两角差的余弦公式
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式1.两角和的正弦公式：对于任意两个角A和Bsin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：sin(A+B) = sin[(A/2+B/2) + (A/2-B/2)]= sin[(A/2+B/2)]cos[(A/2-B/2)] + cos[(A/2+B/2)]sin[(A/2-B/2)] = 2sin(A/2)cos(B/2) + 2cos(A/2)sin(B/2)= sinAcosB + cosAsinB这就是两角和的正弦公式。
2.两角差的正弦公式：对于任意两个角A和Bsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：sin(A-B) = sin[(A/2-B/2) + (A/2+B/2)]= sin[(A/2-B/2)]cos[(A/2+B/2)] + cos[(A/2-B/2)]sin[(A/2+B/2)] = 2sin(A/2)cos(B/2) - 2cos(A/2)sin(B/2)= sinAcosB - cosAsinB这就是两角差的正弦公式。
3.两角和的余弦公式：对于任意两个角A和Bcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：cos(A+B) = cos[(A/2+B/2) + (A/2-B/2)]= cos[(A/2+B/2)]cos[(A/2-B/2)] - sin[(A/2+B/2)]sin[(A/2-B/2)] = cosAcosB - sinAsinB这就是两角和的余弦公式。
4.两角差的余弦公式：对于任意两个角A和Bcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：cos(A-B) = cos[(A/2-B/2) + (A/2+B/2)]= cos[(A/2-B/2)]cos[(A/2+B/2)] + sin[(A/2-B/2)]sin[(A/2+B/2)] = cosAcosB + sinAsinB这就是两角差的余弦公式。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
简记： S
( )
异名积，符号同.
sin( ) cos ( ) 2
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
sin( ) cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° sin 20°sin 70° .
解：(1)原式 sin(72o 18o ) sin 90o 1.
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) . 2 1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3.化简:(1) 2(sin x cos x). (2) 2 cos x 6 sin x.
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角 ， 的
两角差的余弦公式 课件
两角差的余弦公式
公式 简记符号 使用条件
cos(α-β)=_c_o_s_α__c_o_s_β__+_s_i_n_α__s_i_n_β__ _C_(α__-β__)
α,β都是_任__意__角__
【点拨】关于两角差的余弦公式 (1)公式的结构特点 公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数 之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.
(2)公式中的角α,β 公式中的角α,β不仅可以是角,而且可以是任意的整 体,可以根据题目需要进行替换、变形代入,展开式仍 然成立.
(3)公式的灵活应用 首先是公式的逆用,可以把符合公式特点的展开式合并, 其次是角的灵活变化,如cosα=cos[(α+β)-β].
【自我检测】
1.化简cos15°cos45°+cos75°sin45°的值为
B. 6 2 2
D. 6 2 4
【解析】选D.cos(-15°)=cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45°
1 2 3 2 2 6.
22 2 2
4
3.若向量a=(cos60°,sin60°),b=(cos15°,sin15°),
则a·b= ( )
2
又cos(α-β)= , 5
5
所以sin(α-β)= 1 cos2( )＝ 2 5 .
