电力声 类比

电－力－声类比引言：电－力－声类比是应用电路理论来解决力学与声学问题。

定义：根据描述电振荡系统的微分方程和描述力学振动系统及声振动系统的微分方程在形式上的相似性，常将力学量和声学量与相应的电学量作类比，以便借助电路理论来分析力学振动和声振动的规律，称电－力－声类比。

类比方法有二种：一种为阻抗型类比，也称正类比；另一种为导纳型类比，也称反类比。

§5-1电路元件及基本的电振荡器在电学系统的分析中，经常用电路图来描述元件与元件之间的关系，从而研究电磁运动的规律。

通过电路分析，有时不必去求解微分方程，而能直接了解系统的工作情况和特点。

即使要作定量分析研究，通过形象的电路图，利用克希霍夫电路定律，再去建立微分方程，也要简单得多。

电路图最容易应用于集中参数的系统，因为集中参数元件的唯一变量是时间。

在电声学研究的系统中（如电声换能器），在低频时，大都近似地等效成集中参数系统，只要采用类比的办法，把力学或声学系统画成等效类比线路图，然后利用电路理论来研究系统的工作情况和特点。

1.基本电路元件：电容元件：瞬态：E＝1C e∫I dt I＝ＣedEdtE瞬态：E= L edIdt I=1L e∫E dt电阻抗：Z e＝EI2.基本的电振荡器：（1）串联谐振电路：I R L如左图：I－电流（安培），E－电压（伏特）eLｅ－电感（享利），Ｃｅ－电容（法拉），Rｅ－电阻（欧姆）由上图可得：E ＝ R ｅI ＋ L e dI dt + 1C e ∫I dt对于作简谐变化的稳态电流值有：I ＝ I 0 ej ωt 则：E ＝R e I + jωL e I + 1jωCe I=(R e + jωL e + 1jωCe ) I = Z e I式中Z e 为串联回路的阻抗I ＝ E Ze即为熟知的欧姆定律 （2）并联谐振电路I '－为电流（安培），E '－为电压（伏特）， E 'ｅ' L ｅ'－为电感（享利），Ｃｅ'－为电容（法特）， ○ R ｅ'－为电阻（欧姆）由上图可得：I '＝E'Re' + 1L e ' ∫E 'dt +C e ' dE'dt对于作简谐变化的电压有：E '=E 0' ejωt 则：I '=E'Re' +1jωLe' E '+ jωC e 'E ' = (1Re' + 1jωLe1 + jωC e ')E ' = 1Ze' E '1Ze' =(1Re' +1jωLe' + jωC e ') = 1Re' + j(ωC e '－1 ωLe' )§5-2力学元件和基本的力学振动系统：1.力学元件：F 表示外力 F K 表示弹性力F R 表示阻力 M M 表示质点质量K M 表示弹性系数 C M 表示顺性系数R MC M ＝1KM又称为力顺 R M 表示阻力系数，又称为力阻由牛顿第二定律得：F = ma 即M M dv dt = F + F K + F R其中：①弹性力：F K 根据虎克定律有：F K =－K M ξ=－1CM ∫Vdt ξ为质点M M 离开平衡位置的位移，V 为质点振动速度,负号表示质点移的方向与弹性力方向相反②阻力： F R =－R M d ξdt =－R M V 式中负号表示阻力总是与系统的运动方向相反。

∴M dv dt = F －1C M ∫Vdt －R M V ∴F= M M dv dt + R M V + 1CM ∫VdtF I 'C M E C e '并联谐振电路相比较：与并联谐振电路比较I '＝E'Re' + 1L e ' ∫E 'dt + C e 'dE'dtF －I '，V －E '，M M －C e '，R M －1Re' ，C M －L e ' 对简谐作用力F ＝F 0 e jωtF ＝M M jωv + R M V + 1jωCM V = ( R M + jωM M + 1jωCM )V = Z M V式中Z M ＝ R M + jωM M + 1jωCM 称为力阻抗R M 为力阻，jωM M 称为质量抗，1jωCM 称为弹性抗§5-3两种力电类比及其相互转换：串联谐振回路 并联谐振回路L e dI dt +R e I + 1C e ∫I dt = E = Z e I C e dE dt + E Re + 1L e ∫Edt = I =1Ze E+ 阻抗型类比 － 导纳型类比M Mdv dt + R M V + 1C M ∫Vdt = F = Z M V 力学系统 1.阻抗型类比：比较上面三个方程式：若把力阻抗Z M 类比于电阻抗Z ｅ，称为阻抗型类比。

对应类比关系：F －E ，R M －R ｅ，M M －L ｅ，C M －C ｅ由此可得出力学振动系统的阻抗型类比线路图。

F(E) C M (C ｅ)由图运用电路克希霍夫定律可直接列出方程。

而不必用力平衡的方法来得出。

串联谐振回路2.导纳型类比对并联谐振电路有： F （I ）C e dE dt +E Re +1L e ∫E dt = I= 1Ze E Lｅ(∴ I ' = (1Re' + 1jωLe' + jωC e ')E '= 1Z e E对力学振动系统有：M M dv dt + R M V+ 1C M ∫V dt =F = Z M V ∴ E ＝(R M + jωM M + 1jωCM )V= Z M V把力阻抗Z M 类比于电导纳1Ze' 称为导纳型类比即F －I '，V 类比于E '，R M －1Re' ，M M －Ｃｅ' , C M －L ｅ' 由此可得出力学振动系统的导纳型类比线路图：E ' ｅ' M M 3.转换法则：一个力学振动系统，既可以画成阻抗型的类比线路，也可以画成导纳型的类比线路，而这两种类比线路所描述的却是同一物理事实。

