4.3 齐次线性方程组解的结构
4.3 齐次线性方程组解的结构
1 2 3
1 2 3 1 2 0
解：
A
3
2
6 5
10
初等行变换
0
7
0
1 0
1 1
0 0
1 0
0 1
1
2
4
0
0
0
0 0 0
1 0 0
0 0
1 0
0 1
0 0 0
r A 3 n,
所以只有零解。
例2 求齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0, 2 x1 5 x2 3 x3 2 x4 0, 7 x1 7 x2 3 x3 x4 0 的基础解系与通解.
其通解为
x k11 k22 knrnr .
其中k1 ,k2 , ,knr是任意常数 .
3.若rA n,则dim N A 0,即N A 0,仅有
零解.Ax 0有非零解 RA n
例1 求下列齐次方程组的基础解系及通解。
(1)2
x1 x1
2 x2 4 x2
4 x3 8 x3
定 理 4 .4: 设m n型齐次线性方程组AX 0的系数矩
阵的秩为rA,则AX 0的解空间N A的维数
dim N A n rA
证 : 设齐次线性方程组的系数矩阵为 A，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A可化为
1
0
b11
b1,n r
A
~
0
0
1
br1
br ,n r
A k1, B k2, C k1 2 , D k1 2 ,
2、 要使1 1 0 2T ,2 0 1 1T 是齐次线性
方程组AX 0的基础解系，则系数矩阵A可取为
0 1 1
第11讲齐次线性方程组解的结构
(m n)
am1x1 am2 x2 amnxn 0。
它的矩阵形式为
AX 0 ,
其中,
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1
a2n
,
amn
X
xxn2
。
也可用向量来表示齐次线性方程组。
a11
a12
a1n
记
1 aam211 , 2 aam222 , , n aam2nn ,
四 解线性方程组的一个应用
本节讨论矩阵的特征值与特征向量
定义 4.1
设 A Rnn , 如果存在数 及 n 维非零向量，使得：
A .
(4.1)
则称 为矩阵 A 的一个特征值, 而 称为矩阵 A 相应 于特征值 的一个特征向量。
由于
A ( A E) 0.
为矩阵 A的一个特征值的充要条件是齐次方程组
2 (1, 1, 0, 1, 0 )T 。
齐次线性方程组的通解
若齐次线性方程组(2*) 的基础解系为
1, 2 , , nr
r(A) r
则(2*) 的通解为
C11 C22 Cnrnr ,
其中, Ci 为任意常数 ( i 1, 2, , n r )。
例 求齐次线性方程组的通解: x1 x2 2x3 2x4 7x5 0 , 2x1 3x2 4x3 5x4 0 , 3x1 5x2 6x3 8x4 0。
就是说 , 方程组(2*) 的任何一个解均可由方程组 (3)中所定义
的 1, 2, , nr 线性表出。于是称方程组(3)中的这一组向
量为齐次线性方程组(2*) 的基础解系。
齐次线性方程组的基础解系
线性方程组解的结构
齐次线性方程组解的结构
齐次线性方程组Ax =0的两个解向量的和仍是解向量.
齐次线性方程组Ax =0的一个解向量乘以常数k 仍为解向量.
注：解向量的任意线性组合仍为解向量.
基础解系是齐次方程组解向量组的最大线性无关组. 而一个向量组的最大线性无关组不唯一, 同一向量组的不同最大线性无关组所含向量个数相同, 这样齐次线性方程组Ax =0的基础解系所含向量个数是唯一确定的.
齐次线性方程组(2)的系数矩阵A 的秩R (A )=r <n 时，方程组有基础解系，并且基础解系含有n -r 个解向量.
齐次线性方程组(2)的系数矩阵A 的秩R (A )=r <n 时，任意的n -r 个线性无关的解向量都是它的基础解系.
非齐次线性方程组解的结构
非齐次方程组(1)的任意两个解向量的差是对应齐次方程组(2)的解向量.
