第二章平面向量课时作业人教A版必修四第2章2.4.2课时作业
第一学期高二数学人教A版必修4第二章课时作业与课件(
知识点二
模及长度问题
3．[2013·山东济宁检测]若|a|＝3，|b|＝2，且 a 与 b 的夹角 为 60°，则|a－b|＝ 7.
解析：∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝7， ∴|a－b|＝ 7.
4．已知|p|＝2 2，|q|＝3，p、q 的夹角为π4，则以 a＝5p＋
2q，b＝p－3q 为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为
Hale Waihona Puke 第二章平面向量2.4 平面向量的数量积
第28课时 平面向量数量积的物理背景及其含义
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
课堂对点训练
知识点一
夹角问题
1. 若 |a| ＝ 4 ， |b| ＝ 3 ， a·b ＝ － 6 ， 则 a 与 b 的 夹 角 等 于
()
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
() A．15
B． 15
C．14
D．16
解析：以 a、b 为邻边的平行四边形对角线有两条，分别为 a＋b、a－b ，从而
|a＋b|＝|6p－q|＝ 6p－q2 ＝ 36p2－12p·q＋q2 ＝ 36×2 22＋32－12×2 2×3cos4π＝15. |a－b|＝|4p＋5q|＝ 16p2＋25q2＋40p·q ＝ 16×2 22＋25×32＋40×2 2×3cos4π ＝ 593.故选 A.
∴m＝2194，即 m＝2194时，c 与 d 垂直．
(2)由 c 与 d 共线得，存在实数 λ，使得 c＝λd，∴3a＋5b ＝λ(ma－3b)，即 3a＋5b＝λma－3λb，又∵a 与 b 不共线，
∴λ－m3＝λ＝3，5， 解得mλ＝＝－－5395，， 即当 m＝－95时，c 与 d 共线．
第二章平面向量课时作业人教A版必修四第2章2.3.2、2.3.3课时作业
基础达标1．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是( )．A ．1 B.2 C ．3 D.4解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．答案 C2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12 C ．(－8,1) D.(8,1)解析 AB →＝OB →－OA →＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)，∴12AB →＝12(－8,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12. 答案 A3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )．A ．(－2，－4)B.(－3，－5) C ．(3,5) D.(2,4)解析 ∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．答案 B4．a ＝(4,6)，且a ＝2b ，那么b 的坐标是________．解析 ∵a ＝2b ，∴b ＝12a ＝12(4,6)＝(2,3)．答案 (2,3)5．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点的坐标为________．解析 设P (x ，y )，则由MP →＝12MN →得，(x －3，y ＋2)＝12(－8，1)，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 6．已知AB →＝(x ，y )，B 的坐标是(－2,1)，那么OA →的坐标为________．解析 ∵B 的坐标是(－2,1)，∴OB →＝(－2,1)，∴OA →＝O B →＋BA →＝(－2,1)＋(－x ，－y )＝(－2－x,1－y )．答案 (－2－x,1－y )7．如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，O 为对角线AC ，BD 的交点，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)．求OB →的坐标．解 DB →＝AB →－AD →＝(－2,1)－(3,7)＝(－5，－6)，∴OB →＝12DB →＝12(－5，－6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－3. 能力提升8．已知向量集M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N 等于( )．A ．{(1,1)}B.{(1,1)，(－2，－2)} C ．{(－2，－2)} D.∅解析 设a ＝(x ，y )，对于M ，(x ，y )＝(1,2)＋λ(3,4)，(x －1，y －2)＝λ(3,4)，⎩⎨⎧ x －1＝3λ，y －2＝4λ，∴x －13＝y －24.对于N ，(x ，y )＝(－2，－2)＋λ(4,5)，(x ＋2，y ＋2)＝λ(4,5)，⎩⎨⎧ x ＋2＝4λ，y ＋2＝5λ，∴x ＋24＝y ＋25，解得x ＝－2，y ＝－2. 答案 C9．(2012·洛阳高一检测)设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝________.解析 设q ＝(x ，y )，则由题意可知 ⎩⎨⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝1，所以q ＝(－2,1)． 答案 (－2,1)10．已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示．(1)证明：对任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立；(2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )及f (b )的坐标；(3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 是常数)的向量c 的坐标．(1)证明 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2,2a 2－a 1)＋n (b 2,2b 2－b 1)，＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)．∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立．(2)解 f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)解 设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )，∴y ＝p,2y －x ＝q ，∴x ＝2p －q ，即向量c ＝(2p －q ，p ).。
第一学期高二数学人教A版必修4第二章课时作业与课件(
两式相加得 5a＝(－8,6)＋(3,4)＝(－5,10)． ∴a＝(－1,2)． 将 a＝(－1,2)代入 2a＋b＝(－4,3)， 得 b＝(－2，－1)． ∴a·b＝(－1,2)·(－2，－1)＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0. ∴a 与 b 的夹角是 90°.
