函数的凹凸性
《函数曲线的凹凸性》课件
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
函数凹凸的定义
02 函数凹凸的几何意义
凹函数的几何意义
凹函数图像呈下凹状，即对于函数图 像上的任意两点A和B，如果A、B两 点连线的中点始终位于A、B连线的下 方，则该函数为凹函数。
在几何意义上，凹函数具有一个明显 的特征，即函数图像上任意两点的连 线的斜率始终小于或等于该点处的函 数导数。
凸函数的几何意义
通过分析函数的凹凸性，我们可以确定函数的拐点，从而更好地理解函数 的性质，为求解最优化问题提供指导。
在求解无约束最优化问题时，可以利用函数凹凸性选择合适的算法，如梯 度下降法、牛顿法等，以提高求解效率。
在经济学中的应用
函数凹凸性在经济学中也有 广泛应用，它可以帮助我们 理解经济现象和预测经济行
为。
函数凹凸的定义
目录
• 函数凹凸的基本概念 • 函数凹凸的几何意义 • 函数凹凸的判定方法 • 函数凹凸的应用 • 函数凹凸的反例 • 函数凹凸的扩展知识
01 函数凹凸的基本概念
凹函数
01
凹函数是指函数图形在任意两点 之间总是位于这两点连线的下方， 即对于定义域内的任意x1和x2， 都有 f((x1+x2)/2)≥f(x1)+f(x2)/2。
03
在计算机科学中，函数凹凸性可以帮助我们设计更有效的算法和数据 结构，如动态规划、图算法等。
04
在生物学中，函数凹凸性可以帮助我们理解生物系统的复杂性和行为， 如生态学、生物化学反应等。
05 函数凹凸的反例
凹函数的反例
总结词
凹函数的反例是指函数图像呈现下凹形状的反例。
详细描述
凹函数的反例通常是指那些在一定区间内，函数值随着自变量的增加而减少的函数。例如，二次函数 $f(x) = x^2$在区间$(-infty, 0)$内是一个凹函数的反例，因为在这个区间内，函数值随着$x$的增加 而减少。
凹函数与凸函数的判定方法
凹函数与凸函数的判定方法凹函数与凸函数是数学中常见的概念，它们在优化、经济学、工程学等领域中具有广泛的应用。
在判定一个函数是凹函数还是凸函数时，我们可以使用以下方法进行判断。
一、利用函数的二阶导数一个函数是凹函数的充要条件是它的二阶导数大于等于零。
具体来说，如果一个函数f(x)在定义域上的二阶导数f''(x)大于等于零，则该函数是凹函数。
反之，如果f''(x)小于等于零，则该函数是凸函数。
同样地，一个函数是凸函数的充要条件是它的二阶导数小于等于零。
如果一个函数f(x)在定义域上的二阶导数f''(x)小于等于零，则该函数是凸函数。
反之，如果f''(x)大于等于零，则该函数是凹函数。
二、利用函数的一阶导数除了利用二阶导数的方法外，我们还可以使用一阶导数来判定函数的凹凸性。
具体来说，一个函数是凹函数的充要条件是它的一阶导数单调递增。
如果函数f(x)在定义域上的一阶导数f'(x)单调递增，则该函数是凹函数。
反之，如果f'(x)单调递减，则该函数是凸函数。
同样地，一个函数是凸函数的充要条件是它的一阶导数单调递减。
如果函数f(x)在定义域上的一阶导数f'(x)单调递减，则该函数是凸函数。
反之，如果f'(x)单调递增，则该函数是凹函数。
三、利用函数的凸性和凹性定义除了利用导数的方法外，我们还可以利用函数的凸性和凹性定义来判定函数的凹凸性。
一个函数是凹函数的定义是：对于定义域上的任意两个点a和b，以及任意的0<=λ<=1，有f(λa+(1-λ)b)<=λf(a)+(1-λ)f(b)。
如果一个函数满足该定义，则该函数是凹函数。
反之，如果对于任意的a、b和λ，有f(λa+(1-λ)b)>=λf(a)+(1-λ)f(b)，则该函数是凸函数。
我们可以利用函数的二阶导数、一阶导数以及凸性、凹性定义来判定一个函数的凹凸性。
函数图形的凹凸性
函数图形的凹凸性
函数图形的凹凸性是数学中一个非常重要的概念，它在学习和理解函数特性以及利用函数完成任务时起着至关重要的作用。
一个函数的凹凸性可以用多种方法来解释，但最主要的有两种：一种是从曲线的变化，另一种是从导数的变化来考虑。
从曲线的变化来看，凹处表示曲线的斜率和曲线的弯曲程度变化都较大，谷处表示曲线的斜率和曲线的弯曲程度变化缓慢；而凸处表示曲线的斜率和曲线的弯曲程度变化都越来越小，隆处表示曲线的斜率和曲线的弯曲程度变化加速。
而从导数考虑凹凸性，凹处一般是导数小于0，凸处一般是导数大于0。
函数图形的凹凸性具有很多实际用途，它可以用来检验函数是否极值，作为求定积分的重要参数，也可以帮助我们决定函数的奇偶性，曲率等。
因此，凹凸性是一个非常有用的概念，在学习和理解函数特性以及利用函数完成任务时非常有用。
《函数的凹凸性》课件
凸函数的性质
凸函数图像呈上凸状，即对于函数图像上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，当x1 < x2时，y1 < y2。
凸函数的导数在定义域内小于0，即f''(x) < 0。
凸函数具有局部最大值，即对于任意x0属于定义域，存在一个邻域使得 该邻域内所有点的函数值都小于或等于f(x0)。
在物理学中，凹凸性可以用于描述物 体的弹性、光学性质等。
在经济学中，凹凸性可以用于描述商 品的需求和供给关系，以及价格和产 量的变化关系。
在计算机科学中，凹凸性可以用于图 像处理、机器学习等领域。
02
函数的凹凸性判定
判定方法一：二阶导数法
总结词
举例说明
二阶导数法是判断函数凹凸性的常用 方法之一，通过计算函数的二阶导数 并分析其符号来判断函数的凹凸性。
05
实际应用案例
金融领域的应用
金融数据分析
函数的凹凸性在金融数据分析中有着广泛的应用，如股票价格、收益率等金融时间序列数 据的分析，通过识别数据的凹凸性，可以预测未来的价格走势和风险评估。
投资组合优化
