高三数学-数列大题解法(一)——练习

高三数学-数列大题解法(一)——练习
高三数学-数列大题解法(一)——练习

大题考法专项训练

A 级——中档题保分练

1.已知数列{a n }为等比数列,首项a 1=4,数列{b n }满足b n =log 2a n ,且b 1+b 2+b 3=12.

(1)求数列{a n }的通项公式; (2)令c n =

4b n ·b n +1+a n ,求数列{c n }的前n 项和S n .

2.已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =

a n +1-23

,设b n =log 2a n . (1)求数列{a n }的通项公式;

(2)判断数列{b n }是否为等差数列,并说明理由;

(3)求数列????

??4(b n +1)(b n +3)的前n 项和T n .

3.(2019·福州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n ,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n +1.

(1)求数列{b n }的通项公式;

(2)令c n =(a n +1)n +1

(b n +2)n

,求数列{c n }的前n 项和T n .

B级——拔高题满分练

1.(2020届高三·长沙摸底)已知数列{a n}的首项a1=3,a3=7,且对任意的n∈N*,都有a n-2a n+1+a n+2=0,数列{b n}满足b n=a2n-1,n∈N*.

(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)求使b1+b2+…+b n>2 019成立的最小正整数n的值.

2.已知{a n}是各项都为正数的数列,其前n项和为S n,且S n为a n与1

a n的等差中项.

(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(-1)n

a n,求{

b n}的前n项和T n.

3.(2019·天津高考)设{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.

(1)求{a n}和{b n}的通项公式.

(2)设数列{c n}满足c n=求a1c1+a2c2+…+a2n c2n(n∈N*).

数列大题考法专训练答案

A 级——中档题保分练

1.解:(1)由b n =log 2a n 和b 1+b 2+b 3=12,得log 2(a 1a 2a 3)=12, ∴a 1a 2a 3=212. 设等比数列{a n }的公比为q , ∵a 1=4,∴a 1a 2a 3=4·4q ·4q 2=26·q 3=212, 解得q =4, ∴a n =4·4n -

1=4n .

(2)由(1)得b n =log 24n =2n , c n =42n ·2(n +1)+4n =1n (n +1)+4n =1n -1n +1+4n . 设数列????

??1n (n +1)的前n 项和为A n , 则A n =1-12+12-13+…+1n -1n +1=n n +1, 设数列{4n

}的前n 项和为B n , 则B n =4-4n ·41-4=43(4n -1), ∴S n =n n +1+43(4n -1).

2.解:(1)依题意得a 1=2,则n =1时,S 1=

a 2-23=a 1, ∴a 2=8. n ≥2时,S n -1=a n -23,则a n =S n -S n -1=a n +1-23-a n -23

,整理得a n +1a n =4. 又a 2a 1

=4,∴数列{a n }是首项为2,公比为4的等比数列,∴a n =2·4n -1=22n -1. (2)b n =log 2a n =log 222n -1=2n -1, 则b n +1-b n =2n +1-(2n -1)=2,且b 1=1,∴数列{b n }是等差数列.

(3)由(2)得b n =2n -1,

4(b n +1)(b n +3)=42n (2n +2)=1n (n +1)=1n -1n +1, ∴T n =????1-12+????12-13+…+????1n -1n +1=n n +1.

3.解:(1)因为S n =3n 2+8n ,所以当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n 2+8n -[3(n -1)2+8(n -1)]=6n +5. 当n =1时,a 1=S 1=11也符合上式, 所以a n =6n +5,n ∈N *. 于是,b n +1+b n =a n =6n +5. 因为{b n }是等差数列, 所以可设b n =kn +t (k ,t 均为常数),

则有k (n +1)+t +kn +t =6n +5, 即2kn +k +2t =6n +5对任意的n ∈N *恒成立, 所以????? 2k =6,k +2t =5,解得?????

k =3,t =1,故b n =3n +1. (2)因为a n =6n +5,b n =3n +1,

所以c n =(a n +1)n +1(b n +2)n =(6n +6)n +1(3n +3)n

=2n ×(6n +6). 于是,T n =12×2+18×22+24×23+…+2n ×(6n +6),①

所以2T n =12×22+18×23+24×24+…+2n ×6n +2n +1×(6n +6),②

①-②得,-T n =24+6(22+23+…+2n )-2n +1×(6n +6)=24+6×22-2n ×21-2

-2n +1×(6n +6)=-2n +1×6n , 故T n =2n +1×6n =2n +

2×3n .

