人教A版高中数学第五章第5节《三角恒等变换》解答题提升训练 (11)(含答案解析)

第五章第5节《三角恒等变换》解答题提升训练 (11)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.在①bc=1，②a+b=1+√3，③c=√5b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC=√3sin2B−cosAcosB，cosC=√3，________⋅2注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．)=2+√3，③a2+b2=c2+√3ab这三个条件中任选一2.在①√3csinA=acosC，②tan(C+π4个，补充在下面问题中，并加以解答．已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S.若c=4，B=105°，________，求a和S．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3.在①b2+√2ac=a2+c2，②acosB=bsinA，③sinB+cosB=√2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c______________，，b=√2，求ΔABC的面积．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．4.已知函数f(x)=sin(x−π6)+cos(x−π3),g(x)=2sin2x2(1)若α是第一象限角，且f(α)=3√35.求g(α)的值;(2)若x∈[0,π],求函数F(x)=f(x)+g(x)的值域．)=2+√3，③a2+b2=c2+√3ab这三个条件中任选一5.在①√3csinA=acosC，②tan(C+π4个，补充在下面问题中，并加以解答．已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S.若c=4，B=105∘，________，求a和S．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．6.已知▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1)若C=π，b=3，且asin2B−bsinA=0，求边c的值；4(2)若a+c=2b，求f(B)=sinB+cosB的取值范围．7.已知函数f(x)=2cosx(√3sinx−cosx)+1．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域．8.已知函数f(x)=√34−12sinxcosx−√32sin2x.(1)求函数f(x)的周期，并求出函数f(x)的对称轴；(2)若x∈[0,π2]，求函数f(x)的单调递增区间和最小值．9.在①sin(2C−π6)=2cosC+12，sin B=2sin A；②sin2A=cos22B=14，B<C；③直线l经过点(2,0)，倾斜角大小等于角C，并且与圆M：(x−1)2+(y−2−√3)2=1相切，sin B=2sin A 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，_______________．(1)求角C；(2)若a=2，求b，c的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．10. 在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，ΔABC 的面积为S ，．(1)求B ；(2)若b =5，______________，求S ．请在①a =5√33，②tan(A +π4)=2+√3，③b 2+c 2=a 2+bc 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2，．(1)求B ；(2)若BC 边的中线AM 长为√5，求△ABC 的面积．12. 设函数f(x)=cos(2x +π6)+√3sin 2x ．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设A,B,C 为ΔABC 的内角，若cosB =13，f(C2)=√34，且C 为锐角，求sinA 的值．13. 已知ΔABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2C −sin 2A =sinBsinC +cos 2B −1．(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若ΔABC 为锐角三角形，且a =1，求ΔABC 周长的取值范围．14.已知▵ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，sinAsinB =1+cosA2−cosB，(1)求证：2a=b+c；(2)若cosA=45，S▵ABC=6，求a的值．15.已知均为锐角．(1)求的值；(2)求的值．16.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，√3sinAsin(π2−A)=cos2A+12．(1)求角A的大小；(2)若△ABC的外接圆半径为1，求b+c的最大值．17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，p⃗=(2a,1)，q⃗=(2b−c,cosC)，且p⃗//q⃗．(1)求sin A的值；+1的取值范围．(2)求三角函数式−2cos2C1+tanC18.已知函数求的最小正周期和单调减区间；当时，求的最大值与最小值．19.在①cos(π3−B)=12+cosB，②asinA+c(sin C−sinA)=bsin B，③√3cbcosA=tan A+tan B这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中．问题：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b=2√3，______．(1)求角B;(2)求a+2c的最大值．20.在①bsinC=ccos(B−π6),②2bsinB=√3(acosC+ccosA),b<a，③sin B 21−cosB =√32cos B2，这三个条件中任选一个，填在下面问题的横线上，并作出解答。

