图1PyxAO第24题图224．（本题满分12分，每小题满分各4分）在平面直角坐标系xOy （如图8）中，已知抛物线32++=bx ax y 经过点)0,1(A 、)3,2-(B 两点，与y 轴的交点为C 点，对称轴为直线l ．（1）求此抛物线的表达式；（2）已知以点C 为圆心，半径为CB 的圆记作圆C ，以点A 为圆心的圆记作圆A ，如果圆A 与圆C 外切，试判断对称轴直线l 与圆A 的位置关系，请说明理由；（3）已知点D 在y 轴的正半轴上，且在点C 的上方，如果BAC BDC ∠=∠，请求出点D 的坐标．图8O 11xy-1-1。

2023年上海市16区数学中考二模专题汇编3 函数概念、图像与性质(42题)

专题03 函数概念、图像与性质（42题）一．选择题（共10小题）1．（2023•崇明区二模）如果函数的图象经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是（）A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤02．（2023•松江区二模）一次函数y＝﹣2x+3的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2023•普陀区二模）一次函数y＝2x﹣3的图象不经过的象限是（）A．一B．二C．三D．四4．（2023•黄浦区二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数y＝﹣x3，其图象经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限5．（2023•金山区二模）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（）A．（0.5，1）B．（2，1）C．（﹣2，4）D．（﹣2，﹣2）6．（2023•闵行区二模）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、二、三象限，它的解析式可以是（）A．y＝x+1B．y＝x﹣1C．y＝﹣x+1D．y＝﹣x﹣17．（2023•杨浦区二模）下列函数中，y的值随自变量x的值增大而增大的是（）A．B．C．D．8．（2023•闵行区二模）在平面直角坐标系中，如果把抛物线y＝2x2向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是（）A．开口方向相同B．对称轴相同C．顶点的横坐标相同D．顶点的纵坐标相同9．（2023•宝山区二模）在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图象，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图象上，那么这个点是（）x…﹣2﹣12…y…﹣14﹣2﹣1…A．（﹣2，﹣1）B．（﹣，4）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）10．（2023•徐汇区二模）若点（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（2，y3）在反比例函数的图象上，则（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1二．填空题（共26小题）11．（2023•宝山区二模）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣3，x）在第二象限，则x的取值范围为．12．（2023•崇明区二模）已知，那么＝．13．（2023•徐汇区二模）已知，那么＝．14．（2023•松江区二模）一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆私家车从乙地驶往甲地．两车之间的距离s（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知私家车的速度是90千米/时，客车的速度是60千米/时，那么点A的坐标是．15．（2023•黄浦区二模）已知一次函数的图象经过点（1，3），且与直线y＝2x+6平行，那么这个一次函数的解析式是．16．（2023•静安区二模）已知f（x）＝x﹣1，那么＝．17．（2023•宝山区二模）已知一次函数y＝3x+m的图象经过点（﹣1，1），那么m＝．18．（2023•嘉定区二模）新定义：函数图象上任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数y＝2x+3（﹣2≤x≤1）的“特征值”是．19．（2023•普陀区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（2，﹣4），那么函数值y随自变量x的值的增大而．（填“增大”或“减小”）20．（2023•嘉定区二模）如果反比例函数的图象经过点（1，﹣2），那么这个反比例函数的解析式为．21．（2023•浦东新区二模）点A（﹣2，5）在反比例函数的图象上，那么k＝．22．（2023•金山区二模）抛物线在y轴的右侧呈趋势（填“上升”或者“下降”）．23．（2023•嘉定区二模）如果函数y＝x2+k的图象向左平移2个单位后经过原点，那么k＝．24．（2023•松江区二模）将抛物线y＝x2向左平移1个单位后的抛物线表达式为．25．（2023•徐汇区二模）某公司产品的销售收入y1元与销售量x吨的函数关系记为y1＝f（x），销售成本y2与销售量x的函数关系记为y2＝g（x），两个函数的图象如图所示．当销售收入与销售成本相等时，销售量x为吨．26．（2023•金山区二模）小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离y1（米）、y2（米）与时间x（分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是分钟．27．（2023•宝山区二模）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是千克．28．（2023•黄浦区二模）已知某反比例函数的图象在其所在的每个象限内，y的值随x的值增大而增大，那么这个反比例函数可以是.（只需写出一个）29．（2023•松江区二模）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数的图象上，如果0＜x1＜x2，那么y1 y2．30．（2023•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，4）关于抛物线y＝a（x+2）2的对称轴对称的点的坐标是．31．（2023•崇明区二模）已知一个反比例函数图象经过点P（﹣2，3），则该反比例函数的图象在各自的象限内，函数值y随自变量x的值逐渐增大而.（填“增大”或“减小”）32．（2023•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在直线y＝2x上，点A的横坐标为1，点P是x轴正半轴上一点，点B在反比例函数y＝（x＞0）图象上，联结AP、PB和OB．如果四边形OAPB是矩形，那么k的值是．33．（2023•徐汇区二模）如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果BD＝CD，那么抛物线C2的表达式是．34．（2023•松江区二模）我们定义：二次项系数之和为1，图象都经过原点且对称轴相同的两个二次函数称作互为友好函数．那么y＝2x2+4x的友好函数是．35．（2023•浦东新区二模）抛物线y＝x2﹣2在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而．（填“增大”或“减小”）36．（2023•杨浦区二模）如果抛物线y＝ax2﹣3的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是．三．解答题（共6小题）37．（2023•浦东新区二模）某市全面实施居民“阶梯水价”，当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见表：合户年用水量（立方米）自来水单价（元/立方米）污水处理单价（元/立方米）第一阶梯0﹣220（含220） 2.25 1.8第三阶梯220﹣300（含300）4第三阶梯300以上 6.99注：应缴纳水费＝户年用水量×（自来水单价+污水处理单价）仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：（1）如果果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？