近3年2015-2017各地高考数学真题分类专题汇总---三角函数
2017--三角函数
一.填空选择题
1. (2017年天津卷文)设函数()2sin(),f x x x ω?=+∈R ?其中0,||πω?><.若
5π11π(
)2,()0,88
f f ==且()f x 的最小正周期大于2π?则 (Α)2π,312ω?== (Β)211π
,312ω?==-
(C )111π,324ω?==- (D )17π
,324ω?==
【答案】Α
【解析】由题意得12
5282
118
k k ω?ω?π
π?+=π+???π?+=π
???其中12,k k ∈Z ?所以2142(2)33k k ω=--?
又22T ω
π
=
>π?所以01ω<
3
ω=
?11212k ?=π+π?由||π?<得12?π=?故选Α.
2. (2017年天津卷理)设函数()2sin()f x x ω?=+?x ∈R ?其中0ω>?||?<π.若5(
)28
f π
=?()08
f 11π=?且()f x 的最小正周期大于2π?则 (Α)23ω=
?12?π= (Β)23ω=
?12?11π=- (C )13
ω=?24?11π
=-
(D )
1
3
ω=?24?7π=
【答案】A
【解析】由题意12
5282
118
k k ωπ
π?πωπ?π?+=+????+=???其中12,k k Z ∈?所以2142(2)33k k ω=--?又
22T π
πω
=
>?所以01ω<
3
ω=
?11212k ?ππ=+?由?π<得12π?=?故选
Α.
3. ( 2017年全国Ⅲ卷文)ABC ?内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,?已知
3,6,600===c b C ?则=A ________15
【解析】 根据正弦定理有:
B
sin 6
60sin 30=
2
2sin =
∴B 又b c >Θ045=∴B 075=∴A
4. (2017年新课标Ⅰ) 9.已知曲线C 1:y =cos x ?C 2:y =sin (2x +
2π
3
)?则下面结论正确的是 Α.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍?纵坐标不变?再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度?得到曲线C 2
Β.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍?纵坐标不变?再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度?得到曲线C 2
C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍?纵坐标不变?再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度?得到曲线C 2
D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍?纵坐标不变?再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度?得到曲线C 2
【答案】D
5. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 14.函数()23sin 4f x x x =-
(0,2x π??
∈????
)的最大值是 . 【答案】1
【解析】()2231
1cos cos 44
f x x x x x =--
=-+ 2
cos 12x ?=--+ ??
?0,2x π??
∈?????那么[]cos 0,1x ∈?当cos 2x =时?函数取得最大值1.
6. (2017年浙江卷) 14.已知△ΑΒC ?ΑΒ=ΑC =4?ΒC =2. 点D 为ΑΒ延长线上一点?Β
D=2?连结CD ?则△ΒDC 的面积是______?cos ∠ΒDC =_______.
【答案】
24
【解析】取ΒC 中点E ?DC 中点F ?由题意:,AE BC BF CD ⊥⊥?
△ΑΒE 中?1
cos 4
BE ABC AB ∠=
=?1cos ,sin 44DBC DBC ∴∠=-∠==?
BC 1sin 22
D S BD BC DBC ∴=???∠=△.
又2
1cos 12sin ,sin 44
DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-
∴∠=?
cos sin 4
BDC DBF ∴∠=∠=
?
综上可得?△ΒCD ?cos BDC ∠=. 7. ( 2017年新课标Ⅱ文). 1З函数()cos sin =2+f
x x x
的最大值为
.
8. ( 2017年新课标Ⅱ文) 1б.△ΑΒC 的内角Α,Β,C 的对边分别为Α,b,c,若2b cos Β=Α
cosC+c cos Α,则Β=
3
π
9. ( 2017年新课标Ⅱ文) З.函数()
f
x =π
sin (2x+
)3
的最小正周期为
(C)
Α.4π Β.2π C. π D.
2
π
10. (2017年浙江卷) 11.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π?理论上能
把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”?将π的值精确到小数点后七位学.科.网?其结果领先世界一千多年?“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ?=6S .
【答案】
2
【解析】将正六边形分割为б个等边三角形?则233)60sin 112
1(66=
????=ο
S
11. (2017年北京卷理) (12)在平面直角坐标系xOy 中?角α与角β均以Ox 为始边?它们
的终边关于y 轴对称.若1
sin 3
α=?cos()αβ-=___________. 【答案】79
- 【解析】
222sin sin ,cos cos cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 1βαβααβαβαβααα==-∴-=+=-+=-=-
Q
12. (2017年新课标Ⅰ文)已知π(0)2
a ∈,,t Αn α=2?则π
cos ()4α-
=______10
____。
13. (2017年新课标Ⅲ卷理)б.设函数f (x )=cos(x +3
π)?则下列结论错误的是
Α.f (x )的一个周期为?2π
Β.y =f (x )的图像关于直线x =83
π
对称 C .f (x +π)的一个零点为x =6π
D .f (x )在(
2
π
,π)单调递减
【答案】D 【解析】当,2x ππ??