5
又因为0<2α<π,cos2α= 10,
10
所以sin2α= 1 cos2 2＝3 10 ，
10
所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]
=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式两角和的公式可以表示为：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinBcos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)两角差的公式可以表示为：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinBcos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)这些公式可以通过三角函数的定义及相关几何知识进行推导。
我们以sin(A + B)的公式为例进行推导。
设点P(x, y)在单位圆上，与x轴正半轴的夹角为A + B。
则点P的坐标为(x, y) = (cos(A + B), sin(A + B))。
根据三角函数的定义可知：x = cos(A + B)y = sin(A + B)在单位圆上再取点Q(x', y')，与x轴正半轴的夹角为A，点Q的坐标为(x', y') = (cosA, sinA)。
同理再取点R(x'', y'')，与x轴正半轴的夹角为B，点R的坐标为(x'', y'') = (cosB, sinB)。
由于圆上任意两点间的距离为1，因此PQ与PR的长度均为1，可以分别表示为：PQ = sqrt((x - x')^2 + (y - y')^2)PR = sqrt((x - x'')^2 + (y - y'')^2)同时利用勾股定理可知：PQ^2 = (x - x')^2 + (y - y')^2 = (cos(A + B) - cosA)^2 + (sin(A + B) - sinA)^2PR^2 = (x - x'')^2 + (y - y'')^2 = (cos(A + B) - cosB)^2 + (sin(A + B) - sinB)^2将上述两个式子相加得：PQ^2 + PR^2 = (cos(A + B) - cosA)^2 + (sin(A + B) - sinA)^2 + (cos(A + B) - cosB)^2 + (sin(A + B) - sinB)^2展开计算可得：PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * (cos(A + B) * cosA + sin(A + B) * sinA - cos(A + B) * cosB - sin(A + B) * sinB)利用三角函数的和角公式可进一步化简：PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * (cosA * cos(A + B) + sinA * sin(A + B) - cosB * cos(A + B) - sinB * sin(A + B))= 2 + 2 * (cosA * cos(A + B) - sinA * sin(A + B) + cosB * cos(A + B) - sinB * sin(A + B))利用余弦函数的差角公式可进一步化简：PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * (cos(A + B - A) + cos(A + B + A) - cos(B - A) - cos(B + A))= 2 + 2 * (cosA + cos(B + A) - cos(B - A) - cosA)= 2 + 2 * (cosA + cosB * cosA - sinB * sinA - cosB * cosA + sinB * sinA)= 2 + 2 * cosA因此，PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * cosA。
两角和与差的余弦公式
两角和与差的余弦公式余弦公式是三角学中常用的定理，用来计算三角形的角度和边长。
其中，两角和与差的余弦公式是一种特殊形式的余弦公式，用来计算两个角的和与差的余弦值。
在本文中，我们将详细介绍两角和与差的余弦公式，并且给出其证明及应用示例。
一、两角和与差的余弦公式的表述对于任意两个角A和B，其和与差的余弦值分别可以表示为：①余弦和公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB②余弦差公式：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB其中，cosA、cosB、sinA、sinB分别表示角A和角B的余弦和正弦值。
二、两角和与差的余弦公式的证明1.证明余弦和公式：我们先来证明余弦和公式cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB。
根据三角函数的定义，我们有：cos(A + B) = cos(α + β)= [exp(i(α + β)) + exp(-i(α + β))] / 2 (欧拉公式)= [exp(iα) * exp(iβ) + exp(-iα) * exp(-iβ)] / 2 (指数幂法则)= [(cosα + i * sinα) * (cosβ + i * sinβ) + (cosα - i * sinα) * (cosβ - i * sinβ)] / 2 (令exp(iα) = cosα + i *sinα，同样对于exp(iβ))= [(cosα * cosβ + i * cosα * sinβ + i * sinα * cosβ + i^2 * sinα * sinβ) + (cosα * cosβ - i * cosα * sinβ - i * sinα *cosβ - i^2 * sinα * sinβ)] / 2= [(cosα * cosβ + sinα * sinβ) + i * (cosα * sinβ + sinα * cosβ)] + [- (cosα * cosβ + sinα * sinβ) + i * (cosα * sinβ + sinα * cosβ)] / 2= (cosα * cosβ + sinα * sinβ)= cosA * cosB - sinA * sinB故余弦和公式成立。