在投资组合优化中，凹凸性可用于确定最优投资组合，通过最小化投资组合的风险或最大 化预期收益，实现资产的有效配置。
判定方法三：几何意义法
总结词
几何意义法是通过观察函数图像 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何形状来判断函数的凹凸性
。
详细描述
如果一个函数的图像是一条向下 凸出的弧形线，则该函数是凹的 ；如果图像是一条向上凸起的弧
形线，则函数是凸的。
举例说明
以函数$f(x) = x^4 - x^2$为例 ，通过绘制该函数的图像可以观 察到，该函数在$x < 0$时图像 向下凸出，因此函数$f(x) = x^4
函数的凸凹性及其应用
函数的凸凹性及其应用定义:函数的凸凹性定义：如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≤+成立，则称)(x f 是下凸（凸）函数(如图1所示)，当且仅当21x x =时等号成立．如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称)(x f 是上凸（凹）函数(如图2所示)，当且仅当21x x =时等号成立．定理1 （Jensen 不等式）若函数()f x 在区间I 是上凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≥+++ ;若函数()f x 在区间I 是下凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ ,其中n i q I x i i ,,2,1,0, =>∈；121=+++n q q q ．定理2 若)(x f 是下凸函数，则其对应定义域中的任意n 个点n x x x ,,21恒有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++ ;类似地，对于上凸函数有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ ,当且仅当n x x x === 21时等号成立．定理3：设函数)(x f 在开区间I 上存在二阶导数：(1)若对任意I x ∈，有0)(>''x f ，则)(x f 在I 上为下凸函数; (2)若对任意I x ∈，有0)(<''x f ，则)(x f 在I 上为上凸函数．下面对于一些常用的的函数的凹凸性作一个探讨．（1）对数函数:)10(log ≠>=a a x y a 且若10<<a ，则为下凸函数；若1>a ，则为上凸函数． （2）指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且为下凸函数． （3）三角函数sin (0,)(,23cos (,)(,2222tan (,0)(022y x x x y x x x y x x x πππππππππ=∈∈=∈-∈=∈-∈，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;，）是下凸函数. （4）二次函数:)0(2≠++=a c bx ax y若0>a ，则为下凸函数；若0<a ，则为上凸函数．（5）反比例函数:)0(≠=k xky当0>k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为上凸函数；若),0(+∞∈x ，则为下凸函数． 当0<k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为下凸函数；若),0(+∞∈x ，则为上凸函数．（6）双勾函数:)0,0(>>+=b a xbax y当)0,(-∞∈x 时，为上凸函数；当),0(+∞∈x 时，为下凸函数．T1 设()y f x =是(),a b 上的严格凸函数，则对于(),a b 内的任意n 个点12,,,n x x x ，都有()()()()12121n n x x x f f x f x f x n n+++⎛⎫≤+++ ⎪⎝⎭ ，当且仅当12n x x x === 时等号成立。
初中数学 什么是函数的凹凸性 如何通过函数的导函数判断其在某个区间上的凹凸性
初中数学什么是函数的凹凸性如何通过函数的导函数判断其在某个区间上的凹凸性在初中数学中，函数的凹凸性描述了函数图像的弯曲程度。
一个函数可以是凹的、凸的或既不凹也不凸。
通过函数的导函数，我们可以判断函数在某个区间上的凹凸性。
在本文中，我们将详细讨论函数的凹凸性的概念以及如何通过函数的导函数判断其在某个区间上的凹凸性。
首先，让我们回顾一下函数的概念。
函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用符号表示为f(x)，其中 f 是函数的名称，x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数的导数可以用以下符号表示：f'(x)，其中f 是函数的名称，x 是自变量，f'(x) 是函数的导数。
函数的导数描述了函数在不同点上的变化率或斜率。
要通过函数的导函数判断其在某个区间上的凹凸性，我们可以按照以下步骤进行：步骤一：计算函数的导函数。
根据前文所述的方法，计算函数的导函数，即计算函数的导数。
步骤二：计算导函数的导数。
计算导函数的导数，即计算导函数的导数的导数，也称为二阶导数。
步骤三：判断凹凸性。
-如果二阶导数f''(x) > 0，那么函数在该区间上是凹的。
-如果二阶导数f''(x) < 0，那么函数在该区间上是凸的。
-如果二阶导数f''(x) = 0，那么函数在该区间上可能存在拐点，即既不凹也不凸。
举例来说，考虑函数f(x) = x^3。
我们将通过其导函数判断其在区间(-∞, ∞) 上的凹凸性。