B 级——拔高题满分练

1.解:(1)令n =1,得a 1-2a 2+a 3=0,解得a 2=5.

又由a n -2a n +1+a n +2=0,知a n +2-a n +1=a n +1-a n =…=a 2-a 1=2, 故数列{a n }是首项a 1=3,公差d =2的等差数列,于是a n =2n +1,b n =a 2n -1=2n +1.

(2)由(1)知,b n =2n +1.

于是b 1+b 2+...+b n =(21+22+ (2)

)+n =2(1-2n )1-2+n =2n +1+n -2. 令f (n )=2n +

1+n -2,易知f (n )是关于n 的单调递增函数, 又f (9)=210+9-2=1 031,f (10)=211+10-2=2 056, 故使b 1+b 2+…+b n >2 019成立的最小正整数n 的值是10.

2.解:(1)由题意知,2S n =a n +1a n ,即2S n a n -a 2n =1,① 当n =1时,由①式可得S 1=1;

当n ≥2时,a n =S n -S n -1,代入①式,得2S n (S n -S n -1)-(S n -S n -1)2=1,整理得S 2n -S 2n -1=1.

所以{S 2n }是首项为1,公差为1的等差数列,S 2n =1+n -1=n .

因为{a n }的各项都为正数,所以S n =n , 所以a n =S n -S n -1=n -n -1(n ≥2). 又a 1=S 1=1,所以a n =n -n -1.

(2)b n =(-1)n a n =(-1)n n -n -1

=(-1)n (n +n -1), 当n 为奇数时,

T n =-1+(2+1)-(3+2)+…+(n -1+n -2)-(n +n -1)=-n ; 当n 为偶数时,

T n =-1+(2+1)-(3+2)+…-(n -1+n -2)+(n +n -1)=n . 所以{b n }的前n 项和T n =(-1)n n .

3.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q .

依题意,得????? 3q =3+2d ,3q 2=15+4d ,解得?????

d =3,q =3, 故a n =3+3(n -1)=3n ,b n =3×3n -1=3n . 所以数列{a n }的通项公式为a n =3n ,{b n }的通项公式为b n =3n .

(2)a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n =(a 1+a 3+a 5+…+a 2n -1)+(a 2b 1+a 4b 2+a 6b 3+…+a 2n b n )

=???

?n ×3+n (n -1)2×6+(6×31+12×32+18×33+…+6n ×3n ) =3n 2+6(1×31+2×32+…+n ×3n ).

记T n =1×31+2×32+…+n ×3n ,①

则3T n =1×32+2×33+…+n ×3n +1,②

②-①得,2T n =-3-32-33-…-3n +n ×3n +1=-3(1-3n )1-3

+n ×3n +1=(2n -1)3n +1+32. 所以a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n =3n 2+6T n =3n 2+3×(2n -1)3n +1+32=(2n -1)3n +2+6n 2+92

(n ∈N *).

高中数学数列专题大题训练

高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要:纵观近几年高考数学卷,压轴题很多是数列型不等式,其中通常需要证明数列型不等式,它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法,而且还可以综合考查其它多种数学思想方法,充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算,利用不等式的传递性,其优点是能迅速地化繁为简,化难为易,达到事半功倍的效果;其难点是变形灵活,技巧性强,放缩尺度很难把握。对大部分学生来说,在面对这类考题时,往往无从下笔.本文以数列型不等式压轴题的证明为例,探究放缩法在其中的应用,希望能抛砖引玉,给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词:放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体: 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法:放缩法与裂项求和的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型: (1)先放缩通项,然后将其裂成某个数列的相邻两项的差,在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+,1,2,3, n =。设2n n n T S =, 1,2,3, n =,证明: 1 32 n i i T =< ∑。 证明:易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----, 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评: 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---,然后再求和,即可达到目标。 (2)先放缩通项,然后将其裂成(3)n n ≥项之和,然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-,1n n b a =-,数列{}n b 的

