圆有关结论
圆的相关定理
圆幂定理定义圆幂=PO^2-R^2（该结论为欧拉公式）所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）相交弦说明几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的例中项几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）切割线定理定义从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT^2=PB·PA割线定理定义从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
“圆”中的实用结论与公式
“圆”中的实用结论与公式作者：薛飞来源：《初中生世界·九年级》2015年第10期圆是最完美的平面图形，在“对称图形——圆”这一章中我们学习了“等”对“等”定理、垂径定理、圆周角定理，这些定理能够帮助我们解决绝大部分问题，当然这一章中还有一些我们不知道但是非常实用的结论及公式.1. 圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角.如图1，以BC为直径的圆上有一点A（异于B，C两点），那么∠BAC=90°.由此猜想：如果点A在圆内（或圆外），那么∠BAC的大小又会怎样呢？①当点A在圆内时（如图2）：由此我们可以得出如下结论：如果点A（异于B，C两点）在以BC为直径的圆上，则∠BAC=90°；如果点A（不在线段BC上）在以BC为直径的圆内，则∠BAC>90°；如果点A（不在直线BC上）在以BC为直径的圆外，则∠BAC例1 如图4，在平面直角坐标系中，以A（2，0）为圆心，2为半径的圆与x轴交于O，C 两点，过O点的直线l与圆交于B（2，2），问：直线l上能否找到点D（m，m）使得∠ODC为钝角，写出m的取值范围_____________.【解析】根据上述结论，要使得∠ODC为钝角，那么点D必须在圆A内部且在直线l 上，即D点在O点和B点之间（不包括O，B两点）.所以02. 圆中还有一些实用的公式例2 如图5，△ABC的周长为21，面积为42，求它的内切圆的半径.【解析】如图6，连接OA，OB，OC，OE，OF，OG（通过这些辅助线，我们可以把原△ABC的面积分成△ABO，△BOC，△AOC三个三角形面积之和）.设△ABC内切圆半径为r，原△ABC的面积为S，周长为C.答：内切圆半径为4.【点评】其实这种方法也可以推广到任意三角形中，我们可以把它当作求一般三角形内切圆半径的公式，即r=（其中S表示三角形面积，C表示三角形周长，r表示三角形的内切圆半径）.在求直角三角形内切圆半径时我们往往还会利用下面的公式.例3 如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求出Rt△ABC的内切圆半径.【解析】连接OE，OF，OG.【点评】这种求内切圆半径的方法我们可以推广到任意直角三角形.如图8，在Rt△ABC 中，∠C=90°，△ABC的内切圆半径 r=.3. 圆不仅仅是问题的背景，也经常被用来作为解决问题的辅助工具.例4 如图9，四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=AC=AD=5，BC=，求BD的长.【解析】因为题中给出了AB=AC=AD，所以以点A为圆心，AB长为半径构造圆A（如图10），那么圆A一定经过B，C，D三点，延长BA交圆A于点E，连接ED，易得BC=DE.【点评】这道题看似与圆无关，但是恰当地构造圆这个图形加以辅助，就使得这个问题简单化，从而快速地解决问题.例5 如图11，已知△ABC三个顶点都在格点上，求tan∠ACB的值.【解析】如图12在网格中利用三角形外接圆的知识确定△ABC的外接圆圆心O，由圆周角定理可知，弧AB所对的圆周角是圆心角的一半，即∠ACB=∠AOB=∠HOB，所以tan∠ACB=.【点评】网格图中求一个角的三角函数值我们有多种方法，可以构造直角三角形，也可以用面积法解决，这里我们介绍的是利用三角形外接圆的知识来转移要求的∠ACB.“对称图形——圆”是初中数学重要组成部分，也是我们解决一些问题的重要工具.以上我们总结了圆中一些比较实用的结论和三角形内切圆半径的一些公式，同时我们也认识到了对待一些看似与圆无关的题目，有时候构造恰当的圆加以辅助，往往可以使问题简单化，从而更快地解决问题.（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）。
圆的12条常用结论
圆的12条常⽤结论垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