（2）居民缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关如图所示，求第二阶梯（线段AB）的表达式；（3）如果小明家全年数纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？38．（2023•静安区二模）已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，小明家与街心公园相距900米，小明家与超市相距1200米，小明和妈妈从家里出发，匀速步行了20分钟到达街心公园；两人在公园停留20分钟后，妈妈按原来相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行5分钟到达超市购买文具用品，停留10分钟后，匀速骑自行车返回家，发现妈妈比他早到家10分钟，如图反映了这个过程中小明离开家的距离y（米）与离开家的时间x（分钟）的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：（1）小明从家到街心公园的速度为（米/分）；（2）小明从街心公园到超市的速度为（米/分）；（3）小明从超市骑车返回家时，求他离开家的距离y（米）与离开家的时间x（分钟）的函数解析式，并写出x 的取值范围．39．（2023•崇明区二模）在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x（瓶）之间的函数关系如图所示．（1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量．40．（2023•静安区二模）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，4）．（1）求k的值；（2）完成下面的解答过程．解不等式组，解：解不等式①，得；在方格中画出反比例函数的大致图象，根据图象写出不等式②的解集是；把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；从图中可以找出这两个不等式解集的公共部分，得到原不等式组的解集是．41．（2023•普陀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数的图象交于点A，点A的纵坐标为4．（1）求反比例函数解析式；（2）点B在反比例函数的图象上，且在点A右侧，过点B作BC∥y轴交正比例函数的图象于点C，如果△OBC的面积是12，求点B的坐标．42．（2023•杨浦区二模）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，m），B（n，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）过点A作直线AC，交y轴于点D，交第三象限内的反比例函数图象于点C，连接BC，如果CD＝2AD，求线段BC的长．。

2024年上海市虹口区中考二模数学试题(解析版)

虹口区2023学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学练习卷（满分150分，考试时间100分钟）注意：1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）［下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．］1. 下列各数中，无理数是（）A. B. 3.14159 C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是对无理数定义的应用，熟练掌握理解无理数的定义是解此题的关键．根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．【详解】解：A、是分数，不是无理数，故本选项错误；B 、3.14159是小数，不是无理数，故本选项错误；C 是无理数，故本选项正确；D 、是循环小数，不是无理数，故本选项错误；故选C ．2. 关于一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程判别式与根情况的关系，列代数式求解即可．【详解】解：一元二次方程无实数根，的211 1.22111.2x 220x x m -+=m 1m <1m £m 1≥1m >220x x m -+=则判别式解得，故选：D ．【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根情况的关系，解题的关键是掌握相关基础知识，一元二次方程的判别式，当时有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根，当时，无实数根．3. 已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答．【详解】解：二次函数，，函数图象开口向下，对称轴为，时，函数值随自变量的增大而减小，故选：A ．4. 下列事件中，必然事件是（）A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上C. 在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球D. 在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于【答案】D【解析】【分析】本题考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．的()224240b ac m ∆=-=--<1m >()200ax bx c a ++=≠24b ac ∆=-0∆>Δ0=Δ0<()24y x =--y x x 4x ≥4x ≤4x ≥-4x ≤-()24y x =--()24y x =--4x =y x 4x ≥()24y x =--10-< ∴()24y x =--4x =∴4x ≥y x 180︒【详解】解：A 、随机购买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；B 、抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝下，是随机事件；C 、在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球，是不可能事件；D 、在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于，是必然事件；故选D ．5. 如图，在正方形中，点、分别在边和上，，，如果，那么的面积为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，则，最后根据三角形面积计算公式求解即可．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，故选：B ．6. 在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个．180︒ABCD E F BC AD 2BE =6AF =AE CF ABE 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=ABCD 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，AE CF AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=1128822ABE S AB BE =⋅=⨯⨯=△ABCD Y 5BC =20ABCD S = C BC C C AD【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d 、r 法则，熟练掌握法则是解题的关键．根据面积公式计算点C 到的距离d ，比较d 与半径的大小判断即可．【详解】解：如图，∵在平行四边形中，，，设点C 到的距离为d ，∴点C 到的距离，∴直线与圆C 相交，即有2个交点，故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）［请将结果直接填入答题纸的相应位置］7.=___．【答案】﹣2【解析】【分析】根据立方根的定义，求数a 的立方根，也就是求一个数x ，使得x 3=a ，则x 就是a 的立方根．【详解】∵（－2）3=－8，，故答案为：-28. 分解因式：_______．【答案】【解析】【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：AD BC ABCD 5BC =20ABCD S = AD AD 2054d =÷= 45BC<=AD 2-229a b -=()()33a b a b +-229a b -=()()33a b a b +-故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．