2012年考研数学二真题及答案

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（当x=1时，y=无穷，为垂直渐近线。

当x=无穷时，y=1，为水平渐近线。

）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ）【解析】：221lim 1x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。

（2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -【答案】：（C ）【解析】：''22()(2)()(1)(2)()x x nx x x nxf x e e e n e e e n ⎡⎤=--+---⎣⎦所以'(0)f =1(1)!n n --，故选（C ）。

（3）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)【解析】：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim nn s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。

反之，{}n a 收敛，{}n s 却不一定有界，例如令1n a =，显然有{}n a 收敛，但n s n =是无界的。

故数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件，选(B)。

（4）设2sin k x k I e xdx π=⎰(k=1,2,3),则有D （画图应该能说明）（A ）123I I I <<(B)321I I I << (C)231I I I <<(D)213I I I <<【答案】：(D)【解析】：由于当(,2)x ππ∈时sin 0x <，可知22sin 0x e xdx ππ<⎰，也即210I I -<，可知12I I >。

又由于2223232s i n s i n s i n x xx e x d x e x d x e x d xππππππ=+⎰⎰⎰，对232s i n x e x d xππ⎰做变量代换t x π=-得()()()()222232222sin sin sin sin t t x x exdx et dt etdt exdx ππππππππππππ+++=+=-=-⎰⎰⎰⎰，故()()22232sin sin x x x e xdx eexdxπππππ+=-⎰⎰由于当(,x ππ∈时()22sin 0,0x x x e eπ+<-<，可知23sin 0x e xdx ππ>⎰，也即310I I ->，可知31I I >。

综上所述有213I I I <<，故选(D).（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都 有(,)0f x y x ∂>∂，(,)0f x y y∂<∂，则使得1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是(A) 1212,x x y y ><(B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y <<(D) 1212,x x y y <>【答案】：(D) 【解析】：(,)0f x y x∂>∂（>说明了X 是单调递增吗？），(,)0f x y y ∂<∂表示函数(,)f x y 关于变量x 是单调递增的，关于变量y 是单调递减的。

因此，当1212,x x y y <>时，必有1122(,)(,)f x y f x y <，故选D（6）设区域D 由曲线,1,2,sin =±==y x x y π围成，则())(15⎰⎰=-dxdy y xππ--)(2)(2)()(D C B A【答案】：（D ） 【解析】：区域D 如图中阴影部分所示，为了便于讨论，再引入曲线sin y x =-将区域分为1234,,,D D D D 四部分。

由于12,D D 关于y 轴对称，可知在12D D 上关于x 的奇函数积分为零，故1250D D x ydxdy =⎰⎰；又由于34,D D 关于x 轴对称，可知在34D D 上关于y 的奇函数为零，故3450D D x ydxdy =⎰⎰。

因此()152sin 21xDDx y dxdy dxdy dx dy πππ--=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，故选（D ）。

（7）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα 【答案】：（C ）【解析】：由于()13411341111,,011011c c c c ααα--=-==-，可知134,,ααα线性相关。

故选（C ）。

（8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】：（B ）【解析】：100110001Q P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则11100110001Q P --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，故11100100100110011101101101110100100100120012Q AQ P AP --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选（B ）。

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则22x d y dx ==（两次求导然后把x=0，y=0带入 ）________。

【答案】：1 【解析】：将0x =代入原方程可得0y = 方程21y x y e -+=两端对x 求导，有2y dy dy x e dx dx-=，将0x =、0y =代入可得，所以0x dydx==再次求导得222222y y d y dy d y e e dx dx dx ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，再将0x =、0y =、00x dy dx ==代入可得221x d ydx ==。

（10）计算22222111lim 12x n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭…_____（制造处1/n 和i/n ）___。

【答案】：4π【解析】：原式11220111lim arctan .141nn i dx x n x i n π0→∞=====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑⎰（11）设1ln z f x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,其中函数()f u 可微，则2z zxy x y∂∂+=∂∂________。

【答案】：0.【解析】：因为211,z z f f x x y y ⎛⎫∂∂''=⋅=⋅- ⎪∂∂⎝⎭，所以20.z z x y x y ∂∂+=∂∂（12）微分方程2(3)0ydx x y dy +-=满足初始条件|1x y =1=的解为________。

【答案】：2xy =【解析】：21(3)03dx ydx x y dy y x dy y +-=⇒=-13dx x y dy y⇒+=为一阶线性微分方程，所以112133dy dy y y x e y e dy C y dy C y-⎡⎤⎰⎰⎡⎤=⋅+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰31()y C y =+ 又因为1y =时1x =，解得0C =，故2x y =.（13）曲线2(0)y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是________。

(注五星)（曲率计算公式需记住） 【答案】：()1,0-【解析】：将21,2y x y =+=’”代入曲率计算公式，有323/222||2(1)1(21)y K y x ''==='+⎡⎤++⎣⎦整理有2(21)1x +=，解得01x =-或，又0x <，所以1x =-，这时0y =， 故该点坐标为()1,0-（14）设A 为3阶矩阵，3A =,*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ,则*BA =________。

【答案】：27-【解析】：**BA B A =，其中31*3,9B A A A-=-=-==，可知*27BA =-。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）已知函数11()sin ,x f x x x +=-，记0lim ()x a f x →=（1）求a 的值（2）若当0x →时，()f x a -是kx 的同阶无穷小，求k 【解析】：（1）2000011sin lim ()lim lim lim 1sin sin sin x x x x x x x x f x x x x x x →→→→-⎛⎫=-+=+=⎪⎝⎭，即1a = （2）,当0x →时，由11sin ()()1sin sin x xf x a f x x x x x--=-=-=又因为，当0x →时，sin x x -与316x 等价，故1()~6f x a x -，即1k =（16）（16）（本题满分10分） 求()222,x y f x y xe+-=的极值。

【解析】：()222,x y f x y xe +-=，先求函数的驻点：令()()()2222222,10,0x y x x y yf x y x ef x y xye +-+-⎧'=-=⎪⎪⎨⎪'=-=⎪⎩， 解得驻点为()()1,0,1,0-.又()()()222222222222311x y xx x y xy x y yy f x x ef y x e f x y e+-+-+-''=-''=--''=--对点()1,0，有()()()11221111,02,1,00,1,0xx xy yy A f e B f C f e--''''''==-====-所以，211110,0AC B A -><，故(),f x y 在点()1,0处取得极大值()121,0f e =. 对点()1,0-，有()()()11222221,02,1,00,1,0xx xy yy A f e B f C f e--''''''=-==-==-=所以，222220,0A C B A ->>，故(),f x y 在点()1,0处取得极小值()121,0f e -=-. （17）（本题满分11分）过点（0，1）点作曲线:ln L y x =的切线，切点为A ，又L 与x 轴交于B 点，区域D 由L与直线AB 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。