最新-2018新高考全案高考数学 17-4几何证明选讲2课件 精品
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高考数学复习向导第十八章 第2讲 几何证明选讲选讲课件 理
(1)判定方法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线．
(2)性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径； ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
1 P，若 AB＝3，CD＝1，则 cos∠APD＝___3___.
图 18－2－22 解析：cos∠APD＝DAPP＝CADB ＝13.
1．圆内接四边形的判定和性质： (1)四点共圆判定方法： ①如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶 点共圆； ②如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边 形四个顶点共圆． (2)性质：①对角互补；②外角等于其内对角． 2．切线的判定和性质定理：
4．如图 18－2－3，AB 是⊙O 的直径，点 C、D、E 都在⊙ O 上，若∠C＝∠D＝∠E，则∠A＋∠B＝_1_3_5_°__.
图 18－2－3
考点 1 相似三角形 例 1：如图 18－2－12，△ABC 中，EF∥CD，∠AFE＝∠B， AE＝6，ED＝3，AF＝8，则 AC＝________，CBDB＝PPAC＝ABDC.
设 PB＝x，PC＝y，
则有3xy＝2yx⇒x＝
26y，所以ABDC＝3xy＝
6 6.
四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问 题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点．
【互动探究】 5．如图 18－2－22，AB 为⊙O 的直径，弦 AC、BD 交于点
1．如图 18－2－1，在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，下列条件能判定△ADE 与△ABC 相似的有( C )
图 18－2－1 ①∠ADE＝∠C；②∠AED＝∠B；
③AADC＝AAEB；④DBCE＝AAEB；⑤DE∥BC.
2018版高考数学全国人教B版理大一轮复习课件：第四章
cos α＝( 1 C.5
) 2 D.5
1 B.－5
解析
5π π ∵sin 2 ＋α＝sin2＋α＝cos
α，
1 ∴cos α＝ .故选 C. 5
答案 C
π 1 4.已知 sin(π －α)＝log84，且 α∈－ ，0 ，则 tan(2π －α)的 2
2.(2017· 泰安模拟)sin 600° 的值为( 1 A.－ 2 3 B.－ 2
) 1 C. 2 3 D. 2
解析
sin 600° ＝sin(360° ＋240° )＝sin 240° ＝sin(180° ＋60° ) 3 ＝－sin 60° ＝－ 2 .
答案 B
3.已知 2 A.－5
5π 1 sin 2 ＋α＝5，那么
)
sin α－cos α＝ 2， (1)由 2 得 2 sin α＋cos α＝1，
2cos2α＋2 2cos α＋1＝0，
) )
(1)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角.(
(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中 π 的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变 化.( ) )
1 1 (4)若 sin(kπ－α)＝3(k∈Z)，则 sin α＝3.(
解析 (1)对于 α∈R，sin(π＋α)＝－sin α 都成立. 1 (4)当 k 为奇数时，sin α＝3， 1 当 k 为偶数时，sin α＝－3. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
第2讲
同角三角函数基本关系式 与诱导公式
最新考纲
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝
sin α π 1， ＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± 2 cos α
2018高考数学理二轮复习课件：1-4-2 高考中的立体几何 精品
[解] ①证明：∵AD⊥侧面 PAB，PE⊂平面 PAB， ∴AD⊥PE. 又∵△PAB 是等边三角形，E 是线段 AB 的中点， ∴PE⊥AB.∵AD∩AB＝A， ∴PE⊥平面 ABCD. 而 CD⊂平面 ABCD，所以 PE⊥CD.
②求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值．
[解]②以 E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 E-xyz.
②求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的余弦值．
[解]②过点 A1 作 A1O⊥AB，垂足为 O，连接 OC， ∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC， ∴A1O⊥底面 ABC， ∴∠A1AB＝60°， ∵AA1＝2，∴AO＝1， ∵AB＝2，∴点 O 是 AB 的中点， 又∵点 G 为正三角形 ABC 的重心， ∴点 G 在 OC 上， ∴OC⊥OB，
热点探究悟道
热点一 空间位置关系 (1)[2015·陕西高三质检]如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝2，E 为棱 CC1 的中点．
①求证：B1D1⊥AE；
[证明] ①连接 BD， 则 BD∥B1D1. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD. ∵CE⊥平面 ABCD， ∴CE⊥BD. 又 AC∩CE＝C， ∴BD⊥平面 ACE. ∵AE⊂平面 ACE， ∴BD⊥AE， ∴B1D1⊥AE.