两角差的余弦公式
两角差的余弦公式1. 引言在数学和物理学中，余弦公式是关于三角形边与角之间关系的一种重要公式。
除了计算三角形的边长外，余弦公式还可以用来计算两个向量之间的夹角。
本文将介绍一种特殊情况下的余弦公式，即两角差的余弦公式，它在计算两个角度之间的夹角时非常有用。
2. 两角差的余弦公式余弦公式描述了三角形中某一边和与其相邻的两个角之间的关系。
对于某个三角形 ABC，设边长 BC 为 a，边长 AC 为 b，夹角 BAC 的度数为 A，夹角 ABC 的度数为 B，夹角 ACB 的度数为 C。
那么余弦公式可以表示为以下等式：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，c 表示边长 AB。
在计算两个角度之间的夹角时，我们可以利用上述公式进行推导得到两角差的余弦公式：cos(A-B) = cos(A) * cos(B) + sin(A) * sin(B)3. 两角差的余弦公式的推导为了推导两角差的余弦公式，我们首先回顾一下三角函数的定义。
对于某个角度θ，sin(θ) 表示该角度的正弦值，cos(θ) 表示该角度的余弦值。
根据欧拉公式的性质，我们有：e^(iθ) = cos(θ) + i * sin(θ)其中，e 表示自然对数的底，i 表示虚数单位。
利用欧拉公式，我们可以得到以下恒等式：cos(θ) = (e^(iθ) + e^(-iθ)) / 2sin(θ) = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (2i)接下来，我们考虑两个角度 A 和 B 的差，即 A - B。
我们将 A 和 B 视为两个角度θ1 和θ2 的和，其中：θ1 = (A + B) / 2θ2 = (A - B) / 2根据欧拉公式，我们可以用e^iθ1 和e^iθ2来表示cos(θ1) 和cos(θ2)：cos(θ1) = (e^(iθ1) + e^(-iθ1)) / 2 = (e^(i(A+B)/2) + e^(-i(A+B)/2)) / 2cos(θ2) = (e^(iθ2) + e^(-iθ2)) / 2 = (e^(i(A-B)/2) + e^(-i(A-B)/2)) / 2将上述两个式子相乘并展开，我们得到：cos(θ1) * cos(θ2) = (e^(i(A+B)/2) + e^(-i(A+B)/2)) * (e^(i(A-B)/2) + e^(-i(A-B)/2)) / 4利用指数的乘法法则和欧拉公式的性质，上式可以简化为：(cos(A) + cos(B)) / 2类似地，我们可以用e^iθ1 和e^iθ2 来表示sin(θ1) 和sin(θ2)：sin(θ1) = (e^(i(A+B)/2) - e^(-i(A+B)/2)) / (2i)sin(θ2) = (e^(i(A-B)/2) - e^(-i(A-B)/2)) / (2i)将上述两个式子相乘并展开，我们得到：sin(θ1) * sin(θ2) = (e^(i(A+B)/2) - e^(-i(A+B)/2)) * (e^(i(A-B)/2) - e^(-i(A-B)/2)) / (4i^2)= -(cos(A) - cos(B)) / 2最后，我们将cos(θ1) * cos(θ2) 和sin(θ1) * sin(θ2) 代入两角差的余弦公式，可以得到：cos(A - B) = cos(A) * cos(B) + sin(A) * sin(B)4. 总结两角差的余弦公式是在两个角度之间计算夹角时的重要工具。
两角差余弦公式的推导
两角差余弦公式的推导两角差余弦公式（DifferenceofCosinesFormula，简称DOCF）是一个经典的三角函数公式，它可以用来求解两个向量之间的夹角。
这种公式受到几何学、物理学、数学和工程学等学科的广泛应用，而且这个公式可以通过简单的数学推导来证明。
本文将对两角差余弦公式进行详细的推导。
二、正式推导1.假设有两个向量A和B，它们之间的夹角为θ。
2.设OA和OB为两个向量A和B的分量，则有：OA=|A|cosθ，OB=|B|cosθ（其中|A|和|B|分别表示A、B的模） 3.设向量A+B和A-B的分量分别为OA+OB和OA-OB，根据向量和的定义，此时可得：OA+OB=|A+B|cosΦ，OA-OB=|A-B|cosΦ（其中|A+B|和|A-B|分别表示A+B、A-B的模，Φ表示A+B、A-B的夹角）4.将式（2）和式（3）进行联立，可得：OA+OB＝|A+B|cosΦ＝|A|cosθ+|B|cosθOA-OB＝|A-B|cosΦ＝|A|cosθ-|B|cosθ5.合并式（4），可得：|A+B|cosΦ＝2|A|cosθ，|A-B|cosΦ＝2|B|cosθ6.式（5）可化为：|A+B|cosΦ＝2|A|cosθ＝2|B|cosθ＝|A-B|cosΦ7.由此可得：|A+B|cosΦ＝|A-B|cosΦ，即可得到两角差余弦公式：cos =|A + B|/|A - B|8.根据此结论可以推导出笛卡尔余弦公式：cosΦ=cosαcosβ+sinαsinβ三、总结在本文中，我们对两角差余弦公式的推导进行了详细的分析。
从本文的推导可以看出，该公式可以用来求解两个向量之间的夹角，在几何学、物理学、数学和工程学等学科中有着广泛的应用。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
的两个根为tan , tan , 求 tan( )的值.
