高一数学教案：平面的基本性质及推论
平面基本性质及推论
平面基本性质及推论1.2.1平面基本性质与推论一、教学目标确立依据（一）课程标准要求及解读1、课程标准要求借助长方体模型，解空间点线面的基础上，抽象出空间点线面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内．基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。
2、课程标准解读平面的基本性质1给出了判断直线在平面内的方法，引出了直线在平面内的定义。
平面的基本性质2及平面的基本性质的三个推论，说明了怎样的条件可以确定一个平面，从而我们知道什么条件下可以画出确定的平面，什么条件下两个平面互相重合，这些都是研究空间图形时首先需要明确的。
平面的基本性质3主要说明了两个相交平面的特征，对我们确定或画出两个平面的交线有重要的指导作用。
平面的基本性质的推论用以确定平面的依据。
(二)教材分析本节课在必修二中是第一张第二节内容，是整个立体几何的基础和工具。
是立体几何的起始课，平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础。
平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何平面化的过程中具有重要的桥梁作用。
通过对平面基本性质的学习，有助于学生更好的学习立体几何的其他知识本节的重点是平面的基本性质及三种语言的转换。
难点是平面的基本性质的理解与应用。
课前要充分观察理解教室里的点、线、面，来理解点、线、面及位置关系。
知识结构图基本性质1 推论1平面的基本性质基本性质2 推论2基本性质3 推论3（三）学情分析通过第一章空间几何体的学习，学生对于点线面之间的位置关系有初步认识，本节要求学生能够用集合语言表示点线面之间的位置关系，引导学生对空间中点线面的位置关系可各种可能性进行分类和研究。
对于证明学生可能感觉难度较大。
二、教学目标1、在直观认识和理解空间点线面的基础上，能抽象出空间点线面位置关系的定义。
人教新课标版数学高一B版必修二 平面的基本性质与推论学案
1．2．1平面的基本性质与推论一．学习要点：三个公理及三个推论及其简单应用二．学习过程：1．基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
即：概念解读：（1）由性质1（2）性质1的作用可以用来判断一条直线是否在一个平面内。
2．基本性质2：3．基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。
即：概念解读：（1）两个平面公共点的集合是一条直线；（2二．平面基本性质的推论推论1经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。
1．共面：空间中的几个点或几条直线都在同一平面内，我们就说它们共面。
2．异面直线：既不相交又不平行的直线叫做异面直线。
规律探索：空间两条直线有怎样的位置关系？共面直线——平行或相交；异面直线——既不相交也不平行的两条直线。
∉；1．点A在平面α内，记作Aα；点A不在平面α内，记作Aα2．直线在平面α内，记作l α⊂；直线不在平面α内，记作l α⊄；3．平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=； 4．直线和m 相交于点A ，记作l m A =．例1 已知三个平面两两相交，有三条交线，求证：这三条交线或交于一点，或互相平行。
例2 已知P 、Q 、R 三点分别在长方体ABCD 1111A B C D 的棱1BB 、1CC 、1DD 上，试画出过P 、Q 、R 三点的截面。
课堂练习：教材P38页练习课后作业：见作业（43）。
高中数学平面推论教案人教版
高中数学平面推论教案人教版
教材版本：人教版
目标：学生能够运用平面几何的知识和推理能力解决问题，掌握平面几何推论的应用方法。
教学重点：1.掌握平面几何的基本概念和推论；
2.能够熟练运用平面几何的知识解决实际问题。
教学难点：能够灵活运用平面几何推论解决复杂问题。
教学过程：
一、复习回顾（5分钟）
回顾上节课所学的平面几何的基本概念和推论，包括平面内角和、外角性质、平行线性质等。
二、新知讲解（15分钟）
1.介绍平面几何的推论，包括三角形的性质、四边形的性质等；
2.讲解平面几何推论的应用方法，包括通过已知条件推导出结论的步骤和技巧；
3.举例说明平面几何推论在解决实际问题中的应用。
三、示范演练（20分钟）
1.老师示范几个平面几何问题的解题思路和方法；
2.学生根据示范进行练习，完成相应的题目。
四、小组合作（15分钟）
1.学生分成小组，相互讨论解决平面几何问题的方法；
2.每个小组选取一个代表进行汇报，展示他们的解题过程和答案。
五、讲评总结（10分钟）
1.老师对学生的解题过程和答案进行点评；
2.总结平面几何推论的应用方法和技巧，强调解题的思路和逻辑性。
六、作业布置（5分钟）
布置相关的练习题目，要求学生独立完成并按时交作业。
教学反思：在教学过程中，要注重引导学生思考和发现规律，培养他们的逻辑推理能力和解决问题的能力。
同时，要根据学生的实际情况，适时调整教学方法和策略，使教学效果最大化。
平面的基本性质及推论
4个
（2）共点的三条直线可以确定几个平面？ 1个或3个
D1
C1
O
A1
B1
D A
C B
D A
C B
D1 A1
C1 B1
小结
1、平面的基本性质：三公理三推论 2、公理化方法：从一些原始概念（基 本概念）和一些不加证明的原始命题 （公理）出发，运用逻辑推理，推导 出其他命题和定理的方法叫公理化方 法。
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条 直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
Байду номын сангаас符 符号号语表言：示：
Al, B l,且A , B l
α
A
B
公理1的作用：
一 是可以用来判定一条直线是否在平面内，即 要判定直线在平面内，只需确定直线上两个 点在平面内即可；
符号语言：
P P
l且P
l
公理3的作用：
一 是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个 公共点，那么这两个平面相交；
二 是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公 共点，那么这点就在这两个平面的交线上.