＝ |a·b| |a||b| .
(2)线面角
|l·n|
设 l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量，则斜线 l 与平面 α 所成的角满足 sinθ＝ |l||n| .
(3)二面角 →①如→图(ⅰ)，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个半平面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝ 〈AB，CD〉 ．
∵A1O⊥底面 ABC，∴A1O⊥OB，A1O⊥OC， 以 O 为原点，分别以 OC，OB，OA1 为 x，y，z 轴建立如图空间直角坐标系 O-xyz，由题意得 A(0，
②求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值．
[解]②以 E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 E-xyz.
②求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的余弦值．
[解]②过点 A1 作 A1O⊥AB，垂足为 O，连接 OC， ∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC， ∴A1O⊥底面 ABC， ∴∠A1AB＝60°， ∵AA1＝2，∴AO＝1， ∵AB＝2，∴点 O 是 AB 的中点， 又∵点 G 为正三角形 ABC 的重心， ∴点 G 在 OC 上， ∴OC⊥OB，
热点探究悟道
热点一 空间位置关系 (1)[2015·陕西高三质检]如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝2，E 为棱 CC1 的中点．
①求证：B1D1⊥AE；
[证明] ①连接 BD， 则 BD∥B1D1. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD. ∵CE⊥平面 ABCD， ∴CE⊥BD. 又 AC∩CE＝C， ∴BD⊥平面 ACE. ∵AE⊂平面 ACE， ∴BD⊥AE， ∴B1D1⊥AE.
＝ |a·b| |a||b| .
(2)线面角
|l·n|
设 l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量，则斜线 l 与平面 α 所成的角满足 sinθ＝ |l||n| .
(3)二面角 →①如→图(ⅰ)，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个半平面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝ 〈AB，CD〉 ．
∵A1O⊥底面 ABC，∴A1O⊥OB，A1O⊥OC， 以 O 为原点，分别以 OC，OB，OA1 为 x，y，z 轴建立如图空间直角坐标系 O-xyz，由题意得 A(0，
2018版高考数学全国人教B版理大一轮复习课件：第九章 平面解析几何 第4讲 精品
【例1】 (1)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8
相切”的(
A.充分不必要条件 C.充要条件
3 (2)直线 y＝－ 3 x＋m 与圆 x2＋y2＝1 在第一象限内有两个不同的 交点，则 m 的取值范围是( A.( 3，2)
C.
) B.( 3，3)
2 3 D.1， 3
(2)法一
将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，
直线与圆没有公共点的充要条件是 Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0， 解得－ 3＜k＜ 3. 法二 2 圆心(0，0)到直线 y＝kx＋2 的距离 d＝ 2 ， k ＋1 2 ＞1， 2 k ＋1
(2)当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时 m＝1； 当直线与圆相切时有圆心到直线的距离 d＝ |m|
1＋
32 3
＝1，
2 3 解得 m＝ 3 (切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有 2 3 两个不同的交点，则 1＜m＜ . 3
答案 (1)A (2)D
规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3) 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内， 可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用 于动直线问题.
【训练1】 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋
解析 如图，过 O 点作 OD⊥AB 于 D 点， 在 Rt△DOB 中，∠DOB＝60° ， ∴∠DBO＝30° ， |3×0－4×0＋5| 又|OD|＝ ＝1， 5 ∴r＝2|OD|＝2.
答案 2
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第十四章鸭部分14.1几何证明选讲第2课时圆的进一步认识课件理
5.与圆有关的比例线段
定理 名称 相交弦 定理 基本图形 条件 结论 应用 (1)在PA，PB，PC， PD 四线段中知三求一；
PD ； 弦AB，CD相 (1)PA· PB＝ PC· △BDP 交于圆内点P (2)△ACP∽______
(2)求弦长及角
割线 定理
PD； PAB，PCD是 (1)PA· PB＝ PC· PD； △ PDB ⊙O的割线 (2)△PAC∽_______ (2)应用相似求AC，BD
解答
题型分类
深度剖析
题型一 圆周角、弦切角和圆的切线问题
例1 (2016· 全国乙卷)如图，△OAB是等腰三角形， 1 ∠AOB＝120°.以O为圆心， 2 OA为半径作圆. (1)证明：直线AB与⊙O相切； 证明 设E是AB的中点，
连结OE.