问题：ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知_______________(1)求角B的大小；(2)若b=√3,求出ΔABC周长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21.某公园欲将如图所示的一块矩形空地MNDC进行重新规划，拟在边长为10m的正方形EFGH内种植红色郁金香，正方形ABCD的剩余部分(即四个直角三角形内)种植黄色郁金香．现要将以AB为一边长的矩形ABMN改造为绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积，设∠GFB=θ，AN=ym．(1)求y与θ之间的函数关系；(2)求AN的最大值．22.如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A)，要求PM=PN=MN=2(单位：千米).如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．23.已知函数f(x)=2sinxcosx−2√3cos2x+√3，x∈R．(1)求f(x)的最小正周期，单调增区间和对称中心的坐标；(2)若f(x0)=√3，求x0组成的集合24.ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cosC(acosB+bcosA)=c．(1)求角C；(2)若c=√7，SΔABC=3√3，求ΔABC的周长．225. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图像如图所示，其中点P(1,2)为函数f(x)图像的一个最高点，Q(4,0)为函数f(x)的图像与x 轴的一个交点，O 为坐标原点．(1)求函数f(x)的解析式;(2)将函数y =f(x)的图像向右平移2个单位长度得到y =g(x)的图像，求函数ℎ(x)=f(x)⋅g(x)的图像的对称中心．26. 已知A ，B 均为锐角，sinA =35，cos(A +B)=513．(1)求cos2A 的值； (2)求sin(A −B)的值．27. 已知0<α<π2，sinα=45．(1)求cos(2α+π4)的值；(2)若0<β<π2且cos(α+β)=−12，求sinβ的值．28. 已知sinα=4√37，cos(β−α)=1314，且0<β<α<π2． (Ⅰ)求tan2α的值； (Ⅱ)求β的值．29. ▵ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知3cos(B −C)−1=6cosBcosC(1)求cosA ；(2)若a =3，▵ABC 的面积为2√2，求b,c(其中b <c).30.在ΔABC中，tanA=−2√2,sinB=√3．3(1)求cosA及cosC的值；(2)求sin(2A+C)的值．【答案与解析】1.答案：解：选①：在△ABC中，A+B+C=π，因为cosC=√3sin2B−cosA·cosB，所以−cos(A+B)=√3sin2B−cosA·cosB，所以−cosA·cosB+sinA·sinB=√3sin2B−cosA·cosB，所以sinA·sinB=√3sin2B，又sinB≠0，所以sinA=√3sinB，由正弦定理得，a=√3b，因为bc=1，所以c=1b，由余弦定理得，cosC=a2+b2−c22ab =√32，所以3b 2+b2−1b22√3b2=√32，解得b=1，因此a=√3，b=c=1，这样的△ABC存在；选②：同①，由cosC=√3sin2B−cosA·cosB得a=√3b，又因为a+b=1+√3，所以a=√3，b=1，由余弦定理得，cosC=a2+b2−c22ab =√32，所以c=1，因此a=√3，b=c=1，这样的△ABC存在；选③：同①，由cosC=√3sin2B−cosA·cosB得a=√3b，由余弦定理及c=√5b得，cosC=a2+b2−c22ab =√32，所以2222√3b2=√32，得−b2=3b2，此方程无解，故问题中的三角形不存在．解析：本题考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式，属于中档题．选①，利用三角恒等变换公式得sinA=√3sinB，由正弦定理得，a=√3b，再利用余弦定理结合bc= 1即可求解；选②，先求得a=√3b，再利用余弦定理即可求解；选③，先求得a=√3b，再利用余弦定理即可求解．2.答案：解：若选①，由及正弦定理asinA =csinC，得√3sinCsinA=sinAcosC，又sinA≠0，所以tanC=√33，因为，所以C=30∘．又B=105∘，所以A=45∘，结合c=4，可得．所以△ABC中的面积S=12acsinB=12×4×4√2×sin105∘=8√2×(sin45∘cos60∘+cos45∘sin60∘)=4√3+4．若选②，由tan(C+π4)=tanC+tanπ41−tanCtanπ4=tanC+11−tanC=2+√3．可得tanC=√33.下同①若选③，由a2+b z=c2+√3ab，得cosC=a2+b2−c22ab =√32，因为，所以C=30∘.下同①解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，两角和差公式，属于中档题．选①，由正弦定理可得tanC=√33.再次利用正弦定理a=4√2，代入面积公式可得结果．选②，利用正切的和角公式tanC=√33.再次利用正弦定理a=4√2，代入面积公式可得结果．选③，由余弦定理解得cos C，求解角C，由正弦定理可得tanC=√33.再次利用正弦定理a=4√2，代入面积公式可得结果．3.