中学数学建模(实用课件)
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《数学建模》课件
第一章课程概述§1.1 数学模型与数学建模一．基本概念数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。
特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、社会管理的各个领域和层面。
对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。
而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。
为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：二．（引例1）椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？三．（引例2）商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。
随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？以下的模型给出了肯定的回答。
一．模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。
即地面可视为数学上的连续曲面；3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。
数学建模的简单实例ppt课件
数学建模的简单实例
§1.1 方桌问题
问题：适当变换方桌的方位，能否将方桌放稳？
分析：问题的目标是“放
A
A
D
稳”。“放稳”可以用各
脚离地面的高度这一数量
B
指标来表达。于是，引入
各脚离地面的高度的数学
记号。
B
C
C
1
依次记 A、B、fc fD
A
D
fA( ) fB ( ) fC ( ) fD ( )
2
注意到，在任何情况下，总有三只脚能同时着地，且这三 只脚中总有两只脚处在对角位置上，于是我们记：
f ( ) fB( ) fD( ) g( ) fA( ) fC ( )
则 有 , f ( ) g( ) 0
仓库;可关闭2号或3号仓库。 公司不主张仓库的个数 超过4个。 由于向客户供货的运费和仓库改建的费用
均由公司负担， 故需建模为公司选择方案。
若有可能， 应将所建模型推广为适应于类似地更一般 情 形 下 的 方 案 选 择。
13
问题分析
公司的目标是费用尽可能小
费用是怎样构成的
工厂到仓库
运输费用
工厂到客户 问题分析
0
cij Ai到B j及Ck的单位运输费;
d jk B j到Ck的单位运输费;
e1 B1扩建的月增费; e5 B5的月增费; e2 , e3 B2 , B3变更时发生的费用;
保留B2 关闭B2
;
xij
Ai
到B
j
及C
的运
k
量;
新建B5 不建B5
;
y jk
B
j
到C
的运
§1.1 方桌问题
问题：适当变换方桌的方位，能否将方桌放稳？
分析：问题的目标是“放
A
A
D
稳”。“放稳”可以用各
脚离地面的高度这一数量
B
指标来表达。于是，引入
各脚离地面的高度的数学
记号。
B
C
C
1
依次记 A、B、fc fD
A
D
fA( ) fB ( ) fC ( ) fD ( )
2
注意到，在任何情况下，总有三只脚能同时着地，且这三 只脚中总有两只脚处在对角位置上，于是我们记：
f ( ) fB( ) fD( ) g( ) fA( ) fC ( )
则 有 , f ( ) g( ) 0
仓库;可关闭2号或3号仓库。 公司不主张仓库的个数 超过4个。 由于向客户供货的运费和仓库改建的费用
均由公司负担， 故需建模为公司选择方案。
若有可能， 应将所建模型推广为适应于类似地更一般 情 形 下 的 方 案 选 择。
13
问题分析
公司的目标是费用尽可能小
费用是怎样构成的
工厂到仓库
运输费用
工厂到客户 问题分析
0
cij Ai到B j及Ck的单位运输费;
d jk B j到Ck的单位运输费;
e1 B1扩建的月增费; e5 B5的月增费; e2 , e3 B2 , B3变更时发生的费用;
保留B2 关闭B2
;
xij
Ai
到B
j
及C
的运
k
量;
新建B5 不建B5
;
y jk
B
j
到C
的运
第2讲 数学建模初等模型优秀课件
2、室内温 度T1与户外温 度T2均 为常数。 3、玻璃是均匀的，热传导系数 为常数。
室 设玻璃的热传导系数 为k1，空气的
室
内 热传导系数 为k2，单位时间通过单
外
Ta
位面积由温度高的一侧流向温度低 T1 的一侧的热量为Q
T2
Tb
由热传导公式 Q =kΔT/d
dl d
Q
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