如图，AB 是圆O 的⼀条弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB 于点M ，则AM=BM ，AC=CB ；如果AM=BM ，则CD ⊥AB ，AC=CB。
同⼀条弧所对的圆周⾓等于它所对的圆⼼⾓的⼀半。
如图①②③，下⾯仅证明图③⼀种情况。
已知：如图，∠BAC 是弧BC 所对的圆周⾓，∠BOC 是弧BC 所对的圆⼼⾓求证：∠BAC=1/2∠BOC01垂径定理02圆周⾓与圆⼼⾓关系证明：连接O 、A 与B 、C ，则△OAC 为等腰三⾓形则∠COA=180°-2∠OAC=180°-2（∠BAC+∠BAO ）⼜因为均为等腰三⾓形所以∠BOA+2∠BAO=180°即（∠BOC+∠COA ）+2∠BAO=180°即[∠BOC+180°-2（∠BAC+∠BAO ）]+2∠BAO=180°化简得∠BAC=1/2∠BOC同圆或等圆中，如果两个圆周⾓、两个圆⼼⾓、两条弧、两条弦、两条弦⼼距这五个量中只要有⼀组量相等，那么它们所对的其余各组量也分别相等。
直径（或半圆）所对的圆周⾓是直⾓；90°的圆周⾓所对的弦是直径。
如图，圆O 的两条弦AB 、CD 相交与点E ，则AE·EB=CE·ED圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的⾮圆⼼⼀端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的⼀条切线。
切线与弦所夹的⾓等于它们所夹的弧所对的圆周⾓。
如图，AB 切O 于点A ，AC 是O 的⼀条弦，D 为圆上⼀点，则∠BAC=∠ADC03五等关系04直径（或半圆）所对的圆周⾓是直⾓05相交弦定理06切线垂直于过切点的半径07弦切⾓定理证明：连接OA 、OC ，则OA ⊥AB ，即∠BAC+∠OAC ＝90°⼜因为在等腰△OAC 中，∠OAC=1/2（180°-∠AOC ）=90°-1/2∠AOC所以∠BAC+90°-1/2∠AOC=90°即∠BAC=1/2∠AOC所以∠BAC=∠ADC如图，AB 切O 于点B ，过A 点的割线分别交O 于点C 、D ，则AB²=AC·AD 证明：连接BC 、BD ，由弦切⾓定理可知∠ABC=∠BDA⼜因为 ∠A=∠A所以△ABC ∽△ADB所以AB/AD=AC/AB 即AB²=AC·AD08切割线定理如图，AB 、AC 均是O 的切线，则AB=AC 如图，AB ∥CD ，则AC=BD共斜边的两直⾓三⾓形共圆，如图①②对⾓互补的四边形四个顶点共圆。
专题：圆形相关的二级结论及推导-讲解(最全、最经典)
专题：圆形相关的二级结论及推导-讲解
(最全、最经典)
圆形作为几何学的基础，有很多重要结论和推导。
本文将为您总结和讲解圆形相关的二级结论和推导，以帮助您更好地理解和掌握。
1.圆的基本性质
圆是指平面上所有点到圆心的距离相等的点的集合。
圆的基本性质包括：
- 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，且等于圆的半径的两倍。
- 圆心角是指圆心所在的角，它的度数等于圆弧所对的圆心角的一半。
- 弧长是指圆上的一段弧的长度。
圆弧所对的圆心角越大，对应的弧长也越大。
2.切线与切点
- 切线是指与圆相切的直线。
切点是切线与圆相交的点。
- 在圆上，切线与切点之间满足垂直关系。
即切线与半径的夹
角为直角。
3.正多边形外接圆的性质
- 正 $n$ 边形是指有 $n$ 条边长度相等，内角为 $\frac{(n-
2)×180^\circ}{n}$ 的多边形。
- 正 $n$ 边形外接圆的半径长为 $R =
\frac{a}{2sin\frac{180^\circ}{n}}$，其中$a$ 为正$n$ 边形的边长。
- 正 $n$ 边形外接圆的周长长为$C = 2πR =
a×n×sin\frac{180^\circ}{n}$。
4.圆锥曲线
- 圆锥曲线是指在圆锥上切割的曲线。
圆锥曲线包括四种类型：圆、椭圆、抛物线和双曲线。
- 圆锥曲线的方程可以表示为二次方程
$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$。
这些是关于圆形相关的二级结论和推导的基本内容，希望对您有所帮助。
高中圆二级结论
高中圆二级结论
在高中数学中，关于圆的二级结论有以下几个：
1.圆周角的性质：圆周角是指圆上的两条弧所对的角。
对于
同一个圆上的任意圆周角，它们所对的弧相等。
这个结论被称为圆周角的等量性质。
2.切线与半径的垂直性：从圆的任意一点引一条切线，这条
切线与通过圆心的半径垂直。
这个结论被称为切线与半径的垂直关系。
3.弦心角的性质：弦心角是指以任一弦为一边的角，其顶点
在圆上。
对于同一个圆上的两个弦心角，如果它们所对的弦相等，则这两个角相等。
这个结论被称为弦心角的等量性质。
4.弧长与圆心角的关系：圆心角所对的弧长等于该圆心角的
角度与360度的比值乘以圆的周长。
这个结论被称为圆心角的弧长性质。