非齐次方程组(1)的任意一个解向量与对应齐次方程组(2)的任意一个解向量的和仍为非齐次方程组(1)的解向量。
设γ0是非齐次方程组(1)的一个解向量，α1, α2, …, αn -r 是对应齐次方程组(2)的一个基础解系，则非齐次方程组(1)的解的一般形式为：
,k k k r n r n --++++=αααγγ 22110
其中R (A )= r , k 1, k 2, …, k n -r 为任意常数.
非齐次线性方程组Ax =b 全部解向量(称为非齐次通解，或称一般解)可以表示为某个已知解向量(特解)加上对应的齐次线性方程组Ax =0的全部解向量(齐次通解) .。
齐次线性方程组解的结构
crn kn 1kr 2 0kn
kn 0kr 1 0kr 2 1kn
于是
k1
k2
M
kr 1 1
kr 22
L
knnr
kn
因此方程组的每一个解向量，都可以由这nr个解向量
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 线性表示，
所以
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr是方程组的基础解系.
a21 x1
a22
x2
L LL
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
（2）
称为非齐次线性方程组(
b1 ,b2 ,L ,bm 不全为0).
如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组， 简称导出组.
定理 3 （非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有 解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方 程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一 个特解与其导出方程组的解之和。
11
则
x
1
21
称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解．
n1
Ax 0.
就是该显方然程齐组次的线一性个方解程，组这总个是解有叫解做，零解，若方程组还x有1其他解0，, x那2么这些0解,L就叫,做x非n零解.0
方程组 Ax 有非0零解的充要条件是
齐次线性方程组的解有如下的性质
。
LL
xr cr ,r1xr 1 L crn xn .
xr1 1 0 0
取
xr 2
0, 1,
, 0,
xn
0 0
1
可得 从而得到(1)的n-r个解
齐次线性方程组解的结构(精)
齐次线性方程组解的结构
在学习齐次线性方程组解的结构之前，我们先来学习一下概念：向量空间.
线性方程组的向量表示
设有齐次线性方程组，记：
,，
则方程组可写成向量形式： Ax=0.
若为此方程组的解，则称为该方程组的解向量.
定义：若S为此线性方程组的全体解向量的集合，可以证明有：
（1）若，则；（2）若，则.
所以集合S是一个向量空间，我们称S为该齐次线性方程组的解空间.
对于齐次线性方程组，其向量方程形式为：Ax=0，
它的解向量可用通式表示为：
=1，
，(其右端的都是解向量：若取k
1
其余的k为0，即可看出ξ
为解向量，...。
)
1
故我们可以说，Ax=0的解向量为某n-r个线性无关的解向量的线性组合。
（注：
对此我们不加证明）
定义：齐次线性方程组的任何n-r个线性无关的解向量都称为此齐次方程组的一组基础解系.
注：这任意n-r个线性无关的解向量是齐次线性方程组解空间中的一个最大线性无关组。
是解空间的一个基。
设为方程组的一个基础解系，则方程组的解可表示为：
，其中k
1，k
2
，...，k
n-r
为任意实数.这个式子称为方
程组的通解。
例：求解方程组：
解：因为，故原方程的解向量可由任意3-2=1个线性无关的解向量的线性组合表示.
通过解方程可知为此方程组的一解向量,故原方程组的通解为：(k为任意实数。
线性代数—线性方程组解的结构
r ( A) = r ( A ) = 2 < n = 4 ,
为自由未知量， 所以有无穷多解。 所以有无穷多解。 选 x3 , x4 为自由未知量，
16
0 1 4 − 3 5 − 2 → 0 − 7 5 − 9 0 , 选 x3 , 5 0 0 0 0 0 0
为自由未知量， x4 为自由未知量，
第五节
1
回顾： 回顾：
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
其中 A = ( A, b) 为增广矩阵。 为增广矩阵。 在有解的情况下， 在有解的情况下，
当 r ( A) = n 时有唯一解； 时有唯一解；
时有无穷多解； 当 r ( A) < n 时有无穷多解；自由未知量个数为 n − r (A) .