4．若平面向量 b 与向量 a＝(1，－2)的夹角是 180°，且|b|
＝3 5，则 b＝( )
A．(－3,6)
B．(3，－6)
C．(6，－3)
D．(－6,3)
解析：由题意，向量a、b共线反向，故排除B、C、 D，选A.
答案：A
知识点三
求平面向量的夹角
5.已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，求a·b的值及a 与b的夹角．
第二章
平面向量
2.4 平面向量的数量积
第29课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
课堂对点训练
知识点一
平面向量数量积的坐标表示
1.[2013·浙江临海期末]若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)， a·b＝0，则实数m的值为___－__6___.
解析：由题可得6＋m＝0，m＝－6.
2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为
65 _____5_______.
解析：a 在 b 上的投影为：|a||aa|··|bb|＝a|b·b| ＝－8＋6521＝
65a|＝2，则m的值为__±__3______.
解析： 1＋m2＝2，∴m2＝3，∴m＝± 3.
课后提升训练
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高中数学(人教A版)必修四配套活页训练第二章 平面向量 课时作业
基础达标1．若|a |＝4，|b |＝3，a ·b ＝－6，则a 与b 夹角为( )． A ．150° B.120° C ．60°D.30°解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. 答案 B2．(2012·北京海淀区一模)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( )． A ．矩形 B.菱形 C ．直角梯形D.等腰梯形 解析 ∵AB →＝DC →即一组对边平行且相等，AC →·BD →＝0即对角线互相垂直，∴四边形ABCD 为菱形． 答案 B3．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )． A ．－25 B.－20 C ．－15D.－10解析 ∵AB →＋BC →＋CA →＝0，∴|AB →＋BC →＋CA →|2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CA →|2＋2AB →·BC →＋2BC →·CA →＋2AB →·CA →＝9＋16＋25＋2(AB →·BC →＋BC →·CA →＋AB →·CA →)＝0，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 答案 A4．已知|a |＝8，e 为单位向量，a 与e 的夹角为150°，则a 在e 方向上的投影为________．解析 a 在e 方向上的投影为|a |cos 150°＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－4 3.答案 －4 35．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25＋9－10×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7.答案 76．已知a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，i ，j 为相互垂直的单位向量，那么a ·b ＝________.解析 将两已知等式相加得，2a ＝－6i ＋8j ，所以a ＝－3i ＋4j .同理将两已知等式相减得，b ＝5i －12j ，而i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ·b ＝(－3i ＋4j )·(5i －12j )＝－3×5＋4×(－12)＝－63. 答案 －637．(2012·金华一中高一期中)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求|a ＋b |；(2)求向量a 在向量a ＋b 方向上的投影． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. ∵|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6，∴|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝42＋32＋2×(－6)＝13. (2)∵a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝42－6＝10，∴向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝1013＝101313.能力提升8．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 解析 设a ，b 的夹角为α.方程有实根，∴Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，即|a |2－4|a |·|b |·cos α≥0，∴cos α≤12，∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.答案 B9．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.解析 由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 答案 －8或510．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 夹角为60°，求k 的值． 解 (1)∵|k a ＋b |＝3|a －k b |， ∴(k a ＋b )2＝3(a －k b )2， 且|a |＝|b |＝1.即k 2＋1＋2k a ·b ＝3(1＋k 2－2k a ·b )， ∴a ·b ＝k 2＋14k .∵k 2＋1≠0， ∴a ·b ≠0，即a 与b 不垂直．(2)∵a 与b 夹角为60°，且|a |＝|b |＝1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.∴k2＋14k＝12.∴k＝1.。
第一学期高二数学人教A版必修4第二章课时作业与课件(
＝( )
4 A.3
B．－43
3 C.4
D．－34
解析：由 a∥b，得 3cosα＝4sinα，∴tanα＝34.
