几个常见函数的导数1
1.2.1几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
[ 小组合作型]
利用导数公式求函数的导数
求下列函数的导数： 1 5 3 (1)y＝x ；(2)y＝x4；(3)y＝ x ；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.
12
【精彩点拨】
首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将
函数解析式化为基本初等函数的求导形式．
【自主解答】
(1)y′＝(x12)′＝12x11.
[ 再练一题] 1 2．(1)求函数 f(x)＝ 在(1,1)处的导数； 3 x (2)求函数 f(x)＝cos x
π 在 4，
2 处的导数． 2
1 1 1 4 1 【解】 (1)∵f′(x)＝ 3 ′＝(x－3)′＝－3x－3＝－ ， 3 4 x 3 x 1 1 ∴f′(1)＝－ ＝－3. 3 3 1 (2)∵f′(x)＝－sin x， π π 2 ∴f′ 4 ＝－sin 4＝－ 2 .
原函数 f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
【答案】 0 αxα－1 cos x
导函数 f′(x)＝____________ f′(x)＝__________ 1 f′(x)＝xln a 1 f′(x)＝x
－sin x axln a ex
1．给出下列命题： 1 ①y＝ln 2，则 y′＝2； 1 2 ②y＝x2，则 y′|x＝3＝－27； ③y＝2x，则 y′＝2xln 2； 1 ④y＝log2x，则 y′＝xln 2. 其中正确命题的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
π t，∴v3＝cos
π 1 3＝2.
∴加速度 a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
1． 速度是路程对时间的导数， 加速度是速度对时间的导数． 2 ．求函数在某定点 ( 点在函数曲线上 ) 的导数的方法步骤 是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求 相应的导数值．
几种常见函数的导数
§ 3.2 几种常见函数的导数课时安排1课时从容说课本节依次要讲述函数y =C (常量函数)，y =x n (n ∈Q )，y =sin x ，y =cos x 的导数公式，这些公式都是由导数的定义导出的,所以要强调导数定义在解题中的作用.(1)关于公式(x n )′=nx n -1(n ∈Q )，这个公式的证明比较复杂，教科书中只给了n ∈N *情况下的证明.实际上，这个公式对于n ∈R 都成立.在n ∈N *的情况下证明公式，一定要让学生自主去探索，特别是xx x x x x f x x f nn ∆-∆+=∆-∆+)()()(要运用二项式定理展开后再证明，化为12211)(---∆++∆⋅+n n n n n n n x C x x C x C ，当Δx →0时，其极限为11-n n x C 即nx n -1.在讲完这个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求y =(x -a)n 的导数，学生一定会模仿上述方法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将(x -a)n 展开，然后求导,即利用(x n )′=nx n -1求导.y =(x -a )n =n n n n n n n n n n a C a x C a x C x C )1(222110-⋅+-+-=-- ，1112110)1()1(------++-⋅-='n n n n n n n n a C a x n C x nC y ，利用11--=k n k n nC kC 将其合并成二项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，激励学生大胆创新，同时也要提出这要运用导数的和差运算法则，并告诉学生这是2003年高考题.(2)运用定义证明公式(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x ，要用到极限1sin lim0=→∆xx x ，根据学生的情况可以补充证明.第五课时课 题§ 3.2 几种常见函数的导数教学目标一、教学知识点1.公式1 C ′=0(C 为常数)2.公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈Q )3.公式3 (sin x )′=cos x4.公式4 (cos x )′=-sin x5.变化率二、能力训练要求1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.三、德育渗透目标1.培养学生的计算能力.2.培养学生的应用能力.3.培养学生自学的能力.教学重点四种常见函数的导数:C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n -1(x ∈Q )，(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x .教学难点四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式是由导数定义导出的.教学方法建构主义式让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况.教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.Ⅱ.讲授新课［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.1.y =C (C 是常数)，求y ′.［学生板演］解：y =f (x )=C ，∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=C -C =0,xy ∆∆=0. y ′=C ′=xy x ∆∆→∆0lim =0,∴y ′=0. 