人教A版高中数学第五章第5节《三角恒等变换》解答题提升训练 (11)(含答案解析)

第五章第5节《三角恒等变换》解答题提升训练 (11)

一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）

1.在①bc=1，②a+b=1+√3，③c=√5b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问

题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC=√3sin2B?cosAcosB，cosC=√3

，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

)=2+√3，③a2+b2=c2+√3ab这三个条件中任选一2.在①√3csinA=acosC，②tan(C+π

个，补充在下面问题中，并加以解答．

已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S.若c=4，B=105°，________，求a和S．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

3.在①b2+√2ac=a2+c2，②acosB=bsinA，③sinB+cosB=√2这三个条件中任选一个，

补充在下面的问题中，并解决该问题．

已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c______________，，b=√2，求ΔABC的面积．

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

4.已知函数f(x)=sin(x?π

6)+cos(x?π

),g(x)=2sin2x

(1)若α是第一象限角，且f(α)=3√3

.求g(α)的值;

(2)若x∈[0,π],求函数F(x)=f(x)+g(x)的值域．

)=2+√3，③a2+b2=c2+√3ab这三个条件中任选一5.在①√3csinA=acosC，②tan(C+π

个，补充在下面问题中，并加以解答．

已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S.若c=4，B=105°，________，求a和S．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

6.已知?ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．

(1)若C=π

，b=3，且asin2B?bsinA=0，求边c的值；

(2)若a+c=2b，求f(B)=sinB+cosB的取值范围．

7.已知函数f(x)=2cosx(√3sinx?cosx)+1．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)的单调递增区间；

(3)当x∈[0,π

]时，求函数f(x)的值域．

8.已知函数f(x)=√3

4?1

sinxcosx?√3

sin2x.

(1)求函数f(x)的周期，并求出函数f(x)的对称轴；

(2)若x∈[0,π

]，求函数f(x)的单调递增区间和最小值．

9.在①sin(2C?π

6)=2cosC+1

，sin B=2sin A；②sin2A=cos22B=1

，B

点(2,0)，倾斜角大小等于角C，并且与圆M：(x?1)2+(y?2?√3)2=1相切，sin B=2sin A 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，_______________．

(1)求角C；

(2)若a=2，求b，c的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

10. 在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，ΔABC 的面积为S ，

．

(1)求B ；

(2)若b =5，______________，求S ．

请在①a =

5√3

，②tan(A +π

)=2+√3，③b 2+c 2=a 2+bc 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

11. 在△ABC 中，

内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2，．

(1)求B ；

(2)若BC 边的中线AM 长为√5，求△ABC 的面积．

12. 设函数f(x)=cos(2x +π

6)+√3sin 2x ．

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)设A,B,C 为ΔABC 的内角，若cosB =1

3，f(C

2)=√3

，且C 为锐角，求sinA 的值．

13. 已知ΔABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2C ?sin 2A =sinBsinC +cos 2B ?1．

(Ⅰ)求A ；

(Ⅱ)若ΔABC 为锐角三角形，且a =1，求ΔABC 周长的取值范围．

14.已知?ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，sinA

sinB =1+cosA

2?cosB

，

(1)求证：2a=b+c；

(2)若cosA=4

，S?ABC=6，求a的值．

15.已知均为锐角．

(1)求的值；

(2)求的值．

16.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，√3sinAsin(π

2?A)=cos2A+1

．

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的外接圆半径为1，求b+c的最大值．

17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，p?=(2a,1)，q?=(2b?c,cosC)，且p?//q?．

(1)求sin A的值；

+1的取值范围．

(2)求三角函数式?2cos2C

1+tanC

18.已知函数

求的最小正周期和单调减区间；

当时，求的最大值与最小值．

19.在①cos(π

3?B)=1

+cosB，②asinA+c(sin C?sinA)=bsin B，③√3c

bcosA

=tan A+tan B这

三个条件中，任选一个，补充在下面问题中．

问题：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b=2√3，______．

(1)求角B;

(2)求a+2c的最大值．

20.在①bsinC=ccos(B?π

),②2bsinB=√3(acosC+ccosA),b

③sin B 2

1?cosB =√3

2cos B

，这三个条件中任选一个，填在下面问题的横线上，并作出解答。

问题：ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知_______________

(1)求角B的大小；

(2)若b=√3,求出ΔABC周长的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

21.某公园欲将如图所示的一块矩形空地MNDC进行重新规划，拟在边长为10m的正方形EFGH

内种植红色郁金香，正方形ABCD的剩余部分(即四个直角三角形内)种植黄色郁金香．现要将以AB为一边长的矩形ABMN改造为绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积，设∠GFB=θ，AN=ym．

(1)求y与θ之间的函数关系；

(2)求AN的最大值．

22.如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划

拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建

两个仓库M、N(异于村庄A)，要求PM=PN=MN=2(单位：

千米).如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂

与村庄的距离最远)．

23.已知函数f(x)=2sinxcosx?2√3cos2x+√3，x∈R．

(1)求f(x)的最小正周期，单调增区间和对称中心的坐标；

(2)若f(x0)=√3，求x0组成的集合

24.ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cosC(acosB+bcosA)=c．(1)求角C；