因为OA＝OB，∠AOB＝120°，
所以OE⊥AB，∠AOE＝60°， 1 在Rt△AOE中，OE＝ AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径， 2 所以直线AB与⊙O相切.
(1)证明线段相等，
已知PA求PB；
(2)求角
6.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理：圆内接四边形的对角 互补 . (2)判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆.
考点自测
1.(2016· 南通二模)如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C 为切点.求证：AP· BC＝AC· CP.
2.圆的切线的性质及判定定理 (1)判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 . (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 . 推论1：经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点 . 推论2：经过切点且与切线垂直的直线必经过 圆心 . 3.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等 . 4.弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的 度数的一半 .
【课标通用】2018届高考数学(理)一轮课件：17-解三角形(含答案)
【解】 (1)由已知可得 tan A=- 3,所以 A= . 在△ABC 中,由余弦定理得 28=4+c
2
2
即 c2+2c-24=0.解得 c=-6(舍去),c=4. π (2)由题设可得∠CAD= , 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD= . 故△ABD 面积与△ACD
1 2 π 6
2π -4ccos , 3
2π 3
1 π ������������ · ������������ · sin 6 面积的比值为2 1 =1. ������������ 2������������·
又△ABC 的面积为 × 4× 2sin∠BAC=2 3, 所以△ABD 的面积为 3.
考点37
考点38
考点39
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
【答案】 1
1 2 π 6
1 2
π 6
.
5π 6 5π B= , 6 ������ π,解得 sin6
【解析】 由 sin B= 解得 B= 或 B= . 根据三角形内角和定理,舍去 所以 B= ,A= .
������ 根据正弦定理 sin������ π 6 2π 3
=
������ 3 ,得 2 π sin������ sin
sin������ sin������
2 2 1 1 (1)S△ABD= AB· ADsin∠BAD,S△ADC= AC· ADsin∠CAD. 2 2
=
������������ ������������
= .
1 2
考点37
考点38
考点39
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
正弦、余弦定理
定理 正弦定理
2
2
即 c2+2c-24=0.解得 c=-6(舍去),c=4. π (2)由题设可得∠CAD= , 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD= . 故△ABD 面积与△ACD
1 2 π 6
2π -4ccos , 3
2π 3
1 π ������������ · ������������ · sin 6 面积的比值为2 1 =1. ������������ 2������������·
又△ABC 的面积为 × 4× 2sin∠BAC=2 3, 所以△ABD 的面积为 3.
考点37
考点38
考点39
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
【答案】 1
1 2 π 6
1 2
π 6
.
5π 6 5π B= , 6 ������ π,解得 sin6
【解析】 由 sin B= 解得 B= 或 B= . 根据三角形内角和定理,舍去 所以 B= ,A= .
������ 根据正弦定理 sin������ π 6 2π 3
=
������ 3 ,得 2 π sin������ sin
sin������ sin������
2 2 1 1 (1)S△ABD= AB· ADsin∠BAD,S△ADC= AC· ADsin∠CAD. 2 2
=
������������ ������������
= .
1 2
考点37
考点38
考点39
试做真题
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正弦、余弦定理
定理 正弦定理
《新高考全案》高考数学 173几何证明选讲(1)课件 人教
• 4．直角三角形射影定理 • 直角三角形斜边上的高是 两直角边在斜边上射影 的 比 例 中项，两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边 的 比 例 中项．
1．(2010·广东，14)(几何证明选讲选做题)如图，在直角 梯形 ABCD 中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2， 点 E，F 分别为线段 AB，AD 的中点，则 EF＝________.