三.两平面两个公共点的连线就是它们的交线
β
α
（×）
（×） （×）
（×） （×）
2、（1）不共面的四点可以确定几个平面？
一.平面的概念及特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
二.平面的表示：
几何画法：通常用平行四边形来表示平面．
D
C
α A
符号表示：
B
α
平面ABCD 平面AC
三.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
高中数学平面推论教案模板
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主题：平面推论
一、教学目标：
1. 了解平面几何中的基本概念和性质；
2. 掌握平面图形的判定方法及相应的定理；
3. 能够应用平面推论解决实际问题。
二、教学内容：
1. 平面图形的分类和性质；
2. 平行线与平行四边形；
3. 垂直线与垂直角；
4. 同位角、内错角与同旁内角；
5. 三角形的性质及判定方法；
6. 四边形的性质及判定方法；
7. 圆的性质及相关定理。
三、教学重点：
1. 平行线与平行四边形的性质；
2. 同位角、内错角与同旁内角的关系；
3. 三角形和四边形的性质及判定方法。
四、教学难点：
1. 利用平行线性质解决实际问题；
2. 运用相关性质和定理证明平面图形的性质。
五、教学过程：
1. 导入：通过提出一个与学生生活相关的问题引入平面推论的内容，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：通过讲解相关概念和性质，引导学生理解平面图形的特点和相互关系。
3. 案例分析：结合具体案例，让学生进行推论和证明，加深对知识点的理解和应用能力。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，并培养解决问题的能力。
5. 总结：对本节课的内容进行总结和归纳，梳理知识点，强化学生的记忆。
六、教学评价：
1. 通过课堂练习、作业和考试等方式对学生的学习情况进行评价；
2. 对学生的思维能力、解决问题的能力和表达能力进行评价。
七、教学反思：
1. 思考本节课的教学效果，对教学方法和内容进行评估和反思；
2. 总结教学经验，为下一节课的教学做好准备。
第一章1.2.1平面的基本性质与推论教案学生版
§1.2点、线、面之间的位置关系1．2.1平面的基本性质与推论【学习要求】1．理解平面的基本性质与推论．2．能运用平面的基本性质及推论去解决有关问题．3．会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．【学法指导】通过桌面、黑板、地面等有形的实物，对平面有个感性认识，进而抽象出平面的概念及平面的基本性质及推论，感受我们所处的世界是一个三维空间，进而增强学习的兴趣，培养空间想象能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．连接两点的线中，线段最短；过两点有一条，并且只有一条直线．2．平面基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．这时我们说，直线在平面内或平面经过直线 .3．基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．4．基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．5．基本性质的推论：推论1 ：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面；推论2 ：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 ：经过两条平行直线，有且只有一个平面．6．异面直线：既不相交也不平行的直线叫做异面直线．与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在《西游记》中，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，大家说如来佛的手掌像什么？探究点一平面的基本性质问题1在初中我们学习的点与直线的基本性质有哪些？问题2生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？那么，平面的含义是什么呢？问题3实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？问题4直线和平面都可以看成点的集体，那么点、直线、平面的位置关系怎样用集合的符号表示？问题5如何用符号语言表示基本性质1？基本性质1有怎样的用途？问题6生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质？问题7如何用符号语言表示基本性质2？基本性质2有怎样的用途？问题8基本性质2中“有且只有一个”的含义是什么？问题9如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗？为什么？问题10如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？问题11如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？问题12回顾第1.1节的内容，我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段，由此你能总结出怎样的结论？问题13在画两个平面相交时，如果其中一个平面被另一个平面遮住，应该怎样处理才有立体感？探究点二空间中两直线的位置关系问题1空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面．如果两条直线共面，那么两条直线有怎样的位置关系？问题2如图，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外，那么直线l与直线AB能不能在同一个平面内？为什么？直线l与直线AB的位置关系是怎样的？小结：我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线．