∈
???
时?54,363x πππ??+∈ ??? ?函数在该区间内不单调.
本题选择D 选项.
14. (2017年江苏卷5.)若
π1tan(),
46α-=则tan α= ▲ . 【解析】11tan()tan
7644tan tan[()]1445
1tan()tan 1446
ππ
αππααππα+-+=-+===---.故答案为75.
15. (2017年新课标Ⅰ文) 11.△ΑΒC 的内角Α、Β、C 的对边分别为Α、b 、c 。已知
sin sin (sin cos )0B A C C +-=?Α=2?c
?则C = (Β)
Α.
π
12
Β.
π6
C .
π4
D .
π3
16. ( 2017年全国Ⅲ卷文)已知4
sin cos ,3αα-=
?则sin2α=()A 7.9A -
2.9B -
2.9C
7.9D 解析:
()2
167
sin cos 12sin cos 1sin 2,sin 299
αααααα-=-=-=
∴=-Q 故选A
17. ( 2017年全国Ⅲ卷文)函数1()sin()cos()536
f x x x ππ
=++-的最大值为( ) Α.
65 Β. 1 C. 35 D. 1
5
【解析】(
)
1()sin()cos()
536111(sin cos cos sin 5223sin 532sin()536sin()53
f x x x x x x x x x x x ππππ=++-=?++?=+=?+=+
故选Α
18. (4)(2017年山东卷文)已知3
cos 4
x =
,则cos2x = (Α)14- (Β)14 (C )18- (D )18
【答案】D 【解析】
由3cos 4x =得2
231cos22cos 12148x x ??
=-=?-= ???
,故选D.
19. (2017年山东卷文)
函数2cos 2y x x =
+的最小正周期为
(Α)π2 (Β)2π
3
(C )π (D )2π 【答案】C 【解析】
因为π2cos 22sin 23y x x x ??=+=+
??
?,所以其最小正周期2ππ2
T ==,故选C. 20. (2017年天津卷理)设θ∈R ?则“ππ||1212θ-
<”是“1
sin 2
θ<”的 (Α)充分而不必要条件 (Β)必要而不充分条件(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件 【答案】A
二.解答题
21. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 17.
ABC ?的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ?已知2
sin()2sin 2
B
A C +=? (1)求cos
B ;
(2)若6a c +=?ABC ?的面积为2?求b . 【答案】(1)15
cos 17
B =
(2)2 【解析】试题分析:利用三角形内角和定理可知A C B π+=-?再利用诱导公式化简
sin()A C +?利用降幂公式化简2
sin 2
B
?结合22sin cos 1B B +=求出cos B ;利用(1)中结论090B =?利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、?从而求出b . 试题解析:(1)由题设及2sin 8sin 2
A B C B π
π++==得?故sin 4-cosB B =(1)
上式两边平方?整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15
cosB=cosB 17
1(舍去),= (2)由158cosB sin B 1717==
得?故14a sin 217
ABC S c B ac ?== 又17
=22
ABC S ac ?=,则由余弦定理及a 6c +=得
2222
b 2cos a 2(1cosB)
1715362(1)
217
4
a c ac B
ac =+-=-+=-??+=(+c )
所以b=2
【点睛】解三角形问题是高考高频考点?命题大多放在解答题的第一题?主要利用三角形的内角和定理?正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题?解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”?另外要注意2
2
,,a c ac a c ++三者的关系?这样的题目小而活?备受老师和学生的欢迎. 22. (2017年新课标Ⅰ) 17.
△ΑΒC 的内角Α?Β?C 的对边分别为Α?b ?c ?已知△ΑΒC 的面积为2
3sin a A
(1)求sin Βsin C ;
(2)若бcos Βcos C =1?Α=З?求△ΑΒC 的周长. 23. (2017年新课标Ⅲ卷理)
△ΑΒC 的内角Α?Β?C 的对边分别为Α?b ?c ?已知sin Α
Α=0?Α
,b =2. (1)求c ;
(2)设D 为ΒC 边上一点?且ΑD ⊥ ΑC,求△ΑΒD 的面积.