答案：解：选择①b2+√2ac=a2+c2，由余弦定理cosB=a2+c2−b22ac =√2ac2ac=√22，因为B∈(0,π)，所以B=π4;由正弦定理asinA =bsinB，得a=bsinAsinB=√2⋅sin π3√22=√3，因为A=π3，B=π4，所以C=π−π3−π4=5π12，所以sinC=sin5π12=sin(π4+π6)=sinπ4cosπ6+cosπ4sinπ6=√6+√24，所以S△ABC=12absinC=12×√3×√2×√6+√24=3+√34．若选择②：acosB=bsinA，则sinAcosB=sinBsinA，因为sinA≠0，所以sinB=cosB，因为B∈(0,π)，所以B=π4;由正弦定理asinA =bsinB，得a=bsinAsinB=√2⋅sinπ3√22=√3，因为A=π3，B=π4，所以C=π−π3−π4=5π12，所以sinC=sin5π12=sin(π4+π6)=sinπ4cosπ6+cosπ4sinπ6=√6+√24，所以SΔABC=12absinC=12×√3×√2×√6+√24=3+√34．若选择③：sinB+cosB=√2，则√2sin(B+π4)=√2，所以sin(B+π4)=1，因为B∈(0,π)，所以B+π4∈(π4,5π4)，所以B+π4=π2，所以B=π4;由正弦定理a sinA =bsinB ，得a =bsinA sinB=√2⋅sin π3√22=√3，因为A =π3，B =π4，所以C =π−π3−π4=5π12，所以sinC =sin5π12=sin (π4+π6)=sin π4cos π6+cos π4sin π6=√6+√24， 所以S ΔABC =12absinC =12×√3×√2×√6+√24=3+√34．解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数公式以及三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选择 ①b 2+√2ac =a 2+c 2，由余弦定理可得cosB =√22，进而解得B ，则可确定C 的大小，再由正弦定理可得a ，最后利用三角形的面积公式计算即可得出．选择②由正弦定理可得cosB =√22，进而解得B ，则可确定C 的大小，再由正弦定理可得a ，最后利用三角形的面积公式计算即可得出．选择③由条件可得sin (B +π4)=1，进而解得B ，则可确定C 的大小，再由正弦定理可得a ，最后利用三角形的面积公式计算即可得出．4.答案：解：f(x)=sin(x −π6)+cos(x −π3)=√32sinx −12cosx +12cosx +√32sinx =√3sinx (1)又因为f(α)=3√55， 所以√3sinα=3√55.又因为α∈(0,π2)，所以cosα=√105． 因为g(x)=2sin 2x2．g(x)=2sin 2x2=(1−cosx)，所以g(α)=(1−cosα)=1−√105．(2)由题意F(x)=f(x)+g(x)=√3sinx −cosx +1=2sin(x −π6)+1， ∵x ∈[0,π]，∴x −π6∈[−π6,7π6]，所以sin(x−π6)∈[−12,1]，所以2sin(x−π6)+1∈[0,3]，所以函数F(x)=f(x)+g(x)的值域为[0,3]．解析：本题主要考查利用三角恒等变换化简三角函数，结合三角函数图象求值域，考查运算求解，推理论证，属于中档题．(1)利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过若α是第一象限角，且f(α)=3√55，求出cosα=√105．然后求g(α)的值；(2)利用三角恒等变换化简三角函数F(x)=f(x)+g(x)，结合三角函数图象和性质求出它的值域．5.答案：解：若选①，由及正弦定理asinA =csinC，得√3sinCsinA=sinAcosC，所以tanC=√33．因为，所以C=30∘．又B=105∘，所以A=45∘，结合c=4，可得．所以△ABC中的面积S=12acsinB=12×4×4√2×sin105∘=8√2×(sin45∘cos60∘+cos45∘sin60∘)=4√3+4．若选②，由tan(C+π4)=tanC+tanπ41−tanCtanπ4=tanC+11−tanC=2+√3．可得tanC=√33.下同①若选③，由a2+b z=c2+√3ab，得cosC=a2+b2−c22ab =√32，因为，所以C=30∘.下同①解析：【试题解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，两角和差公式，属于中档题．选①，由正弦定理可得tanC=√33.再次利用正弦定理a=4√2，代入面积公式可得结果．选②，利用正切的和角公式tanC=√33.再次利用正弦定理a=4√2，代入面积公式可得结果．选③，由余弦定理解得cos C，求解角C，由正弦定理可得tanC=√33.再次利用正弦定理a=4√2，代入面积公式可得结果．6.答案：解：(1)因为asin2B−bsinA=0，所以由正弦定理可知sinAsin2B−sinBsinA=0，即sinAsinB(2cosB−1)=0，因为在▵ABC中，sinAsinB≠0，所以cosB=12，又因为0<B<π，所以B=π3，又因为b=3，所以由正弦定理得bsinB =csinC⇒c=bsinCsinB=3×sinπ4sinπ3=√6．(2)因为a+c=2b，所以由余弦定理得cos B=a 2+c2−b22ac=3b2−2ac2ac=3b22ac−1⩾3b212(a+c)2−1=3b22b2−1=12，当且仅当a=c时取等号．因为0<B<π，所以0<B≤π3，所以f(B)=sinB+cosB=√2sin(B+π4)，因为0<B ≤π3，所以π4<B +π4≤7π12，所以sin (B +π4)∈(√22,1], 从而f (B )∈(1,√2]．解析：本题考查利用基本不等式求最值 、辅助角公式、正弦定理以及余弦定理，属于中档题； (1)因为asin2B −bsinA =0，由正弦定理可知sinAsin2B −sinBsinA =0， 可得cosB =12，B =π3，又因为b =3，由正弦定理得bsin B =csin C ⇒c =√6．(2)因为a +c =2b ，由余弦定理得cos B =12，可得0<B ≤π3，故f (B )=sinB +cosB =√2sin (B +π4)，π4<B +π4≤7π12，可得sin (B +π4)∈(√22,1]；7.答案：解：(1)f(x)=2cosx(√3sinx −cosx)+1=2√3sinxcosx −2cos 2x +1=√3sin2x −cos2x =2sin (2x −π6)， ∴T =π．