x y 其分中 别为(x和ix,yi和i) yi
的平均值
x O
解相应方程组，求得：
a
b
y
n i 1
(xi
n
i1
x)( (xi
yi x)
2
ax
y)
例1（举重成绩的比较）
举重重量是级一（种上限一体般人都能看懂成的绩运动，它共分
九个重量重级），有两抓种举（主公要斤的） 比赛挺举方（法公：斤）抓举
Tb l
k1 Tb
T2 d
解得：
Ta
1 k1l k2d T1 T2
2 (k1l) /(k2d )
Q
k1
T1
(1
k1l k2d )T1 2 k1l k2d
d
T2
k1
d
T1 2
T2 k1l k2d
f(h)
1室
室 外
0.9 0.8
内 T1
类似有
Q
Q'
k1
T1 T2 2d
2
T2 0.7 0.6
和挺举。52 表中给出了1到09 1977年底为14止1 九个
重量级的56世界纪录。120.5
151
60
130
161.5
室 设玻璃的热传导系数 为k1，空气的
室
内 热传导系数 为k2，单位时间通过单
外
Ta
位面积由温度高的一侧流向温度低 T1 的一侧的热量为Q
T2
Tb
由热传导公式 Q =kΔT/d
dl d
Q
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
x y 其分中 别为(x和ix,yi和i) yi
的平均值
x O
解相应方程组，求得：
a
b
y
n i 1
(xi
n
i1
x)( (xi
yi x)
2
ax
y)
例1（举重成绩的比较）
举重重量是级一（种上限一体般人都能看懂成的绩运动，它共分
九个重量重级），有两抓种举（主公要斤的） 比赛挺举方（法公：斤）抓举
Tb l
k1 Tb
T2 d
解得：
Ta
1 k1l k2d T1 T2
2 (k1l) /(k2d )
Q
k1
T1
(1
k1l k2d )T1 2 k1l k2d
d
T2
k1
d
T1 2
T2 k1l k2d
f(h)
1室
室 外
0.9 0.8
内 T1
类似有
Q
Q'
k1
T1 T2 2d
2
T2 0.7 0.6
和挺举。52 表中给出了1到09 1977年底为14止1 九个
重量级的56世界纪录。120.5
151
60
130
161.5
1.4.1数学建模实例课件高二上学期数学北师大版选择性(1)
分
析
6．用什么洗涤剂（忽略）；
及
假
7．洗衣的程序（忽略）；
设
8．水温（忽略）；
影响衣服漂洗洁净度涉及哪些因素？这些因素中哪些是主要因素？哪些因素可 能会使建模的困难增大，从而可先暂时忽略？
影
响
因
假设
素
的
分
析
及
假
设
根据假设，建立漂洗后残留污物的数学模型.
漂洗拧干后与漂洗前比较，衣服上残留的污物有什么关系？
在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.能 根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
1.数学建模步骤 （1）提出一个实际情境和一个实际问题； （2）把问题用自然语言陈述得更清楚、准确； （3）相关因素分析和假设，尽量将遇到的关键变量分析清楚，如果需要，可以做多次分 析和假设，做多个模型； （4）建立数学模型并求解； （5）对于数学模型得到的结果，用自然语言描述出来，并通过实际检验，如果不符合实 际，就需要修改假设，修改数学模型，重复第2，3，4，5步的过程.
在上面的数学建模活动中，做了模型的假设：每次漂洗所用的清水量相等.请思 考如果每次漂洗所用的清水量不相等，结果又怎样呢？
结论： 通过分析，说明只漂洗2次的情况下，所用的清水量相等的漂洗效果最佳. 一般地，在用水总量和漂洗次数都相同的情况下， 等量用水漂洗比不等量用水漂洗下的 最后残留污物量要少.
“漂洗次数越多，衣服越干净”的结论正确吗？ 分析：为了简单起见，通过只比较平均用水共漂洗2次比漂洗1次要好进行分析.
2.数学建模活动后思考 （1）改进已有模型，从而建立新的模型，使新的模型更接近于实际； （2）讨论模型的特征，推广、扩大模型的适用范围，以解决更多的问题； （3）深入分析实际情境，提出新的问题，进行新的数学建模活动.
中学数学建模PPT课件
由图用户所得最大优惠差额为9716898500计划b计划a13包装不价栺某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的假设冰淇淋售冰淇淋成本包装成本利润率包装成本不球形外壳表面积成正比已知装冰淇淋售价其中冰淇淋成本为每克分钱利润率为利润率丌变的情况下装冰淇淋应售价多少买哪种比较吅算可供参考装两种觃栺外壳表面积分别为15所以ksks06060065011052150125326故装冰淇淋售价为150001110521500025两种规格的单位重量价格分别为32600217元150故买大包装合算17二次凼数模型18渔场实际应养多少鱼问题某渔场中渔群的最大养殖量为一定值m吨
.