9. 解不等式：，的解集为________.【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式；按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解．【详解】解：去括号，移项，合并同类项，化系数为1，故答案为：．10. 函数的定义域是【答案】＞【解析】【分析】定义域是指该函数的自变量的取值范围，根据二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；即可解答.【详解】定义域是指该函数的自变量的取值范围，二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；∴∴故答案为11. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并()()33a b a b +-()5232x x +≤+2x ≤()5232x x +≤+5263+≤+x x5362x x -≤-24x ≤2x ≤2x≤y =10x +>1x >-1x >-()221y x =-+()253y x =--用规律求函数解析式．根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式．【详解】解：抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为，即．故答案为：．12. 在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，那么白球的个数是________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了概率的定义．解题的关键与难点在于理解概率的定义，求出球的总数．随机摸出一个球是红球的概率是，可以得到球的总个数，进而得出白球的个数．【详解】解：设红、白球总共n 个，记摸出一个球是红球为事件A ，，白球有个故答案为：．13. 某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图，那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有________名．【答案】780【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体，根据条形统计图获取信息是解题的关键．根据条形统计图直接得出家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，进而估计该校1200名学生参加家务劳动时间不少于2小时的学生人数即可求解．()221y x =-+()22314y x =--+-()253y x =--()253y x =--0.2520.25n=()20.25P A n==8n ∴=∴826-=6【详解】解：由题意得：被调查的40人中，家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有（名），故答案为：780．14. 一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为________（不写定义域）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查由实际问题列一次函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意先求出蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），即可直接进行求解．【详解】解：由题意可得：蜡烛长30厘米，经过50分钟其长度恰为原长的一半，经过50分钟蜡烛燃烧的长度为15厘米，蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），蜡烛的长为蜡烛燃烧前长度减去燃烧的长度，，故答案为：．15. 如图，正六边形螺帽的边长是，那么这个扳手的开口的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质．由螺帽是正六边形，可得是含角的直角三角形，再根据即可求出和．【详解】解：如图，连接,则，过点作于∴26120078040⨯=y t y t 300.3y t=-15500.3÷=∴∴15500.3÷=300.3y t \=-300.3y t =-4cm a 30︒ACD 30︒4AC =AD AB AB a AB =C CD AB ⊥D螺帽是正六边形，,．故答案为：16. 如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，连接，设，，那么用向量、表示向量________．【答案】【解析】【分析】本题考查了平面向量的问题，熟练掌握三角形法则是解题的关键，根据梯形的中位线定理及向量的三角形法则解答即可．【详解】解：，，，，， 120ACB ∴∠=︒CD AB ⊥AC BC=1120602ACD ∴∠=⨯︒=︒AD BD =4AC = 4AD AC ∴===22a AB AD ∴===⨯=ABCD AD BC ∥2BC AD =E F AB CD AC AB a =AC b = a b EF = 3344a b -+ AB a = AC b =BC BA AC a b \=+=-+ ,2AD BC BC AD = ∥111222AD BC a b \==-+,点、分别是边、的中点，，，，故答案为：．17. 如图，在中，，，．点在边上，，以点为圆心，为半径作．点在边上，以点为圆心，为半径作．如果和外切，那么的长为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查的是圆和圆的位置关系、解直角三角形的知识，作于点H ，连接，先求出，设，在中，根据勾股定理列方程即可解决．【详解】解：作于点H ，连接，，，，在中，，11112222DC DA AC AD AC a b b a b \=+=-+=-+=+ E F AB CD 111222EA BA AB a \==-=- 111244DF DC a b \==+ 11111332224444EF EA AD DF a a b a b a b æöæöç÷ç÷\=++=-+-+++=-+ç÷ç÷èøèø3344a b -+ ABCD Y 7AB =8BC =4sin 5B =P AB 2AP =P AP P Q BC Q CQ Q P Q CQ 37149214PH BC ⊥PQ 43PH BH ==，CQ a =Rt QPH △PH BC ⊥PQ 7AB = 2AP =725BP \=-=Rt BPH 4sin 5B =，，设，和外切，半径为2，，在中，，，解得：，故答案为：．18. 如图，在扇形中，，，点在半径上，将沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点A 的对称点），那么的长为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查翻折性质，圆的基本性质，等边三角形判定与性质、勾股定理的应用，连接，由翻折得，证出是等边三角形，设，在中，根据勾股定理列方程并解出进而求出结论．【详解】解：连接，455PH \=43PH BH \==，CQ a =P Qe Q P 2PQ a \=+Rt QPH △4,835PH HQ a a ==--=-()()222452a a ∴+-=+3714a =3714AOB 105AOB ∠=︒8OA =C OA BOC BC O D AB AD CD 1A D 1A 1OA 8-8-+OD 1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，OBD AC a =Rt COD AC OD由翻折得：，，，是等边三角形，，，设，则，在中，，，解得：（舍去），，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：，其中．【答案】【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注意化简过程中能因式分解要先因式分解．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即可．