2.y =x n (n ∈N *),求y ′.［学生板演］解：y =f (x )=x n ,∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=(x +Δx )n -x nn n n n n n n n n x x C x x C x x C x -∆⋅++∆+∆+=--)()(22211n n n n n n n x C x x C x x C )()(22211∆⋅++∆+∆=--12211)(---∆++∆+=∆∆n n n n n n n x C x x C x C xy ∴y ′=(x n )′1111221100)(lim lim -----→∆→∆==∆++∆+=∆∆=n n n n n n n n n n x x nx x C x C x x C x C x y . ∴y ′=nx n -1.3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.［学生板演］解：Δy =(x +Δx )-n -x -nnn n n n n n n n n n n n n n n n n nn nn nn x x x x C x x C x C x y x x x x C x x C x C x x x x x x x x x )()()()()()()(1)(11221122211∆+∆++∆+-=∆∆∆+∆++∆+-=∆+∆+-=-∆+=----- ∴xy y x ∆∆='→∆0lim n n n n n n n n n n n n n x x x xC xx x x C x x C x C ⋅-=∆+∆++∆+-=----→∆11122110])()([lim=-nx -n -1.∴y ′=-nx -n -1.※4.y =sin x ,求y ′.(叫两位同学做)［学生板演］［生甲］解：Δy =sin(x +Δx )-sin x=sin x cos Δx +cos x sin Δx -sin x ,xx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin , ∴xy y x ∆∆='→∆0lim x x x x x xx x x x x xx x x x xxx x x x x x x x x cos 4)2(2sin )sin 2(lim sin cos lim )2sin 2(sin lim sin cos )1(cos sin lim sin sin cos cos sin lim22002000+∆⋅∆∆⋅-=∆∆+∆∆-=∆∆+-∆=∆-∆+∆=→∆→∆→∆→∆→∆ =-2sin x ·1·0+cos x =cos x .∴y ′=cos x .［生乙］Δy =sin(x +Δx )-sin x=2cos(x +2x ∆)sin 2x ∆，xx y ∆=∆∆22, ∴xy y x ∆∆='→∆0lim 22sin lim )2cos(lim 22sin )2cos(lim 2sin )2cos(2lim 0000xx x x xx x x xx x x x x x x ∆∆∆+=∆∆∆+=∆∆∆+=→∆→∆→∆→∆ =cos x .∴y ′=cos x .(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下)※5.y =cos x ,求y ′.(也叫两位同学一起做)［生甲］解：Δy =cos(x +Δx )-cos x=cos x cos Δx -sin x sin Δx -cos x ,x x x x x x x yy x x ∆-∆-∆=∆∆='→∆→∆cos sin sin cos cos lim lim00 1sin 4)2(2sin )cos 2(lim sin sin lim )2sin 2(cos lim sin sin )1(cos cos lim2200200⋅-∆⋅∆∆-=∆∆-∆∆-=∆∆--∆=→∆→∆→∆→∆x x x x x xx x x x x xxx x x x x x x =-2cos x ·1·0-sin x =-sin x ,∴y ′=-sin x .［生乙］解：x x x x x ∆-∆+→∆cos )cos(lim22sin )2sin(lim 22lim 00xx x x xx x ∆∆∆+-=∆=→∆→∆ =-sin x ,∴y ′=-sin x .［师］由4、5两道题我们可以比较一下，第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2题和第3题中，只证明了n ∈N *的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数作为四个公式，以后可以直接用.［板书］(一)公式1 C ′=0(C 是常数)公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈R)公式3 (sin x )′=cos x公式4 (cos x )′=-sin x(二)课本例题［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求:(1)(x 3)′；(2)(21x )′;(3)(x )′. ［学生板演］(1)解：(x 3)′=3x 3-1=3x 2.(2)解：3122222)()1(----=-='='x x x x. (3)解：xx x x x 212121)()(2112121==='='--. (还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下)(三)变化率举例［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求.知道运动方程s=s(t )，瞬时速度v =s′(t ).［板书］物体按s=s(t )作直线运动，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 0=s′(t 0).v 0=s′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率.［师］我们引入了变化率的概念，函数f (x )在点x 0的导数也可以叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？