可逆矩阵教案(可编辑修改word版)
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（完整版）可逆矩阵教案.doc§1.4可逆矩阵★ 教学内容：1.可逆矩阵的概念；2.可逆矩阵的判定；3.利用转置伴随矩阵求矩阵的逆；4.可逆矩阵的性质。
★教学课时： 100 分钟 /2 课时。
★教学目的：通过本节的学习，使学生1.理解可逆矩阵的概念；2.掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；3.熟悉可逆矩阵的有关性质。
★教学重点和难点：本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。
★ 教学设计：一可逆矩阵的概念。
1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。
2.定义 1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵 B ，使得 AB BA E 则称 A 为可逆矩阵，简称 A 可逆，并称 B 为 A 的逆矩阵，或 A 的逆，记为A1。
3.可逆矩阵的例子：（ 1）例 1 单位矩阵是可逆矩阵；（ 2）例 21 0 1 0A ， B1，则 A 可逆；1 1 11 0 0（ 3）例 3 对角矩阵 A 0 2 0 可逆；0 0 31 1 1 1 1 0（ 4）例 4 A0 1 1 ， B 0 1 1 ，则A可逆。
0 0 1 0 0 14.可逆矩阵的特点：（1）可逆矩阵A都是方阵；（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A1和A是同阶方阵；（ 3）可逆矩阵A 的逆 A 1 也是可逆矩阵，并且 A 和 A 1 互为逆矩阵；（ 4）若 A 、B 为方阵，则 ABEA 1B 。
二可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆1.方阵不可逆的例子：例 5例 61 1 A0 01 2 A24不可逆；不可逆；2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法：（ 1）说明利用定义判定及求逆的方法，（2）说明这种方法的缺陷；3.转置伴随矩阵求逆（1）引入转置伴随矩阵1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论a i1A s1a i 2As2La inAsnD,is(i 1,2,L , n) ，0,isa 1 jA 1ta 2 jA2tLa njAntD, j t( j 1,2,L , n) ；0, j t2）写成矩阵乘法的形式有：a11a12La1nA11A21L An1A 0 L 0 a21 a22La2 nA12 A22LAn20 A LM M O M M M O MA EM M O M aan 2LannA1nA2nLAnn0 0 LA3）定义 1.4.2（转置伴随矩阵）设A ij 式是 A (a ij )n n 的行列式中 a ij 的代数余子式，则A 11 A 21 LA n1A *A 12A22L A n 2MM OMA1n2nLAnn称为 A 的转置伴随矩阵。
第三章 可逆矩阵 (第一讲)
（2）
Pl… P2 P1 （A|E )= (E|A-1)
（3）
利用（3）可以较容易地求3阶以上可逆矩阵的求逆。
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例4 用初等行变换求矩阵
1 2 3 0 1 2 A 0 0 1
的逆。 解 由于 1 2 3 1 0 0 1 0 1 1 2 0 ( A E ) 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
反之，若|A| ≠ 0，由定理2.1可知
A A A A E. A A
所以，按逆矩阵的定义，方阵A是可逆的，并且 1 1 A A. A
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1 2 3 A 2 2 1 . 3 4 3 验证A是否可逆，若有逆并求其逆。 解 由于|A|=2 ≠ 0 ，所以，A可逆。再计算 A11=2，A21=6，A31=-4， A12=-3，A22=- 6，A32=5， A13=2，A23=2，A33=-2，
AB
1
B A .
1
1
若n阶矩阵A1, A2,…, AS都可逆，则它们的乘积A1A2…AS 亦可逆，且
（A1A2…AS)-1= AS-1…A2-1A1-1.
若A可逆，m为正整数时， Am亦可逆，且 (Am)-1= (A-1) m. 若规定A-m= (A-1) m，则上式变成 (Am)-1= A-m.
§1 可逆矩阵的定义与性质
1.1可逆矩阵的概念 定义1.1 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B，使 AB = BA = E, 则称方阵 A 是可逆的，并称方阵 B称为 A 的逆矩阵,简称A 的逆.
可逆矩阵
解
经计算易得
所以
不可逆； 不可逆；
①
当
有为零的数时， 不可逆； 有为零的数时， 不可逆； 均不为零时， 可逆， 均不为零时， 可逆，据矩阵
② 当
的特点， 乘法的定义和矩阵 的特点，作 3 阶矩阵
则
10
， 所以
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
.