(2)若c=√7，SΔABC=3√3

，求ΔABC的周长．

25. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π

2)的部分图像如图所示，其中点P(1,2)为

函数f(x)图像的一个最高点，Q(4,0)为函数f(x)的图像与x 轴的一个交点，O 为坐标原点．

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)将函数y =f(x)的图像向右平移2个单位长度得到y =g(x)的图像，求函数?(x)=f(x)?g(x)的图像的对称中心．

26. 已知A ，B 均为锐角，sinA =3

5，cos(A +B)=5

13．

(1)求cos2A 的值； (2)求sin(A ?B)的值．

27. 已知0<α<π2，sinα=4

5．

(1)求cos(2α+π

4)的值；

(2)若0<β<π

2且cos(α+β)=?1

2，求sinβ的值．

28. 已知sinα=4√3

，cos(β?α)=13

14，且0<β<α<π

2． (Ⅰ)求tan2α的值； (Ⅱ)求β的值．

29. ?ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知3cos(B ?C)?1=6cosBcosC

(1)求cosA ；

(2)若a =3，?ABC 的面积为2√2，求b,c(其中b

30.在ΔABC中，tanA=?2√2,sinB=√3

．

(1)求cosA及cosC的值；

(2)求sin(2A+C)的值．

【答案与解析】

1.答案：解：选①：

在△ABC中，A+B+C=π，

因为cosC=√3sin2B?cosA·cosB，

所以?cos(A+B)=√3sin2B?cosA·cosB，

所以?cosA·cosB+sinA·sinB=√3sin2B?cosA·cosB，所以sinA·sinB=√3sin2B，

又sinB≠0，

所以sinA=√3sinB，

由正弦定理得，a=√3b，

因为bc=1，

所以c=1

，

由余弦定理得，cosC=a2+b2?c2

2ab =√3

，

所以3b 2+b2?1

2√3b2

=√3

，解得b=1，

因此a=√3，b=c=1，这样的△ABC存在；

选②：

同①，由cosC=√3sin2B?cosA·cosB得a=√3b，又因为a+b=1+√3，

所以a=√3，b=1，

由余弦定理得，cosC=a2+b2?c2

2ab =√3

，

所以c=1，

因此a=√3，b=c=1，这样的△ABC存在；

选③：

同①，由cosC=√3sin2B?cosA·cosB得a=√3b，

由余弦定理及c=√5b得，cosC=a2+b2?c2

2ab =√3

，

所以222

2√3b2=√3

，得?b2=3b2，此方程无解，

故问题中的三角形不存在．

解析：本题考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式，属于中档题．

选①，利用三角恒等变换公式得sinA=√3sinB，由正弦定理得，a=√3b，再利用余弦定理结合bc= 1即可求解；

选②，先求得a=√3b，再利用余弦定理即可求解；

选③，先求得a=√3b，再利用余弦定理即可求解．

2.答案：解：若选①，由及正弦定理a

sinA =c

sinC

，

得√3sinCsinA=sinAcosC，

又sinA≠0，

所以tanC=√3

，

因为，

所以C=30°．

又B=105°，

所以A=45°，

结合c=4，可得．

所以△ABC中的面积S=1

2acsinB=1

×4×4√2×sin105°

=8√2×(sin45°cos60°+cos45°sin60°)=4√3+4．

若选②，由tan(C+π

4)=tanC+tan

1?tanCtanπ

=tanC+1

1?tanC

=2+√3．

可得tanC=√3

.下同①

若选③，由a2+b z=c2+√3ab，

得cosC=a2+b2?c2

2ab =√3

，

因为，所以C=30°.下同①

解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，两角和差公式，属于中档题．

选①，由正弦定理可得tanC=√3

.再次利用正弦定理a=4√2，代入面积公式可得结果．

选②，利用正切的和角公式tanC=√3

.再次利用正弦定理a=4√2，代入面积公式可得结果．

选③，由余弦定理解得cos C，求解角C，由正弦定理可得tanC=√3

.再次利用正弦定理a=4√2，代入面积公式可得结果．

3.答案：解：选择①b2+√2ac=a2+c2，

由余弦定理cosB=a2+c2?b2

2ac =√2ac

2ac

=√2

，

因为B∈(0,π)，所以B=π

;

由正弦定理a

sinA =b

sinB

，得a=bsinA

sinB

=√2?sin?