［板书］函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.［生］例如角速度、电流等.［师］它们是分别对哪些量的变化率呢？［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.［师］下面来看两道例题.［例1］已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(热量Q 的单位是J ，绝对温度T 的单位是K)，求热量对温度的变化率C (即热容量).［学生分析］由变化率的含义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q (T )对T 求导.解：C =Q ′(T ),即热容量为Q ′(T )J/K.［师］单位质量物质的热容量叫做比热容，那么上例中，如果物质的质量是v kg,那么比热容怎么表示？［生］比热容是v1Q ′(T ) J/(kg·K).图3-9［例2］如图3-9，质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.［学生分析］要求时刻t 时M 点的速度，首先要求出在y 轴的运动方程，是关于t 的函数，再对t 求导，就能得到M 点的速度了.解：时刻t 时，∵角速度为1 rad/s,∴∠POA=1·t =t rad.∴∠MPO =∠POA =t rad.∴OM =OP ·sin ∠MPO =10·sin t .∴点M 的运动方程为y =10sin t .∴v =y ′=(10sin t )′=10cos t ，即时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度为10cos t cm/s.［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.Ⅲ.课堂练习1.(口答)求下列函数的导数.(1)y =x 5;(2)y =x 6;(3)x =sin t ;(4)u =cos φ. ［生］(1)y ′=(x 5)′=5x 4.［生］(2)y ′=(x 6)′=6x 5.［生］(3)x ′=(sin t )′=cos t .［生］(4)u ′=(cos φ)′=-sin φ.2.求下列函数的导数.(1)31xy =;(2)3x y =. (1)解：y ′=(31x )′=(x -3)′=-3x -3-1=-3x -4. (2)解：321313133131)()(--==''='x x x x y . 3.质点的运动方程是s=t 3(s 单位：m ,t 单位：s),求质点在t =3时的速度.解：v =s′=(t 3)′=3t 3-1=3t 2,当t =3时，v =3×32=27(m/s),∴质点在t =3时的速度为27 m/s.4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=221gt (s 单位：m ,t 单位：s,g =9.8 m/s 2),求t =3时的速度.解：gt t g gt t s v =⋅==='=-122221)21()(, 当t =3时，v =g·3=9.8×3=29.4(m/s),∴t =3时的速度为29.4 m/s.［师］该题也用到求导时系数可提出来,根据［Cf (x )］′=Cf ′(x )(C 是常数).这由极限的知识可以证得.xx f x x f C x x Cf x x Cf x Cf x x ∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆)()(lim )()(lim ])([00=Cf ′(x ). 5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程.解：y ′=(x 4)′=4x 4-1=4x 3.∴y ′|x =2=4×23=32.∴点P (2，16)处的切线方程为y -16=32(x -2),即32x -y -48=0.Ⅳ.课时小结［学生总结］这节课主要学习了四个公式(①C ′=0(C 是常数)，②(x n )′=nx n -1(n ∈R),③(sin x )′=cos x ,④(cos x )′=-sin x )以及变化率的概念:v 0=s ′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率，函数y =f (x )在点x 0的导数f ′(x 0)叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.Ⅴ.课后作业(一)课本P 116习题3.2 2，4，5.(二)1.预习内容：课本P 118~119和(或差)、积的导数.2.预习提纲：(1)和(或差)的导数公式、证明过程.(2)积的导数 公式、证明过程.(3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.板书设计§ 3.2 几种常见函数的导数公式1C ′=0(C 为常数)公式2(x n )′=nx n -1(n ∈R)公式3(sin x )′=cos x公式4(cos x )′=-sin xv 0=s ′(t 0)是位移s 在t 0对时间t 的变化率.函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.1.y =C (C 是常数),求y ′.2.y =x n (n ∈N *),求y ′.3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.4.y =sin x ,求y ′.(两种方法)5.y =cos x ,求y ′.(两种方法) 课本例题(1)(x 3)′;(2)(21x)′;(3)(x )′. 例1.已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(Q 单位:J ，T 单位:K)，求热量对温度的变化率C (热容量).例2.质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.课堂练习1.(口答)(1)(x 5)′;(2)(x 6)′;(3)(sin t )′；(4)(cos φ)′.2.(1) )1(3'x;(2)(3x )′. 3.质点运动方程是s=t 3，求t =3时的速度.4.221gt s =,求t =3时的速度. 5.求曲线y =x 4在P (2，16)处的切线方程.课后作业。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (1)