由于 ① 当
所以， ， 所以， 不可逆； 时， 不可逆； 可逆， 时， 可逆，
是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 命题 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵唯一 若 均是 的逆矩阵，则 的逆矩阵，
可逆， 提醒 若 可逆，记其唯一的逆矩阵为
2
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
矩阵可逆的充要条件 定理 设 为 阶方阵 ，则 可逆
可逆时， 当 可逆时， 可逆， 证明 必要性 因 可逆，故存在 使得 故
证明 因
由前面定理推论 知
可逆且
推论 若 们的乘积
均为同阶可逆方阵， 均为同阶可逆方阵，则它 也可逆且
6
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
可逆矩阵的性质 性质4 性质4 若 均为可逆方阵， 均为可逆方阵，那么
也可逆且
注记
由性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵. 性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵
例题
设矩阵 其中
满足
求
解答 可逆 显然可见 可逆且 故
20
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大阵法求阶数较高 的矩阵的可逆矩阵是不现实的. 的矩阵的可逆矩阵是不现实的 伴随矩阵法主要用于理论推导和求 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵. 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵 但从伴随矩阵法可见， 但从伴随矩阵法可见，逆矩阵和伴随 矩阵关系紧密. 所以， 矩阵关系紧密 所以，我们来研究研 究伴随矩阵的性质. 究伴随矩阵的性质
高中数学第3课时矩阵乘法的性质与逆变换、逆矩阵教案新人教A版选修4-2(2021学年)
高中数学第3课时矩阵乘法的性质与逆变换、逆矩阵教案新人教Ａ版选修4-2编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学第3课时矩阵乘法的性质与逆变换、逆矩阵教案新人教A版选修4-２)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第三讲矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵一、矩阵乘法的性质1。
设A=0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=1123-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，Ｃ=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦由Ａ、B、Ｃ研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律;③消去律。
结论:2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。
3。
单位矩阵的性质【应用】1．设A＝0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求Ａ８2. 【练习：P４1】二、逆变换与逆矩阵1。
逆变换:设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I,(I是恒等变换)则称变换ρ可逆,其中σ是ρ的逆变换。
2。
逆矩阵:设Ａ是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B,使得BA＝ＡB=E2，则称矩阵Ａ可逆,其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。
符号、记法：1A-，读作A的逆。
【应用】1。
试寻找R３０o的逆变换.【应用】1.A＝3142⎛⎫⎪⎝⎭,问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A-。
２. A=2142⎛⎫ ⎪⎝⎭,问A 是否可逆?若可逆,求其逆矩阵1A -．由以上两题,总结一般矩阵Ａ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭可逆的必要条件。
三、逆矩阵的性质1。
二阶矩阵可逆的唯一性．2.设二阶矩阵A 、B 均可逆,则AB 也可逆，且111()AB B A ---=【练习:Ｐ50】【第三讲．作业】1。
《2.1.2 逆矩阵的性质》教案1
《2.1.2 逆矩阵的性质》教案1教学目标1. 理解变换、矩阵的逆变换和逆矩阵；2. 掌握逆矩阵的两个性质。
教学重点逆变换和逆矩阵的概念。
教学难点逆矩阵的两个性质。
教学过程1. 逆变换和逆矩阵1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，（I 是恒等变换）则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。
2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E 2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。
符号、记法：1A -，读作Ａ的逆。
注意：有些二阶矩阵是不可逆的。