1 2 1 −1 1 1 4 −3 5 −2 解 A = 3 − 2 1 − 3 4 → 0 −7 5 −9 5 1 4 − 3 5 − 2 0 −14 10 −18 10
1 4 − 3 5 − 2 →0 − 7 5 − 9 5 , 0 0 0 0 0
1 1 5 −9 导出组的基础解系： 导出组的基础解系： ξ 1 = , ξ 2 = , 7 0 0 7 6 7 −5 7 所以全部解为 x = ξ 0 + k 1ξ 1 + k 2ξ 2 , ξ 特解： 特解： 0 = , 0 k1 ,k2 任意。 任意。 0
1 3 A= 0 5
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 − 3 0 − 1 − 2 − 2 − 6 → 0 1 2 2 6 1 2 2 6 0 − 1 − 2 − 2 − 6 4 3 3 − 1
4.3 线性方程组解的结构
9
1 A 2 7
1 5 7
1 3 3
1 2 1
~
1 0 0
0 1 0
2 7 5 7 0
3 7 4 7 , 0
便得
2 3 x1 7 x 3 7 x 4 , x 5 x 4 x . 3 4 2 7 7
注 :齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的, 它的通解的形式也不是唯一的
求 n 元 齐 次 线 性 方 程 组 A x 0的 基 础 解 系 及 通 解 的 方 法 , 具体求法如下:
第 一 ,对 系 数 矩 阵 施 行 初 等 行 变 换 (必 要 时 可 以 重 新 排 列 未 知 量 的 顺 序 ),可 得 1 0 A 0 0 0 b1 1
0 1
b1 1 br 1
b1 , n r b r ,n r 0 0
从 而 求 得 原 方 程 组 的 n r个 解 ：
b1 1 br 1 1 1 0 0 , b1 2 br 2 2 0 1 0 , b1 , n r b r ,n r 0 0 1 .
0 0 1 0 , ， . 0 1 b1 , n r , . , b r ,n r
5
1 0 0 0
线性方程组解的结构
§4-4 线性方程组的解的结构一、齐次线性方程组解的结构设有齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++00221122221*********n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1)若记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 1则方程组(1)可写为向量方程0=AX (2)称方程(2)的解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21为方程组(1)的解向量.1．齐次线性方程组解的性质:性质1 若21,ξξ为方程组(2)的解, 则21ξξ+也是该方程组的解. 性质2 若1ξ为方程组(2)的解, k 为实数, 则1ξk 也是(2)的解. 注: 齐次线性方程组若有非零解, 则它就有无穷多个解. 2.齐次线性方程组的基础解系.齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。
当一个齐次线性方程组只有零解时, 该方程组没有基础解系; 而当一个齐次线性方程组有非零解时, 是否一定有基础解系呢? 如果有的话,怎样去求它的基础解系? 下面的定理回答了这两个问题.定理 设n m ⨯矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组Ax=0的解集S 的秩r n R s -=二、非齐次线性方程组解的结构设有非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212111212111 (3)它也可写作向量方程b AX = (4)性质3 设21,ηη是非齐次线性方程组b AX =的解, 则21ηη-是对应的齐次线性方程组0=AX 的解.性质 4 设η是非齐次线性方程组b AX =的解, ξ为对应的齐次线性方程组0=AX 的解，则ηξ+非齐次线性方程组b AX =的解.定理2 设*η是非齐次线性方程组b AX =的一个解, ξ是对应齐次线性方程组0=AX 的通解, 则*ηξ+=x 是非齐次线性方程组b AX = 的通解.注：设有非齐次线性方程组b AX =，而n ααα,,,21 是系数矩阵A 的列向量组，则下列四个命题等价：(1) 非齐次线性方程组b AX =有解； (2) 向量b 能由向量组n ααα,,,21 线性表示；(3) 向量组n ααα,,,21 与向量组n ααα,,,21 ，b 等价； (4) )()(b A r A r =.例1求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=--+0377,02352,0432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解.例2 求出一个齐次线性方程组, 使它的基础解系由下列向量组成:.1234,432121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξ 例3 求下列方程组的通解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++-=-+++=++++.123438,23622,2323.735432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x例4 设四元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵A 的秩为3, 已经它的三个解向量为,,,321ηηη 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0864,2143321ηηη,求该方程组的通解.。
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第 附：求该方程组解空间的标准正交基
四 章
(1) 取 1 1 (1, 1, 1, 0 , 0)T ,
线 性
2
2
(2 , (1 ,
1 ) 1 )
1
1 3
(19 , 17 , 2 , 6 , 18)T .