【详解】解：1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，OC CD =OB OD = OBD ∴△60OBD ∴∠=︒3601051056090OCD \Ð=°-°-°-°=°AC a =1882OC a CD A O a =-==-，Rt COD 8OC CD a ==-()()222888a a ∴-+-=12888a a =-=+>(128288OA OA AC ∴=-=--=8-22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭m 1m m -22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭()()2134333m m m m m m -+⎛⎫=÷- ⎪+++⎝⎭；当．20. 解方程组：【答案】【解析】【分析】将第二个方程进行因式分解得到，然后令因式和因式分别为0即可求解.【详解】解：由题意可知：对方程②进行因式分解得：即或∴原方程组化为或解得或故原方程组的解为：或.【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组，熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题的关键.21. 如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点和点，与轴交于点．点在反比例函数图像上，过点作轴的垂线交一次函数图像于点．()()21133m m m m m --=÷++()()21331m m m m m -+=⨯+-1m m-=m =1m m -222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩121242,22x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩()(2)0+-=x y x y 2x y -x y +222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩①②()(2)0+-=x y x y 20x y -=0x y +=2620x y x y -=⎧⎨-=⎩260x y x y -=⎧⎨+=⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩(),2A m ()2,4B -y C ()1,D n -D x E（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求面积．【答案】（1）反比例函数为，一次函数解析式（2）【解析】【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式，三角形面积．（）利用待定系数法求解即可；（）先分别求出、、的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可．【小问1详解】解：设反比例函数为，把点代入得，，∴反比例函数为，把点，点代入，得，，∴，，∴点，点，设一次函数解析式，的CDE 8y x=-2y x =--9212C D E k y x=()2,4B -k y x=428k =-⨯=-8y x=-(),2A m ()1,D n -8y x =-82m =-881n =-=-4m =-8n =()4,2A -()1,8D -y cx d =+把点，点代入得，解得，∴一次函数解析式；【小问2详解】∵一次函数解析式，∴把点代入，得，∴，∴点，∵轴，∴点横坐标为，把代入得，∴∴，∴22. 根据以下素材，完成探索任务．探究斜坡上两车之间距离素材1图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米．素如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为的()4,2A -()2,4B -4224c d c d-=+⎧⎨=-+⎩12c d =-⎧⎨=-⎩2y x =--2y x =--()0,2C -,()1,D n -8y x =-881n =-=-8n =()1,8D -DE x ⊥E 1-1x =-2y x =--121y =-=-()1,1E --,189DE =+=119191222CDE S DE =⋅=⨯⨯= .BM AN AB BM AN ∥BM BH AB ECKG CK EC 3.5材2米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米．任务一如图①，求斜坡的坡比．问题解决任务二如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离．【答案】任务一：斜坡的坡比；任务二：米【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质，任务一：根据勾股定理求出第三边进而求出坡度；任务二：作交延长线于点O ，作于点Q ，交于点R ，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明，根据性质求出结论即可．【详解】解：任务一：如图①，由题意得：在中，25米，斜坡长为65米，（米），斜坡的坡比；任务二：如图③，作交延长线于点O ，作于点Q ，交于点R ，为ECKG K B B P BP 6.5BP BM ⊥FD AB P E F EC CD AB 1:2.4i =12.5PO DB ⊥DB FQ PO ^CE FER FPQ ∽Rt ABH △BH AB 60AH \=∴AB 251:2.460BH i AH ===PO DB ⊥DB FQ PO ^CE则四边形为矩形，四边形为矩形，米，米，，为米，，解得：米，米，米，米，，，，，，解得：，经检验，是原方程的解，米．23. 如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，连接．CRQO FDCR,1RQ CO FR DC FD CR OQ\=====，3.51 2.5ER\=-=,90ABH PBO O HÐ=ÐÐ=Ð=°BP 6.525cos cos6.565BOPBO ABH\Ð==Ð=2.5BO=6PO\==615PQ∴=-=10 2.512.5RQ CO==+=,EC AB PQ AB^^ER PQ\∥FER FPQ\∽ER FRPQ FQ\=2.5512.5FRFR\=+12.5FR=12.5FR=12.5CD FR\==Rt ABC△90C∠=︒CB D DB CB=A DAE BC∥DE BA∥AE DE E BE（1）求证：；（2）连接交于点，连接交于点．如果，求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法．（1）先证四边形是平行四边形，得出从而证出四边形是矩形，即可证明结论；（2）设，算出，证明，求出，进而证出结论；【小问1详解】证明：，，四边形是平行四边形，，，，又，点D 在的延长线上，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，；【小问2详解】解：如图，BE CD ⊥AD BE F CE AD G FBA ADB ∠=∠AG AB =AEDB AE CB =AEBC EF BF a ==AE =AEG DCG V ∽△AGAB = AE BD DE BA ∥∴AEDB ∴AE BD = BD CB =∴AE CB = AE BD CB ∴AE CB ∥∴AEBC 90C ∠=︒∴AEBC ∴BE CD ⊥四边形是平行四边形，，设，，，，，，，，，，，在中，，，，在中，，AEDB ,EF BF AF DF \==EF BF a ==FBA ADB Ð=Ð tan tan FBA ADB \Ð=ÐAE BF BE BD\=AE BD = 222AE a \=AE ∴=BD BC AE \==AE CD AEG DCG \ ∽12AE AG CD DG \==Rt DBF △DF ==AD \=AG \=Rt ABC △AB ==．24. 新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．