2. 逆矩阵的性质1.二阶矩阵A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的。
2.设二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=【随堂练习】对于伸缩变换12''x k x y k y =⎧⎨=⎩(0)k ≠，对应的变换矩阵A=12 00 k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，是否存在变换矩阵B ， 使得连续进行两次变换（先T A 后T B ）的结果与恒等变换的结果相同？思路分析：利用伸缩变换计算公式解决。
答案：由题意知，进行第二次变换121'1'x x k y y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，对应的变换矩阵，121 010 k B k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 从而可知，AB BA E ==，技巧点拨：本题主要考查利用伸缩变换的思想求逆矩阵。
例题分析例题1 用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在,请把它求出来;若不存在,请说明理由.()011;10A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()102.10B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦思路分析：根据题设条件找出对应的变换矩阵，从而判断逆矩阵是否存在。
答案：(1) 矩阵 A 为反射变换矩阵,它对应的几何变换为以直线 y=x 为反射轴的反射变换,因此,它存在逆矩阵,即为其本身,故 101.10A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2) 矩阵 B 为投影变换矩阵,它对应的几何变换为将平面上所有的点沿垂直于 x 轴方向投影到直线 y=x 上,这个变换把多个向量变为同一个向量,因此,它不存在逆变换,即矩阵 B 不存在逆矩阵.技巧点拨：求逆矩阵是否存在的关键是找出相应的变换，通过几何变换来确定并找出逆矩阵。
(完整word版)高等代数教案北大版第八章
讲课内容教课时数教课目的教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第八章λ－矩阵第一讲λ－矩阵2 学时讲课种类讲解法与练习法使学生认识-矩阵的观点，以及-矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
求 -矩阵的逆矩阵启迪式讲解，议论，练习n 阶矩阵A与对角阵相像的充要条件是A有 n 个线性没关的特点向量.那么当只有 m( m n) 个线性没关的特点向量时, A与对角阵是不相像的.对这类情况 ,我们“退而求其次” ,找寻“几乎对角的”矩阵来与A相像 .这就引出了矩阵在相像下的各样标准型问题 .Jordan 标准型是最靠近对角的矩阵而且其相关的理论包括先前相关与对角阵相像的理论作为特例 .其他 , Jordan 标准型的宽泛应用波及到 Hamilton-Cayley 定理的证明 ,矩阵分解 ,线性微分方程组的求解等等 .因为Jordan 标准型的求解与特点多项式相关,而从函数的角度看,特点多项式其实是特别的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究 .一、- 矩阵及其标准型定义 1称矩阵 A() ( f ij ()) 为-矩阵 ,此中元素f ij ( )(i1,2,L, m; j 1,2,L , n)为数域 F 上对于的多项式 .定义 2称 n 阶-矩阵A() 是可逆的,假如有A B B A I n并称 B( ) 为A() 的逆矩阵.反之亦然.定理 1 矩阵A() 可逆的充要条件是其队列式为非零的常数,即det( A( )) c0 .证明：（ 1）充足性设A=d 是一个非零的数. A*表示A() 的伴随矩阵 ,则d1A*也是一个-矩阵 ,且有A d 1 A* d 1 A*A I所以,A( ) 是可逆的.(2) 必需性设A() 有可逆矩阵B() ,则A B I两边取队列式有A B I1因为 A与 B都是多项式 ,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式 ,即都是非零常数 .证毕 .例题 1判断-矩阵2 +121A=11能否可逆 .解固然2 +121A=1=201A( ) 是满秩的,但A不是非零常数 ,因此A() 是不行逆的.注意与数字矩阵不一样的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的 ,可逆的实质就是要保证变换的矩阵能够经过非零常数的倒数逆回去.定义3假如矩阵A() 经过有限次的初等变换化成矩阵B() ，则称矩阵A( ) 与B()等价,记为A B定理2矩阵A()与B() 等价的充要与条件是存在可逆矩阵P、Q,使得B P A Q证明因为 A B, 所以A() 能够经过有限次初等变换变为B() ,即存在初等矩阵P( ),P( ),L ,P( )12s与初等矩阵Q1 ( ), Q2 ( ),L ,Q t ( )使得B( ) P( )P( )L P( )A( )Q( )Q( )L Q( )12s12t令P( ) P1 ( )P2 ( )L P s () ,Q( ) Q1( )Q2 ( )L Q t ( )就是所要求的-矩阵 .它们都是初等矩阵的乘积,进而使可逆的 .证毕 .定义 4矩阵 A() 的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式 D k称为 A() 的k阶队列式因子.