不等式模型 • 洗衣问题 • 挑选水果问题 • 足球射门问题
.
白努利不等式 设x 1,则
（1）当0<<1时，(1+x) 1 x （2）当<0或>1时，(1+x) 1+x
其中等号成立的充要条件为x=0
.
柯西不等式 (a1b1+a2b2+L +anbn )2 (a12+a22+L a2n )(b12+b22+L +b2n ) 当且仅当bi=cai(i=1,2,L ,n,c为常数) 时等号成立
.
幂函数、指数函数、对数函数模型
❖ 基本处理方法
(1)幂函数型y axb (a 0)处理方法:
两边取对数，有ln y ln(axb ) 即lny=lna+blnx
设
x'
y'
ln ln
x y
则原方程变为y'
ln
a
bx'
.
(2)指数函数型y aebx (a 0)处理方法 两边取对数得lny=ln(aebx ) 即lny=lna+bx
.
不等式模型 • 洗衣问题 • 挑选水果问题 • 足球射门问题
.
白努利不等式 设x 1,则
（1）当0<<1时，(1+x) 1 x （2）当<0或>1时，(1+x) 1+x
其中等号成立的充要条件为x=0
.
柯西不等式 (a1b1+a2b2+L +anbn )2 (a12+a22+L a2n )(b12+b22+L +b2n ) 当且仅当bi=cai(i=1,2,L ,n,c为常数) 时等号成立
.
幂函数、指数函数、对数函数模型
❖ 基本处理方法
(1)幂函数型y axb (a 0)处理方法:
两边取对数，有ln y ln(axb ) 即lny=lna+blnx
设
x'
y'
ln ln
x y
则原方程变为y'
ln
a
bx'
.
(2)指数函数型y aebx (a 0)处理方法 两边取对数得lny=ln(aebx ) 即lny=lna+bx
数学建模课堂PPT(部分例题分析)
和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
市场需求等。
概率论中的随机过程和数理统计 中的回归分析在金融、保险等领
域有广泛应用。
概率论与数理统计
概率论与数理统计是研究随机现 象的数学分支，用于对不确定性
和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
例题三：股票价格预测模型
要点一
总结词
要点二
详细描述
描述如何预测股票价格的走势
股票价格预测模型旨在通过分析历史数据和市场信息，来 预测股票价格的走势。该模型通常采用时间序列分析、回 归分析、机器学习等方法，来建立股票价格与相关因素之 间的数学关系。例如，可以使用ARIMA模型或神经网络模 型来预测股票价格的走势。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的适用范围。例如，逻 辑回归模型适用于二分类问题，而K均值聚类模型则适用 于无监督学习中的聚类问题。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
例题三：股票价格预测模型
总结词
分析模型的假设条件和局限性
详细描述
股票价格预测模型通常基于一些假设条件，如假设股票 价格是随机的或遵循一定的规律。然而，在实际情况下 ，股票价格受到多种因素的影响，如公司业绩、宏观经 济状况、市场情绪等。因此，这些模型可能存在局限性 ，不能完全准确地预测股票价格的走势。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
市场需求等。
概率论中的随机过程和数理统计 中的回归分析在金融、保险等领
域有广泛应用。
概率论与数理统计
概率论与数理统计是研究随机现 象的数学分支，用于对不确定性
和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
例题三：股票价格预测模型
要点一
总结词
要点二
详细描述
描述如何预测股票价格的走势
股票价格预测模型旨在通过分析历史数据和市场信息，来 预测股票价格的走势。该模型通常采用时间序列分析、回 归分析、机器学习等方法，来建立股票价格与相关因素之 间的数学关系。例如，可以使用ARIMA模型或神经网络模 型来预测股票价格的走势。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的适用范围。例如，逻 辑回归模型适用于二分类问题，而K均值聚类模型则适用 于无监督学习中的聚类问题。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
例题三：股票价格预测模型
总结词
分析模型的假设条件和局限性
详细描述
股票价格预测模型通常基于一些假设条件，如假设股票 价格是随机的或遵循一定的规律。然而，在实际情况下 ，股票价格受到多种因素的影响，如公司业绩、宏观经 济状况、市场情绪等。因此，这些模型可能存在局限性 ，不能完全准确地预测股票价格的走势。
北师版高中数学必修第一册精品课件 第8章 数学建模活动(一) 2 数学建模的主要步骤
提示:具有实用性,具有数据采集可操作性,问题本身的需求性.