例1如图中的△ABC，若AB、BC 在平面α内，判断AC 是否在平面α内？小结：要判断或证明直线在平面内，只需要直线上的两点在平面内即可．跟踪训练1求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a、b、c和l共面．例2如图，正方体AC1中，对角线A1C和平面BDC1交于O，AC与BD交于点M，求证：点C1、O、M共线．小结：证明点共线问题常用方法：(1)先找出两个平面，再证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据基本性质3从而判定他们都在交线上；(2)选择两点确定一条直线，再证另一点在这条直线上．跟踪训练2空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，已知EF和GH相交于点M，求证：点B、D、M共线．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β2．空间中可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一直线C．一个三角形D．三个点3．“a、b为异面直线”是指：①a∩b＝∅，且a b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b＝∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β＝∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立．上述结论中，正确的是()A．①④⑤正确B．①③④正确C．仅②④正确D．仅①⑤正确课堂小结：1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线。
苏教版数学高一《平面的基本性质及推论》 精品教案
卡片：在立体几何中证明点共线，线共点等问题时经常要用到公理２．
例4正方体 中,E、F、G、H、K、L分别是 的中点.
求证：这六点共面．
证明：连结 和 ，
因为 是 的中点，
所以 ．
又矩形 中 ，
所以 ，
所以 可确定平面 ，
所以 共
面 ，
同理 ，
故 共面 ．
又平面 与平面 都经过不共线的三点 ，
4.空间四个平面把空间最多分为部分．
5.空间五个点最多可确定个平面．
6.命题“平面 、 相交于经过点M的直线a”可用符号语言表述为.
7.梯形ABCD中,AB∥CD,直线AB、BC、CD、DA分别与平面 交于点E、G、F、H.那么一定有G直线EF,H直线EF.
8.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面.
故平面 与平面 重合，所以E、F、G、H、K、L共面于平面 ．
同理可证 ，
所以，E、F、G、H、K、L六点共面．
卡片：证明共面问题常有如下两个方法：
(1)接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；
(2)间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．
课堂练习或两两平行．
证明：(1)若三直线中有两条相交，不妨设 、 交于 ．
因为， ，故 ，
同理， ，
故 ．
所以 交于一点．
(2)若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行．
综上所述,命题得证.
例3已知 在平面 外，它的三边所在的直线分别交平面 于 ．
求证： 三点共线．
证明：设 所在的平面为 ，则 为平面 与平面 的公共点，
证明：假设 和 平行或相交，则 和 可确定一个平面 ，则 ， ，故 ， ， ， .这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即 和 既不平行也不相交．
高中数学平面推论教案
高中数学平面推论教案
教学重点：平面推论的基本原理和方法。
教学难点：能够独立应用平面推论解决问题。
教学准备：
1. 教师准备相关教学素材，包括教案、教材、黑板、彩色粉笔等。
2. 学生准备相关学习工具，如铅笔、橡皮、直尺等。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 引导学生回顾平面几何的相关知识，如角的概念、直线的性质等。
二、示范（15分钟）
1. 通过几个具体的例子，向学生展示平面推论的解题方法，并详细解释每一步的推理过程。
2. 让学生思考如何利用平面推论来解决一些实际问题。
三、练习（20分钟）
1. 分发练习题，让学生独立完成，然后互相核对答案。
2. 教师巡视课堂，及时纠正学生的错误，并给予指导和帮助。
四、讨论（10分钟）
1. 收集学生的答案，让他们讲解解题过程，并讨论其中的问题和疑惑。
2. 引导学生探讨平面推论在不同情景下的应用。
五、总结（5分钟）
1. 教师总结本节课的重点内容，强调平面推论的重要性和应用价值。
2. 鼓励学生多练习，提高解题能力。
六、作业（5分钟）
1. 布置作业，让学生独立完成一定数量的练习题，巩固所学知识。
教学反思与评估：
本节课通过示范、练习和讨论的方式，使学生初步了解平面推论的基本原理和方法，并能够独立应用解决问题。
但在后续教学中，需要加强学生的练习和反思能力，进一步提高他们的思维水平和解题能力。
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平面的基本性质及推论 一
教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用
教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用
教学过程：
（一） 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内
1、直线与平面的位置关系
2、符号:点A 在直线上,记作a A ∈,
点A 在平面α内,记作α∈A ,
直线a 在平面α内,记作α⊂a
（二） 公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合
是一条过这个公共点的直线.