定理 2等价矩阵拥有同样的秩和同样的各级队列式因子.证明设-矩阵A( )经过一次行初等变换化为了B() ，f () 与 g( ) 分别是A( )与B() 的 k 阶队列式因子.需要证明f( )= g().分3种状况议论：（ 1）A( )i , j B( ),此时,B() 的每个 k 阶子式或许等于A( ) 的某个k 阶子式,或许与A( ) 的某个阶子式反号,所以 , f ()是B() 的k阶子式的公因子 ,进而f ()| g() .（2）A( )i(c)B( ) ,此时,B( )的每个k阶子式或许等于A( )的某个 k 阶子式,或许等于 A() 的某个 k 阶子式的c倍.所以,f()是B() 的 k 阶子式的公因式 ,进而f()|g( ) .（3）A( )i j( )行与 j行的阶子式和B( ) ,此时,B( )中那些包括i那些不包括 i 行的 k 阶子式都等于A() 中对应的 k 阶子式； B() 中那些包括 i 行但不包括 j 行的 k 阶子式,按 i 行分红两个部分,而等于A( )的一个k阶子式与另一个 k 阶子式的( ) 倍的和,,也就是A() 的两个 k 阶子式的线性组合,所以,f( ) 是的k阶子式公因式进而 f( )| g().,对于列变换, 能够同样地议论.总之 , A() 经过一系列的初等变换变为B() ，那么f()|g() .又因为初等变换的可逆性, B( )经过一系列的初等变换能够变为 A() ,进而也有g( )| f() .当 A( ) 所有的阶子式为零时, B() 所有的 k 阶子式也就等于零；反之亦然.故 A() 与 B( ) 又同样的各阶队列式因子,进而有同样的秩.证毕.既然初等变换不改变队列式因子,所以 ,每个-矩阵与它的标准型有完整相同的队列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因此 ,在求一个-矩阵的队列式因子时 ,只需求出它的标准型的队列式因子即可.议论、练习与作业课后反省讲课内容教课时数教课目的教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第二将λ－矩阵在初等变换下的标准型2讲课种类讲解课认识- 矩阵的初等变换，掌握求标准型的方法，掌握最小多项式的观点和求最小多项式的方法。
可逆矩阵 矩阵乘积的行列式
§5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式5.2.1 教学目的5.2.1.1 掌握矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. 5.2.1.2 掌握矩阵可逆的充要条件及求逆矩阵的两种方法. 5.2.1.3 掌握矩阵乘积的行列式和秩的性质.5.2.2 教学重点矩阵可逆的定义，充要条件及求逆矩阵的方法.5.2.3 教学难点用初等变换法求逆矩阵的理论.5.2.4 教学过程一、矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. （一）矩阵可逆，逆矩阵的定义Def 1 令A 是数域F 上一个n 矩阵，若存在F 上n 阶矩阵B ，使得 AB=BA=I那么A 叫可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 叫作A 的逆矩阵. （二）逆矩阵的简单性质1、若是矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵唯一. 把A 的唯一的逆矩阵记作.2、可逆矩阵A 的逆矩阵也可逆，并且.1、1、1、两个可逆矩阵A 和B 的乘积也可逆，并且.一般，m 个可逆矩阵A 1，A 2，…，A m 的乘积A 1A 2…A m 也可逆. 并且（A 1A 2，…，A m ）-1=4、可逆矩阵A 的转置也可逆，并且二、矩阵可逆的充要条件 （一）判断矩阵可逆的思路.判断一般的n 阶矩阵A 是否可逆很复杂，但判断形如，矩阵的可逆1-A 1-AAA =--11)(111)(---=ABAB 11121---A A A m A ')()(11'='--AA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000rI性十分简单，即当r=n 时，可逆；当r<n时，不可逆.如何将一般的矩阵A 的可逆性与的可逆性挂勾？（二）判断矩阵，可逆的予备知识 1、初等矩阵的概念对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵：i jii j都叫做初等矩阵.2、初等矩阵和初等变换的联系⎪⎪⎭⎫⎝⎛000r I ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000rI ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000r I ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111111ij p j i ikk D i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111)(ji k k T ji ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111)(左乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的行的初等变换；右乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的列的初等变换.3、初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵仍是初等矩阵：4、初等变换不改变矩阵的可逆性.La5.2.1 设对矩阵A 施行一个初等变换后，得到矩阵，则A 可逆的充要条件是可逆.5、矩阵在初等变换下的标准形La5.2.2 一个m ×n 矩阵A 总可以通过初等变换化为以下形式的矩阵.