二、建立数学模型
【问题思考】
1.建立数学模型应注意哪些问题?
提示:首先为了排除众多的不同和不确定性干扰因素,建模有
一个重要环节——假设.其次,建模问题需要大量的数据,需要
收集问题涉及的数据.最后考虑数学建模所涉及的数量有哪
些.
2.为什么要检验结果?
-
,
即为不满钩组的概率;
-
满钩组的概率为 1- - − · · -
.
-
所以 D= = {m· · · -
+2m·[1- -
-
· · -
]}
-
-
= -
+ [1- - − · -
§
数学建模的主要步骤
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
一、数学建模问题
【问题思考】
1.如何提出数学建模问题?
提示:在实际生活中,我们会遇到各种问题,当我们对这些问题
进行思考时,我们可以提出数学建模所需要的问题.数学建模
问题的提出来源于生活中存在的实际问题.
2.数学建模中提出的问题的依据有哪些?
品的概率,即任一只钩子为空钩的概率是 - ;任一只钩子非
空的概率是 p=1- - ,传送系统的效率指标为 D= =
.①
为了得到比较简单的结果,在钩子数 m 相对于工人数 n 较大,
即较小的情况下,将多项式 - 展开后只取前 3 项,则有
二、建立数学模型
【问题思考】
1.建立数学模型应注意哪些问题?
提示:首先为了排除众多的不同和不确定性干扰因素,建模有
一个重要环节——假设.其次,建模问题需要大量的数据,需要
收集问题涉及的数据.最后考虑数学建模所涉及的数量有哪
些.
2.为什么要检验结果?
-
,
即为不满钩组的概率;
-
满钩组的概率为 1- - − · · -
.
-
所以 D= = {m· · · -
+2m·[1- -
-
· · -
]}
-
-
= -
+ [1- - − · -
§
数学建模的主要步骤
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
一、数学建模问题
【问题思考】
1.如何提出数学建模问题?
提示:在实际生活中,我们会遇到各种问题,当我们对这些问题
进行思考时,我们可以提出数学建模所需要的问题.数学建模
问题的提出来源于生活中存在的实际问题.
2.数学建模中提出的问题的依据有哪些?
品的概率,即任一只钩子为空钩的概率是 - ;任一只钩子非
空的概率是 p=1- - ,传送系统的效率指标为 D= =
.①
为了得到比较简单的结果,在钩子数 m 相对于工人数 n 较大,
即较小的情况下,将多项式 - 展开后只取前 3 项,则有
高一上学期数学人教A版必修第一册数学建模活动(1)PPT全文课件(共31ppt)
求解模型
问题8：请同学们结合这五 个函数图象与实际数据的吻合情 况，思考应该如何选取a的值？
比值为0.9284
比值为0.9351
比值为0.9032
比值为0.9181
比值为0.9285
检验模型
求解模型
检验模型
求解模型
求解问题
解得 由信息技术得
解决问题
解决问题
问题10：你体会到研究这个问题具有哪些实际 价值？
求 解 函 数 模 型
实
际
检
问
验 符合 题 实际 的 解
作业布置
请同学们仿照上述过程开展一次建立模型解决 实际问题的活动，可以继续研究不同室温下泡制一 杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中 选择一个： 1. 应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？ 2. 根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超 重. 3. 用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功 率设定方法. 4. 估计阅读一本书所需要的时间.
情景分析
问题2：如何处理这些影响因素？
2020-2021学年高一上学期数学人教A 版必修 第一册 数学建 模活动( 1)PPT 全文课 件（共3 1ppt） 【完美 课件】
提出假设
突出主要因素，弱化次要因素的影响.
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数据收集
活动1：请同学们小组合作，为获取数据设计实 验流程.
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长量最大,实际应养多少鱼?