√2

=√3，

因为A=π

3，B=π

，所以C=π?π

?π

=5π

，

所以sinC=sin5π

12=sin(π

+π

)=sinπ

cosπ

+cosπ

sinπ

=√6+√2

，

所以S△ABC=1

2absinC=1

×√3×√2×√6+√2

=3+√3

．

若选择②：acosB=bsinA，则sinAcosB=sinBsinA，

因为sinA≠0，所以sinB=cosB，因为B∈(0,π)，所以B=π

;

由正弦定理a

sinA =b

sinB

，得a=bsinA

sinB

=√2?sin

√2

=√3，

因为A=π

3，B=π

，所以C=π?π

?π

=5π

，

所以sinC=sin5π

12=sin(π

+π

)=sinπ

cosπ

+cosπ

sinπ

=√6+√2

，

所以SΔABC=1

2absinC=1

×√3×√2×√6+√2

=3+√3

．

若选择③：sinB+cosB=√2，则√2sin(B+π

4)=√2，所以sin(B+π

)=1，

因为B∈(0,π)，所以B+π

4∈(π

,5π

)，所以B+π

=π

，所以B=π

;

由正弦定理a sinA =b

sinB ，得a =

bsinA sinB

√2?sin π

√22

=√3，

因为A =π

3，B =π

4，所以C =π?π3?π4=

5π12

，

所以sinC =sin

5π12

=sin (π

4+π

6)=sin π

4cos π6+cos π4sin π

√6+√2

，所以S ΔABC =1

2absinC =1

×√3×√2×√

6+√24

3+√34

．

解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数公式以及三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

选择?①b 2+√2ac =a 2+c 2，由余弦定理可得cosB =√2

2，进而解得B ，则可确定C 的大小，再由

正弦定理可得a ，最后利用三角形的面积公式计算即可得出．

选择②由正弦定理可得cosB =√2

2，进而解得B ，则可确定C 的大小，再由正弦定理可得a ，最后利

用三角形的面积公式计算即可得出．

选择③由条件可得sin (B +π

4)=1，进而解得B ，则可确定C 的大小，再由正弦定理可得a ，最后利用三角形的面积公式计算即可得出．

4.答案：解：f(x)=sin(x ?π6)+cos(x ?π

√32sinx ?12cosx +12cosx +√3

sinx =√3sinx (1)又因为f(α)=3√5

，所以√3sinα=

3√55

.又因为α∈(0,π

2)，所以cosα=√10

5．因为g(x)=2sin 2x

2．

g(x)=2sin 2x

2=(1?cosx)，所以g(α)=(1?cosα)=1?√105

．

(2)由题意F(x)=f(x)+g(x)=√3sinx ?cosx +1=2sin(x ?π

6)+1， ∵x ∈[0,π]，∴x ?π

6∈[?π6,

7π

]，

所以sin(x?π

6)∈[?1

,1]，

所以2sin(x?π

)+1∈[0,3]，

所以函数F(x)=f(x)+g(x)的值域为[0,3]．

解析：本题主要考查利用三角恒等变换化简三角函数，结合三角函数图象求值域，考查运算求解，推理论证，属于中档题．

(1)利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过若α是第一象限角，且f(α)=3√5

，求出

cosα=√10

．

然后求g(α)的值；

(2)利用三角恒等变换化简三角函数F(x)=f(x)+g(x)，结合三角函数图象和性质求出它的值域．

5.答案：解：若选①，由及正弦定理a

sinA =c

sinC

，

得√3sinCsinA=sinAcosC，

所以tanC=√3

．

因为，

所以C=30°．

又B=105°，

所以A=45°，

结合c=4，可得．

所以△ABC中的面积S=1

2acsinB=1

×4×4√2×sin105°

=8√2×(sin45°cos60°+cos45°sin60°)=4√3+4．

若选②，由tan(C+π

4)=tanC+tan

1?tanCtanπ

=tanC+1

1?tanC

=2+√3．

可得tanC=√3

.下同①

若选③，由a2+b z=c2+√3ab，

得cosC=a2+b2?c2

2ab =√3

，

因为，

所以C=30°.下同①

解析：【试题解析】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，两角和差公式，属于中档题．

选①，由正弦定理可得tanC=√3

.再次利用正弦定理a=4√2，代入面积公式可得结果．

选②，利用正切的和角公式tanC=√3

.再次利用正弦定理a=4√2，代入面积公式可得结果．

选③，由余弦定理解得cos C，求解角C，由正弦定理可得tanC=√3

.再次利用正弦定理a=4√2，代入面积公式可得结果．

6.答案：解：(1)因为asin2B?bsinA=0，

所以由正弦定理可知sinAsin2B?sinBsinA=0，

即sinAsinB(2cosB?1)=0，

因为在?ABC中，sinAsinB≠0，

所以cosB=1

，

又因为0

，

又因为b=3，

所以由正弦定理得b

sinB =c

sinC

?c=bsinC

sinB

=3×sin

sinπ

=√6．

(2)因为a+c=2b，

所以由余弦定理得cos?B=a 2+c2?b2

2ac

=3b2?2ac

2ac

=3b2

2ac

?1?3b2

(a+c)2

?1=3b2

2b2

?1=1

，

当且仅当a=c时取等号．

因为0

，

所以f(B)=sinB+cosB=√2sin(B+π

)，