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝_c_o_s_x__ f′(x)＝__－__s_in__x_ f′(x)＝ axln a (a>0)
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
∴所求的最短距离
d＝1本初等函数的导数公式
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_1__ f′(x)＝__2_x_ f′(x)＝_－__x1_2 _
1 f′(x)＝_2__x__
知识点二 基本初等函数的导数公式
命题角度2 求切点坐标问题 例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
解 设切点坐标为(x0，x20)，依题意知与直线 x－y－2＝0 平行的抛物线 y ＝x2 的切线的切点到直线 x－y－2＝0 的距离最短.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为12，41，
f′(x)＝_e_x_
1 f′(x)＝ xln a (a>0且a≠1)
1 f′(x)＝__x_
类型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数. (1)y＝sin π6； 解 y′＝0. (2)y＝12x； 解 y′＝12xln12＝－12xln 2.
(3)y＝lg x；
解 y′＝xln110.
(4)y＝ x2x；
解
∵y＝
x2x＝x
3 2
导数表大全高等数学
导数表大全高等数学导数是高等数学中一个重要的概念，它在实际问题中有广泛的应用。
在求解实际问题时，我们通常需要根据问题的特点寻找合适的导数公式，进而求解问题。
以下是一些常见的导数公式和应用:1. 基本导数公式：- y" = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx- y"" = lim(Δx→0) [f"(x+Δx) - f"(x)] / Δx(x 是导数的定义)2. 三角函数的导数公式：- sin x" = cos x- cos x" = - sin x- tan x" = cot x- cot x" = - tan x- csc x" = 1/sin x- 1/sin x" = csc x3. 指数函数的导数公式：- a^x" = a^x *ln(a) + C(C 是常数)4. 对数函数的导数公式：- (ln x)" = dxn/dx(x是自然对数的底数)- (log x)" = (ln x)" / x(x 是自然对数的底数)5. 反函数的导数公式：- f^{-1}(x)" = f"(f^{-1}(x)) / f"(x)(x 是函数的反函数)6. 二次函数的导数公式：- 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的导数为:y" = 2ax + b(x 是二次函数的导数定义)7. 其他函数的导数公式：- 幂函数 y = x^a 的导数为:y" = ax^(a-1)- 递归函数 y = f(f(x)) 的导数为:y" = f"(x)(x 是递归函数的定义)- 对数函数的导数公式 (2)- 指数函数的导数公式 (2)在实际问题中，我们可以根据问题的特点选择合适的导数公式，进而求解问题。
几个常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式
f ( x ) = sin x, f ' (x ) = cos x
x '
f ( x ) = xα α ∈ Q* , f ' (x ) = αxα −1
f (x ) = c , f
'
(
(x ) = 0
)
x
x
'
x
对数函数
{
1 f ( x ) = log a x, f ( x ) = x ln a
'
1 f (x ) = ln x, f (x ) = x
x（2） y = x −3 3） y = x x ） （ ）
( )
方法总结： 方法总结：把函数转化为可以直接利用导数公式的基本函数模式
y 自主迁移：求导数（ ） 自主迁移：求导数（1） =
6
二、基本初等函数的导数公式
常数函数 幂函数
三角函数
指数函数
{ f (x ) = cos x , f (x ) = − sin x f ( x ) = a , f ( x ) = a ln a { f (x ) = e , f (x ) = e
( ) 幂的乘积） 结论 (x ) = αx (α ∈ Q （幂指数与自变量的α − 1 幂的乘积） )
x =x
' 1 2 1 − 1 1 1 1 −1 = = × x 2 = × x2 2 x 2 2
'
α '
α −1
*
一、几个常见函数的导数
1 y y 5 3 ：（1） 例1、求导数：（ ） = x （2） = 4 （3） = x 、求导数：（ y ） ） x
几个常见函数的导数公式 和基本初等函数的导数公式
常见三角函数的导数
常见三角函数的导数三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们广泛应用于各个领域的问题求解中。
在求解问题的过程中，我们经常需要利用三角函数的导数进行计算。
本文将详细介绍常见三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数）的导数性质和计算方法。
1. 正弦函数的导数正弦函数是最常见的三角函数之一，它的导数性质十分简单。
我们知道，正弦函数的图像在每个周期内都是周期性重复的，而其导数的图像则是对应的正弦函数图像向右平移一位。
因此，正弦函数的导数为余弦函数，即：d/dx(sin(x)) = cos(x)这个结果告诉我们，对于正弦函数，其导数的值恰好等于该函数自身在给定点的斜率。