（1）如果点的坐标为，求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；（3）已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，（1）将点代入表达式，求出m 的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；AG AB \=AG AB \=2y ax bx c =++0abc ≠2y cx ax b =++2y ax bx c =++2231y x x =++223y x x =++1C ()2445y mx m x m =+-+2C 1C 2C y E F E F 2C P E ()0,12C 2C 38y x =+Q PQEF E ()4,M n -2C N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭PMN PEF △∽△m 241y x x =+-20,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭1m =-1732()0,1E（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E 、F 坐标，并求出P 、Q 坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m 值，进而解决问题；（3）先求，结合求出的点P 、E 、F 坐标得出及，根据相似三角形性质得出关于m 的方程，解方程即可解决．【小问1详解】解：抛物线：与轴交于点坐标为，当，代入，得，，抛物线表达式为，抛物线的“轮换抛物线”为表达式为；【小问2详解】解：抛物线：，当时，，即与y 轴交点为，抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线表达式为，同理抛物线与y 轴交点为，抛物线对称轴为直线，当时，，抛物线的顶点坐标为，当时，，抛物线的对称轴与直线交点，点在点的上方，，解得：，2C PQ EF =()4,45M m --2PN 2PF 1C ()2445y mx m x m =+-+y E ()0,10x =1y =1m =451m \-=-∴1C 241y x x =-+∴1C 2C 241y x x =+-1C ()2445y mx m x m =+-+0x =y m =()0,E m 1C ()2445y mx m x m =+-+2C ∴2C ()2445y mx mx m =++-2C ()0,45F m -2C 422m x m=-=-2x =-5y =-∴2C ()25P --，2x =-382y x =+=∴2C 38y x =+()2,2Q - E F 45m m \>-53m <，四边形为平行四边形，，即，解得：，；【小问3详解】解：点在抛物线上，当时，，即，点坐标为，，，，，，，，，，解得：．25. 在梯形中，，点在射线上，点在射线上，连接、相交于点，．()4553EF m m m \=--=- PQEF PQ EF \=()2553m --=-23m =-20,3E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ ()4,M n -2C 4x =-()244545y mx mx m m =++-=-()4,45M m -- N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭()25P --，()0,E m ()0,45F m -()222125225724PN æöç÷\=-++-+=ç÷èø()()22222455416PF m m =-+-+=+()115325322PEF P S EF x m m =×=-´=- ()111557242222PMN M P S PN x x æöç÷=×-=´-+´-+=ç÷èø PMN PEF ∽222PEF PMN S PF PF S PN PN æöç÷\==ç÷èø 25341652524m m -+\=12171,32m m =-=ABCD AD BC ∥E DA F AB CE DF P EPF ABC ∠=∠（1）如图①，如果，点、分别在边、上．求证：；（2）如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆，半圆与的另一个交点为点．设与弧的交点为．①当时，求和的长；②当点为弧的中点时，求的长．【答案】（1）见解析（2）①；；②【解析】【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得，，，根据三角形的外角性质得出，进而可得，即可证明，根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①同（1）证明，如图所示，过点作于点，连接，得出，，解直角三角形，分别求得，，进而根据相似三角形的性质求得的长；②根据题意画出图形，根据垂径定理得出，根据题意可设，，则，得出，设，则，则，在中，得出，根据得出，即可求解．【小问1详解】证明：∵梯形中，，，∴，，，又∵，∴AB CD =E F ADAB AF DF DE CE =AD CD ⊥5AB =10BC =3cos 5ABC ∠=DA DE O O CE G DF EG Q 6DE =EG AF Q EG AF EG =215AF =15B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠ADF DCE ∠=∠ADF DCE ∽ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG cos DEC ∠=sin DEC ∠=EG EP AF OQ EQ ⊥EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒43tan tan 34αβ==12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 16DR a =1697AD DR AR a a a =-=-=1a =ABCD AD BC ∥AB CD =B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠EPF ABC∠=∠ADF DCE∠=∠∴，∴；【小问2详解】解：∵，∵，则∴∴∵∴又∵∴，如图所示，过点作于点，连接，∵，∴，则，，∵∴∵∴又∵∴，在中，∴∴，ADF DCE ∽AF DF DE CE=EPF ABC ∠=∠DPC EPF∠=∠180FPC DPC ∠+∠=︒180FPC B ∠+∠=︒180ECB PFB ∠+∠=︒ECB AFD∠=∠AD BC∥ECB DEC∠=∠EDP FDA∠=∠ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG 5AB =3cos 5ABC ∠=3BM =4AM =4sin 5AM ABC AB ∠==,AD BC AD CD⊥∥4CD AM==10BC =1037AD MC BC BM ==-=-=6DE =1AE=Rt EDC 6,4ED CD ==EC ===cos DE DEC EC ∠===sin DC DEC EC ∠===∵为直径∴∴，∴，∵∴∴②过点作于点，∵∴∵∴设，，则ED 90DGE ∠=︒cos 6EG ED DEC =⨯∠==sin 6DG ED DEC =∠==sin sin DG DG PD DPG ABC ====∠∠3cos 5PG PD DPG =∠==EP EG PG =-=ADF PDE∽AF AD PE PD=215D A PE AF PD ⋅===F FR AD ⊥R EQGQ =OQ EQ⊥OQ OD=ODQ OQD∠=∠EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒∵，则设，则∴∵∴设，则，∴，在中，∴又∵∴∴【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰梯形的性质，相似三角形的性质与判定，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．3cos os cos 5DPG EPF ABC ∠=∠=∠=35PG PD =3,5PG k PD k ==4GD k =43tan tan 34αβ==AD BC∥RAF α∠=12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 3tan 4RF DR β==16DR a=1697AD DR AR a a a =-=-=7=1a =15AF =。

上海市中考数学二模24题：二次函数存在性问题：等腰三角形平行

上海市中考数学二模24题：二次函数存在性问题：等腰三角形平行上海市中考数学二模24题：二次函数存在性问题：等腰三角形、平行二次函数存在的几何问题（等腰三角形、平行四边形、梯形）1.（2021崇明二模）如图，抛物线y??直线与抛物线交于另一点b（3，52x？bx？C和Y轴与点a（0,1）相交，点a的45），点B为BC⊥ X轴，垂直脚为C.2（1）；（2）点p是x轴正半轴上的一动点，过点p作pn⊥x轴，交直线ab于点m，交抛物线于点n，设op的长度为m．① 当点P位于线段OC上（与点o和C不重合）时，线段PM的长度用包含M的代数公式表示；② 连接cm和BN。