.解:(1)因
sin
0A A =sin
A A ∴=tan A ∴=
()0,A π∈Q 23
A π∴=
由余弦定理2222cos a b c
bc A =+-
代入a =2b =得 22240c c +-= 6c =-或4c =(合法)4c ∴= (
2
)
由
(
1
)
知
4c =2222cos c a
b ab
c =+-Q 1628422cos c ∴=
+-??
cos c ∴=
sin 7c ∴=
tan 2c ∴=在RtCAD
中?tan AD c AC =
22
AD
=
?AD ∴=
1sin 2ABCD S AB AD BAD ∴=
??∠127421sin 232λ??
=???- ???
21=
24. (2017年浙江卷) 18.已知函数f (x )=sin 2
x –cos 2
x –23 sin x cos x (x ∈R ).
(Ⅰ)求f (
2π
3
)的值. (Ⅱ)求f (x )的最小正周期及单调递增区间.
【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)最小正周期为错误!未找到引用源。单调递增区间为2+,+6
3
ππππ??∈????
k k k Z 【解答】解:∵函数f (x )=sin 2x ﹣cos 2
x ﹣2sinx cosx=﹣
sin2x ﹣cos2x=2sin (2x+)
(Ⅰ)f (
)=2sin (2×
+
)=2sin
=2?
(Ⅱ)∵ω=2?故T=π? 即f (x )的最小正周期为π? 由2x+∈[﹣+2k π?
+2k π]?k ∈Z 得:
x ∈[﹣
+k π?﹣
+k π]?k ∈Z ?
故f (x )的单调递增区间为[﹣
+k π?﹣
+k π]?k ∈Z .
【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值?三角函数的周期性?三角函数的单调区间?难度中
25. (2017年北京卷理) (15)
在△ΑΒC 中?A ∠ =б0°?c =3
7
Α.(Ⅰ)求sin C 的值;(Ⅱ)若Α=7?求△ΑΒC 的面积. 【答案】
(1)根据正弦定理
×sin 33333
=sin ==sin60==sin sin 77214
。???a c C A C A C a (2)当=7a 时3=
=37c a sin =3
314
C <c a
3
cos 14
∴=
=
C △ΑΒC 中 sin =sin[π-(+)]=sin(+)B A C A C sin cos cos sin ??=A C +A C
31=
+142??=1139
S =
sin =7322144
△∴????ABC ac B 26. (2017年江苏卷)
已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b (1)若Α∥b ?求x 的值;
(2)记()f x =?a b ?求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.
1б. 【解析】(1)∵Α∥b ?∴3sin x x =?又cos 0x ≠?∴tan x =?∵错误!未找到引用源。?∴5π6
x =
.
(2)()π3cos )3
f x x x x ==--.∵错误!未找到引用源。?∴
ππ2π
[,]333x -∈-?∴πsin()123x -≤-≤?∴()3f x -≤≤?当ππ
33
x -=-?即0x =时?错误!未找到引用源。取得最大值?为З;当ππ32x -
=?即5π
6
x =
时?错误!未找到
引用源。取得最小值?为-27. (2017年天津卷文)
在ABC △中?内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =?
222)ac a b c =--.
(Ⅰ)求cos A 的值; (Ⅱ)求sin(2)B A -的值.
【解析】(Ⅰ)由sin 4sin a A b B =及
sin sin a b A B
=?得2a b =.
由222)ac a b c =--
及余弦定理?得222
5cos 25
b c a
A bc
ac +-=
=
=-
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sin A =
?代入sin 4sin a A b B =
?得sin sin 4a A B b == 由(Ⅰ)知Α
为钝角?所以cos 5
B ==. 于是4sin 22sin cos 5B B B ==
?2
3cos 212sin 5
B B =-=?
故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=
?-=. 28. (2017年山东卷理)在C ?AB 中?角A ?B ?C 的对边分别为a ?b ?c .若C ?AB 为锐角
三角形?且满足
()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ?则下列等式成立的是
(Α)2a b = (Β)2b a = (C )2A =B (D )2B =A 【答案】Α
【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =?=?=?选Α. 29. (2017年山东卷理)设函数()sin()sin()62
f x x x π
π
ωω=-
+-?其中03ω<<.已知()06
f π
=.
(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)?再将得到
的图象向左平移4
π
个单位?得到函数()y g x =的图象?求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.
【答案】(Ⅰ)2ω=.(Ⅱ)得最小值3
2
-.
解:(Ⅰ)因为()sin()sin()62
f x x x ππ
ωω=-+-?
所以1
()cos cos 22
f x x x x ωωω=
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