求数列通项公式(导学案)

数列的通项公式教学目标:使学生掌握求数列通项公式的常用方法. 教学重点:运用叠加法、叠乘法、构造成等差或等比数列及运用1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式. 教学难点:构造成等差或等比数列及运用1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式的方法. 教学时数:2课时.教 法:讨论、讲练结合.第一课时一．常用方法与技巧：（1）灵活运用函数性质，因为数列是特殊的函数.（2）运用好公式： 11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩快速练习:1.写出下面数列通项公式（记住）：1,2,3,4,5,… =n a ______________.1,1,1,1,1,… =n a ______________.1,-1,1,-1,1,… =n a ______________.-1,1,-1,1,-1,… =n a ______________.1,3,5,7,9,… =n a ______________.2,4,6,8,10,… =n a ______________.9,99,999,9999,… =n a ______________.1,11,111,1111,… =n a ______________.1,0,1,0,1,0,… =n a ______________. 2.求数列的通项公式的常用方法:(1).观察归纳法. 利用好上面的常用公式.(2).叠加法:例1.数列1n 1{}13,n n a a a a -==+中，，求数列 .n a 通项公式例2.11{}1,n n n a a a a n -==+数列中，，求数列 .n a 通项公式(3)叠乘法:1n 1{}12,n n a a a a -==例3.数列中，，求数列.n a 通项公式1n 1{}1131,n n a a a a -=+=+例4.数列中，，（）求数列 .n a 通项公式(4).构造成等差或等比数列法:1n 1{}121,n n a a a a -==+例5.数列中，，求数列.n a 通项公式11n 1{}121n n n a a a a a --==+例6.数列中，，，求数列.n a 通项公式三.巩固提高1.在数列1,1,2,3,5,8,13,x ,34,55,…中,x 的值是 A.19 B.20 C.21 D .22 1n 1{}1(2n-1),n n a a a a -==+2.数列中，，求数列 _____.n a =通项公式3.已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a = ． 3.已知数列{}n a 的11a =，22a =且212n n n a a a ++=-,则n a = ．5.已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a = ． 6.已知数列{}n a 的11a =，1(2)1n n a nn a n -=≥+， 则35a a += ．_____.n a =7.已知1111,(2),(1)n n a a a n n n -=-=≥-求数列{n a }通项公式n a .第二课时快速练习:填空：1.数列{}n a 满足:11=a 且13n n a a -=(2)n ≥ 则n a = ．2.数列{}n a 满足:11=a 且13n n a a -=+(2)n ≥ 则n a = ．3.数列{}n a 满足:11=a 且113--+=n n n a a (2)n ≥ 则n a = ．4.数列{}n a 满足:11=a 且113n n n a a --=⋅(2)n ≥， 则n a = ．二．求数列的通项公式的常用方法 (5) 活用公式⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n例7.已知数列{}n a 的前n 项和21()2n S n n =+，则n a = ．例8.已知数列{}n a 的前n 项和21()12n S n n =++,则n a = ．例9. 已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =+, 则n a = ．11{}1(2),.n n n n a a a S n a -==≥例10.数列满足，且求三．巩固提高1.已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =⋅，则n a = ．2.数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1)1(log 2+=+n S n ， 求.n a3.若n s 是数列{}n a 的前n 项和，2n S n 且=，则{}n a 是A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等比数列，而且也是是等差数列D.既不是等比数列又不是等差数列4.已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 1).写出数列{}n a 的前5项; 2).求数列{}n a 的通项公式.3).若1,,{}.n n n n n b a c nb c n =+=n 求的前项和S5.已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ,且*125()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．教学目标:使学生掌握数列前n 项求和的常用方法，培养学生的逻辑分析能力和创新能力. 教学重点:掌握运用公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组求和法、累加（累积）法等对数列进行求和.教学难点:将数列转化为等差或等比数列求和，及错位相减法.教学时数:3课时.教 法:讨论、讲练结合. 一.知识回顾（一）数列求和的常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列.2.裂项相消法:适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{}n a 是各项不为0的等差数列,c 为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等. 3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{}n a 是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列.4.倒序相加法:类似等差数列前n 项和公式推导方法.5.分组求和法、6.累加（乘）法等 （二）.常用结论1).1(1)1232nk n n k n =+=++++=∑L 2).21(21)135(21)nk n n n =-=++++-=∑L3).2222211123(1)(21)6nk k n n n n ==++++=++∑L4).111)1(1+-=+n n n n)211(21)2(1+-=+n n n n二.课前热身1.已知数列{}n a 的通项公式为31n a n =-,求数列{}n a 的前n 项和n S .2.已知数列{}n a 的通项公式为n a =3n ,求数列{}n a 的前n 项和n S .三.思考与归纳思考1. 对下列数列求和，并小结求和方法与思路： 1).2313521,,,,,.2222nn n -L L n 求数列的前项和S2).求数列{}n n 2⋅的前n 项和3).设n n n a 21⋅=，则=n s ______________.思考2.对下列数列求和，并小结求和方法与思路：1).已知数列}{n a 的通项公式为1(1)n a n n =+，求前n 项的和；2).已知数列}{n a 的通项公式为n a =，求前n 项的和． 3).1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+L .思考3.对下列数列求和，并小结求和方法与思路： 1).已知数列{}n a 的通项221n n a n =+-，则它前n 项的和n S = .2).22111()()()_________.n n x x x y y y+++++=L3).12(235)(435)(235)_____.n n ----⨯+-⨯+-⨯=L4).2(1)(2)()n a a a n -+-+-=L ___________ 思考4. 解下列各题，并小结解题方法与思路： 1.已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，请证明它的前n 项和公式为：11(1)(1)(1)1n n na q s a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩2.已知等比数列{}n a ，1231(1)(2)2n n n T na n a n a a a -=+-+-+⋅⋅⋅++，已知11T =， 24T =.（1）求数列{}n a 的首项和公比； （2）求数列{}n T 的通项公式3.已知数列{}n a 满足⋅⋅⋅-⋅⋅⋅---,,,,123121n n a a a a a a a 是首项为1公比为31的等比数列1).求n a 的表达式.2).如果n n a n b )12(-=,求{}n b 的前n 项和n s3.数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122*N n ∈1).求数列{}n a 的通项公式；2).设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；巩固练习1.设等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则下列结论中正确的是 （ ）A.)1(3--=n n na S n nB.13(1)n S na n n =+-C.1(1)n S na n n =+-D.)1(-+=n n na S n n2.数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅-132,,,,1n x x x x 的前n 项之和是A.x x n --11 B.x x n +--111 C.x x n +--211D.以上均不正确3.数列{}n a 前n 项的和b S n n +=3(b 是常数),若这个数列是等比数列，那么b 为 （ ） A.3 B.0 C.-1 D.14.等比数列{}n a 中,已知对任意自然数n ，12321-=+⋅⋅⋅+++n n a a a a ,则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+=A.2)12(-nB.)12(31-nC.14-nD.)14(31-n5.求和：111112123123n++++=+++++++L L .6.数列11111,2,3,4,392781L 的前n 项和是 .7.数列=-+⋅⋅⋅++++=-132)12(7531n n q n q q q s8. 数列{}n a 满足12a =，12n n n a a +=+，则通项公式n a = ，前n 项和n S = .9.2222222210099654321-++-+-+-Λ＝ .10.数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++L L L 的通项公式n a = ， 前n 项和n S = .11.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=. 1).求{}n a ，{}n b 的通项公式；2).求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．12.已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=， 1).求数列{}n a 的通项公式；2).令n n n b a x =(x R ∈)，求数列{}n b 前n 项和n S 的公式.。