当m是什么值时，四边形bcmn是平行四边形？2.（2021奉贤二模）如图，已知二次函数y??x?2mx的图像经过点b（1,2），与x轴的另一个交点为a，点b关于抛物线对称轴的对称点为c，过点b作直线bm⊥x轴垂足为点m．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线bm上有点p（1，解释原因；（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点e，使得以a、c、p、e为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点e的坐标；若不存在，请说明理由。

23）连接CP和Ca，判断直线CP和直线Ca的位置关系，23.（2021浦东二模）已知：如图，点a（2，0），点b在y轴正半轴1oa。

围绕点a顺时针旋转点B 90°？到点C。

旋转25前后的点B和点C都在抛物线y中？？x2？bx？加油6（1）求点b、c的坐标；关于，还有ob？（2）找到抛物线的表达式；（3）联结ac，该抛物线上是否存在异于点b的点d，使点d与ac构成以ac为直角边的等腰直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的d点坐标，如果不存在，请说明理由．二4.（2021松江二模）已知抛物线y=-x+bx+c经过点a（0，1），b（4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠abo的值；（3）过点b作bc⊥x轴，垂足为c，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段ab于点n，交抛物线于点m，若四边形mncb为平行四边形，求点m的坐标．5.（静安区2022年）如图所示，a点（2,6）和B点（B点位于a点的右侧）位于反比例函数图像上，C点位于y轴，BC‖x轴，Tan∠ ACB=2，二次函数的图像经过a、B和C 三个点。

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上海市各区中考数学二模试卷精选汇编二次函数专题宝山区、嘉定区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知平面直角坐标系xOy （如图7），直线m x y +=的经过点)0,4(-A 和点)3,(n B . （1）求m 、n 的值；（2）如果抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ，该抛物线的顶点为点P ，求ABP ∠sin 的值；（3）设点Q 在直线m x y +=上，且在第一象限内，直线m x y +=与y 轴的交点为点D ，如果DOB AQO ∠=∠，求点Q 的坐标.24.解：（1） ∵直线m x y +=的经过点)0,4(-A∴04=+-m ……………………1分∴4=m ………………………………1分∵直线m x y +=的经过点)3,(n B ∴34=+n ……………………1分∴1-=n …………………………………………1分（2）由可知点B 的坐标为)3,1(-∵抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B∴⎩⎨⎧=+-=+-310416c b c b∴6=b ， 8=c∴抛物线c bx x y ++=2的表达式为862++=x x y …………………1分∴抛物线862++=x x y 的顶点坐标为)1,3(--P ……………1分∴23=AB ,2=AP ,52=PB∴222PB BP AB =+∴︒=∠90PAB ……………………………………1分图7∴PB AP ABP =∠sin ∴1010sin =∠ABP …………………………………………1分（3）过点Q 作x QH ⊥轴，垂足为点H ，则QH ∥y 轴 ∵DOB AQO ∠=∠,QBO OBD ∠=∠∴△OBD ∽△QBO ∴OBDBQB OB =……………1分 ∵直线4+=x y 与y 轴的交点为点D ∴点D 的坐标为)4,0(,4=OD又10=OB ，2=DB∴25=QB ，24=DQ ……………1分∵23=AB∴28=AQ ,24=DQ ∵QH ∥y 轴 ∴AQADQH OD = ∴28244=QH ∴8=QH ……………………………………1分即点Q 的纵坐标是8又点Q 在直线4+=x y 上点Q 的坐标为)8,4(……………1分长宁区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1）点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4）（ 2分）（2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分） ∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分）（3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分）若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，且△ABC 为锐角三角形则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ）过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分）②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分）综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 崇明区24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分）已知抛物线经过点(0,3)A 、(4,1)B 、(3,0)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC 、BC 、AB ，求BAC ∠的正切值；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作PG AP ⊥交y 轴于点G ，当点G在点A 的上方，且APG △与ABC △相似时，求点P 的坐标．24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）设所求二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，………………………1分将A （0,3）、B （4，）、C （3,0）代入，得 1641,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得12523a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩………2分所以，这个二次函数的解析式为215322y x x =-+ ……………………………1分（2）∵A （0,3）、B （4，）、C （3,0）∴AC =BC =AB =∴222AC BC AB +=∴90ACB =︒∠ ………………………………………………………2分∴13BC tan BAC AC ===∠ ……………………………………………2分（3）过点P 作PH y ⊥轴，垂足为H设P 215(,3)22x x x -+，则H 215(0,3)22x x -+ ∵A （0,3） ∴21522AH x x =-，PH x = ∵90ACB APG ==︒∠∠∴当△APG 与△ABC 相似时，存在以下两种可能： 1° PAG CAB =∠∠ 则13tan PAG tan CAB ==∠∠ 即13PH AH = ∴2115322x x x =- 解得11x = ………………………1分 ∴点P 的坐标为(11,36) ……………………………………………………1分 2° PAG ABC =∠∠ 则3tan PAG tan ABC ==∠∠ 即3PH AH = ∴231522x x x =- 解得173x = …………………………1分 ∴点P 的坐标为1744(,)39……………………………………………………1分奉贤区 24．（本题满分12分，每小题满分各4分）已知平面直角坐标系xOy （如图8），抛物线)0(3222>++-=m m mx x y 与x 轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线，过点C作直线的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．（1）当点C（0，3）时，①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；②求证：∠DCE=∠BCE；（2）当CB平分∠DCO时，求m的值．