(2)∵−π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ，∴−π6+kπ≤x ≤π3+kπ，k ∈Z ， 所以f (x )的单调增区间是[−π6+kπ,π3+kπ]，k ∈Z ． (3)∵x ∈[0,π2]，∴2x −π6∈[−π6,5π6]，即当2x−π6=π2时，f(x)max=2sinπ2=2，当2x−π6=−π6时，f(x)min=2sin (−π6)=−1，所以f(x)的值域为[−1,2]．解析：本题考查了三角函数恒等变换及函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题．(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，根据周期公式即可求得；(2)利用正弦函数的单调性即可得解；(3)由题意可求范围2x−π6∈[−π6,5π6]，利用正弦函数的性质即可求解．8.答案：解：(1)由已知f(x)=√34−12sin xcos x−√32sin2x=√34−14sin2x−√32×1−cos2x2=√34cos2x−14sin2x=12cos (2x+π6)，所以最小正周期，令2x+π6=kπ,k∈Z，解得x=−π12+k2π,k∈Z，所以f(x)的对称轴方程为x=−π12+k2π,k∈Z;(2)当x∈[0,π2]时，，又y=cosx在上单调递增，所以由，解得x∈[512π,π2]，即f(x)的单调递增区间为[512π,π2]，因为，所以cos (2x+π6)∈[−1,√32]，所以f(x)=12cos (2x+π6)∈[−12,√34]，即f(x)的最小值为−12．解析：本题考查二倍角公式及辅助角公式的应用，同时考查余弦函数的性质，属于中档题． (1)利用二倍角公式及辅助角公式化简f(x)，然后由余弦函数的性质求解即可; (2)求出，然后由余弦函数的单调性及最值求解即可．9.答案：解：若选择条件①： (1)因为sin (2C −π6)=2cosC +12，所以√32sin2C −12cos2C =2cosC +12，所以√3sinCcosC −cos 2C =2cosC ，所以cosC(√3sinC −cosC −2)=0， 即2cosC [sin (C −π6)−1]=0， 所以cos C =0或sin (C −π6)−1=0. 因为0<C <π，所以C =π2或C −π6=π2，即C =π2或C =2π3．(2)因为sin B −2sin A =0，由正弦定理asinA =bsinB ，得b =2a. 因为a =2，所以b =4.由余弦定理，得c 2=a 2+b 2−2abcos C =22+42−2×2×4cos C ， 当C =π2时，c 2=20，解得c =2√5； 当C =2π3时，c 2=28，解得c =2√7. 综上，b =4，c =2√5或c =2√7.若选择条件②：(1)因为A ∈(0,π)，所以sinA =12，所以A =π6或A =5π6.若A =5π6，则B ∈(0,π6)，2B ∈(0,π3)，cos 22B >14不合题意， 所以A =π6. 由cos 22B =14，得cos2B =12或cos2B =−12. 因为B <C ，所以B ∈(0,5π12)，所以2B ∈(0,5π6)，所以2B =π3或2B =2π3.当B =π6时，C =2π3；当B =π3时，C =π2， 所以C =π2或C =2π3．(2)若B =π6，A =B 即b =2，c 2=a 2+b 2−2abcos C =4+4+4=12， 所以c =2√3； 若B =π3，由正弦定理asinA =bsinB ，得b =2√3，c =√a 2+b 2=4. 综上b =2，c =2√3或b =2√3，c =4.若选择条件③： (1)当直线l 斜率不存在时，l 与圆M 相切，此时C =π2. 当直线l 斜率存在时，设l 方程为y =k(x −2)即kx −y −2k =0， 此时圆心M(1,2+√3)到直线l 距离d =√3)|√k 2+1=1， 解得k =−√3，此时C =2π3.所以C =π2或C =2π3．(2)因为sin B −2sin A =0， 由正弦定理asinA =bsinB ，得b =2a. 因为a =2，所以b =4.由余弦定理，得c 2=a 2+b 2−2abcos C =22+42−2×2×4cos C ， 当C =π2时，c 2=20，解得c =2√5； 当C =2π3时，c 2=28，解得c =2√7.综上，b =4，c =2√5或c =2√7．解析：本题考查解三角形、三角恒等变换和直线与圆的位置关系，属于一般题． 若选择条件①，(1)利用三角恒等变换公式，结合C 的范围即可求解； (2)由正弦定理求出b ，再利用余弦定理即可求解．若选择条件②：(1)由题意，得sinA =12，进一步求得AA =π6. 由cos 22B =14求出B ，进一步可求出C; (2)由正弦定理求出b ，进一步可求出b ，c ．若选择条件③，(1)由直线与圆的位置关系即可求C ； (2)利用正弦定理求出b ，再利用余弦定理即可求解．10.答案：解：(1)在ΔABC 中，因为acos B 2=bsinA ，所以由正弦定理得sinA ⋅cos B2=sinB ⋅sinA ，因为sinA ≠0，所以cos B2=sinB ，所以cos B2=2sin B2cos B2因为cos B2≠0，所以sin B2=12，因为B∈(0,π)，所以B=π3(2)选①:由正弦定理得5√33sinA=5sinπ3，即sinA=12，因为b>a，所以A=π6，所以C=π2，所以ΔABC是直角三角形，所以S=12ab=12⋅5√33⋅5=25√36.选②:由tan(A+π4)=2+√3得tanA+tanπ41−tanAtanπ4=tanA+11−tanA=2+√3，解得tanA=√33因为A∈(0,π)，所以A=π6，所以C=π2，所以ΔABC是直角三角形，所以S=12ab=12⋅5√33⋅5=25√36.