2. 余弦函数的导数余弦函数与正弦函数类似，也是周期性重复的。
与正弦函数的导数性质相似，余弦函数的导数图像是对应的余弦函数图像向右平移一位。
因此，余弦函数的导数为负正弦函数，即：d/dx(cos(x)) = -sin(x)与正弦函数类似，余弦函数的导数值也等于该函数自身在给定点的斜率的相反数。
3. 正切函数的导数正切函数是三角函数中另一个常见的函数，在计算导数时需要注意其特殊性。
正切函数的导数可以通过两个步骤来计算。
首先，我们可以利用正切函数的定义，将其转化为正弦函数和余弦函数的比值形式：tan(x) = sin(x) / cos(x)然后，根据导数的除法法则，可以得到正切函数的导数：d/dx(tan(x)) = [d/dx(sin(x)) * cos(x) - sin(x) *d/dx(cos(x))] / cos^2(x)根据正弦函数和余弦函数的导数性质，我们可以将上述表达式进行简化：d/dx(tan(x)) = [cos(x) * cos(x) - sin(x) * (-sin(x))] /cos^2(x)= [cos^2(x) + sin^2(x)] / cos^2(x)= 1 / cos^2(x)= sec^2(x)这个结果告诉我们，正切函数的导数等于其余弦函数的导数和正弦函数的导数之比，也可以表示为 sec^2(x)。
导数总结归纳表
导数总结归纳表在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。
它在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
本文将总结归纳导数的基本概念、性质和常见函数的导数公式，并提供一个导数总结归纳表，以供读者参考。
一、导数的基本概念导数描述了函数在某一点的变化率或斜率。
如果函数f(x)在点x=a处可导，则其导数表示为f'(a)，有以下几种常见表示形式：1. f'(a)2. dy/dx|<sub>x=a</sub> 或 df(x)/dx|<sub>x=a</sub>3. y' 或 f'(x)二、导数的性质导数具有以下几个重要的性质，这些性质对于计算和理解导数非常有帮助：1. 导数存在性：如果函数在某一点可导，则在该点导数存在。
2. 导数的线性性：(af(x) ± bg(x))' = af'(x) ± bg'(x)，其中a和b是常数。
3. 乘法法则：(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)4. 除法法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x))/[g(x)]²，其中g(x)≠0。
5. 链式法则：如果y=f(g(x))，则y' = f'(g(x))·g'(x)三、常见函数的导数公式以下是一些常见函数的导数公式。
这些公式对于求解导数问题非常实用，在计算中应熟练掌握：1. 常数函数的导数：(c)' = 0，其中c是常数。
2. 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n是正整数。
3. 指数函数的导数：(e^x)' = e^x4. 对数函数的导数：(ln(x))' = 1/x5. 正弦函数的导数：(sin(x))' = cos(x)6. 余弦函数的导数：(cos(x))' = -sin(x)7. 正切函数的导数：(tan(x))' = sec^2(x)四、导数总结归纳表下面是一个导数总结归纳表，包括常见函数的导数公式和导数的性质：函数导数公式导数的性质常数函数 (c)' = 0 导数存在性幂函数 (x^n)' = nx^(n-1) 导数的线性性指数函数 (e^x)' = e^x 乘法法则对数函数 (ln(x))' = 1/x 除法法则正弦函数 (sin(x))' = cos(x) 链式法则余弦函数 (cos(x))' = -sin(x)正切函数 (tan(x))' = sec^2(x)通过这个导数总结归纳表，我们可以更方便地计算函数的导数并应用到实际问题中。
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
§1.2 导数的计算第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学习目标 1.利用导数的定义推导常用的五个函数的导数公式，并归纳得出一般幂函数的导数公式.2.掌握基本初等函数的导数公式．知识点一 几个常用函数的导数原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x思考 “若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0”，从几何意义怎样说明？ 答案 函数f (x )＝c 的图象上每一点处切线的斜率都是0. 知识点二 基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x思考 求f ′(x 0)有哪些方法？ 答案 方法一 f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .方法二 先求导函数f ′(x )，然后代入求f ′(x 0)．1．若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( × )2．f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x 4.( √ )3．若f (x )＝5x ，则f ′(x )＝5x log 5e.( × ) 4．若f (x )＝3x ，则f ′(x )＝x ·3x －1.( × )一、利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (2)y ′＝1x ln 10.(3)∵y ＝x 2x＝32x ，∴y ′＝(32x )′＝3212x ＝32x .(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思感悟 利用公式求函数的导数：(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后再求导．跟踪训练1 (多选)下列运算不正确的是( ) A ．