步骤一：计算函数的导函数。
根据前文所述的方法，计算函数的导函数。
f'(x) = 3x^2步骤二：计算导函数的导数。
f''(x) = 6x步骤三：判断凹凸性。
对于所有的x，f''(x) = 6x > 0，所以函数f(x) 在区间(-∞, ∞) 上是凹的。
通过这个例子，我们可以看到如何通过函数的导函数判断其在某个区间上的凹凸性。
函数的凹凸性
注2：对于 f x 不存在的点 x0 ，曲线 y f x 也可
x , x 0,
能在 x0 , f x0 点取得拐点．例如 y 2
x , x 0
在点 x 0 处不可导，点 0,0 却是拐点.
因 此 对 于 连 续 函 数 f x ， 曲 线 y f x 的 拐 点 的 横 坐 标 是
x1
x2
x
定义 设函数 f x 在区间 I 上(内)连续，如果对于区间 I 上（内）任意两个不同的点 x1 , x2 ，恒有
x1 x2 f x1 f x2
，
f(
)
2
2
就称曲线 y f x 在 I 上（内）的图形是凹的（或称凹弧），称函数 f x 为凹函数，并相应地称
当 x 1时， y '' 0 ；当 x 1 时， y '' 0 ．
曲线在 (, 1] 上是凸的，在 [1, ) 上是凹的．
17-7
拐点
函数 f x 在其定义区间内凹凸性可以是变化的．
曲线上由凹弧向凸弧或由凸弧向凹弧变化的那个转折点对
研究曲线的形状是非常重要的．
因此有
定理 设 f x 在 a, b 上连续，在 a, b 内二阶可导，
(1) 如果 f x 0 x (a, b) ，则 y f x 在 a, b 上为凹的；
(2) 如果 f x 0 x (a, b) ，则 y f x 在 a, b 上为凸的．
f x 0 的点或 f x 的二阶导数不存在的点．
17-12Байду номын сангаас
练习：
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函数的凹凸性专题一、函数凹凸性的定义1、凹函数定义：设函数)(x f y =在区间I 上连续，对I x x ∈∀21,，若恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+，则称)(x f y =的图象是凹的，函数)(x f y =为凹函数；2、凸函数定义：设函数)(x f y =在区间I 上连续，对I x x ∈∀21,，若恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+，则称)(x f y =的图象是凸的，函数)(x f y =为凸函数.二、凹凸函数图象的几何特征 1、形状特征如图，设21,A A 是凹函数)(x f y =图象上两点，它们对应的横坐标)(,2121x x x x <，则111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点122x x +作x 轴的垂线交函数图象于点A ，交21A A 于点B . 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方； 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方. 简记为：形状凹下凸上.2、切线斜率特征凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而增大即)(x f y =的二阶导数0)(''≥x f ； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而减小即)(x f y =的二阶导数0)(''≤x f . 简记为：斜率凹增凸减.3、增量特征设函数)(x g 为凹函数，函数)(x f 为凸函数，其函数图象如图所示.当自变量x 依次增加一个单位增量x ∆时，函数)(x g 的相应增量 ,,,321y y y ∆∆∆越来越大；函数)(x f 的相应增量 ,,,321y y y ∆∆∆越来越小.由此，对x 的每一个单位增量x ∆，函数y 的对应增量),3,2,1( =∆i y i凹函数的增量特征是：i y ∆越来越大； 凸函数的增量特征是：i y ∆越来越小. 三、常用的不等式1、二次函数2)(x x f =中，2)2(222ba b a +≤+； )0(1)(>=x x f 112b a +≤3、指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x中，22y x y x a a a+≤+；4、对数函数)10(log )(<<=a x x f a 中，2log log 2log yx y x a a a+≤+； 5、对数函数)1(log )(>=a x x f a 中，2log log 2log yx y x a a a+≥+； 6、幂函数)0()(3>=x x x f 中，2)2(333b a b a +≤+； 7、幂函数21)(x x f =中，22ba ba +≤+； 8、正弦函数)0(sin )(π<<=x x x f 中，2sin sin 2sinBA B A +≥+； 9、余弦函数)20(cos )(π<<=x x x f ，2cos cos 2cosBA B A +≥+； 10、正切函数)20(tan )(π<<=x x x f ，2tan tan 2tanBA B A +≤+.