数列综合应用(放缩法)教案资料

数列综合应用(1) ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中, 是历年高考命题的热点,这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力.解决 这类问题常常用到放缩法,而求解途径一般有两条: 一是先求和再放缩,二是先放缩再求和. 二、典例讲解 1.先求和后放缩 例1.正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足 12+=n n a S ,试求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)设1 1+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和 为n B ,求证:21

③.放缩后为差比数列,再求和 例4.已知数列{}n a 满足:11=a , )3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n .求证: 112 13-++-≥>n n n n a a ④.放缩后为裂项相消,再求和 例5.在m (m ≥2)个不同数的排列P 1P 2…P n 中, 若1≤i <j ≤m 时P i >P j (即前面某数大于后面某数), 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ,如排列21的逆序数11=a ,排列321的 逆序数63=a . (1)求a 4、a 5,并写出a n 的表达式; (2)令n n n n n a a a a b 11+++=,证明: 32221+<++

数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习) 一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式:??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 (利用常用公式) =x x x n --1)1(=2 11) 21 1(2 1--n =1-n 21 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解:由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n , )2)(1(2 1 ++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++= n n S n S n f =64 342++n n n

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,

(1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.

高中数列放缩法技巧大全

高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+

数列放缩法高考专题

高考专题—数列求和放缩法 一.先求和后放缩 例1.正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)设11+= n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证:2 1 n n n n a a 4.放缩后为裂项相消,再求和 例5.在m (m ≥2)个不同数的排列P 1P 2…P n 中,若1≤i <j ≤m 时P i >P j (即前面某数大于后面某数),则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ,如排列21的逆序数11=a ,排列321的逆序数63=a . (1)求a 4、a 5,并写出a n 的表达式; (2)令n n n n n a a a a b 11+++=,证明32221+<++

高考数学第2讲数列求和及综合问题

第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档偏下;2.在考查数列运算的同时,将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1,前16项和为540,则a1=________. 解析法一因为a n+2+(-1)n a n=3n-1, 所以当n为偶数时,a n+2+a n=3n-1, 所以a4+a2=5,a8+a6=17,a12+a10=29,a16+a14=41, 所以a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=92. 因为数列{a n}的前16项和为540, 所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=540-92=448.① 因为当n为奇数时,a n+2-a n=3n-1, 所以a3-a1=2,a7-a5=14,a11-a9=26,a15-a13=38, 所以(a3+a7+a11+a15)-(a1+a5+a9+a13)=80.② 由①②得a1+a5+a9+a13=184. 又a3=a1+2,a5=a3+8=a1+10,a7=a5+14=a1+24,a9=a7+20=a1+44,a11=a9+26=a1+70,a13=a11+32=a1+102,

所以a 1+a 1+10+a 1+44+a 1+102=184,所以a 1=7. 法二 同法一得a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448. 当n 为奇数时,有a n +2-a n =3n -1, 由累加法得a n +2-a 1=3(1+3+5+…+n )-n +1 2 =32(1+n )·n +12-n +12=34n 2+n +1 4, 所以a n +2=34n 2+n +1 4+a 1. 所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15 =a 1+? ????34×12+1+14+a 1+? ????34×32+3+14+a 1+? ?? ?? 34×52+5+14+a 1+ ? ????34×72+7+14+a 1+? ????34×92+9+14+a 1+? ?? ??34×112 +11+14+a 1+ ? ???? 34×132+13+14+a 1=8a 1+392=448,解得a 1=7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6=________. 解析 法一 因为S n =2a n +1,所以当n =1时,a 1=2a 1+1,解得a 1=-1. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2a n +1-(2a n -1+1), 所以a n =2a n -1,所以数列{a n }是以-1为首项,2为公比的等比数列, 所以a n =-2n -1. 所以S 6=-1×(1-26)1-2 =-63. 法二 由S n =2a n +1,得S 1=2S 1+1,所以S 1=-1,当n ≥2时,由S n =2a n +1得S n =2(S n -S n -1)+1,即S n =2S n -1-1,∴S n -1=2(S n -1-1),又S 1-1=-2,∴{S n -1}是首项为-2,公比为2的等比数列,所以S n -1=-2×2n -1=-2n ,所以S n =1-2n ,∴S 6=1-26=-63.