（三）矩阵可逆的充要条件Th5.2.3 n 阶矩阵A 可逆的充要条件是它可通过初等变换化为单位阵. Th5.2.4 n 阶矩阵A 可逆的充要条件是它可写成初等矩阵的乘积. Th5.2.5 n 阶矩阵A 可逆当且仅当A 的秩等于n. Th5.2.6 n 阶矩阵A 可逆，当且仅它的的行列式detA ≠0. 三、逆矩阵的求法 （一）初矩阵的求法一个可逆矩阵A 可以通过行初等变换化为单位矩阵I 即存在初等矩阵E 1,E 2,…,E s ，使用A -1右乘这个等式的两端，得法则：在通过行初等变换把可逆矩阵A 化为单位矩阵I 时，对单位矩阵I 施行同样的初等变换，就得到A 的逆矩阵A -1.例1：求矩阵的逆矩阵. 解： →→)()(),1()(,111k T k T kD k D p p ij ij i i ij ij -===---A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI A I A E E E s =12 112-=AI E E E s ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201013121A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10201010013001121 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101320013350001121→（二）行列式法设n 阶矩阵则有以下等式成立：若令, 则把A *叫矩阵A 的伴随矩阵.当A 可递时，，即例： 设，求A -1解：因为=2≠0，所以A 可逆.又因A 11=2，A 12=2，A 13=-4，A 21=-1，A 22=-1，A 23=3，1535159051535310052515101-----⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----95929110513132010919492001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211⎪⎩⎪⎨⎧≠==+++j i j i A A a A a A a jnin j i j i 若若02211 ⎪⎩⎪⎨⎧≠==+++ji j i A A a A a A a njni j i j i 若若02211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A A211221212111*⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==A A AA A AA01000**I A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**11*11AAA=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011213112A 011213112-=A利用这个公式去求逆矩阵，计算量一般很大，公式（8）的意义主要在理论方面.例如，可应用它来给出克莱姆规律的另一种推导法a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1 a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2 …………………………a n1x 1+a n2x 2+…+a nn x n =b n利用矩阵的乘法令 (a ij )=A ，以A -1左乘端得由此得四、矩阵乘积的行列式 （一）矩阵乘积的行列式引理：一个n 阶矩阵A 总可以通过第三种行和列的初等变换在成一个对角矩阵（10）证：如果A 的第一行和第一列的元素不都是零，那么必要时总可以通过第⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=∴-134112112211A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nnn n n n n b b b x x x a a aa a a a a a2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nnn nnn n nb b b A A A A A A A A A A xx x21212221212111211)(1),,,(122112121ni n i i nni i i i A b A b A b A b b b A A A Ax +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n d d d A 0021三种初等变换使左上角的元素不为零，于是再通过适当的第三种初等变换可以把A 化为如果A 的第一行和第一列都是零，那么A 已经具有（10）的形式. 对A 进行同样的考虑，易见可用第三种初等变换逐步把A 化为对角矩阵. 根据行列式的性质，我们有定理：设A 、B 是任意两个n 阶矩阵，那么证：先看一个特殊情况，即A 是一个对角矩阵的情形，设现在看一般情形，由引理，可以通过第三种初等变换把A 化成一个对角矩阵，并且|A|=||，矩阵A 也可以反过来通过对施行第三种初等变换而得出，即存在T ij (k)型矩阵，T 1、T 2、…T g ，使A=T 1…T p T p+1…T g于是，AB= T 1…T p T p+1…T g ，B=（T 1…T p ）（T p+1…T g B ）而由行列式的性质知道，任意一个n 阶矩阵的行列式不因对它施行第三种行或列初等变换而求所改变.