(x 5)′＝x 5ln 5 B ．(lg x )′＝1xC ．(π5)′＝5π4D ．(log 2x )′＝1x ln 2答案 ABC解析 对于A ，因为(x 5)′＝5x 4，所以A 错误；对于B ，因为(lg x )′＝1x ln 10，所以B 错误；对于C ，因为(π5)′＝0，所以C 错误；对于D ，因为(log 2x )′＝1x ln 2，所以D 正确．二、导数公式的应用例2 已知曲线y ＝ln x ，点P (e,1)是曲线上一点，求曲线在点P 处的切线方程． 解 ∵y ′＝1x ，∴k ＝y ′|x ＝e ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0. 延伸探究求曲线y ＝ln x 过点O (0,0)的切线方程． 解 ∵O (0,0)不在曲线y ＝ln x 上． ∴设切点Q (x 0，y 0)， 则切线的斜率k ＝1x 0.又切线的斜率k ＝y 0－0x 0－0＝ln x 0x 0，∴ln x 0x 0＝1x 0，即x 0＝e ， ∴Q (e,1)， ∴k ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.反思感悟 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．跟踪训练2 (1)函数y ＝－1x 在⎝⎛⎭⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4x ＋4 D ．y ＝2x －4答案 B解析 ∵y ′＝⎝⎛⎭⎫－1x ′＝x －2， ∴k ＝y ′|12x =＝⎝⎛⎭⎫12－2＝4，∴切线方程为y ＋2＝4⎝⎛⎭⎫x －12， 即y ＝4x －4.(2)点P 是曲线y ＝－x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为( ) A ．1 B.728 C.528 D. 3答案 B解析 依题意知，点P 就是曲线y ＝－x 2上与直线y ＝x ＋2平行的切线的切点． 设点P 的坐标为(x 0，－x 20)， 因为y ′＝－2x ，所以曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝－2x 0. 因为该切线与直线y ＝x ＋2平行， 所以有－2x 0＝1，得x 0＝－12.故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－14，这时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－12＋14＋22＝728.(3)以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点得切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]． ∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.1．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝3 答案 ACD解析 若y ＝1x＝12x -，则y ′＝－12112x --＝－1232x -＝－12x 3 .2．已知f (x )＝x ，则f ′(8)等于( ) A ．0 B ．2 2 C.28D ．－1 答案 C解析 f (x )＝x ，得f ′(x )＝1212x -，∴f ′(8)＝12×(8)12-＝28.3．已知函数f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4， ∴a ＝4.4．y ＝3x 4的导数为 ． 答案 y ′＝4313x解析 ∵y ＝3x 4＝43x ，∴y ′＝(43x )′＝4313x .5．已知y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝ . 答案 1e解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， 由题意得y ′|0x x ＝＝1x 0＝k ，①又y 0＝kx 0，② 而且y 0＝ln x 0，③由①②③可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e.1．知识清单：(1)几个常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式． 2．方法归纳：公式法，待定系数法． 3．常见误区：公式记混用错．1．(多选)下列各式不正确的是( ) A ．(2x )′＝2x log 2e B.⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2 C ．(cos x )′＝sin x D ．(x －5)′＝－5x －4答案 ACD解析 根据题意，依次分析选项：对于A ，(2x )′＝2x ln 2，A 错误；对于B ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，B 正确； 对于C ，(cos x )′＝－sin x ，C 错误；对于D ，(x －5)′＝－5x －6，D 错误． 2．若函数f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析 f ′(x )＝－sin x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＋cos π4＝0. 3．已知函数f (x )＝ax 2，且f ′(1)＝4，则a 的值为( ) A ．2 019 B ．2 015 C ．2 D. 2答案 C解析 f ′(x )＝2ax ，若f ′(1)＝4，即2a ＝4，解得a ＝2.4．(多选)已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－1，－1) B ．(1,1) C ．(2,8) D.