• (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分 线的比，对应中位线的比，周长的比都等于相似比 ， 面 积 的 比等于 相似比的平方．
• (3)相似三角形的判定： • ① 两角对应相等 的两个三角形相似； • ② 三边对应成比例 的两个三角形相似； • ③ 两边对应成比例 ，并且 夹角相等 的两个三 角形 相似．
[证明] ∵S△BCD2＝S△ABC·S△ADC，∴SS△△BADBCC＝SS△△ABDDCC ∴BADB··CCDD＝BADD··CDDC即BADB＝BADD ∴BD2＝AB·AD，又 AC2＝AD·AB ∴AC2＝BD2，∴AC＝BD.
• 1．由等积式转化为比例式是一种基本方法，作平行线找 中间比是解决问题的主要思想方法之一．
2．(2011·深圳一模)(几何证明选讲)如下图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上异于 A，B 的点，CD⊥AB，垂足为 D， 已知 AD＝2，CB＝4 3，则 CD＝________.
[解析] 由射影定理得， CB2＝BD·BA⇔(4 3)2＝BD(BD＋2)⇔BD＝6. CD2＝AD·BD＝2×6＝12. [答案] 12
∵AD∥CE，∴DBDC＝BAAE 又∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，AD 平分∠BAC ∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AC＝AE ∴AACB＝CBDD. • 证法二：过D作DE∥AC交AB于E，则∠2＝∠3.
1．(2010·广东，14)(几何证明选讲选做题)如图，在直角 梯形 ABCD 中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2， 点 E，F 分别为线段 AB，AD 的中点，则 EF＝________.
• (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分 线的比，对应中位线的比，周长的比都等于相似比 ， 面 积 的 比等于 相似比的平方．
• (3)相似三角形的判定： • ① 两角对应相等 的两个三角形相似； • ② 三边对应成比例 的两个三角形相似； • ③ 两边对应成比例 ，并且 夹角相等 的两个三 角形 相似．
[证明] ∵S△BCD2＝S△ABC·S△ADC，∴SS△△BADBCC＝SS△△ABDDCC ∴BADB··CCDD＝BADD··CDDC即BADB＝BADD ∴BD2＝AB·AD，又 AC2＝AD·AB ∴AC2＝BD2，∴AC＝BD.
• 1．由等积式转化为比例式是一种基本方法，作平行线找 中间比是解决问题的主要思想方法之一．
2．(2011·深圳一模)(几何证明选讲)如下图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上异于 A，B 的点，CD⊥AB，垂足为 D， 已知 AD＝2，CB＝4 3，则 CD＝________.
[解析] 由射影定理得， CB2＝BD·BA⇔(4 3)2＝BD(BD＋2)⇔BD＝6. CD2＝AD·BD＝2×6＝12. [答案] 12
∵AD∥CE，∴DBDC＝BAAE 又∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，AD 平分∠BAC ∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AC＝AE ∴AACB＝CBDD. • 证法二：过D作DE∥AC交AB于E，则∠2＝∠3.
2018年高考数学总复习几何证明选讲
似.
(3) 直角三角形相似的特殊判定：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 3.直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积， 的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积 .
不等式
不等式和绝对值不等式
不等式
证明不等式的基本方法
柯西不等式、 排序不等式
不等式的基本性质
不等式 绝对不等式
基本不等式
三个正数的算数 -几何平均不等式 绝对值三角不等式
绝对值不等式的解法 比较法 综合 法与分 析
反证法与放缩法 数学归纳法
第一节 几何证明选讲
考纲解读
1.了解平行线截截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理
（ 2）推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，截得的三角形与原三角形的对应线 段成比例．
二、 相似三角形
1.相似三角形的判定 （ 1）判定定理：
①两角对应相等的两个三角形相似 .
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． ③三边对应成比例，两三角形相似 .
（ 2）推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相
.
知识点精讲
一、平行截割定理
1.平行线等分线段定理及其推论 （ 1）定理：如果一组平行线在一条线段上截得的线段相等，那么在任意一条（与这组 平行线相交的）直线上截得的相等也相等 .
(2) 推论：经过梯形一腰的中点而平行与底边的直线平分另一腰
.