方 程
(2) 单位化
组
1
1 | 1 |
1 (1, 1, 1, 0 , 0)T , 3
2
2 |2 |
3 3 5
5 2 6
5 初等行变换 0
1 7
0 0
1 0 0
1 0 0
3 0 0
1 0 0
由于 n r( A) 5 2 3 , 故方程组有无穷多解，
其基础解系中有三个线性无关的解向量。
16
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 四 章
令自由未知量
x3 x4
分别
x5
1
0 0
章 证 (1) 先证方程组 AX 0 和 AT AX 0 等价。
线
由 AX 0 , AT AX 0;
性
由 AT AX 0 , X T AT AX 0 ,
方 程
(AX, AX) 0, AX 0.
组
(2) 由方程组 AX 0 和 AT AX 0 等价，有
N( A) N( AT A), (解空间相等)
方 不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是 A 可化为 程
组
1
0
b1,r 1
b1n
初等行变换
A
0
0
1 br ,r1 br n
0
0
0
0 0 0 0
7
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 二、基础解系及其求法
四 章
1. 基础解系
2. 基础解系的求法
线
性
相应地，齐次线性方程组 A X 0 等价(或同解)变形为
1. 解的性质
2. 解空间
线 性 定义 齐次线性方程组 AX 0 的所有解构成一个向量空间，
方 程
P118
称之为齐次线性方程组的解空间，记为 N ( A) .
组
解空间又称为 A 的零空间或者 A 的核。
启示 说明可以利用向量空间的基与维数等概念来研究齐次 线性方程组的解。
4
§4.3 齐次线性方程组解的结构
1 (19 , 17 , 2 , 6 , 18)T . 1014
20
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 例 设 B 是三阶非零矩阵，它的每一列都是线性齐次方程组
四 P122 例8 章
线
AX
1 2 3
2 1 1
2
1
x1 x2 x3
0
性
的解，求 的值和 | B|.
方
程 解 由于线性齐次方程组 A X 0 有非零解，因此
0
1
0
0
0
1
11
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 二、基础解系及其求法
四 章
1. 基础解系
2. 基础解系的求法
线
性
则 (1) 1, 2 , , nr 是方程组的一组线性无关的解，
方
程
(2) 方程组的所有解可由 1, 2 , , nr 线性表示，
组
即 X k11 k22 knrnr ,
一组基础解系，那么 A X 0 的通解可表示为
x k11 k22 ktt , P119
其中 k1, k2 , , knr 是任意常数。
6
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 二、基础解系及其求法
四 章
1. 基础解系
2. 基础解系的求法
线 性
设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 r( A) r n ,
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 四
§4.3
齐次线性方程组解的结构
章
一、齐次线性方程组解的性质与解空间
线
性 二、基础解系及其求法
方
程
组
1
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 一、齐次线性方程组解的性质与解空间
四
章
本节所考虑的齐次线性方程组为
线 性 方 程 组
简记为 AX 0 .