其转换法则：（1）一种类比图中的串（并）联元件，变为另一种类比图中的并（串）联元件。

（2）一种类比图中的电阻（电导）性元件，变为另一种类比图中的电导（电阻）性元件。

一种类比图中的电感（电容）性元件，变为另一种类比图中的电容（电感）性元件。

电压（电流）源变为电流（电压）源。

（3）一种类比线路的网孔中，各串联元件上各降落之和，相当于另一种类比线路中一个分支点的流量之和。

§5-4力学线路图的画法阻抗型电路图 导纳型力学线路图①电流线把各个元件贯穿 ①力线把各个元件贯穿起来形在一起，形成电路图； 成力学线路图②电位的相对性：跨在元 ②速度的相对性：跨在力学元件两端的量是电位差，其 件两端的量是速度差，因为零电位端即接地端； 力学系统的运动速度相对于惯性坐标系的，因此，速度为零的一端是接地端。

③在电流分叉点Σn i=1 I i =0符 ③在力的作用点，符合动力合克希霍夫第一定律。

学平衡条件，即：Σn i=1 F i =0根据以上三点分析，可仿效电路图的画法来画出力学系统的类比线路图。

应当指出，用力线和电流线的类比作出的力学线路图，必然是导纳型的。

如果需要作出阻抗型的力学线路，则当需按法则进行转换。

【例1】单振子强迫振动系统在外力F 作用下，试求解这个系统的运动。

C MV=0导纳型类比图我们从外力F （即恒流源）出发，引出一条力线，力线到达M M 时分成三支，分别与三个力相平衡：一支穿过M M ，与惯性力相平衡终止于刚性壁（因元件的速度都是 相对于惯性坐标系的，所以力线穿过元件M M 到达零速度的刚性壁）另一支穿过力阻元件R M ，与摩擦力相平衡，终止于刚性壁（力阻R M 与质量M M 一起运动，因而其速度也是相对于惯性坐标系的）；还有一支穿过弹簧C M 与弹性力 相平衡，终止于刚性壁（力顺元件C M 的速度也是相对于惯性坐标系的）这三条分支 线最后都汇合于刚性壁，即都联接于“接地端”。

从物理上来看，质量M M ，力阻R M ，力顺C M 三个元件的速度都相同，因此它们 在导纳型类比线路图中应是并联的。

由导纳型类比图可得：V 1jωMM + V 1RM + V jωCM = F M M (jωv) + R M V + 1CM V jω = FM M dv dt + R M V + 1C M ∫V dt = F 0e jωt由类比线路图得到的是代数方程组，求解代数方程比解微分方程容易得多。

【例2】隔振系统外力F 作用弹簧的一端，从F 出发引一条力线，穿过C M 到达M M ，此时，力线将分为两个分支，分别与惯性力和R M 摩擦力相平衡，其一穿过M M 而终止于惯性系统（地）另一条则穿过R M 终止刚性地面，此二条分支共同汇合于地端。

V1－V jωCM= V 1jωMM + V 1RMjωM M V + R M V + 1jωCM V = 1jωCM V 1∴M M dv dt + R M V+ 1C M ∫V dt = 1C M ∫V 1 d t§5-5声学元件及基本的声振动系统1． 赫姆霍兹共鸣器：赫姆霍兹共鸣器是最基本的声振动系统。

该共鸣器必须符合下列条件：①a 、l 、V 1/3《λ a 为开口半径, l 为开口长度，V 1/3为腔体线度 ②开口管内体积S l 《V 其中S 为开口的截面积蓄 S=πa 2③器壁为刚性的,它不会把腔内媒质的疏密过程传递到腔外去根据条件①短管内媒质可以看作一个质点根据条件②短管可以看成是一个质量元件根据条件③体腔内压强的变化相当于作用在管内质量上的弹性力,亦即起了力学系统 弹簧的作用.设开口管中媒质的质量为M M 则M M ＝ρl S腔体内媒质的力顺C M ＝V ρC2S2开口管内媒质运动的摩擦力阻为R M若在开口处有声压P=P A e jωt的作用，则该振动系统的运动方程为： M M d2ξdt = SP A e jωt －R M dξdt －1CM ξ∴M M dv dt + R M V+ 1C M ∫V dt = SP A e jωtV 为开口管空气柱的运动速度MM S dv dt ＋RM S V ＋1C M S∫V dt ＝P A e jωt 若令U ＝VS U 为体积速度 则运动方程为：MM S2 du dt + RM S2 U+ 1C M S 2∫U dt ＝ P A e jωt M A du dt + R A U+ 1C A ∫U dt = P A e jωt其M A ＝MM S2 ＝ρ0l S 为声质量 C A ＝C M S 2＝V0ρC2 为声容(或声顺)Z A ＝P U = R A + j （ωM A －1 ωCA ）为声阻抗Z A 为声欧姆 1声欧姆＝1牛顿·秒/米5与串联谐振电路比较：E ＝R e I + L edI dt + 1C e ∫I dt P = R A U+ M A du dt + 1C A ∫U dt U R A M A串联谐振电路 等效声学线路类比的声学系统（同电学、力学线路图一样，声学线路图也有类似的）特点：①声流线：流过各个声学元件的是声流线即体积速度流线；②压强的相对性：在元件两端是压强差，对于大气压强P O 端，可接地；③在元件交界处∑U i =0注意用声流线与电流线相类比画出的图是阻抗型的。