答案：C
知识点三
三点共线问题
4.[2013·安徽检测]若平面内三点 A(－2,3)，B(3，－2)，C(12，
m)共线，则 m 为( )
A.12
B．－12
C．－2
D．2
解析：∵A、B、C 三点共线， ∴A→B∥A→C. 又A→B＝(5，－5)，A→C＝(52，m－3)， ∴5(m－3)＋225＝0. 得 m＝12，选 A.
第二章
平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
第25课时 平面向量共线的坐标表示
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课堂对点训练
知识点一
判断向量共线
1.下列各组向量中，共线的一组是( ) A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2) C．a＝(1,2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－14) 解 析 ： A 中 ， － 2×6 － 3×4 ＝ － 24≠0 ， 故 A 错 ； B 中，2×2－3×3＝－5≠0，故B错；D中，－3×(－14)－ 2×6＝30≠0，故D错；C中，1×14－2×7＝0，故选C. 答案：C
知识点二
已知向量共线求参数值
2.[2013·雷州联考]已知向量 a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若
a∥b，则实数 x 的值为( )
A．－16
B．－12
C.16
D．12
解析：∵a∥b， ∴(2x＋1)·3－4·(2－x) ＝10x－5＝0. ∴x＝12，选 D. 答案：D
3．已知向量 a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且 a∥b，则 tanα
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平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
第23课时 平面向量基本定理
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课堂对点训练
知识点一
基底的概念
1.设 O 是▱ABCD 的对角线交点，下列各组向量：①A→D与A→B；
②D→A与B→C；③C→A与D→C；④O→D与O→B.其中可作为这个平行四边
形所在平面的所有向量的基底的是( )
答案：A
知识点三
用基底表示向量
5．如右图，平行四边形 ABCD 中， A→B＝a，A→D＝b，H、M 分别是 AD、DC 的中点，F 点在 BC 上，且 BF＝13BC，以 a，b 为基底分解向量A→M与H→F.
解：由 H、M、F 所在的位置，得 A→M＝A→D＋D→M＝A→D＋12D→C＝A→D＋12A→B＝b＋12a. H→F＝A→F－A→H＝A→B＋B→F－A→H＝A→B＋13B→C－12A→D＝A→B＋13 A→D－12A→D＝a－16b.
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A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
解析：∵A→D与A→B不共线，故可作为平面向量的一组基底， 排除 D；又D→A∥B→C，故②不可以作为基底，排除 A；C→A与D→C 不共线，故③可作为基底，选 B.
答案：B
2．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向
量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无
解析：考虑向量 a，b 共线，则有 λ＝12，故当{λ|λ≠12}时， 向量 a、b 不共线，可作为一组基底．
知识点二
向量夹角的概念
4.若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角
是( )
第二章平面向量课时作业人教A版必修四第2章2.5.1、2.5.2课时作业
则共点力对物体所做的功 W 为 ( )．
A．lg 2
B.lg 5
C．1
D.2
解析 W＝ (F 1＋ F 2) ·s＝ (lg 2＋lg 5,2lg 2) (2lg·5,1) ＝(1,2lg 2) (2l·g 5,1)＝ 2lg 5＋
2lg 2＝2，故选 D.
答案 D
9．如图，x，－ m)，
→→ ∵ A、 E、 F 共线，∴ AF＝λAE，
n3 即 (x，－ m)＝ λ4，－ 4m ，∴
x＝n4λ，
－m＝－
3 4mλ，
即 x＝ n3，即 F
n3， 0 .∴
→ AF
＝
1 3
n2＋9m2.
答案 A
2．已知作用在点 A(1,1)的三个力 F 1＝(3,4)，F2＝(2，－ 5)，F 3＝ (3,1)，则合力 F
＝F 1＋ F2＋F 3 的终点坐标是 ( )．
A．(8,0)
B.(9,1)
C．(－1,9)
D.(3,1)
解析 F ＝(8,0)，故终点坐标为 (8,0)＋(1,1)＝ (9,1)，故选 B.