中学数学建模
18
[建模分析]这一问题中涉及最大养 殖量、实际养殖量、空闲量、空闲 率、年增长量等多个量，其中最大 养殖量为定值m吨，空闲量、空闲 率、年增长量都随实际养殖量的变 化而变化。
中学数学建模
19
[建立模型]假设实际养殖量 为x吨，年增长量为y吨，则 空闲量为(m-x)吨，空闲率 为 m x ，由问题概述可建立 目标m函数为
2.抓住相关变量中的主要参变量关系展开分 析与讨论.
3.实际问题中的量具有特殊的含义,在建立函 数或不等式关系时需注意其有意义的变化 范围,不能只考虑纯数学关系.
4.问题所讨论的结果最好具有范式,具有可推 广性.
中学数学建模
4
一次函数模型
• 高跟鞋问题 • 如何选择广告上的优惠计划 • 包装与价格
中学数学建模
20
ykxmxkx2kx mm
k (xm)2km m2 4
由 y=- k (x- m )2 + km 知 ： m2 4
当x=
m 2
时
，
y
max
km 4
中学数学建模
21
即实际养殖量为最大养殖量的一 半时，鱼群的年增长量最大，最
大增长量为 k m 吨。 4
再由0kmmm可得，比例系数 42
首60分钟
首500分钟
以后每分钟收费
﹩0.38
﹩0.38
留言信箱服务 (选择性项目)
﹩30
﹩30
中学数学建模
8
• [问题]在两个计划中选择,你选择哪一项? • [分析] (1)两项服务的不同点:计划A的每月基本服务
费比计划B少,而计划B比计划A给客户的首 段免费通话时间多. (2)模型假设与建立 设t(分钟)为通话时间,而C(﹩)是所需付出 的费用,则可列出计划A与计划B的付费函数 关系式为:
(4)问题推广 若客户真的选择了计划B,最多可以比选 择计划A省多少钱?
中学数学建模
11
• [解决]
由图可知,起初计划A比计划B便宜
﹩70 0t 60 ,当使用时间超过60分钟,
则两者差距缩小,直到Q点,两者已无差距,
即表示两个计划在此时的优惠相同.
由图,用户所得最大优惠差额为 yR yS ﹩97
k的取值范围是k(0,2)
中学数学建模
22
关于饮水机的思考
• 基本假设 （１）忽略饮水机启动时所需的
电能 （２）当人回来时，水的温度恰为
制热所能达到的最高温度．
中学数学建模
23
• 符号的约定
P 1 饮水机的制热功率 （单位：Ｗ） P 2 饮水机的保温功率 （单位：Ｗ） T 1 饮水机的制热最低温度（单位：o C ） T 2 饮水机的保温最低温度（单位：o C ） M 饮水机机内水的质量 （单位：kg）
利润率不变的情况下, 150g装冰淇淋应
售价多少?两种规格中,买哪种比较合算
( 3 5 0 ≈3.684可供参考)?
中学数学建模
13
• [分析]
设60g装冰淇淋的包装成本为x元,根 据题意,得
1 .5 0 ( 6 0 0 .0 1 x ) ( 1 2 5 % )
解得x=0.60(元)
又设60g装和150g装两种规格外壳表
２．５
０．６１２９
３．５５
０．６１５１
４．５
０．６１７３
４．７７４８ ０．６１８
中学数学建模
7
如何选择广告上的优惠计划
• [实际背景] 为配合不同客户的需要,广告商设有以
下优惠计划,以供客户选择.
计划A:即时直接
计划B:即时直接
对话+自动数字传呼 对话+自动数字传呼
每月基本服务费
﹩98
﹩168
免费通话时间
面积分别为s1、s2,容积为v1 、 v2 ,150g装冰淇淋包装成本为y元, 根据题意,得
中学数学建模
14
yks2,0.60ks1
所以
y s2 (v2)23 (150)23
0.60 s1 v1
60
从而
y0.63501.1052(元 ) 2
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15
故 150g装 冰 淇 淋 售 价 为
1500.01+1.1052125% 3.2（ 6元 ）
C
计划A
R
计划B
168
Q S
P 98
0
60
242
包装与价格
某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的,有
60g装和150g装两种规格.假设,冰淇淋售
价=(冰淇淋成本+包装成本)(1+利润率),
并且,包装成本与球形外壳表面积成正比.