2. 平行截割定理及其推论
（1）定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．
DE OE EF OE
DE EF
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• 1．熟悉下列与圆有关的概念 • 圆的切线、割线、三角形的内切圆与旁切圆，圆心角，圆 弧的度数，圆周角，弦切角．
• 2．圆的切线的判定 • 经过圆的半径的外端且 垂直 于这条半径的直线，是圆 的切线．
• 3．圆的切线的性质 • 圆的切线 垂直 过切点的半径． • 推论：①从圆外的一个已知点所引的两条切线长 相等 ． • ②经过圆外的一个已知点和圆心的直线， 平分 从这点向 圆所作的两条切线所夹的角． • 4．圆周角定理 • 圆周角的度数 等于 它所对弧的度数的一半． • 推论：①直径(或半圆)所对的圆周角是 直角 ． • ②同弧或等弧所对的圆周角 相等 ． • ③等于直角的圆周角所对的弦是圆的 直径 ．
∴CP＝PPAD2＝
223a2＝98a.
3a
[答案]
9 8a
•
如图，梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，求证：A
、B、C、D共圆．
• [证明] ∵梯形ABCD是等腰梯形． • ∴∠A＝∠D • 又∵AD∥BC • ∴∠C＋∠D＝180° • ∵∠A＋∠C＝180° • ∴A、B、C、D共圆． • [点评与警示] 证明四点共圆通常证四边形的对角互补或 它的一个外角等于它的内角的对角．
• 8．圆内接四边形的判定 • 如果一个四边形的一组对角 互补 内接于圆．
，那么这个四边形
• 9．圆内接四边形的性质
• 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都 等于 它的内对角．
• 1．(2011·广州一模)(几何证明选讲选做题)如下图所示， CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1， ∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．
• [答案] 3
3．(2011·惠州二模)(几何证明选讲选做题)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AB＝2，AC 和 AD 是⊙O 的两条弦，AC ＝ 2，AD＝ 3，则∠CAD＝________.
[解析] 连结 BC、BD，则∠ACB＝∠ADB＝90°，
在 Rt△ABC 中，cos∠CAB＝AACB＝ 22，∴∠CAB＝4π；
• (2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°. • 由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝ 30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得 ∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.
• (2010·天津，11)如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四
• (2009·宁夏海南卷理)如图，已知△ABC的两条角平分 线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF. • (1)证明：B，D，H，E四点共圆； • (2)证明：CE平分∠DEF.
• [证明] (1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋ ∠BCA＝120°， • 因为AD，CE是角平分线， • 所以∠HAC＋∠HCA＝60°， • 故∠AHC＝120°. • 于是∠EHD＝∠AHC＝120°， • 因为∠EBD＋∠EHD＝180°， • 所以B，D，H，E四点共圆．
• 2．在圆中证明线段的关系式首要考虑的是几个重要定理 ，结合相似三角形进行等比代换或等线代换，圆中角的关系 ，则往往利用圆周角，弦切角，圆心角与弧的关系转化．
[解析] ∵AC、AD 分别是⊙O′、⊙O 的切线，AB 是 两圆的公共弦，由弦切角定理得∠CAB＝∠ADB，
∠DAB＝∠ACB， ∴△ABC∽△DBA， ∴BACB＝BADB，∴AB2＝BC·BD＝2×6， ∴AB＝2 3. • [[答点案评]与警2 示3.] 本题根据弦切角定理推出角相等，从而转 化为相似三角形问题来解决．
在 Rt△ABD 中，cos∠DAB＝AADB＝ 23， ∴∠CAB＝π6；∠CAD＝∠CAB＋∠DAB＝51π2.
[答案]
5π 12.
• 如下图所示，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的 切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙O′于点D，若 BC＝2，BD＝6，则AB的长为________．
(2010·广东，14)(几何证明选讲选做题)如图，AB，CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 P，PD ＝23a，∠OAP＝30°，则 CP＝________.
[解析] ∵P 是弦 AB 的中点，∴OP⊥AB.