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析: (1)设该等差数列为{}n c ,则25a c =,33a c =,42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即:223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-,Q 1q ≠, ∴121, 2q q ==,∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ,{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时,0n b ≥,∴(13)2 n n n n T S -== (8分) 当8n ≥时,0n b <,12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 解:(1)由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得:,73=a 同理得.1,312==a a (2)由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

高三数学必做题--数列放缩法

(1) 求数列 4的通项公式; 1 a a 1 (2) 若a ,设b n n 丄,且数列b n 的前n 项和为「,求证:人 3 1 a n 1 a n i 3 n 1 a 2、已知数列 q 的前n 项和s n -,且a 1 1. 2 (1) 求数列耳的通项公式; (2) 令b n ln a n ,是否存在k (k 2,k N),使得b k 、b k 1、b k 2成等比数列.若存在, 值;若不存在,请说明理由. 3、已知a n 是等差数列,a 2 3, a 3 5. ⑴求数列a n 的通项公式; 4、设数列a n 的前n 项和为S n ,且满足a 1 2, a . 1⑵对一切正整数n ,设b n n (1) n a n a n 1 ,求数列 b n 的前n 项和S n . 求出所有符合条件的 k 2S n 2 n 1,2,3L

(1)求 a 2 ; (2)数列a n 的通项公式; 5、对于任意的n € N*,数列{a n }满足 (I )求数列{a n }的通项公式; (n )求证:对于 n 》2,—— a ? a a i 1 a 2 2 , a n n -1 .2 L n 1 2 1 2 1 2 1 L 2 1 J a n 1 2n 2 6、已知各项均为正数的数列 {a n }的前n 项和为S n 满足4S n a n 2a n ?(3)设 b n a n 1 S n i S n ,求证: b i b 2 b n

(1)求a i 的值; (2)求{a .}的通项公式; 1 (1)求证:数列{」}是等差数列; a n 1 2 (2)求证:丄色更鱼L n 1 a 2 a 3 a ° (3)求证: 1 ~2 a i 1 ~2 a 2 a n ^,n N 2 7、已知数列耳满足a 1 2,a n 1a n 细1 1 0," N 8已知首项大于0的等差数列 a n }的公差d 1,且二 a n a n 1

高考理科数学复习题解析 数列求和

高考数学复习 第四节 数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法. 1.公式法 (1)等差数列的前n 项和公式: S n =n a 1+a n 2 =na 1+n n -12 d ; (2)等比数列的前n 项和公式: 2.分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. 3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,这个数列的前n 项和可用错位相减法求解. 5.倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. 6.并项求和法 一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1)n f (n )类型,可采用两项合并求解. 例如,S n =1002 -992 +982 -972 +…+22 -12 =(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. [常用结论] 1.一些常见的数列前n 项和公式:

(1)1+2+3+4+…+n = n n +1 2 ; (2)1+3+5+7+…+2n -1=n 2 ; (3)2+4+6+8+…+2n =n 2 +n . 2.常用的裂项公式 (1) 1n n +k =1k ? ?? ??1 n -1n +k ; (2)1 4n 2-1=1 2n -1 2n +1=12? ?? ??1 2n -1-12n +1; (3) 1 n +n +1 =n +1-n ; (4)log a ? ?? ??1+1n =log a (n +1)-log a n . [基础自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列,且公比不等于1,则其前n 项和S n =a 1-a n +1 1-q .( ) (2)当n ≥2时, 1n 2-1=12? ?? ??1 n -1-1n +1.( ) (3)求S n =a +2a 2 +3a 3 +…+na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin 2 1°+sin 2 2°+sin 2 3°+…+sin 2 88°+sin 2 89°=44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ,若a n =1 n n +1 ,则S 5等于( ) A .1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n = 1n n +1=1n -1 n +1 , ∴S 5=a 1+a 2+…+a 5=1-12+12-13+…-16=5 6.] 3.若S n =1-2+3-4+5-6+…+(-1) n -1 ·n ,则S 50=________. -25 [S 50=(1-2)+(3-4)+…+(49-50)=-25.] 4.数列112,314,518,7116,…,(2n -1)+1 2 n ,…的前n 项和S n 的值等于________.