已知60g装冰淇淋售价1.50元,其中冰淇
淋成本为每克1分钱,利润率为25%,问在
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5
高跟鞋问题
设某人下肢躯干部分长为x厘米, 身高为l厘米,鞋跟高d厘米
x d 0.618 d 0.618l x
ld
0.382
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6
鞋跟高度与好看程度的关系
原比(x/l)
身高 (cm)
鞋跟高度 (cm)
新比值
０．６０７１ １６８ ０．６０７１ １６８ ０．６０７１ １６８ ０．６０７１ １６８
两 种 规 格 的 单 位 重 量 价 格 分 别 为 16.5000.025(元 )和31.52060.0217（ 元 ）
故买大包装合算
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16
二次函数模型
o 渔场实际应养多少鱼 o 关于饮水机的思考 o 资金分配问题
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17
渔场实际应养 多少鱼
[问题]某渔场中渔群的最大养殖量为 一定值m吨.为保证渔群的生产空间, 实际养殖量不能达到最大养殖量,必须 留出适当的空闲量.由长期的统计数据 可知,鱼群的年增长量和实际养殖量与 空闲率的乘积成正比,要想鱼群的年增
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24
R 饮水机的电阻（单位： ）
U 饮水机的工作电压（单位：Ｖ）
t 1 把水从室温加热到 T 1 的时间
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感谢您的阅览
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1
n函数与不等式 n数 列 n三 角 n几 何
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2
函数与不等式
l 一次函数模型 l 二次函数模型 l 幂函数、指数函数、对数函数模型 l 不等式模型
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3
l 建模(或知识应用)提示
1.实际问题中的数量关系模糊,数据孤立,要对 有关数据作适当处理后借助于其内在规律 或经验,将其理想化、函数模型化.
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9
计划A:
98
0t 60
C0.38(t60)98 (t>60)
计划B:
168
0t 500
C0.38(t500)168 (t>500)
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10
(3)究竟通话时间超过多少分钟,计划B会较 计划A为优? 0.38(t - 60)+98=168 得 t=244.21(分钟) 故当客户使用该服务的时间超过244分 钟(约4小时)时,计划B较优.
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18
[建模分析]这一问题中涉及最大养 殖量、实际养殖量、空闲量、空闲 率、年增长量等多个量，其中最大 养殖量为定值m吨，空闲量、空闲 率、年增长量都随实际养殖量的变 化而变化。
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19
[建立模型]假设实际养殖量 为x吨，年增长量为y吨，则 空闲量为(m-x)吨，空闲率 为 m x ，由问题概述可建立 目标m函数为
2.抓住相关变量中的主要参变量关系展开分 析与讨论.
3.实际问题中的量具有特殊的含义,在建立函 数或不等式关系时需注意其有意义的变化 范围,不能只考虑纯数学关系.
4.问题所讨论的结果最好具有范式,具有可推 广性.
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4
一次函数模型
• 高跟鞋问题 • 如何选择广告上的优惠计划 • 包装与价格
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20
ykxmxkx2kx mm
k (xm)2km m2 4
由 y=- k (x- m )2 + km 知 ： m2 4
当x=
m 2
时
，
y
max
km 4
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21
即实际养殖量为最大养殖量的一 半时，鱼群的年增长量最大，最
大增长量为 k m 吨。 4
再由0kmmm可得，比例系数 42
首60分钟
首500分钟
以后每分钟收费
﹩0.38
﹩0.38
留言信箱服务 (选择性项目)
﹩30
﹩30
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8
• [问题]在两个计划中选择,你选择哪一项? • [分析] (1)两项服务的不同点:计划A的每月基本服务
费比计划B少,而计划B比计划A给客户的首 段免费通话时间多. (2)模型假设与建立 设t(分钟)为通话时间,而C(﹩)是所需付出 的费用,则可列出计划A与计划B的付费函数 关系式为:
(4)问题推广 若客户真的选择了计划B,最多可以比选 择计划A省多少钱?
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11
• [解决]
由图可知,起初计划A比计划B便宜
﹩70 0t 60 ,当使用时间超过60分钟,
则两者差距缩小,直到Q点,两者已无差距,
即表示两个计划在此时的优惠相同.