黄浦区24．（本题满分12分）已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （0,3），其顶点为D . （1）求此抛物线的表达式；（2）求△ABD 的面积；（3）设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH ⊥对称轴，垂足为H ，若△DPH 与△AOB 相似，求点P 的坐标.24. 解：（1）由题意得：013b c c =++⎧⎨=⎩，———————————————————（2分）解得：43b c =-⎧⎨=⎩，—————————————————————————（1分）所以抛物线的表达式为243y x x =-+. ——————————————（1分）（2）由（1）得D （2，﹣1），———————————————————（1分）作DT ⊥y 轴于点T , 则△ABD 的面积=()11124131211222⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=.————————（3分）（3）令P ()()2,432p p p p -+>.————————————————（1分）由△DPH 与△AOB 相似，易知∠AOB =∠PHD =90°，所以243132p p p -++=-或2431123p p p -++=-，————————————（2分）解得：5p =或73p =，所以点P 的坐标为（5,8），78,39⎛⎫-⎪⎝⎭.————————————————（1分）金山区 24．（本题满分12分，每小题4分）平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （3,0），与y 轴相交于点C ，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA =EC ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，∠MEQ =∠NEB ，求点Q 的坐标．24．解：（1）∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （1，0）和B （3，0），图8∴10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得：4b =-，3c =．……………………………（2分）∴这条抛物线的表达式是243y x x =-+…………………………………（1分）顶点P 的坐标是（2，-1）．………………………………………………（1分）（2）抛物线243y x x =-+的对称轴是直线2x =，设点E 的坐标是（2，m ）．…（1分）根据题意得：=解得：m=2，…（2分） ∴点E 的坐标为（2，2）．…………………………………………………（1分）（3）解法一：设点Q 的坐标为2(,43)t t t -+，记MN 与x 轴相交于点F ．作QD ⊥MN ，垂足为D ，则2DQ t =-，2243241DE t t t t =-+-=-+………………………（1分） ∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF ，∴△QDE ∽△BFE ，…………………（1分）∴DQ DEBF EF=，∴224112t t t --+=，解得11t =（不合题意，舍去），25t =．……………………………（1分） ∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）解法二：记MN 与x 轴相交于点F ．联结AE ，延长AE 交抛物线于点Q ，∵AE=BE ， EF ⊥AB ，∴∠AEF=∠NEB ，又∵∠AEF=∠MEQ ，∴∠QEM=∠NEB ，………………………………（1分）点Q 是所求的点，设点Q 的坐标为2(,43)t t t -+，作QH ⊥x 轴，垂足为H ，则QH =243t t -+，OH =t ，AH =t -1， ∵EF ⊥x 轴，∴EF ∥QH ，∴EF AFQH AH=，∴221431t t t =-+-，………（1分）解得11t =（不合题意，舍去），25t =．……………………………………（1分） ∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）静安区24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点B （8,0）和点C （9，3-）．抛物线c ax ax y +-=82（a ，c 是常数，a ≠0）经过点B 、C ，且与x 轴的另一交点为A ．对称轴上有一点M ，满足MA =MC ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求四边形ABCM 的面积；（3）如果坐标系内有一点D ，满足四边形ABCD 是等腰梯形，且AD //BC ，求点D 的坐标．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）解：（1）由题意得：抛物线对称轴aax 28-=，即4=x ． …………（1分）点B （8,0）关于对称轴的对称点为点A （0,0）∴0=c ， …………（1分）将C （9，-3）代入ax ax y 82-=，得31-=a …………………………（1分）∴抛物线的表达式：x x y 38312+-=…………………………（1分）（2）∵点M 在对称轴上，∴可设M （4，y ）又∵MA =MC ，即22MCMA =∴2222)3(54++=+y y , 解得y =-3, ∴M （4，-3） …………………（2分） ∵MC //AB 且MC ≠AB , ∴四边形ABCM 为梯形，,AB =8,MC =5,AB 边上的高h = y M = 3 ∴2393)58(21)(21=⨯+⨯=⨯+=MH MC AB S(3) 将点B （8,0）和点C （9，﹣3）代入b kx y BC += 可得⎩⎨⎧-=+=+3908b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=243b k 由题意得，∵AD //BC , 3-=BC k ∴3-=AD k ，x y AD 3-=又∵AD 过（0,0），DC =AB =8，设D (x ,-3x ) 2228)33()9(=+-+-x x , …………………………（1分）解得11=x (不合题意，舍去)， 5132=x …………………………（1分）∴5393-=-=x y ∴点D 的坐标)539,513(-．……………………（1分）闵行区 24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB ；（3）点Q 在抛物线上，且△ADQ 是以AD 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标．24．解：（1）把B （1，0）和C （0，3）代入22y ax x c =-+中，得9603a c c ++=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩．……………………………………（2分） ∴抛物线的解析式是：223y x x =--+．……………………………（1分） ∴顶点坐标D （－1，4）．……………………………………………（1分）（2）令0y =，则2230x x --+=，13x =-，21x =，∴A （－3，0）∴3OA OC ==，∴∠CAO =∠OCA ．…………………………………（1分）在Rt BOC ∆中，1tan 3OB OCB OC ∠==．………………………………（1分）∵AC =DC =AD =， ∴2220AC DC +=，220AD =；∴222AC DC AD +=，ACD ∆是直角三角形且90ACD ∠=，∴1tan 3DC DAC AC ∠==，又∵∠DAC 和∠OCB 都是锐角，∴∠DAC =∠OCB ．…………………（1分） ∴DAC CAO BCO OCA ∠+∠=∠+∠，即DAB ACB ∠=∠．……………………………………………………（1分）（3）令(Q x ，)y 且满足223y x x =--+，(3A -,0)，(1D -，4）∵ADQ ∆是以AD 为底的等腰三角形，（第24题图）∴22QD QA =，即2222(3)(1)(4)x y x y ++=++-，化简得：220x y -+=．………………………………………………（1分）由222023x y y x x -+=⎧⎨=--+⎩，……………………………………………………（1分）解得113411141x y ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，223411141x y ⎧--=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．