高三数学数列专题训练(含解析)

数列 20.(本小题满分12分) 已知等差数列{}n a 满足:22,5642=+=a a a ,数列{}n b 满足n n n na b b b =+++-12122 ,设数列{}n b 的前n 项和为n S 。 (Ⅰ)求数列{}{}n n b a ,的通项公式; (Ⅱ)求满足1413<

(1)求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率; (2)以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数,求ξ的分布列及其数学期望E ξ. 18.解:(1)设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼,()177 P ξ== ……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼,()61667535 P ξ==?= ……4分 故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()1166735P P P ξξξ≥==+== ……6分 (2)QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为 64216(4)75335P ξ==??= ………8分 ()6418575335 P ξ==??=………10分 所以ξ的分布列为(必须写出分布列, 否则扣1分) ……………………11分 故416586675535353535 E ξ????= +++=,所求期望值为5. (12) 20.∵a 2=5,a 4+a 6=22,∴a 1+d=5,(a 1+3d )+(a 1+5d )=22, 解得:a 1=3,d=2. ∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1212 2 中令n=1得:b 1=a 1=3, 又b 1+2b 2+…+2n b n+1=(n+1)a n+1, ∴2n b n+1=(n+1)a n+1一na n . ∴2n b n+1=(n+1)(2n+3)-n (2n+1)=4n+3,

高中数学放缩法技巧全总结

2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((112 2 2 22 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结

1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证 .2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数 bx a x f 211 )(?+= ,若5 4)1(= f ,且 )(x f 在[0,1]上的最小值为21,求证: .2 1 21)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(22 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ. 例4 已知222121n a a a +++=L ,222 121n x x x +++=L ,求证:n n x a x a x a +++Λ2 211≤1. 2.利用有用结论 例5 求证.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+++ +n n Λ 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 1211 1,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥; )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立,证明2n a e <(无理数 2.71828e ≈L ) 例8 已知不等式 21111 [log ],,2232 n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足:.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,] [log 222≥+

高中数列求和方法大全

1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= (2)等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n (切记:公比含字母时一定要讨论) 3.错位相减法:比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式: 111)1(1+-=+n n n n ; 1111()(2)22 n n n n =-++ )1 21 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? 5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。 6.合并求和法:如求22222212979899100-++-+-Λ的和。 7.倒序相加法: 8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等 (二)主要方法: 1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用; (三)例题分析: 例1.求和:①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ ③求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前n 项和n S 思路分析:通过分组,直接用公式求和。 解:①)110(9 110101011112 -= ++++==k k k k a Λ321Λ个 ] )101010[(9 1 )]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ81 10910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S Λ

高考数学数列大题专题

高考数学数列大题专题 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且有12a =,11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ (1)求数列n a 的通项公式; (2)若(21)n n b n a =-,求数列n a 的前n 项的和n T 。 4.已知数列{n a }满足11=a ,且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且. (Ⅰ)求2a ,3a ;(Ⅱ)证明数列{n n a 2}是等差数列; (Ⅲ)求数列{n a }的前n 项之和n S

5.已知数列{}n a 满足31=a ,1211-=--n n n a a a . (1)求2a ,3a ,4a ; (2)求证:数列11n a ??? ?-?? 是等差数列,并写出{}n a 的一个通项。 622,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证: ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列; ⑵n a n n 221-=+; ⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 7. .已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60,且2116a a a 和为 的等比中项. (1)求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前; (2)若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n .

高考数学数列放缩法技巧全汇总

高考数学数列放缩法技巧全汇总

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高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n

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