⎝⎛⎭⎫－12，－18 答案 AB解析 y ′＝3x 2，因为k ＝3，所以3x 2＝3，所以x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.12523 B.110523 C.25523 D.110523 答案 B解析 ∵s ′＝1545t -.∴当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523. 6．下列各式中正确的是 ．①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(5x 2)′＝2535x ；④(cos x )′＝－sin x ；⑤(cos 2)′＝－sin 2. 答案 ①③④解析 根据导数公式①③④正确． ∵(x －1)′＝－x －2，(cos 2)′＝0. ∴②⑤错误．7．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是 ．答案 x ＋y －6＝0 解析 y ′＝－9x －2， 所以k ＝y ′|x ＝3＝－1，所以在点M (3,3)处的切线方程为y －3＝－(x －3)， 即x ＋y －6＝0.8．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 ． 答案 (1,1)解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为k 2＝－1m 2 (m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1， 所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．9．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， 所以0e x＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 10．若曲线y ＝12x -在x ＝a 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求实数a 的值．解 ∵y ＝12x-，y ′＝－1232x -，∴曲线在点(a ，12a-)处的切线的斜率k ＝－1232a -，∴切线方程为y －12a-＝－1232a -(x －a )．令x ＝0，得y ＝3212a -；令y ＝0，得x ＝3a .故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×3a ·3212a -＝9412a ＝18，∴a ＝64.11．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2 答案 C解析 ∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 020(x )＝ . 答案 sin x解析由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…依次类推可得，f2 020(x)＝f4(x)＝sin x.13．已知在曲线y＝1x2上存在一点P，曲线在点P处的切线的倾斜角为135°，则点P的横坐标为．答案32解析设P(x0，y0)．∵y′＝(x－2)′＝－2x－3，tan 135°＝－1，∴－2x－30＝－1，∴x0＝32.14．函数f(x)的导数为f′(x)，若对于定义域内任意x1，x2(x1≠x2)有f(x1)－f(x2)x1－x2＝f′⎝⎛⎭⎫x1＋x22恒成立，则称f(x)为恒均变函数，给出下列函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝e x；④f(x)＝cos x.其中为恒均变函数的是．(填序号)答案①②解析对于①，f(x1)－f(x2)x1－x2＝1，f′(x)＝1，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝1，故①满足；对于②，f(x1)－f(x2)x1－x2＝x21－x22x1－x2＝x1＋x2，f′(x)＝2x，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝2×x1＋x22＝x1＋x2，故②满足；对于③，令x1＝0，x2＝1，∴f(x1)－f(x2)x1－x2＝1－e0－1＝e－1，f′(x)＝e x，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝f′⎝⎛⎭⎫12＝12e，故③不满足；对于④，令x1＝0，x2＝π2，∴f(x1)－f(x2)x1－x2＝1－00－π2＝－2π，f′(x)＝－sin x，f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝f′⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＝－22，故④不满足．15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是 ．答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y＝0，得x ＝a k 2， 又该切线与x 轴的交点坐标为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项为a 1＝16，公比为q ＝12的等比数列， ∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.16．已知抛物线y ＝x 2，求过点⎝⎛⎭⎫－12，－2且与抛物线相切的直线方程． 解 设直线的斜率为k ，直线与抛物线相切的切点坐标为(x 0，y 0)，则直线方程为y ＋2＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 因为y ′＝2x ，所以k ＝2x 0，又点(x 0，x 20)在切线上． 所以x 20＋2＝2x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋12， 所以x 0＝1或x 0＝－2，当x 0＝1时，则y 0＝x 20＝1，k ＝2x 0＝2，直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0；当x 0＝－2时，则y 0＝x 20＝4，k ＝2x 0＝－4，直线方程为y －4＝－4(x ＋2)，即4x ＋y ＋4＝0.综上所述，直线方程为2x －y －1＝0或4x ＋y ＋4＝0.。