选③：因为b2+c2=a2+bc，所以cosA=b2+c2−a22bc =12，因为A∈(0,π)，所以A=π3，又B=π3，所以ΔABC为正三角形，所以S=25√34解析：本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积计算公式及两角和与差的正切三角函数公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)正弦定理得sinA⋅cos B2=sinB⋅sinA，再由sin A的取值范围求得sin B2=12，最后根据B的取值范围求得B值．(2)选择①先根据正弦定理得到A=π6，以此得出ΔABC是直角三角形，再根据三角形面积公式即可求解．选择②利用两角和与差的正切三角函数公式求得tanA=√33，再根据A的取值范围得到A=π6，以此得出ΔABC是直角三角形，再根据三角形面积公式即可求解．选择③根据已知利用余弦定理得到cos A =12，再得出A =π3，又B =π3，得到ΔABC 为正三角形，最后求得面积．11.答案：解：(1)在△ABC 中，a sinA =b sinB =csinC ，且，∴sinAcosC +sinCcosA +√2sinBcosB =0， ∴sinB ·(1+√2cosB)=0， 又∵sinB ≠0，∴cosB =−√22，∵B 是三角形的内角，∴B =3π4；(2)在△ABM 中，BM =1，AM =√5，B =3π4，AB =c ，由余弦定理得AM 2=c 2+(BM)2−2c ·BM ⋅cosB ， ∴c 2+√2c −4=0， ∵c >0，∴c =√2，在△ABC 中，a =2，c =√2，B =3π4，∴△ABC 的面积S =12acsinB =1．解析：本题考查两角和与差的公式，考查正余弦定理，考查三角形面积公式，考查分析与计算能力，属于中档题．(1)根据正弦定理化简，求出cos B ，得出角B ； (2)由余弦定理求出c ，再利用面积公式求出面积即可．12.答案：解：(1)f(x)=cos2xcos π6−sin2xsin π6+√31−cos2x 2=−12sin2x +√32， 则2kπ+π2≤2x ≤2kπ+3π2，即：π4+kπ≤x ≤3π4+kπ,k ∈z ．因此，单调递增区间为[π4+kπ,3π4+kπ],k ∈z ．(2)∵f(c2)=√32−12sinC =√34，∴sinC =√32又C 为锐角，因此C =π3．∵cosB =13∴sinB =√1−19=2√23， ∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC=2√23×12+13×√32=2√2+√36．解析：略13.答案：解：(1)由已知，sin 2C −sin 2A =sinBsinC −sin 2B ，∴sin 2B +sin 2C −sin 2A =sinBsinC ， 在△ABC 中，由正弦定理得b 2+c 2−a 2=bc ， 则cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，又A ∈(0,π)，故A =π3．(2)由正弦定理，b sinB =c sinC =a sinA =1sin π3=2√33， 则b =2√33sinB ，c =2√33sinC ，且B +C =π−A =2π3，∴a +b +c =1+2√33sinB +2√33sinC =1+2√33[sinB +sin(2π3−B)] =1+2√33(32sinB +√32cosB)=1+2sin(B +π6)， 又△ABC 为锐角三角形，则{0<B <π20<2π3−B <π2，解得B ∈(π6,π2)，∴B +π6∈(π3,2π3)，故sin(B +π6)∈(√32,1],则1+2sin(B +π6)∈(1+√3,3], 即△ABC 周长的取值范围为(1+√3,3]．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由已知由正弦定理得b 2+c 2−a 2=bc ，利用余弦定理可求cos A 的值，结合范围A ∈(0,π)，可求A 的值．(2)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a +b +c =1+2sin(B +π6)，由{0<B <π20<2π3−B <π2，可得范围B +π6∈(π3,2π3)，利用正弦函数的性质即可求解△ABC 周长的取值范围．14.答案：(1)证明：因为sinAsinB =1+cosA2−cosB ，所以2sinA −sinAcosB =sinB +sinBcosA ，所以2sinA =sinB +sinAcosB +sinBcosA =sinB +sin (A +B ) =sinB +sinC ，所以由正弦定理可得：2a =b +c ．(2)解：因为cosA =45，所以sinA =√1−cos 2A =35， 又S ▵ABC =6，所以6=12bcsinA ，所以bc =20，由余弦定理可得cosA =b 2+c 2−a 22bc=(b +c )2−2bc −a 22bc =4a 2−2bc −a 22bc =3a 2−2bc2bc=3a 2−4040=45．整理得a 2=24，解得a =2√6(负值舍去)．解析：本题主要考查了诱导公式，同角三角函数的基本关系，正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． (1)将等式变形，利用两角和的正弦函数公式和诱导公式化简为2sinA =sinB +sinC ，由正弦定理可证明结论；(2)求出sin A ，利用三角形的面积公式求出bc ，然后利用余弦定理和2a =b +c 可求出a 的值．15.答案：解：由于α,β为锐角，所以，所以sin (α+β)=√1−(−13)2=2√23， sin2α=√1−(−513)2=1213．(1)由二倍角公式得cos2α=1−2sin 2α=−513，sin 2α=913， 由于sinα>0，所以sinα=3√1313． (2)由=cos2αcos (α+β)+sin2αsin (α+β)=(−513)×(−13)+2√23×1213=5+24√239．解析：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的余弦公式，考查二倍角公式，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题．(1)首先根据α,β的大小，求得sin (α+β),sin2α的值.利用cos2α的二倍角公式，求得sinα的值． (2)利用，求得的值．