解析 所做的功 W＝60× 50×cos 30 °＝ 1 500 3 J.
答案 1 500 3 J
6．在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,1)和点 B(－ 3,4)，若点 C 在∠ AOB 的平分
→
→
线上且 |OC|＝2，则 OC＝________.
解析 如图，已知 A(0,1)， B(－3,4)，
方向由南向北，大小为 2 3 km/h，船本身的速度为 v 3，则 a＋v 3＝v ，即 v3
＝ v－ a，数形结合知 v 3 的方向是北偏西 60°，大小是 3 km/h.
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第21课时 向量数乘运算及其几何意义
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课堂对点训练
知识点一
向量数乘运算的概念及运算律
1.已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共
有( )
①λ<0，且a≠0时，λa与a的方向一定相反；②λ>0，
a≠0，λa与a的方向一定相同；③λ≠0，a≠0时，λa与a是共
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
解析：原式＝13(a＋4b－4a＋2b)＝13(－3a＋6b)＝－a＋2b. 答案：B
知识点二
向量的数乘运算
3．点 C 在线段 AB 上，且A→C＝35A→B，则A→C等于(
)
A．23B→C
B．32B→C
C．－23B→C
D．－32B→C
解析：利用线段的比例关系及向量的方向求解． 答案：D
(2)解：∵ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， ∴存在 λ 使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于 e1 与 e2 不共线， ∴只能有kλk－－λ＝ 1＝0， 0， 则 k＝±1.
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知识点三
共线问题
5.已知非零向量 e1 和 e2 不共线． (1)如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)，求证： A，B，D 三点共线． (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值．
(1)证明：∵A→B＝e1＋e2， ∴B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5A→B. ∴A→B，B→D共线，且有公共点 B.∴A，B，D 共线．
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平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
第18课时 平面向量的实际背景及基本概念
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知识点一
平面向量的概念
1.下列说法中错误的是( ) A．零向量没有方向 B．零向量与任何向量平行 C．零向量的长度为零 D．零向量的方向是任意的 解析：向量0的长度为0，方向是任意的． 答案：A
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2．有下列物理量：①质量；②速度；③位移；④
力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的
有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：①⑥⑦⑧都不是向量．
答案：D
知识点二
向量的几何表示
3.下面三个命题：①向量的长度与向量的长度相等；
②所有的单位向量都相等；③两个有共同起点的相等向
量，其终点必相同．其中真命题的个数是( )
A．0
B．2
C．3
D．1
解析：①③是真命题．
答案：B
知识点三
平行向量与相等向量
4.下列条件中能得到a＝b的是( ) A．|a|＝|b| B．a与b的方向相同 C．a＝0，b为件：模相等、方向相 同． 答案：D
5．如下图，△ABC中，三边长|AB|、|BC|、|AC|均不 相等，E、F、D是AC、AB、BC的中点．
(1)写出与E→F共线的向量； (2)写出与E→F的模相等的向量； (3)写出与E→F相等的向量．
解：(1)∵E、F 分别为 AC、AB 的中点，∴EF∥BC. 从而与E→F共线的向量包括：F→E、D→B、 →BD、D→C、C→D、B→C、 C→B. (2)∵E、F、D 分别是 AC、AB、BC 的中点， ∴EF＝12BC，BD＝DC＝12BC. 又∵AB、BC、AC 均不相等，从而与E→F的模相等的向量有 F→E、B→D、D→B、D→C、C→D. (3)与E→F相等的向量有D→B、C→D.