小
结
S ( ) 以 代 S ( ) C ( ) C ( )
相除 相除
T( )
以 代
T( )
公式的特点:
(1)公式中, 、 、 、 的取值要使正切值有意义;
tan tan (2)注意公式的变形运用.如公式 : tan( ) , 1 tan tan 可以变形为 : tan tan tan( )(1 tan tan )
( )
( )
)
注:(1)α,β任意；从s开头,sccs,中间不变号.
(2)抓住公式的结构特征, 能灵活运用;
探究： 如何推导tan( ) ?
sin( ) tan( ) cos( )
(这里有什么要求?)
k (k Z ) 2
(4) sin(A B ) cos B cos(A B ) sinB ? (5) sin( 36 ) cos(54 ) cos(36 ) sin( 54 ) ?
(6) sin70 cos 25 sin20 sin25 ?
sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos tan tan 1 tan tan
例5.求值： (1 tan1 )(1 tan2 )(1 tan44 )
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两角差的余弦公式教学目标1．掌握两角差的余弦公式．(重点)2．会利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(难点)3．两角差的余弦和两角余弦的差．(易混点)[基础·初探]教材整理两角差的余弦公式阅读教材P124～P126例1以上内容，完成下列问题．cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β．(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．()(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．()(4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.()解：(1)×.cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°.(2)×.当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)√.结论为两角差的余弦公式．(4)√.cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0.答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√[小组合作型]利用两角差的余弦公式化简求值(1)cos 345°的值等于( )A ．2－64B ．6－24C ．2＋64D ．－2＋64(2)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A ．12B ．32C ． 3D ． 2(3)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.(1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．(2)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．(3)对较复杂的式子化简时应注意两角差余弦公式的逆用． 解：(1)cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝6＋24.(2)原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2cos 30°·cos 20°＋2sin 30°·sin 20°－sin 20°sin 70° ＝3cos 20°sin 70°＝3sin 70°sin 70°＝ 3.(3)①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]＝cos 45°＝22，所以原式＝22；②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.答案：(1)C (2)C (3)①22 ②321．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．(2)把所得的积相加．[再练一题]1．求下列各式的值：(1)cos 13π12；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α)．解：(1)cos 13π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π12＝－cos π12 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π12－2π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－π6 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32＋22×12＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280°＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80°＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α)＝cos[(α－20°)－(α＋40°)]＝cos(－60°)＝12.已知三角函数值求角已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5143，求β.本题是已知三角函数值求角的问题．解答此类问题一般先确定所求角的某一个三角函数的值，然后由角的范围来确定该角的大小．解：∵α为锐角，且cos α＝17， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 又α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)． 又sin(α＋β)＝5143<sin α，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β） ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫51432＝－1114. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又β为锐角，∴β＝π3.1．这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解．2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．[再练一题]2．已知α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值．解：∵α、β均为锐角，∴sin α＝55，sin β＝31010.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22.又sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.[探究共研型]利用角的变换求三角函数值探究1 若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？【提示】 cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β.探究2 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？【提示】 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)．探究3 若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？【提示】 cos(α－β)＝2－a 2－b 22. 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2的值为( ) A ．33B ．－33C ．539D ．－69把α＋β2看成α与β2之和，从已知条件中求出α与β2的正、余弦的值，然后运用和角的余弦公式，思路很流畅但运算量繁杂且大．求解此类问题的关键是：先从题设的条件与结论中寻找角的变形的目标，再利用同角三角函数的基本关系式求出正弦值、余弦值，最后利用和(差)角的余弦公式解题．解：∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<α＋π4<3π4，π4<π4－β2<π2，又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2＝63， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539.故选C ．答案：C巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角．主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察．常见的“变角”有：①单角变为和差角，如α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和差角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)等等．