16.答案：解：(1)因为√3sinAsin(π2−A)=cos 2A +12，所以√32sin2A =2cos 2A+12=cos2A 2+1，即sin(2A −π6)=1， 因为A ∈(0,π)， 所以2A −π6∈(−π6,11π6)，所以2A−π6=π2，A=π3．(2)因为△ABC的外接圆半径为1，所以a=2sinA=2×√32=√3，则a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc⩾(b+c)2−3(b+c)24，即3≥(b+c)24，当且仅当b=c=√3时取等号，故b+c⩽2√3，b+c的最大值为2√3．解析：本题考查正余弦定理的应用，三角恒等变换，三角函数的图象性质，基本不等式求最值，属于中档题．(1)根据二倍角公式，辅助角公式化简得sin(2A−π6)=1，再根据角的范围确定角A的大小；(2)根据正余弦定理及基本不等式可得3≥(b+c)24，解出b+c的取值范围可得．17.答案：解：(1)∵p⃗//q⃗，∴2acosC=1×(2b−c)，根据正弦定理，得2sinAcosC=2sinB−sinC，又∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴2cosAsinC−sinC=0，即sinC(2cosA−1)=0，∵C是三角形内角，sinC≠0，∴2cosA−1=0，可得cosA=12，∵A是三角形内角，∴A=π3，得sinA=√32；(2)−2cos2C1+tanC +1=2(sin2C−cos2C)1+sinCcosC+1=2cosC(sinC−cosC)+1=sin2C−cos2C，∴−2cos2C1+tanC +1=√2sin(2C−π4)，∵A=π3，得C∈(0,2π3)，∴2C−π4∈(−π4,13π12)，可得−√22<sin(2C−π4)≤1，∴−1<√2sin(2C−π4)≤√2，即三角函数式−2cos2C1+tanC +1的取值范围是(−1,√2].解析：本题考查了平面向量平行、三角恒等变换、正弦定理和诱导公式，函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质， 属于中档题．(1)根据向量平行的充要条件列式：2b −c =2acosC ，结合正弦定理与两角和的正弦公式，化简可得2cosAsinC =sinC ，最后用正弦的诱导公式化简整理，可得cosA =12，从而得到sin A 的值； (2)将三角函数式用二倍角的余弦公式结合“切化弦”，化简整理得√2sin(2C −π4)，再根据A =π3算出C 的范围，得到sin(2C −π4)的取值范围，最终得到原三角函数式的取值范围．18.答案：解：(1)函数=√3(12cos2x +√32sin2x)−sin2x=√32cos2x +12sin2x ，∴最小正周期，由，k ∈Z ，得，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间是，k ∈Z ；(2)由(1)可知，由时，得，∴当，即时，f(x)取得最大值，即；∴当，即时，f(x)取得最小值，即，故f(x)的最大值为1，最小值为−12．解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题．(1)利用两角和与差，二倍角辅助角公式化简，可得函数f(x)的最小正周期，结合三角函数的性质即可求函数f(x)的单调递减区间；(2)当时，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质即可求函数f(x)的最大值和最小值．19.答案：解：(1)选择 ①:由cos(π3−B)=12+cosB，得12cosB+√32sinB=12+cosB，即√32sinB−12cosB=12，所以sin(B−π6)=12，因为，所以，故B−π6=π6，所以B=π3．选择 ②:由正弦定理，asinA+c(sinC−sinA)=bsinB可化为a2+c2−b2=ac，由余弦定理，得cosB=a2+c2−b22ac =12，因为，所以B=π3，选择 ③:由正弦定理，得√3cbcosA =√3sinCsinBcosA，又tanA+tanB=sinAcosA +sinBcosB=sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=sin(A+B)cosAcosB =sinCcosAcosB．由√3cbcos A =tan A+tan B，得√3sinCsinBcos A=sinCcosAcosB，因为sinC>0，所以tanB=√3，因为，所以B=π3．(2)在△ABC中，由(1)及b=2√3，b sinB =asinA=csinC=√3√32=4，故a=4sinA，c=4sinC，所以a+2c=4sinA+8sinC=4sinA+8sin(23π−A)=4sinA+4√3cosA+4sinA=8sinA+4√3cosA=4√7sin(A+φ)，因为且φ为锐角，所以存在角A使得A+φ=π2，所以a+2c的最大值为4√7．解析：本题考查了正余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了三角恒等变换以及三角函数的性质，属于中档题．(1)选择①②③中的任一条件，由正余弦定理结合两角和与差公式等求出角B=π3；(2)借助正弦定理和辅助角公式可得a+2c=4√7sin(A+φ)，再由三角函数的性质求出最值即可．20.答案：解：(1)选①：bsin C=ccos (B−π6)．由正弦定理得sinBsinC=sinCcos(B−π6)=sinC(√32cosB+12sinB),即sin Bsin C=√3sin Ccos B．因为在ΔABC中，sinC>0，所以sin B=√3cosB，tan B=√3．在ΔABC中，B=π3．选②：2bsin B=√3(acos C+ccos A),b<a．由正弦定理得2sinBsinB=√3(sinAcosC+sinCcosA)=√3sin(A+C)=√3sinB．因为在ΔABC中，sinB>0，所以sin B=√32．因为b<a，所以B=π3．选③：sin B21−cosB =√32cos B2．