2021-2022年高中数学 第2章 第23课时 平面向量应用举例课时作业(含解析)新人教A版必修4
2021年高中数学第2章第23课时平面向量应用举例课时作业（含解析）新人教A版必修4∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则根据向量的数量积的定义可得， AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos120°＝－2 设|AB →|＝x ，|AC →|＝y ∴|AB →||AC →|＝4即xy ＝4. |AG →|＝13|AB →＋AC →|＝13AB →＋AC →2＝13AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝13x 2＋y 2－4 x 2＋y 2≥2xy ＝8(当且仅当x ＝y 时取等号) ∴|AG →|≥23即|AG →|的最小值为23.故选C.答案：C5．已知作用在点A 的三个力f 1＝(3,4)，f 2＝(2，－5)，f 3＝(3,1)且A (1,1)，则合力f ＝f 1＋f 2＋f 3的终点坐标为( )A ．(9,1)B ．(1,9)C ．(9,0)D ．(0,9)解析：f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力f 的终点为P (x ，y )，则OP →＝OA →＋f ＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)，故选A.答案：A6．在△ABC 中，AB →·AC →＝7，|AB →－AC →|＝6，则△ABC 面积的最大值为( ) A ．24 B ．16 C ．12 D ．8解析：设A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ， 由AB →·AC →＝7，|AB →－AC →|＝6，得bc cos A ＝7，a ＝6①，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc 1－cos 2A ＝12bc 1－49b 2c 2＝12b 2c 2－49，由余弦定理可得b 2＋c 2－2bc cos A ＝36②，由①②消掉cos A 得b 2＋c 2＝50，所以b 2＋c 2≥2bc ， 所以bc ≤25，当且仅当b ＝c ＝5时取等号，所以S △ABC ＝12b 2c 2－49≤12，故△ABC 的面积的最大值为12. 故选C. 答案：C7.2015·华东师大附中高一期末若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|，|OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°， ∴△ABC 是直角三角形，故选B. 答案：B8．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距53海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是________海里/小时．解析：根据题意得：AB ＝53海里，∠ADC ＝60°，∠BDC ＝30°，DC ⊥AC ， ∴∠DBC ＝60°，∠BDA ＝∠A ＝30°，∴BD ＝AB ＝53海里，∵DC ⊥AC ，∴在Rt △BDC 中，DC ＝BD ×sin∠DBC ＝53×32＝152，∵从C 到D 行驶了半小时，∴速度为152÷12＝10海里/小时．故答案为15.答案：159．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状一定是__________．解析：∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝|AB →|2－|AC →|2＝0， ∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形． 答案：等腰三角形10．已知向量a ＝(2,0)，b ＝(1,4)． (1)求|a ＋b |的值；(2)若向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围．解析：(1)依题意得a ＋b ＝(3,4)，∴|a ＋b |＝32＋44＝5. (2)依题意得k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8)， ∵向量k a ＋b 与a ＋2b 平行∴8×(2k ＋1)－4×4＝0，解得k ＝12.(3)由(2)得k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8) ∵向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，∴4×(2k ＋1)＋4×8>0，且8×(2k ＋1)≠4×4∴k >－92且k ≠12.B 组 能力提升11.2015·河北邯郸一中高一期末已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC→|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC ，而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°，故△ABC 为正三角形，故选D. 答案：D12.2015·河北衡水中学高二调研已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心解析：如图，∵NA →＋NB →＋NC →＝0，∴NB →＋NC →＝－NA →.依向量加法的平行四边形法则，知|NA →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心．∵PA →·PB →＝PB →·PC →， ∴(PA →－PC →)·PB →＝CA →·PB →＝0.同理AB →·PC →＝0，BC →·PA →＝0， ∴点P 为△ABC 的垂心． 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心，故选C. 答案：C13.2015·天津市南开中学高一期末质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)解析：设(－10,10)为A ，设5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )，则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1→＝5v .即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋10＝20，y －10＝－15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－5，故选C.答案：C14.2014·江苏泰州中学训练题如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G .两绳受到的拉力分别为F 1、F 2，夹角为θ.(1)求其中一根绳子受的拉力|F 1|与G 的关系式，用数学观点分析F 1的大小与夹角θ的关系；(2)求F 1的最小值；(3)如果每根绳子的最大承受拉力为|G |，求θ的取值范围．解析：(1)由力的平衡得F 1＋F 2＋G ＝0，设F 1，F 2的合力为F ，则F ＝－G ，由F 1＋F 2＝F且|F 1|＝|F 2|，|F |＝|G |，解直角三角形得cos θ2＝12|F ||F 1|＝|G |2|F 1|，∴|F 1|＝|G |2cosθ2，θ∈[0°，180°]，由于函数y ＝cos θ在θ∈[0°，180°]上为减函数，∴θ逐渐增大时，cos θ2逐渐减小，即|G |2cosθ2逐渐增大．∴θ增大时，|F 1|也增大．(2)由上述可知，当θ＝0°时，|F 1|有最小值为|G |2.(3)由题意，|G |2≤|F 1|≤|G |，∴12≤12cosθ2≤1，即12≤cos θ2≤1. 由于y ＝cos θ在[0°，180°]上为减函数， ∴0°≤θ2≤60°，∴θ∈[0°，120°]．15.附加题·选做2014·广东清远调考题若a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k ＞0)．(1)用k 表示数量积a·b .(2)求a·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ. 解析：(1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，。
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基础达标
1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且3a ·b ＝4，则x 等于( )．
A ．3 B.13 C ．－13 D.－3
解析 3a ·b ＝3(2x －6x )＝－12x ＝4，∴x ＝－13.