在 Rt△AOP 中，∠OAP＝30°，OA＝a，
∴AP＝ 23a＝BP.又∵CP·PD＝PA·PB，
• [ 解 析 ] ∠A ＝ ∠BCD ＝ 30° ， 从 而 ∠BOC ＝ 60°.∴△OBC是等边三角形． • ∴圆的半径为1，面积为π. • [答案] π
• 2．(2009·深圳二模)如下图所示，已知EB是半圆O的直径 ，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于点C ，DF⊥EB于点F，若BC＝6，AC＝8，则DF＝________.
边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 PB＝1，PD＝3，则ABDC的 值为________．
[解析] 由切割线定理知 PB·PA＝PC·PD.
令 PB＝x，则 PA＝2x，
PC＝y，则 PD＝3y， ∴PB·PA＝2x2，PC·PD＝3y2，
∴2x2＝3y2，xy＝
2 3.
∵△PBC∽△PDA，
• 5．弦切角定理 • 弦切角的度数 等于 它所夹的弧的度数的一半． • 推论：弦切角 等于 它所夹弧所对的圆周角．
• 6．相交弦定理 • 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积 相等 ．
• 7．切割线定理
• 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的 比例中项 ．
已知圆 O 的半径为 3，从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC，圆心 O 到 AC 的距离为 2 2，AB＝3，则切线 AD 的长为 ________．
[解析] 由 OC＝3，O 到 AC 距离为 2 2知 BC＝2
由 AD2＝AB·AC＝3×5 知 AD＝ 15.
[答案] 15
• 1．解决平面几何问题时，当条件较分散时，可适当添作 辅助线，使得分散的条件集中，并要分析待证明的结论与已 知条件关系，逐步消除差距．
∴DBCA＝PPAC＝2yx＝12
23＝
6 6.
[答案]
6 6
• 如图：PA 与圆 O 相切于 A，PCB 为圆 O 的割线，并且 不过圆心 O，已知∠BPA＝30°，PA＝2 3，PC＝1，则圆 O 的半径等于__________．
• [解析] 由圆的性质PA2＝PC·PB，得PB＝12，连接OA并 反向延长交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD＝4 ， DA ＝ 2 ， 故 CD ＝ 3 ， DB ＝ 8 ， 记 圆 的 半 径 为 R ， 由 于 ED·DA＝CD·DB • 因此，(2R－2)·2＝3·8，解得R＝7. • [答案] 7
• 2．圆的切线的判定 • 经过圆的半径的外端且 垂直 于这条半径的直线，是圆 的切线．
• 3．圆的切线的性质 • 圆的切线 垂直 过切点的半径． • 推论：①从圆外的一个已知点所引的两条切线长 相等 ． • ②经过圆外的一个已知点和圆心的直线， 平分 从这点向 圆所作的两条切线所夹的角． • 4．圆周角定理 • 圆周角的度数 等于 它所对弧的度数的一半． • 推论：①直径(或半圆)所对的圆周角是 直角 ． • ②同弧或等弧所对的圆周角 相等 ． • ③等于直角的圆周角所对的弦是圆的 直径 ．
∴CP＝PPAD2＝
223a2＝98a.
3a
[答案]
9 8a
•
如图，梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，求证：A
、B、C、D共圆．
• [证明] ∵梯形ABCD是等腰梯形． • ∴∠A＝∠D • 又∵AD∥BC • ∴∠C＋∠D＝180° • ∵∠A＋∠C＝180° • ∴A、B、C、D共圆． • [点评与警示] 证明四点共圆通常证四边形的对角互补或 它的一个外角等于它的内角的对角．
• 8．圆内接四边形的判定 • 如果一个四边形的一组对角 互补 内接于圆．
，那么这个四边形
• 9．圆内接四边形的性质
• 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都 等于 它的内对角．
• 1．(2011·广州一模)(几何证明选讲选做题)如下图所示， CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1， ∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．
• [答案] 3
3．(2011·惠州二模)(几何证明选讲选做题)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AB＝2，AC 和 AD 是⊙O 的两条弦，AC ＝ 2，AD＝ 3，则∠CAD＝________.
[解析] 连结 BC、BD，则∠ACB＝∠ADB＝90°，
在 Rt△ABC 中，cos∠CAB＝AACB＝ 22，∴∠CAB＝4π；
• (2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°. • 由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝ 30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得 ∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.