|AB|= |T 1…T p T p+1…T g B|=||| T p+1…T g B | =|||B|=|A||B| 由这个定理显然可以得出⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011A dnd d d A A 21==BA AB =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n d d d A 0021⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nn n n n n ij b b b b b b b b b b B212222111211)(=AB ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n n n n b d b d b d b d b d b d b d b d b d21222222*********1BA B d d d AB n == 21A A A A A A A A A|A 1A2…A m |=|A 1||A 2|…|A m |（二）矩阵乘积的秩定理：两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩，特别当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩.证：设A 是一个m ×n 矩阵，B 是一个n ×p 矩阵，并且秩A=r ，由定理5.2.2，可以对A 施行行初等变换将A 化为换句话说，存在m 阶初等矩阵E 1，…，E p 和n 阶初等矩阵E p+1，…，E q ， 使E 1…E p AE p+1…E q =.于是 E 1…E p ABE p+1=E 1…E p AE p+1…E q E q -1…E p+1-1B=E q -1…E p+1-1B=，显然除前r 行外，其余各元行的元素都是零，所以秩≤r ；另一方面，E 1…E p+1AB 是由AB 通过行初等变换而得到的所以它与AB 有相同的秩，这样就证明了秩AB ≤秩A.同理可证秩AB ≤秩B.如果A 、B 中有一个，例如A 是可逆矩阵，一方面AB ≤秩B ，另一方面，B=A -1(AB)，所以秩B ≤秩AB ，因此秩AB=秩B.这个定理也很容易推广到任意m 个矩阵的乘积的情形，任意m 个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI A A A B A B A B A。
第三章-可逆阵
一、可逆矩阵的定义二、伴随矩阵及矩阵可逆的条件三、逆矩阵的性质四、求逆矩阵的初等行变换五矩阵方程五、矩阵方程一、可逆矩阵的定义定义1设A 是一个n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B , 使得A B B A EA B = B A = E ,则称B 为A 的逆矩阵，此时也称A 可逆.由定义1 可知，若B 是A 的逆矩阵，则A 也是B 逆矩阵，即A 与B 是互逆的.定理1若矩阵A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的.设B 、C 均为 A 的逆矩阵，则C =C E =C A B )=(C A )B =E B =B ,证 C C E C (A B ) (C A ) B E B B ,故 A 的逆矩阵是唯一的.的逆矩阵的唯性由矩阵A 的逆矩阵的唯一性，记 A 的逆矩阵为A 1.例1设a 11a 22… a nn ≠0 , 则由定义可直接验证对角矩11 22 nn ,阵的逆矩阵111-⎤⎡a 111⎤⎡-a 22⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢a.1122⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢=--a⎦⎣nn a ⎦⎣nn a 例2若方阵A 1 , A 2 , …, A m 均可逆，则分块对角矩阵与对角矩阵有类似的逆矩阵11-⎥⎤⎢⎡A A 111⎥⎤⎢⎡--A A 2⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣m A.12⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣=-m A上一页当时对~二、伴随矩阵及二、伴随矩阵及矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件定义2n >1时，对n 阶方阵,称为矩阵A 的代数余子式余子式阵阵，称为矩阵A 的伴随伴随阵阵。
n n ij a A ⨯=)(n n ij a A ⨯=)~(T A A ~*=例如⎪⎪⎫ ⎛--=⎪⎪⎫ ⎛--=⎪⎪⎫ ⎛=24,34~,321*A A A 非常重要⎭⎝⎭⎝⎭⎝13124定理2则d t(**设，则n n ij a A ⨯=)(EA A A AA )det(==矩阵i j *证由行列式性质2与性质7，矩阵的(i,j )元素为A A *det(),,0TTT T T A i j A A AA A A =⎧====⎨e e e e e e aa ()()()()()0,.i j i j i j i j i j ≠⎩E A A A )det(*=AA d (同可得因此。
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⎪ ⎝ ⎭
⎝ ⎭ ⎝ ⎭
§1.4 可逆矩阵
★ 教学内容：
1. 可逆矩阵的概念；
2. 可逆矩阵的判定；
3. 利用转置伴随矩阵求矩阵的逆；
4.