这些二级结论是在对圆的基本概念和性质进行研究的基础上得出的，它们在解决与圆相关的几何问题和证明中有着重要的应用。
在高中数学教学中，深入理解和掌握这些结论，能够帮助学生更好地应用和推导圆的性质，解决各种与圆相关的问题。
圆的切线问题二级结论
圆的切线问题二级结论一、圆的切线相关二级结论1. 切线长定理- 结论：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
- 题目解析- 例如：已知圆O，点P是圆O外一点，PA、PB是圆O的两条切线，切点分别为A、B。
- 求证：PA = PB，∠ APO=∠ BPO。
- 证明：连接OA、OB、OP。
因为PA、PB是圆O的切线，所以OA⊥PA，OB⊥ PB（切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径）。
- 在Rt△ PAO和Rt△ PBO中，OA = OB（圆的半径相等），OP = OP （公共边），所以Rt△ PAO≅ Rt△ PBO（HL定理）。
- 则PA = PB，∠ APO=∠ BPO。
2. 弦切角定理- 结论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
- 题目解析- 例如：已知圆O，AB是圆O的弦，CD是圆O的切线，切点为A，∠BAC是弦切角，∠ ADC是圆周角，widehat{AC}是它们所夹的弧。
- 求证：∠ BAC=∠ ADC。
- 证明：连接AO并延长交圆O于点E，连接EC。
- 因为CD是圆O的切线，所以∠ EAC +∠ BAC = 90^∘（切线的性质）。
- 又因为AE是直径，所以∠ ACE = 90^∘，在△ ACE中，∠ EAC+∠ E = 90^∘，所以∠ BAC=∠ E。
- 而∠ E和∠ ADC所对的弧都是widehat{AC}，根据同弧所对的圆周角相等，所以∠ E=∠ ADC，从而∠ BAC=∠ ADC。
3. 切割线定理- 结论：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
- 题目解析- 例如：已知圆O，点P是圆O外一点，PT是圆O的切线，切点为T，PAB是圆O的割线，A、B是割线与圆的交点。
- 求证：PT^2=PA· PB。
- 证明：连接TA、TB。
因为∠ PTA=∠ B（弦切角定理），∠ P=∠ P（公共角），所以△ PTAsim△ PBT（两角对应相等的两个三角形相似）。
高考数学直线与圆常用二级结论
高考数学直线与圆常用二级结论
高考数学中，直线与圆的常用二级结论有以下几个：
1. 直线与圆的位置关系：
a) 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
b) 直线与圆外切：直线与圆相切于圆外切点。
c) 直线与圆内切：直线与圆相切于圆内切点。
2. 直线与圆的切线：
a) 切线的定义：直线与圆相切于圆上的一点，并且与
圆的切点垂直。
b) 切线的性质：切线与半径的夹角为直角。
3. 直线与圆的长度关系：
a) 弦：直线在圆内部的部分称为弦，弦的两个端点在
圆上。
b) 弦长定理：如果两条弦的长度相等，则它们所对应
的弧长也相等。
c) 弦切角定理：直线与圆相交于两个点，这两个点与
圆心连线所夹的角等于直线所对应的弦所对应的圆心角的
一半。
4. 直线与圆的垂直关系：
a) 直径与切线的垂直性：直径与其所对应的切线垂直。
b) 切线与半径的垂直性：切线与其所对应的半径垂直。
这些二级结论在高考数学中经常出现，考生需要熟练掌握，并能够运用到解题中。
圆的结论
1.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
2.垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧3.圆周角定理:定义: 顶点在圆上,且两边与圆还有另一个交点。
圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半.证明略(分类思想,3种,半径相等)弦切角定理:定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。