• (2010·天津，11)如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四
• (2009·宁夏海南卷理)如图，已知△ABC的两条角平分 线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF. • (1)证明：B，D，H，E四点共圆； • (2)证明：CE平分∠DEF.
• [证明] (1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋ ∠BCA＝120°， • 因为AD，CE是角平分线， • 所以∠HAC＋∠HCA＝60°， • 故∠AHC＝120°. • 于是∠EHD＝∠AHC＝120°， • 因为∠EBD＋∠EHD＝180°， • 所以B，D，H，E四点共圆．
• 2．在圆中证明线段的关系式首要考虑的是几个重要定理 ，结合相似三角形进行等比代换或等线代换，圆中角的关系 ，则往往利用圆周角，弦切角，圆心角与弧的关系转化．
[解析] ∵AC、AD 分别是⊙O′、⊙O 的切线，AB 是 两圆的公共弦，由弦切角定理得∠CAB＝∠ADB，
∠DAB＝∠ACB， ∴△ABC∽△DBA， ∴BACB＝BADB，∴AB2＝BC·BD＝2×6， ∴AB＝2 3. • [[答点案评]与警2 示3.] 本题根据弦切角定理推出角相等，从而转 化为相似三角形问题来解决．
在 Rt△ABD 中，cos∠DAB＝AADB＝ 23， ∴∠CAB＝π6；∠CAD＝∠CAB＋∠DAB＝51π2.
[答案]
5π 12.
• 如下图所示，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的 切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙O′于点D，若 BC＝2，BD＝6，则AB的长为________．
(2010·广东，14)(几何证明选讲选做题)如图，AB，CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 P，PD ＝23a，∠OAP＝30°，则 CP＝________.
[解析] ∵P 是弦 AB 的中点，∴OP⊥AB.
在 Rt△AOP 中，∠OAP＝30°，OA＝a，
∴AP＝ 23a＝BP.又∵CP·PD＝PA·PB，
• [ 解 析 ] ∠A ＝ ∠BCD ＝ 30° ， 从 而 ∠BOC ＝ 60°.∴△OBC是等边三角形． • ∴圆的半径为1，面积为π. • [答案] π
• 2．(2009·深圳二模)如下图所示，已知EB是半圆O的直径 ，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于点C ，DF⊥EB于点F，若BC＝6，AC＝8，则DF＝________.
边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 PB＝1，PD＝3，则ABDC的 值为________．
[解析] 由切割线定理知 PB·PA＝PC·PD.
令 PB＝x，则 PA＝2x，
PC＝y，则 PD＝3y， ∴PB·PA＝2x2，PC·PD＝3y2，
∴2x2＝3y2，xy＝
2 3.
∵△PBC∽△PDA，
• 5．弦切角定理 • 弦切角的度数 等于 它所夹的弧的度数的一半． • 推论：弦切角 等于 它所夹弧所对的圆周角．
• 6．相交弦定理 • 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积 相等 ．
• 7．切割线定理
• 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的 比例中项 ．
已知圆 O 的半径为 3，从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC，圆心 O 到 AC 的距离为 2 2，AB＝3，则切线 AD 的长为 ________．
[解析] 由 OC＝3，O 到 AC 距离为 2 2知 BC＝2
由 AD2＝AB·AC＝3×5 知 AD＝ 15.
[答案] 15
• 1．解决平面几何问题时，当条件较分散时，可适当添作 辅助线，使得分散的条件集中，并要分析待证明的结论与已 知条件关系，逐步消除差距．
∴DBCA＝PPAC＝2yx＝12
23＝
6 6.
[答案]
6 6
• 如图：PA 与圆 O 相切于 A，PCB 为圆 O 的割线，并且 不过圆心 O，已知∠BPA＝30°，PA＝2 3，PC＝1，则圆 O 的半径等于__________．
• [解析] 由圆的性质PA2＝PC·PB，得PB＝12，连接OA并 反向延长交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD＝4 ， DA ＝ 2 ， 故 CD ＝ 3 ， DB ＝ 8 ， 记 圆 的 半 径 为 R ， 由 于 ED·DA＝CD·DB • 因此，(2R－2)·2＝3·8，解得R＝7. • [答案] 7