可逆矩阵的性质。
★ 教学课时：100 分钟/2 课时。
★ 教学目的：
通过本节的学习，使学生
1. 理解可逆矩阵的概念；
2. 掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；
3. 熟悉可逆矩阵的有关性质。
★ 教学重点和难点：
本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵
求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。
★ 教学设计：
一 可逆矩阵的概念。
1. 引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。
2. 定义 1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵 A ，如果存在矩阵 B ，使得 AB = BA = E 则称 A
为可逆矩阵，简称 A 可逆，并称 B 为 A 的逆矩阵，或 A 的逆，记为 A -1 。
3. 可逆矩阵的例子：
（1） 例 1 单位矩阵是可逆矩阵；
⎛1 0 ⎫ ⎛ 1 0 ⎫
（2） 例 2 A = 1 1 ⎪ ， B = -1 1 ⎪ ，则 A 可逆； ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎛ 1 0 0 ⎫
（3） 例 3 对角矩阵 A = 0 2 0 ⎪ 可逆；
0 0 3 ⎪
⎛ 1 1 1⎫ ⎛ 1 -1 0 ⎫ （4）例 4 A = 0 1 1⎪ ， B =
0 1 -1⎪ ，则 A 可逆。
⎪ 0 0 1⎪ 4. 可逆矩阵的特点：
（1） 可逆矩阵 A 都是方阵；
⎪ 0 0 1 ⎪ （2） 可逆矩阵 A 的逆唯一，且 A -1 和 A 是同阶方阵；
2 4 ⎪ 0 0 ⎩ ⎩ （3） 可逆矩阵 A 的逆 A -1 也是可逆矩阵，并且 A 和 A -1 互为逆矩阵；
（4） 若 A 、 B 为方阵，则 AB = E ⇒ A -1 = B 。
二 可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆 1. 方阵不可逆的例子：
⎛ 1 1 ⎫
例 5 A = ⎪ 不可逆；
⎝ ⎭
例 6
A = ⎛ 1 2 ⎫
不可逆；
⎝ ⎭
2. 利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法： （1） 说明利用定义判定及求逆的方法， （2） 说明这种方法的缺陷；
3. 转置伴随矩阵求逆 （1） 引入转置伴随矩阵
1） 回顾行列式按一行一列展开公式及推论
a A + a A
+ + a A = ⎧D , i = s (i = 1, 2, , n ) ，
i 1 s 1
i 2 s 2
in sn
⎨ 0, i ≠ s
a A + a A + + a A
= ⎧D , j = t ( j = 1, 2, , n ) ；
1 j 1t
2 j 2t
nj nt
⎨
0, j ≠ t
2） 写成矩阵乘法的形式有：
⎛ a 11 a 12 a 1n ⎫⎛ A 11 A 21 A n 1 ⎫ ⎛ A 0 0 ⎫ a a a ⎪ A A
A ⎪ 0
A 0 ⎪
21 22 2n ⎪ 12 22 n 2 ⎪ = ⎪ = A E
⎪
⎪
⎪ a a a ⎪ A A
A
⎪ 0 0 A ⎪
⎝ n 1 n 2
nn ⎭⎝ 1n 2n
nn ⎭ ⎝
⎭
3） 定义 1.4.2（转置伴随矩阵）设 A ij 式是 A = (a ij )n ⨯n 的行列式中 a ij 的代数余
子式，则
⎛ A 11
A 21
A n 1 ⎫
A A A ⎪
A * = 12 22
n 2 ⎪
⎪ A A A ⎪
⎝ 1n 称为 A 的转置伴随矩阵。
（2） 转置伴随矩阵求逆：
2n
nn ⎭
1） AA * = A E ；
2）定理 1.4.1
A 可逆的充分必要条件是 A ≠ 0 （或 A 非奇异），且
A
A 3 5 ⎝ ⎭
A -1 = 1
A * ；
⎛ 1 2 ⎫ 3）
例 7 判断矩阵 A = ⎪ 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。
⎝ ⎭
⎛ 2 2 3 ⎫ 4） 例 8 设 A =
1 -1 0 ⎪ ，判断 A 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。
三 可逆矩阵的性质
⎪ -1 2 1 ⎪
1. 性质 1
( A -1)-1 = A ；
2. 性质 2
( AB )-1 = B -1A -1 ；
3. 性质 3
4. 性质 4
( A T )-1 = ( A -1)T ；
(kA )-1 = 1 A -1 ； k
5. 性质 5
A -1 = 1 ；
6. 性质 6
A * = A
n -1
；
7. ( A + B )-1 ≠ A -1 + B -1 。
例 9 设 A ， B 均为三阶方阵，且 A = 1
， B = 3 ，求 (2B T A )-1 。
2
四 可逆的应用——解矩阵方程
例 10 设方程 A 2 - A - 2E = O ，证明： A + 2E 可逆，并求其逆。