今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线).
两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作l =⋂βα.
（三） 公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
（四） 问题：
(1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内?
(2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么?
(3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个?
(4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个?
(5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个?
(6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个?
(五)给出几个正方体作出截面图形
课堂练习：教材第40页 练习A 、B
小结：
本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题.
2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题.
3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化.
课后作业：略
平面的基本性质及推论 二
教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用
教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用
教学过程：
（五） 推论1：直线及其外一点确定一个平面
（六） 推论2：两相交直线确定一个平面
（七） 推论3：两平行直线确定一个平面
（四）例1已知：空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内．
求证：AB 和CD 既不平行也不相交．
证明：假设AB 和CD 平行或相交，则AB 和CD 可确定一个平面α，则α⊂AB ，α⊂CD ，故α∈A ，α∈B ，α∈C ，α∈D .这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即AB 和CD 既不平行也不相交．
卡片:1、反证法的基本步骤：假设、归谬、结论；
2、归谬的方式：与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾．
例2已知：平面α⋂平面β=a ，平面α⋂平面γ=b ，平面γ⋂平面β=c 且c b a 、、不重合． 求证：c b a 、、交于一点或两两平行．
证明：(1)若三直线中有两条相交，不妨设a 、b 交于A ．
因为，β⊂a ，故β∈A ，
同理，γ∈A ，
故c A ∈．
所以c b a 、、交于一点．
(2)若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行．
综上所述,命题得证.
例3已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面
α于R Q P 、、．
求证：R Q P 、、三点共线． 证明：设ABC ∆所在的平面为β，则R Q P 、、为平面α与平面β的公共点，
所以R Q P 、、三点共线．
卡片：在立体几何中证明点共线，线共点等问题时经常要用到公理２．
例4正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 、G 、H 、K 、L 分别是、、、111D A DD DC BC BB B A 、、111的中点.
求证：这六点共面． 证明：连结BD 和KF ， 因为 L E 、是CB CD 、的中点，
所以 BD EL //． 又 矩形11B BDD 中BD KF //， 所以 EL KF //，
所以 EL KF 、可确定平面α， 所以 L K F E 、、、共 面α，
同理 KL EH //， 故 L K H E 、、、共面β． 又 平面α与平面β都经过不共线的三点
L K E 、、，
故 平面α与平面β重合，所以E 、F 、G 、H 、K 、L 共面于平面α．
同理可证α∈G ，
所以，E 、F 、G 、H 、K 、L 六点共面．
卡片：证明共面问题常有如下两个方法：
(1)接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；
(2)间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．
课堂练习：
1.判断下列命题是否正确
(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面． ( )
A B C P Q R αC A A
B B
C
D D
E F
G H K
L 1111
(2)经过一点的两条直线确定一个平面．( )
(3)经过一点的三条直线确定一个平面．( )
(4)平面α和平面β交于不共线的三点A、B、C．( )
(5)矩形是平面图形. ( )
2.空间中的四点，无三点共线是四点共面的条件．
3.空间四个平面两两相交，其交线条数为.
4.空间四个平面把空间最多分为部分．
5.空间五个点最多可确定个平面．
6.命题“平面α、β相交于经过点M的直线a”可用符号语言表述为.
7.梯形ABCD中,AB∥CD,直线AB、BC、CD、DA分别与平面α交于点E、G、F、H.那么一定有G直线EF,H直线EF.
8.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面.
小结：
本节课学习了平面的基本性质的推论及其应用
课后作业：略。