主要讨论 AX 0 有非零解的情况。
因此 1, 2 , , nr 是方程组的一组基础解系。
注：具体对齐次线性方程组求解时，不一定非要明确地指出 基础解系，只需按前面的求解过程完成即可。
12
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 二、基础解系及其求法
四 章
1. 基础解系
2. 基础解系的求法
线 性
3. 关于解空间的维数
方 定理 设 A 为 m n 阶矩阵，则齐次线性方程组 A X = 0 的
性
方 程 组
x1 2 x3 (5 / 3) x4
x2 x3
2 x3 x3
(4
/
3) x4
x4
x4
x1 2 5 / 3
x2 x3 x4
k1
2 1 0
k2
4/3 0 1
其中 x3 , x4 任意取值。
其中 k1, k2 任意取值。
15
§4.3 齐次线性方程组解的结构
2 1 0
2 2 0
1 4/ 3
r1 2r2
1 0
0
0
0 1 0
2 2 0
5 / 3 4/ 3 0
14
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 四 章
(2)
由标准阶梯形得到方程组为
x1 x2
2 x3 2 x3
(5 / (4 /
3) x4 3) x4
0, 0.
线 (3) 由此得到方程组的解： (4) 写成向量形式为:
5
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 二、基础解系及其求法
四 章
1. 基础解系
说明 (1) 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基，
线
性
因此基础解系是不惟一的。
方
程
(2) 一组基础解系中所含的解向量的个数是惟一的，
组
其个数即为解空间的维数。
(3) 如果 1,2 , ,t 为齐次线性方程组 A X 0 的
程 组
P119 定理
解空间 N ( A) 的维数为：dim N ( A) n r( A) .
4.4
推论
P120 推论1 推论2
设 A 为 m n 阶矩阵，则 (1) 齐次线性方程组 A X = 0 的任意 n r( A) 个线性
无关的解都是它的(一个)基础解系。
(2) A X = 0 有非零解的充要条件是 r( A) n .
2
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 一、齐次线性方程组解的性质与解空间
四 章
1. 解的性质
P118 定理4.3
线 性
(1) 若 1,2 为 AX 0 的解，则 1 2 也是 AX 0 的解。 (2) 若 为 AX 0 的解，则 k 也是 AX 0 的解。
方 程
证明
(1) 由 A1 0, A2 0 有
四
(本题在前面已经利用矩阵秩的不等式证明过)
章
证 由 r( A ) = n 1，有 | A| 0 ,
线 性
A A* | A| I 0 ,
方
即 A* 的每一列都是线性齐次方程组 A X 0 的解，
程 组
又由 A 中至少有一个 n 1 阶子式不等于零， 有 A* 0 .
根据线性齐次方程组解空间的维数定理可得
dim N( A) dim N( AT A),
n r( A) n r( AT A),
r( A) r( AT A).
23
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 四 章
线 性 方 程 组
轻松一下吧 ……
24
第 二、基础解系及其求法
四 章
1. 基础解系
线 定义 设 1, 2 , , t 为齐次线性方程组 A X 0 的一组解，
性 P118 满足：
方 定义 程 4.3
(1) 1,2 , ,t 线性无关；
组
(2) A X 0 的任何一个解都可以由 1, 2 , , t
线性表出。
称 1, 2 , , t 为方程组 A X 0 的(一个)基础解系。
dim N ( A) n r( A) n (n 1) 1,
即 A X 0 的基础解系中只含一个解向量，不妨设为 ,
则 A* 的每一列都是 的倍数，故 r( A* ) 1.
22
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 例 设 A 为 m n 阶实矩阵，证明 r( A) r( AT A) . P122 例9 四
组
A(1 2 ) A1 A2 0,
故 1 2 也是 AX 0 的解。
(2) 由 A 0 有 A(k ) kA 0 ,
即 k 也是 AX 0 的解。
表明 齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。
3
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 一、齐次线性方程组解的性质与解空间
四 章
13
§4.3 齐次线性方程组解的结构
第 四 例 求解齐次线性方程组 章
线 性
解
(1) 对系数矩阵施行初等行变换化为标准阶梯形
方
程 组
1 A 2
1
2 1 1
2 2 4
1 2 3
r2 2r1 r3 r1
1 0 0
2 3 3
2 6 6
1 4 4
1
r3 r2 r2 (3)
0 0
由此得到方程组 A X = 0 的所有解为：