近3年2015-2017各地高考数学真题分类专题汇总---三角函数

2017--三角函数

一.填空选择题

1. (2017年天津卷文)设函数()2sin(),f x x x ω?=+∈R ?其中0,||πω?><.若

5π11π(

)2,()0,88

f f ==且()f x 的最小正周期大于2π?则 (Α)2π,312ω?== (Β)211π

,312ω?==-

(C )111π,324ω?==- (D )17π

,324ω?==

【答案】Α

【解析】由题意得12

5282

118

k k ω?ω?π

π?+=π+???π?+=π

???其中12,k k ∈Z ?所以2142(2)33k k ω=--?

又22T ω

π

=

>π?所以01ω<

3

ω=

?11212k ?=π+π?由||π?<得12?π=?故选Α.

2. (2017年天津卷理)设函数()2sin()f x x ω?=+?x ∈R ?其中0ω>?||?<π.若5(

)28

f π

=?()08

f 11π=?且()f x 的最小正周期大于2π?则 (Α)23ω=

?12?π= (Β)23ω=

?12?11π=- (C )13

ω=?24?11π

=-

(D )

1

3

ω=?24?7π=

【答案】A

【解析】由题意12

5282

118

k k ωπ

π?πωπ?π?+=+????+=???其中12,k k Z ∈?所以2142(2)33k k ω=--?又

22T π

πω

=

>?所以01ω<

3

ω=

?11212k ?ππ=+?由?π<得12π?=?故选

Α.

3. ( 2017年全国Ⅲ卷文)ABC ?内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,?已知

3,6,600===c b C ?则=A ________15

【解析】 根据正弦定理有:

B

sin 6

60sin 30=

2

2sin =

∴B 又b c >Θ045=∴B 075=∴A

4. (2017年新课标Ⅰ) 9.已知曲线C 1:y =cos x ?C 2:y =sin (2x +

3

)?则下面结论正确的是 Α.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍?纵坐标不变?再把得到的曲线向右平移π

6

个单位长度?得到曲线C 2

Β.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍?纵坐标不变?再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度?得到曲线C 2

C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍?纵坐标不变?再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度?得到曲线C 2

D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍?纵坐标不变?再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度?得到曲线C 2

【答案】D

5. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 14.函数()23sin 4f x x x =-

(0,2x π??

∈????

)的最大值是 . 【答案】1

【解析】()2231

1cos cos 44

f x x x x x =--

=-+ 2

cos 12x ?=--+ ??

?0,2x π??

∈?????那么[]cos 0,1x ∈?当cos 2x =时?函数取得最大值1.

6. (2017年浙江卷) 14.已知△ΑΒC ?ΑΒ=ΑC =4?ΒC =2. 点D 为ΑΒ延长线上一点?Β

D=2?连结CD ?则△ΒDC 的面积是______?cos ∠ΒDC =_______.

【答案】

24

【解析】取ΒC 中点E ?DC 中点F ?由题意:,AE BC BF CD ⊥⊥?

△ΑΒE 中?1

cos 4

BE ABC AB ∠=

=?1cos ,sin 44DBC DBC ∴∠=-∠==?

BC 1sin 22

D S BD BC DBC ∴=???∠=△.

又2

1cos 12sin ,sin 44

DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-

∴∠=?

cos sin 4

BDC DBF ∴∠=∠=

?

综上可得?△ΒCD ?cos BDC ∠=. 7. ( 2017年新课标Ⅱ文). 1З函数()cos sin =2+f

x x x

的最大值为

.

8. ( 2017年新课标Ⅱ文) 1б.△ΑΒC 的内角Α,Β,C 的对边分别为Α,b,c,若2b cos Β=Α

cosC+c cos Α,则Β=

3

π

9. ( 2017年新课标Ⅱ文) З.函数()

f

x =π

sin (2x+

)3

的最小正周期为

(C)

Α.4π Β.2π C. π D.

2

π

10. (2017年浙江卷) 11.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π?理论上能

把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”?将π的值精确到小数点后七位学.科.网?其结果领先世界一千多年?“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ?=6S .

【答案】

2

【解析】将正六边形分割为б个等边三角形?则233)60sin 112

1(66=

????=ο

S

11. (2017年北京卷理) (12)在平面直角坐标系xOy 中?角α与角β均以Ox 为始边?它们

的终边关于y 轴对称.若1

sin 3

α=?cos()αβ-=___________. 【答案】79

- 【解析】

222sin sin ,cos cos cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 1βαβααβαβαβααα==-∴-=+=-+=-=-

Q

12. (2017年新课标Ⅰ文)已知π(0)2

a ∈,,t Αn α=2?则π

cos ()4α-

=______10

____。

13. (2017年新课标Ⅲ卷理)б.设函数f (x )=cos(x +3

π)?则下列结论错误的是

Α.f (x )的一个周期为?2π

Β.y =f (x )的图像关于直线x =83

π

对称 C .f (x +π)的一个零点为x =6π

D .f (x )在(

2

π

,π)单调递减

【答案】D 【解析】当,2x ππ??

