数理统计考研复试题库及答案

2（1）未知函数u 的导数最高阶为2，u ``,u `,u 均为一次，所以它是二阶线性方程。

（2） 为y 最高阶导数为1，而y 2为二次，故它是一阶非线性常微分方程。

（3） 果y 是未知函数，它是一阶线性方程；如果将x 看着未知函数，它是一阶非线

性方程。

3. 提示：所满足的方程为y ``－2 y `+y=0

4． 直接代入方程，并计算Jacobi 行列式。

5.方程变形为dy=2xdx=d(x 2),故y= x 2+C

6. 微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。

7． 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。

8． y `＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y ，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。

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（1） 积分得x=-cosx+c

（2） 将方程变形为x 2y 2

dy=(y-1)dx 或1-y y 2＝2x dx ，当xy ≠0,y ≠1时积分得 22x ＋y+ln 1-y +x

1=c (3)方程变形为y dy +1＝x

x sin cos dx,当y ≠-1,sinx ≠0时积分得 y=Csinx-1

(4)方程变形为 exp(y)dy=exp(2x)dx,积分得

exp(y)＝2

1 exp(2x)＋C (5)当y ≠±1时，求得通积分ln

1

1+-y y =x+c (6)方程化为 x 2ydx=(1- y 2)(1+x 2

)dx 或22

1x x +dx=y y 21-dy,积分得 x －arctgx －ln y +2

1y 2=C

(7)当x(y 2--1)≠0时，方程变形得

x x 12+dx+1

2-y ydy =0 两边积分并化简得

y 2＝1＋2x

C exp(-x 2) 10.二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=r m f(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。

11．如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `＝f(x,y)称为齐次方程。

如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。

如果q ≠0则dx

dy ＝－y)q(x,y)p(x,≡ f(x,y)，由p,q 为m 次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故y `＝f(x,y)为齐次方程。

12． 求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得

dx dy =x dx

dz ＋z 13． 这是齐次方程。令y=zx,

dx dy =x dx dz ＋z,将方程化为 z+x dx dz =212z z -,并即x dx dz ＝231z z z -+分离变量得x dx z z dz z -=+-)

1()1(22积分得ln|n|+ln(z 2

+2)-ln|z|=ln|C|,或z z x )1(2+＝C 用z=y\x 代入得原来的变量。 x 2＋y 2＝Cy.

注意y=0方程的解。

14．

（1） 当x ≠0时，方程化为dx dy =1＋2x

y 令y=ux,则原方程化为x dx du =1+u,当1+u ≠0时,可分离变量得u+1=cx:;通解为y=cx 2+x

（2） 作变换y=ux,则原方程化为2udu=

x

dx 于是u 2=ln|x|+C,代回原变量，得通积分：

y 2＝x 2（ln|x|+C ）

15. 这是齐次方程。令y=zx 原方程化为 －321u u +du=x dx 两边积分得 221z －ln|z|=ln|cx| 用z=x

y 代入得 y=c 1exp(22

2y

x ) y=0也是原方程的解。

16.变形为dx dy = y x 2+x y 2 ，令y=ux 得212u

u -==x dx 积分得-ln|1-u 2|=ln|x|--c,代原变量得通积分 x 2- y 2=cx

17. 方程右边分子，分母两条直线交点为（x 0 , y 0）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为

du dv ＝v u u v --22，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得1

22--z z dz=u du ,积分得33)1(1u z z +-＝C

原方程通积分为 y=x+c(x+y+1)3+3

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