几个常见函数的导数1
几个常见函数的导数制作人：徐凯精讲部分：
年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：易建议用时：20-25min
一.知识点：
知识点一几个常用函数的导数
知识点二
二.典例分析：
题型一 利用导数公式求出函数的导数 例1 求下列函数的导数：
(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4
x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2.
解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝???
?1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4
； (4)y ′＝(4
x 3)′＝(x
34)′＝1
434x -＝344
x
；(5)y ′＝(log 3x )′＝1
x ln 3； (6)y ＝1－2sin 2x
2
＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x .
反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导． 题型二 利用导数公式解决切线有关问题
例2 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝1
2x 2上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别
作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________． 答案 (1，－4)
解析 y ′＝x ，k P A ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴P A 的直线方程为y －8＝4(x －4)， 即y ＝4x －8，
QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2，联立方程组????? y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得?????
x ＝1，y ＝－4.
∴A (1，－4)．
(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
解 设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直，
则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0， 要使两切线垂直，必须k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤 题型三 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．
解 设切点坐标为(x 0，x 20
)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．
∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为(12，1
4)，
∴所求的最短距离d ＝|12－1
4－2|2
＝72
8.
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． 三.课堂小结：
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x
2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
精练部分：
年级：高三 科目：数学 类型:同步
难易程度：易 建议用时：随堂练习10-15min 课后作业30min
四.随堂练习： 一、选择题
1．下列各式中正确的个数是( )
①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －
2；③(1x
)′＝－12x －32；④(5
x 2)′＝25x －35；⑤(cos x )′＝－sin
x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2.
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 答案 B
2．已知过曲线y ＝1
x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )
A.????12，2
B.????12，2或????－12，－2
C.????－12，－2
D.????1
2，－2 答案 B
解析 y ′＝????1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A
解析 f ′(x )＝ax a －
1，f ′(－1)＝a (－1)a －
1＝－4，a ＝4.
4．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b 等于( ) A ．4 B ．－4 C ．28 D ．－28 答案 C
解析 ∵点(2,8)在切线上，∴2k ＋b ＝8，①又y ′|x ＝2＝3×22＝12＝k ，② 由①②可得：k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28.
5．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1
f ′(2)，则m ＝________.
答案 －4
解析 f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m .∵g ′(2)＝1
f ′(2)
，∴m ＝－4.
6．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1
x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为
________． 答案 (1,1) 五. 课后作业：
1．若f (x )＝sin x ，f ′(α)＝1
2，则下列α的值中满足条件的是( )
A.π3
B.π6
C.2π3
D.5π6 答案 A
解析 ∵f ′(x )＝cos x ，∴f ′(α)＝cos α＝12，
∵α＝π3时，cos α＝1
2
，故选A.
2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0
C ．4x －y ＋3＝0
D ．x ＋4y ＋3＝0
答案 A
解析 设切点(x 0，y 0)，
l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝4x 30＝4，x 0＝1， ∴切点(1,1)，∴l 的方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.
3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1
e C ．－e D ．e 答案 D
解析 y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则 ∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.
4．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________． 答案 3x －y －11＝0
解析 ∵y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2)＝3(x ＋1)2＋3≥3， ∴当x ＝－1时，斜率最小，切点为(－1，－14)， ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.
5．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －1
2)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝
________. 答案 64
解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －3
2
，
∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －3
2，
∴切线方程为y －a －12＝－12a －3
2
(x －a )．
令x ＝0得y ＝32a －1
2；令y ＝0得x ＝3a .
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 1
2
＝18，∴a ＝64. 6．已知A 、B 、C 三点在曲线y ＝x 上，其横坐标依次为1、m 、4(1 解析 如图，在△ABC 中，边AC 是确定的，要使△ABC 的面积最大，则点B 到直线AC 的距离应最大，可以将直线AC 作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过B 点的切线平行于直线AC 时，△ABC 的面积最大． f ′(m )＝1 2m ，A 点坐标为(1,1)，C 点坐标为(4,2)， ∴k AC ＝2－14－1＝13，∴12m ＝13 ，∴m ＝9 4. 7．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)， 则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20 －3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 2 0－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.