???

时?54,363x πππ??+∈ ??? ?函数在该区间内不单调.

本题选择D 选项.

14. (2017年江苏卷5.)若

π1tan(),

46α-=则tan α= ▲ . 【解析】11tan()tan

7644tan tan[()]1445

1tan()tan 1446

ππ

αππααππα+-+=-+===---.故答案为75.

15. (2017年新课标Ⅰ文) 11.△ΑΒC 的内角Α、Β、C 的对边分别为Α、b 、c 。已知

sin sin (sin cos )0B A C C +-=?Α=2?c

?则C = (Β)

Α.

π

12

Β.

π6

C .

π4

D .

π3

16. ( 2017年全国Ⅲ卷文)已知4

sin cos ,3αα-=

?则sin2α=()A 7.9A -

2.9B -

2.9C

7.9D 解析:

()2

167

sin cos 12sin cos 1sin 2,sin 299

αααααα-=-=-=

∴=-Q 故选A

17. ( 2017年全国Ⅲ卷文)函数1()sin()cos()536

f x x x ππ

=++-的最大值为( ) Α.

65 Β. 1 C. 35 D. 1

5

【解析】(

)

1()sin()cos()

536111(sin cos cos sin 5223sin 532sin()536sin()53

f x x x x x x x x x x x ππππ=++-=?++?=+=?+=+

故选Α

18. (4)(2017年山东卷文)已知3

cos 4

x =

,则cos2x = (Α)14- (Β)14 (C )18- (D )18

【答案】D 【解析】

由3cos 4x =得2

231cos22cos 12148x x ??

=-=?-= ???

,故选D.

19. (2017年山东卷文)

函数2cos 2y x x =

+的最小正周期为

(Α)π2 (Β)2π

3

(C )π (D )2π 【答案】C 【解析】

因为π2cos 22sin 23y x x x ??=+=+

??

?,所以其最小正周期2ππ2

T ==,故选C. 20. (2017年天津卷理)设θ∈R ?则“ππ||1212θ-

<”是“1

sin 2

θ<”的 (Α)充分而不必要条件 (Β)必要而不充分条件(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件 【答案】A

二.解答题

21. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 17.

ABC ?的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ?已知2

sin()2sin 2

B

A C +=? (1)求cos

B ;

(2)若6a c +=?ABC ?的面积为2?求b . 【答案】(1)15

cos 17

B =

(2)2 【解析】试题分析:利用三角形内角和定理可知A C B π+=-?再利用诱导公式化简

sin()A C +?利用降幂公式化简2

sin 2

B

?结合22sin cos 1B B +=求出cos B ;利用(1)中结论090B =?利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、?从而求出b . 试题解析:(1)由题设及2sin 8sin 2

A B C B π

π++==得?故sin 4-cosB B =(1)

上式两边平方?整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15

cosB=cosB 17

1(舍去),= (2)由158cosB sin B 1717==

得?故14a sin 217

ABC S c B ac ?== 又17

=22

ABC S ac ?=,则由余弦定理及a 6c +=得

2222

b 2cos a 2(1cosB)

1715362(1)

217

4

a c ac B

ac =+-=-+=-??+=(+c )

所以b=2

【点睛】解三角形问题是高考高频考点?命题大多放在解答题的第一题?主要利用三角形的内角和定理?正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题?解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”?另外要注意2

2

,,a c ac a c ++三者的关系?这样的题目小而活?备受老师和学生的欢迎. 22. (2017年新课标Ⅰ) 17.

△ΑΒC 的内角Α?Β?C 的对边分别为Α?b ?c ?已知△ΑΒC 的面积为2

3sin a A

(1)求sin Βsin C ;

(2)若бcos Βcos C =1?Α=З?求△ΑΒC 的周长. 23. (2017年新课标Ⅲ卷理)

△ΑΒC 的内角Α?Β?C 的对边分别为Α?b ?c ?已知sin Α

Α=0?Α

,b =2. (1)求c ;

(2)设D 为ΒC 边上一点?且ΑD ⊥ ΑC,求△ΑΒD 的面积.