∴点Q 的坐标是3411141,⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭，3411141,⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭．…（2分）普陀区24．（本题满分12分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，并与抛物线21742y x bx =-++的对称轴交于点()2,2C ，抛物线的顶点是点D ．（1）求k 和b 的值；（2）点G 是y 轴上一点，且以点B 、C 、G 为顶点的三角形与△BCD 相似，求点G 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E ：它关于直线AB 的对称点F 恰好在y 轴上．如果存在，直接写出点E 的坐标，如果不存在，试说明理由．24．解：（1）由直线3y kx =+经过点()2,2C ，可得12k =-. ··········· （1分）由抛物线21742y x bx =-++的对称轴是直线2x =，可得1b =. ····· （1分）（2） ∵直线132y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，图10xy 11 O∴点A 的坐标是()6,0，点B 的坐标是()0,3. ············ （2分）∵抛物线的顶点是点D ，∴点D 的坐标是92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ·········· （1分） ∵点G 是y 轴上一点，∴设点G 的坐标是()0,m . ∵△BCG 与△BCD 相似，又由题意知，GBC BCD ∠=∠，∴△BCG 与△BCD 相似有两种可能情况： ·············· （1分） ①如果BG BC CB CD ＝2，解得1m ＝，∴点G 的坐标是()0,1. （1分） ②如果BG BC CD CB ＝，那么352m -，解得12m ＝，∴点G 的坐标是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1分）综上所述，符合要求的点G 有两个，其坐标分别是()0,1和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）点E 的坐标是91,4⎛⎫- ⎪⎝⎭或92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ················· （2分+2分）青浦区24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分）已知：如图8，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的图像与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，顶点C 在直线2x =上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E 处．（1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC 所扫过的面积；（3）已知点F 在x 轴上，点G 在坐标平面内，且以点C 、E 、F 、G 为顶点的四边形是矩形，求点F 的坐标．．24．解：（1）∵顶点C 在直线2x =上，∴22=-=bx a，∴4=-b a ．····· （1分）将A （3，0）代入23y ax bx =++，得933=0++a b ， ······ （1分）解得1=a ，4=-b ． ···················· （1分） ∴抛物线的解析式为243=-+y x x ． ············· （1分）（2）过点C 作CM ⊥x 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．∵243=-+y x x =()221=--x ，∴C （2，1-）． ········ （1分）∵1==CM MA ，∴∠MAC =45°，∴∠ODA =45°，∴3==OD OA ． ······················ （1分） ∵抛物线243=-+y x x 与y 轴交于点B ，∴B （0，3），∴6=BD ． ······················· （1分） ∵抛物线在平移的过程中，线段BC 所扫过的面积为平行四边形BCDE 的面积， ∴12262122==⨯⨯⋅=⨯=BCDEBCDSSBD CN ． ······· （1分）（3）联结CE .∵四边形BCDE 是平行四边形，∴点O 是对角线CE 与BD 的交点，即 OE OC ==（i ）当CE 为矩形的一边时，过点C 作1CF CE ⊥，交x 轴于点1F ，设点1F a （,0），在1Rt OCF 中，22211=OF OC CF +，即 22(2)5a a =-+，解得 52a =，∴点152F （,0） ·········· （1分）同理，得点252F （-,0） ······················ （1分）（ii ）当CE 为矩形的对角线时，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧分别交x 轴于点3F 、4F ，可得 34=OF OF OC ==3F ）、4F （）· （2分）综上所述：满足条件的点有152F （,0），252F （-,0），3F ）），4F （）．松江区24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，已知抛物线y=ax 2+bx 的顶点为C （1，1-），P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线对称轴于点B ，直线CP 交x 轴于点A ．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，试用m 的代数式表示线段BC 的长；（3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点P 坐标．24．（本题满分12分，每小题各4分）解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx 的顶点为C （1，1-）∴ 112a b b a+=-⎧⎪⎨-=⎪⎩ …………………………………2分解得：12a b =⎧⎨=-⎩…………………………………1分∴抛物线的表达式为：y=x 2-2x ；…………………………1分（2）∵点P 的横坐标为m ，∴P 的纵坐标为：m 2-2m ……………………………1分令BC 与x 轴交点为M ，过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为点N ∵P 是抛物线上位于第一象限内的一点， ∴PN = m 2-2m ，ON =m ，O M =1由PN BMON OM=得221m m BM m -=………………………1分 ∴ BM =m -2…………………………………………………1分 ∵ 点C 的坐标为（1，1-），∴ BC= m -2+1=m -1………………………………………1分（3）令P (t ，t 2-2t ) ………………………………………………1分 △ABP 的面积等于△ABC 的面积 ∴AC =AP过点P 作PQ ⊥BC 交BC 于点Q ∴CM =MQ =1∴t 2-2t =1 …………………………………………………1分(第24题图)∴12t =+（12t =-舍去）………………………………1分 ∴ P 的坐标为（12,1+）……………………………………1分徐汇区24. 如图，已知直线122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，抛物线212y x bx c =-++ 过点B 、C ，且与x 轴交于另一个点A .（1）求该抛物线的表达式；（2）点M 是线段BC 上一点，过点M 作直线l ∥y 轴交该抛物线于点N ，当四边形OMNC 是平行四边形时，求它的面积；（3）联结AC ，设点D 是该抛物线上的一点，且满足DBA CAO ∠=∠，求点D 的坐标.杨浦区24、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图8，在平面直角坐标系中，抛物线于X轴交于点A、B，于y轴交于点C，直线经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点。