四、函数凹凸性在高考中的应用1、（05湖北理6）在xy 2=，x y 2log =，2x y =，x y 2cos =四个函数中，当1021<<<x x 时，使得2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是·······································（ ） 、A 0 、B 1 、C 2 、D 3 2、（06重庆理9）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，)(x f 表示弧AB 与弦AB 所围成弓形面积的2倍，则函数)(x f y =的图象是·······························································（ ）3、（07江西理8） 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为4321,,,h h h h ，则它们的大小关系正确的是·····································（ ）A 、412h h h >>B 、321h h h >>C 、423h h h >>D 、142h h h >>4、（98全国理10）向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量v 与水深h 的函数关系的图象如下图所示，那么水瓶的形状是·······························································（ ）5、（09广东理8） 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为甲v 和乙v .（如图2所示）．那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是（ ）A 、在1t 时刻，甲车在乙车前面B 、1t 时刻后，甲车在乙车后面C 、 在0t 时刻，两车的位置相同D 、0t 时刻后，乙车在甲车前面6、（00江西理7）若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，2lg ba R +=，则·······（ ） 、A Q P R << 、B R Q P << 、C R P Q << 、D Q R P << 7、（11山东理9）函数x xy sin 22-=的图象大致是········································（ ）8、（13新课标I 文9）函数x x x f sin )cos 1()(-=在],[ππ-上的图象大致为··················（ ）9、（16新课标7）函数xex y -=22在]2,2[-的图象大致为·································（ ）10、（13江西理10）如图，半径为1的半圆O 与正ABC ∆夹在两平行直线1l ，2l 之间，1//l l ，l 与半圆相交于F ，G 两点，与ABC ∆两边相交于E ，D 两点.设弧FG 的长为x （π<<x 0），CD BC EB y ++=，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数)(x f y =的图象大致是······································（ ）11、（17全国II 理23）已知0>a ，0>b ，233=+b a ，则b a +的最大值为_____________.12、已知0>a ，0>b ，1=+b a ，则22b a +的最小值为____________. ABCD13、已知0,0>>b a ，且b a ≠，1>n ，则nnb a +__________12)(-+n nb a .（填≤≥<>,,,）14、已知0>a ，0>b ，0>c ，且2=++c b a ，则555555555c a c b b a +++++的最小值为________.15、在ABC ∆中，C B A sin sin sin ++的最大值为______________.16、已知0>a ，0>b ，0>c ，且1=++c b a ，则cb a 111++的最小值为_____________.17、已知0>a ，0>b ，0>c ，且1=++c b a ，则cb a 111++的最小值为_____________.18、已知0>a ，0>b ，0>c ，0>d ，16=+++d c b a ，则2222d c b a +++的最小值为________.19、已知0,0>>b a ，且4=+b a ，则22)1()1(bb aa +++的最小值为____________.20、（10安徽文16）若2,0,0=+>>b a b a ，则下列不等式对一切满足条件b a ,恒成立的是__________. ①1≤ab ； ②2≤+b a ； ③222≥+b a ； ④333≥+b a ； ⑤211≥+ba21、（14新课标理24）若0,0a b >>，且11a b+=则33a b +的最小值_____________.22、（15重庆文14）已知0,0>>b a ，且5=+b a ，则31+++b a 的最大值为___________.23、（05全国卷理22）（1）设函数)10)(1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （2）设正数n p p p p 2321,,,, 满足：12321=++++n p p p p . 求证：.log log log log 222323222121n p p p p p p p p n n -≥++++24、（06四川理22）已知函数)0(ln 2)(2>++=x x a xx x f ，)(x f 的导函数是)('x f .对任意两个不相等的正数1x ，2x ，证明：当0≤a 时，)2(2)()(2121xx f x f x f +>+.。