因为2sin B2cos B2=√3(1−cosB)，所以2sin B2cos B2=2√3sin2B2，因为在ΔABC中，sin B2>0，所以tan B2=√33，所以B 2=π6,B =π3． (2)由余弦定理得cos B =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−32ac=12，所以a2+c2−ac =3．可知a 2+c2−ac =(a +c)2−3ac ⩾14(a +c)2，所以a +c ⩽2√3，当且仅当a =c 时取等号．所以的周长有a +b +c ⩽3√3,当且仅当a =c 时取等号，故周长的最大值为3√3．解析：本题考查三角函数的恒等变换，考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．(1)选①，由条件及正弦定理可得sin B =√3cosB ，进而可得结果；选②，由条件及正弦定理可得sin B =√32，进而可得结果；选③，由条件及二倍角公式可得tan B 2=√33，进而可得结果． (2)根据余弦定理可得a 2+c2−ac =3，结合基本不等式得到a +c ⩽2√3，进而看求得结果．21.答案：解：(1)在Rt △GFB 中，∠GFB =θ，则FB =10cosθ．同理在Rt △FEA 中，∠FEA =θ，则FA =10sinθ． ∴AB =10(sinθ+cosθ)，GB =FA =10sinθ．∵绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积，则AB ·AN =4S △GFB ． ∴AN =4S ▵GFB AB=20sinθcosθsinθ+cosθ，∴y =20sinθcosθsinθ+cosθ，θ∈(0,π2)．(2)令sinθ+cosθ=t ，则t =√2sin (θ+π4)． ∵θ∈(0,π2)，∴t ∈(1,√2],∴y =10(t 2−1)t=10(t −1t )．易知f (x )=x −1x 在(1,√2]上单调递增，∴y max =10(√2−√2)=5√2．答：AN 的最大值为5√2 m ．解析：本题考查了三角恒等变换，函数解析式求解与函数最值的计算，属于中档题．(1)用θ表示出直角三角形的直角边，得出种植黄色郁金香的面积，再得出y关于θ的函数；(2)令sinθ+cosθ=t，求出t的范围，再根据函数单调性得出y的最大值．22.答案：解：设∠AMN=θ，在△AMN中，MNsin60∘=AMsin(120∘−θ)．因为MN=2，所以AM=4√33sin(120°−θ)．在△APM中，cos∠AMP=cos(60°+θ)．AP2=AM2+MP2−2AM·MP·cos∠AMP=163sin2(120°−θ)+4−2×2×4√33sin(120°−θ)cos(60°+θ)=163sin2(θ+60°)−16√33sin(θ+60°)cos(θ+60°)+4=83[1−cos(2θ+120°)]−8√33sin(2θ+120°)+4=−83[√3sin(2θ+120°)+cos(2θ+120°)]+203=203−163sin(2θ+150°)，θ∈(0,120°)..当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2√3．答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．解析：本题主要考查了解三角的实际应用，属于中档题·设∠AMN=θ,在△AMN中,求出AM，在△APM中，利用余弦定理，建立函数，利用辅助角公式化简，即可得出结论．23.答案：解：(1)f(x)=2sin xcos x−2√3cos2x+√3=sin 2x−√3cos 2x=2sin (2x−π3)，最小正周期T=2π2=π．当−π2+2kπ⩽2x−π3⩽π2+2kπ(k∈Z)时，即−π12+kπ⩽x⩽5π12+kπ(k∈Z)时，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的单调递增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ](k∈Z)．2x−π3=kπ，即x=π6+kπ2(k∈Z)，则函数f(x)的对称中心为(π6+kπ2,0)(k∈Z)；(2)∵f(x0)=2sin (2x0−π3)=√3，∴sin (2x0−π3)=√32，∴2x0−π3=π3+2kπ或2x0−π3=2π3+2kπ(k∈Z)，∴x0=π3+kπ或x0=π2+kπ(k∈Z)．解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，三角恒等变换，属于中档题．(1)先化简函数f(x)=2sin(2x−π3)，再根据正弦函数的图象与性质解答即可；(2)由题意可得sin (2x0−π3)=√32，进而可得2x0−π3=π3+2kπ或2x0−π3=2π3+2kπ(k∈Z)，从而求出结果．24.答案：解：(1)由正弦定理可得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，又C为三角形内角，sinC≠0，∴2cosCsin(A+B)=sinC⇒cosC=12⇒C=π3;，又，的周长为5+√7．解析：本题主要考查解三角形中正余弦定理的应用．(1)根据正弦定理把2cosC(acosB +bcosA)=c 化成2cosC(sinAcosB +sinBcosA)=sinC ，利用和角公式可得cosC =12,从而求的角C ；(2)根据三角形的面积和sin C 的值求得ab =6，由余弦定理求得a +b ，得到ΔABC 的周长．25.答案：解：(1)由题意得A =2，周期T =4×(4−1)=12．∵2πω=12，∴ω=π6．将点P(1,2)代入f(x)=2sin(π6x +φ)， 得sin(π6+φ)=1． ∵0<φ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(π6x +π3).(2)由题意，得g(x)=2sin[π6(x −2)+π3]=2sin π6x.∴ℎ(x)=f(x)⋅g(x) =4sin(π6x +π3)⋅sin π6x=2sin 2π6x +2√3⋅sin π6x ⋅cos π6x=1−cos π3x +√3sin π3x=1+2sin(π3x −π6).由π3x −π6=kπ(k ∈Z)，得x =3k +12(k ∈Z)．