[再练一题]3．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值． 解：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝1－49＝53.∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝－19×53＋459×23＝7527.[构建·体系]1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( )A ．cos 100°B ．sin 100°C ．32 D ．12解：原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32.答案：C2．若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b ＝( )A ．22 B ．12C ．32D ．－12 解：a ·b ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°·sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.答案：A3．已知锐角α、β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( ) A.3365 B.－3365 C.5475 D.－5475解：因为α、β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－513×35＋1213×45 ＝3365.故选A ．答案：A4．sin 75°＝________.解：sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋245．α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值．解：因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝1213，所以0<α＋β<π2，所以0<2α＋β<π. 又因为cos(2α＋β)＝35，所以0<2α＋β<π2， 所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45， 所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.学业分层测评[学业达标]一、选择题1．(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )A ．12 B ．13 C ．32D ．33解：原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12. 答案：A2．已知sin α＝13，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( ) A ．－3－222B ．3－226C ．3＋226D ．－3＋226解：因为sin α＝13，α是第二象限角，所以cos α＝－223，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝⎝⎛⎭⎪⎫－223×12＋13×32＝－22＋36. 答案：B3．(2016·梅州高一检测)若12sin x ＋32cos x ＝cos(x ＋φ)，则φ的一个可能值是( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解：对比公式特征知，cos φ＝32，sin φ＝－12，故只有－π6合适． 答案：A4．sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A ．－25 B ．－210 C ．－7210D ．－725解：因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2 α＝－1－925＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α，＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×35＝－210.答案：B5．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1D ．－1解：因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝1或者⎩⎨⎧sin α＝－1，sin β＝－1，解得⎩⎨⎧cos α＝0，cos β＝0，于是cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.答案：B二、填空题6．(2016·济南高一检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________．解：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－α＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α＝18，所以cos α＋3sin α＝14. 答案：147．在△ABC 中，sin A ＝45，cos B ＝－1213，则cos(A －B )＝________. 解：因为cos B ＝－1213，且0<B <π， 所以π2<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝513，且0<A <π2， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 所以cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ， ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－1665.答案：－1665 三、解答题8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α－β)＝－12.证明：由sin α＋sin β＋sin γ＝0， cos α＋cos β＋cos γ＝0得 (sin α＋ sin β)2＝(－sin γ)2，① (cos α＋cos β)2＝(－cos γ)2.②①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1， 即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.9．已知tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．解：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，tan α＝4 3，∴sin α＝4 3cos α，① sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得sin α＝4 37，cos α＝17. ∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝5 314. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5 314×4 37＝12. ∴cos β＝12.[能力提升]1．若α，β为两个锐角，则( ) A ．cos(α＋β)>cos α＋cos β B ．cos(α＋β)<cos α＋cos β C ．cos(α－β)<cos αcos β D ．cos(α－β)<sin αsin β解：cos ⎣⎡⎦⎤α－（－β）－(cos α＋cos β)＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β ＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β， 因为α，β是锐角，所以cos β－1<0，cos α(cos β－1)<0， －sin αsin β<0，－cos β<0， 故cos [α－(－β)]－(cos α＋cos β)<0， 即cos(α＋β)<cos α＋cos β.因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， α，β均为锐角，所以cos αcos β>0，sin αsin β>0，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β>cos αcos β，同理cos(α－β)>sin αsin β，故C 、D 错误．答案：B2．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．解：∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45， ∴sin(α－β)＝35.∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35， ∴cos(α＋β)＝45.∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝45×⎝⎛⎭⎪⎫－45＋⎝⎛⎭⎪⎫－35×35＝－1.∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π， ∴π2<2β<3π2，2β＝π，∴β＝π2.。