过点A作TP的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA ∵∠TCB=90-∠OCD ∵∠BOC=180-2∠OCD 更清楚的∴,∠BOC=2∠TCB （弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB ∴∠TCB=∠CAB（弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB 是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：.（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O 于A，∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角（2）圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD 交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴（弦切角定理）四圆定理:垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧几何语言：∵OC⊥AB，OC过圆心（垂径定理）推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧几何语言：∵OC⊥AB，AC＝BC，AB不是直径（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）（2）弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧几何语言：∵AC＝BC，OC过圆心（弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧）（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧几何语言：（平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧）推论2圆的两条平分弦所夹的弧相等几何语言：∵AB‖CD圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。
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1.如图，弧AB 的度数为m ，弧CD 的度数为n ，则
1()2APB m n ∠=- 1()2
APB m n ∠=+ 2.如图，ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，则
2b c a AE AF +-== 2
a b c r +-= 2a c b BD BE +-== 1()2
ABC S a b c r ∆=++⋅12ab = 2a b c CD CF +-== ab r a b c
=++ 1()2
ABC S a b c r ∆=++⋅ （r 为ABC ∆内切圆的半径） 3.如图
AD BC AB CD +=+ PCD ∆的周长=22PA PB = 12
COD AOB ∠=∠ 外切偶数边形相间各边的和相等 0180AOB P ∠+∠=
4.同一圆的内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距分别为3r 、4r 、6r ，边长分别为3a 、
4a 、6a ，则3r ：4r ：6r 1=
3a ：4a ：6a ：1
正n 多边形的面积：12
n S p r =
⋅ （p 是周长，r 是边心距） 5.
0180A C B D ∠+∠=∠+∠=
S 圆环=21()2AB π⋅ 6. 弧长公式： 180
n r l π= 扇形面积公式：2360n r S π=12
l r =⋅ （l 是弧长） 7.圆锥侧面积公式：
S 侧=rl π 0360
r n l =（r 是圆锥底面圆的半径，l 是母线长，n 圆锥侧面展开图的圆心角）
如果圆锥的轴截面是等边三角形，那么圆锥的侧面展开图是半圆
8.三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等
三角形的内心是三个角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等
六．《圆》中常见分类讨论的填空题
1.⊙O 的直径为50cm ，弦AB CD P ,且40AB cm =,48CD cm =，则AB 与CD 间的 距离是
2.圆内接等腰三角形ABC 中，圆心到BC 的距离为3cm ，圆的半径为7cm ，则腰AB 的长为
3.点O 为ABC ∆的外心，若0150BOC ∠=，则BAC ∠=
4.若⊙O 的半径为4，弦AB =AB 所对的圆周角的度数为
5. ⊙O 的半径为1，弦AC ，弦AB =BAC ∠=
6. 已知⊙O 半径为5，⊙O 与⊙P 相切
（1）若6OP =,则⊙P 的半径为
（2）若4OP =,则⊙P 的半径为
7.已知⊙1O 与⊙2O 相交于AB ，⊙1O 的半径为5，⊙2O 的半径为3，4AB =， 则12O O =
8.⊙O 中，AB 、CD 是弦，若AB=2CD,则弧AB 和弧CD 的大小关系是
9.⊙O 中，AB 、CD 是弦，若弧AB 和弧CD,则AB 2CD。