答案 C
2．已知A (1,2)，B (4,0)，C (8,6)，D (5,8)四点，则四边形ABCD 是( )．
A ．梯形
B.矩形 C ．菱形 D.正方形
解析 ∵AB →＝(3，－2)，DC →＝(3，－2)，∴AB →綉DC →，又AD →＝(4,6)，∴AB →·AD
→
＝3×4＋(－2)×6＝0，∴AB →⊥AD →
，∴四边形ABCD 为矩形．
答案 B
3．(2012·四川省威远中学高一月考)已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a
－(a ·b )b ，则|c |等于( )．
A ．4 2 B.2 5 C ．8 D.8 2
解析 易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋(－8)2＝8 2.
答案 D
4．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.
解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.
答案 1
5．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1，－1)，则cos θ＝________.
解析 b ＝12a ＋12(－1，－1)＝(1,1)，则a ·b ＝6.
又|a |＝32，|b |＝2，
∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝66＝1.
答案 1
6．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________. 解析 ∵a 与b 共线且方向相反，
∴b ＝λa (λ<0)，设b ＝(x ，y )，
则(x ，y )＝λ(1，－2)，
得⎩⎨⎧
x ＝λ，y ＝－2λ.
由|b |＝35，得x 2＋y 2＝45，
即λ2＋4λ2＝45，解得λ＝－3，
∴b ＝(－3,6)．
答案 (－3,6)
7．(2012·南昌期末)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R .
(1)若a ⊥b ，求x 的值；
(2)若a ∥b ，求|a －b |.
解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.
(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.
当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.
当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.
能力提升
8．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P 使AP →·BP →
有最小值，则点P 的坐标是( )．
A ．(－3,0)
B.(2,0) C ．(3,0) D.(4,0) 解析 设点P 的坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1).AP →·BP →
＝
(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →
有最小值1，∴点P 的坐标为(3,0)，故选C.
答案 C
9．已知点A (2,3)，若把向量OA →绕原点O 按逆时针旋转90°得到向量OB →
，则点B 的坐标为________．
解析 设点B 的坐标为(x ，y )，
因为OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →
|，
所以⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝0，x 2＋y 2＝13，
解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝2或⎩⎨⎧
x ＝3，y ＝－2
(舍去)． 故B 点的坐标为(－3,2)．
答案 (－3,2)
10．已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →
＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O
为坐标原点)．
(1)求使CA →·CB →取得最小值时的OC →
；
(2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB .
解 (1)∵点C 是直线OP 上的一点，
∴向量OC →与OP →
共线，
设OC →＝tOP →
(t ∈R )，
则OC →
＝t (2,1)＝(2t ，t )，
∴CA →＝OA →－OC →
＝(1－2t,7－t )，
CB →＝OB →－OC →
＝(5－2t,1－t )，
∴CA →·CB →
＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t )
＝5t 2－20t ＋12
＝5(t －2)2－8.
∴当t ＝2时，CA →·CB →取得最小值，此时OC →
＝(4,2)．
(2)由(1)知OC →
＝(4,2)，
∴CA →＝(－3,5)，CB →
＝(1，－1)，
∴|CA →|＝34，|CB →|＝2，CA →·CB →
＝－3－5＝－8.
∴cos ∠ACB ＝CA →·CB →
|CA →||CB →|＝－41717.。