.解:(1)因

sin

0A A =sin

A A ∴=tan A ∴=

()0,A π∈Q 23

A π∴=

由余弦定理2222cos a b c

bc A =+-

代入a =2b =得 22240c c +-= 6c =-或4c =(合法)4c ∴= (

2

1

4c =2222cos c a

b ab

c =+-Q 1628422cos c ∴=

+-??

cos c ∴=

sin 7c ∴=

tan 2c ∴=在RtCAD

中?tan AD c AC =

22

AD

=

?AD ∴=

1sin 2ABCD S AB AD BAD ∴=

??∠127421sin 232λ??

=???- ???

21=

24. (2017年浙江卷) 18.已知函数f (x )=sin 2

x –cos 2

x –23 sin x cos x (x ∈R ).

(Ⅰ)求f (

3

)的值. (Ⅱ)求f (x )的最小正周期及单调递增区间.

【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)最小正周期为错误!未找到引用源。单调递增区间为2+,+6

3

ππππ??∈????

k k k Z 【解答】解:∵函数f (x )=sin 2x ﹣cos 2

x ﹣2sinx cosx=﹣

sin2x ﹣cos2x=2sin (2x+)

(Ⅰ)f (

)=2sin (2×

+

)=2sin

=2?

(Ⅱ)∵ω=2?故T=π? 即f (x )的最小正周期为π? 由2x+∈[﹣+2k π?

+2k π]?k ∈Z 得:

x ∈[﹣

+k π?﹣

+k π]?k ∈Z ?

故f (x )的单调递增区间为[﹣

+k π?﹣

+k π]?k ∈Z .

【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值?三角函数的周期性?三角函数的单调区间?难度中

25. (2017年北京卷理) (15)

在△ΑΒC 中?A ∠ =б0°?c =3

7

Α.(Ⅰ)求sin C 的值;(Ⅱ)若Α=7?求△ΑΒC 的面积. 【答案】

(1)根据正弦定理

×sin 33333

=sin ==sin60==sin sin 77214

。???a c C A C A C a (2)当=7a 时3=

=37c a sin =3

314

C <c a

3

cos 14

∴=

=

C △ΑΒC 中 sin =sin[π-(+)]=sin(+)B A C A C sin cos cos sin ??=A C +A C

31=

+142??=1139

S =

sin =7322144

△∴????ABC ac B 26. (2017年江苏卷)

已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b (1)若Α∥b ?求x 的值;

(2)记()f x =?a b ?求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.

1б. 【解析】(1)∵Α∥b ?∴3sin x x =?又cos 0x ≠?∴tan x =?∵错误!未找到引用源。?∴5π6

x =

.

(2)()π3cos )3

f x x x x ==--.∵错误!未找到引用源。?∴

ππ2π

[,]333x -∈-?∴πsin()123x -≤-≤?∴()3f x -≤≤?当ππ

33

x -=-?即0x =时?错误!未找到引用源。取得最大值?为З;当ππ32x -

=?即5π

6

x =

时?错误!未找到

引用源。取得最小值?为-27. (2017年天津卷文)

在ABC △中?内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =?

222)ac a b c =--.

(Ⅰ)求cos A 的值; (Ⅱ)求sin(2)B A -的值.

【解析】(Ⅰ)由sin 4sin a A b B =及

sin sin a b A B

=?得2a b =.

由222)ac a b c =--

及余弦定理?得222

5cos 25

b c a

A bc

ac +-=

=

=-

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sin A =

?代入sin 4sin a A b B =

?得sin sin 4a A B b == 由(Ⅰ)知Α

为钝角?所以cos 5

B ==. 于是4sin 22sin cos 5B B B ==

?2

3cos 212sin 5

B B =-=?

故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=

?-=. 28. (2017年山东卷理)在C ?AB 中?角A ?B ?C 的对边分别为a ?b ?c .若C ?AB 为锐角

三角形?且满足

()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ?则下列等式成立的是

(Α)2a b = (Β)2b a = (C )2A =B (D )2B =A 【答案】Α

【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =?=?=?选Α. 29. (2017年山东卷理)设函数()sin()sin()62

f x x x π

π

ωω=-

+-?其中03ω<<.已知()06

f π

=.

(Ⅰ)求ω;

(Ⅱ)将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)?再将得到

的图象向左平移4

π

个单位?得到函数()y g x =的图象?求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.

【答案】(Ⅰ)2ω=.(Ⅱ)得最小值3

2

-.

解:(Ⅰ)因为()sin()sin()62

f x x x ππ

ωω=-+-?

所以1

()cos cos 22

f x x x x ωωω=

--

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