由图,用户所得最大优惠差额为 yR yS ﹩97
k的取值范围是k(0,2)
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22
关于饮水机的思考
• 基本假设 （１）忽略饮水机启动时所需的
电能 （２）当人回来时，水的温度恰为
制热所能达到的最高温度．
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23
• 符号的约定
P 1 饮水机的制热功率 （单位：Ｗ） P 2 饮水机的保温功率 （单位：Ｗ） T 1 饮水机的制热最低温度（单位：o C ） T 2 饮水机的保温最低温度（单位：o C ） M 饮水机机内水的质量 （单位：kg）
利润率不变的情况下, 150g装冰淇淋应
售价多少?两种规格中,买哪种比较合算
( 3 5 0 ≈3.684可供参考)?
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13
• [分析]
设60g装冰淇淋的包装成本为x元,根 据题意,得
1 .5 0 ( 6 0 0 .0 1 x ) ( 1 2 5 % )
解得x=0.60(元)
又设60g装和150g装两种规格外壳表
２．５
０．６１２９
３．５５
０．６１５１
４．５
０．６１７３
４．７７４８ ０．６１８
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7
如何选择广告上的优惠计划
• [实际背景] 为配合不同客户的需要,广告商设有以
下优惠计划,以供客户选择.
计划A:即时直接
计划B:即时直接
对话+自动数字传呼 对话+自动数字传呼
每月基本服务费
﹩98
﹩168
免费通话时间
面积分别为s1、s2,容积为v1 、 v2 ,150g装冰淇淋包装成本为y元, 根据题意,得
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14
yks2,0.60ks1
所以
y s2 (v2)23 (150)23
0.60 s1 v1
60
从而
y0.63501.1052(元 ) 2
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故 150g装 冰 淇 淋 售 价 为
1500.01+1.1052125% 3.2（ 6元 ）
C
计划A
R
计划B
168
Q S
P 98
0
60
242
包装与价格
某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的,有
60g装和150g装两种规格.假设,冰淇淋售
价=(冰淇淋成本+包装成本)(1+利润率),
并且,包装成本与球形外壳表面积成正比.
已知60g装冰淇淋售价1.50元,其中冰淇
淋成本为每克1分钱,利润率为25%,问在
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高跟鞋问题
设某人下肢躯干部分长为x厘米, 身高为l厘米,鞋跟高d厘米
x d 0.618 d 0.618l x
ld
0.382
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6
鞋跟高度与好看程度的关系
原比(x/l)
身高 (cm)
鞋跟高度 (cm)
新比值
０．６０７１ １６８ ０．６０７１ １６８ ０．６０７１ １６８ ０．６０７１ １６８
两 种 规 格 的 单 位 重 量 价 格 分 别 为 16.5000.025(元 )和31.52060.0217（ 元 ）
故买大包装合算
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二次函数模型
o 渔场实际应养多少鱼 o 关于饮水机的思考 o 资金分配问题
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渔场实际应养 多少鱼
[问题]某渔场中渔群的最大养殖量为 一定值m吨.为保证渔群的生产空间, 实际养殖量不能达到最大养殖量,必须 留出适当的空闲量.由长期的统计数据 可知,鱼群的年增长量和实际养殖量与 空闲率的乘积成正比,要想鱼群的年增
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R 饮水机的电阻（单位： ）
U 饮水机的工作电压（单位：Ｖ）
t 1 把水从室温加热到 T 1 的时间
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1
n函数与不等式 n数 列 n三 角 n几 何
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函数与不等式
l 一次函数模型 l 二次函数模型 l 幂函数、指数函数、对数函数模型 l 不等式模型
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3
l 建模(或知识应用)提示
1.实际问题中的数量关系模糊,数据孤立,要对 有关数据作适当处理后借助于其内在规律 或经验,将其理想化、函数模型化.
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计划A:
98
0t 60
C0.38(t60)98 (t>60)
计划B:
168
0t 500
C0.38(t500)168 (t>500)
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(3)究竟通话时间超过多少分钟,计划B会较 计划A为优? 0.38(t - 60)+98=168 得 t=244.21(分钟) 故当客户使用该服务的时间超过244分 钟(约4小时)时,计划B较优.