∴函数ℎ(x)的图像的对称中心为(3k +12,1)(k ∈Z)．解析：本题考查函数y =Asin (ωx +φ)的图像和性质，两角和与差的三角函数公式，辅助角公式，二倍角公式等知识．(1)由题意得振幅A ，周期T ，利用周期公式求出ω，将点P(1,2)代入解析式，结合0<φ<π2，可求φ的值，即可得函数解析式；(2)利用三角函数的图象变换可得g(x)的函数解析式，利用三角恒等变换求出ℎ(x)的函数解析式，由π3x −π6=kπ(k ∈Z)，即可求解．26.答案：解：(1)因为sinA =35，所以cos2A =1−2sin 2A =1−2×(35)2=725； (2)因为A ，B 为锐角，所以，则sin(A +B)>0，由于cos(A +B)=513， 所以．因为A 为锐角，sinA =35，则cosA >0， 所以，从而sin2A =2sinAcosA =2425，则sin(A −B)=sin[2A −(A +B)]=sin2Acos(A +B)−cosAsin(A +B)=36325．解析：本题考查三角函数的同角间的关系，二倍角公式和三角函数的和差公式，考查了考生的理解，计算能力，属基础题．(1)利用sinA =35和三角函数的二倍角公式进行求解即可得．(2)利用三角函数的同角的关系和三角函数的和差公式进行求解即可得．27.答案：解：(1)∵0<α<π2，sinα=45，∴cosα=√1−sin 2α=35， ∵sin2α=2sinαcosα=2425，cos2α=cos 2α−sin 2α=−725∴cos(2α+π4)=√22(cos2α−sin2α)=√22(−725−2425)=−31√250，(2)∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α+β<π， ∵cos(α+β)=−12， ∴sin(α+β)=√32， ∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=4+3√310．解析：本题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值，角的变换是解题的关键，属于中档题．(1)根据同角的三角函数的关系即可求出cosα，再根据二倍角公式和两角差的余弦公式即可求出答案； (2)根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出答案．28.答案：解：(1)由sinα=4√37，0<α<π2， 得cosα=√1−sin 2α=√1−(4√37)2=17，∴tanα=sinαcosα=4√37×71=4√3，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√31−(43)2=−8√347； (2)由0<β<α<π2， 得−π2<β−α<0， 又∵cos(β−α)=1314，∴sin(β−α)=−√1−cos 2(β−α)=−√1−(1314)2=−3√314， 由β=(β−α)+α， 得cosβ=cos[(β−α)+α]=cos(β−α)cosα−sin(β−α)sinα=1314×17+3√314×4√37=12，∴由0<β<π2，得β=π3．解析：(1)首先，求解cosα的值，得到tanα的值，从而求解tan2α的值；(2)根据β=(β−α)+α，利用两角和的余弦公式，从而确定β的值．本题重点考查了三角函数化简求值，考查推理能力和计算能力，属于中档题．29.答案：解：(1)3cos(B−C)−1=6cosBcosC，化简得：3cosBcosC+3sinBsinC−1=6cosBcosC，变形得：−1=3(cosBcosC−sinBsinC)，=3cos(B+C)，=−3cosA；∴cosA=13．(2)∵A∈(0,π)，cosA=13，∴sinA=√1−cos2A=2√23，∵S=12bcsinA，∴2√2=12bc×2√23，∴bc=6，又a=3，cosA=13，∵cosA=b2+c2−a22bc =(b+c)2−2bc−a22bc，∴13=(b+c)2−12−92×6，∴(b+c)2=25，∴b+c=5又bc =6，且b <c ，∴b =2，c =3．解析：本题主要考查了余弦定理，诱导公式的作用，同角间的基本关系式，两角和与差的余弦函数，面积公式，属于中档题．(1)利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos(B +C)的值，将cos A 用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将cos(B +C)的值代入即可求出cos A 的值；(2)由cos A 的值及A 为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin A 的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积，将已知的面积及sin A 的值代入，得出bc =6，再由a 及cos A 的值，利用余弦定理列出关于b 与c 的关系式，进而可求出b 与c 的值．30.答案：解：(1)因为tanA =sinA cosA =−2√2，所以sinA =−2√2cosA ，所以sin 2A +cos 2A =(−2√2cos A)2+cos 2A =9cos 2A =1，所以cos 2A =19，又因为tanA <0，所以A 为钝角，故cosA =−13，所以sinA =2√23，cosB =√63， 所以cos C =−cos (A +B)=sin Asin B −cos Acos B =2√23⋅√33+13⋅√63=√63; (2)sin(2A +C)=sin(π−B +A)=sin(B −A)=sin Bcos A −cos Bsin A =√33·(−13)−√63·2√23=−5√39．解析：本题考查同角三角函数关系式及两角和与差的三角函数，属于中档题．(1)由已知得sinA =−2√2cosA ，利用sin 2A +cos 2A =1，求出cos A ，从而得sin A ，然后利用cos C =−cos (A +B)=sin Asin B −cos Acos B 求解即可;(2)利用sin(2A +C)=sin(π−B +A)=sin(B −A)求解即可．。