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几个常见函数的导数制作人：徐凯精讲部分：
年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：易建议用时：20-25min
一.知识点：
知识点一几个常用函数的导数
知识点二
二.典例分析：
题型一 利用导数公式求出函数的导数 例1 求下列函数的导数：
(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4
x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2.
解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝⎝⎛⎭
⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4
； (4)y ′＝(4
x 3)′＝(x
34)′＝1
434x -＝344
x
；(5)y ′＝(log 3x )′＝1
x ln 3； (6)y ＝1－2sin 2x
2
＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x .
反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导． 题型二 利用导数公式解决切线有关问题
例2 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝1
2x 2上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别
作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________． 答案 (1，－4)
解析 y ′＝x ，k P A ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴P A 的直线方程为y －8＝4(x －4)， 即y ＝4x －8，
QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－4.
∴A (1，－4)．
(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
解 设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直，
则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0， 要使两切线垂直，必须k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤 题型三 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．
解 设切点坐标为(x 0，x 20
)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．
∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为(12，1
4)，
∴所求的最短距离d ＝|12－1
4－2|2
＝72
8.
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． 三.课堂小结：
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x
2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
精练部分：
年级：高三 科目：数学 类型:同步
难易程度：易 建议用时：随堂练习10-15min 课后作业30min
四.随堂练习： 一、选择题
1．下列各式中正确的个数是( )
①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －
2；③(1x
)′＝－12x －32；④(5
x 2)′＝25x －35；⑤(cos x )′＝－sin
x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2.
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 答案 B
2．已知过曲线y ＝1
x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )
A.⎝⎛⎭⎫12，2
B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2
C.⎝⎛⎭⎫－12，－2
D.⎝⎛⎭⎫1
2，－2 答案 B
解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A
解析 f ′(x )＝ax a －
1，f ′(－1)＝a (－1)a －
1＝－4，a ＝4.
4．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b 等于( ) A ．4 B ．－4 C ．28 D ．－28 答案 C
解析 ∵点(2,8)在切线上，∴2k ＋b ＝8，①又y ′|x ＝2＝3×22＝12＝k ，② 由①②可得：k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28.
5．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1
f ′(2)，则m ＝________.
答案 －4
解析 f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m .∵g ′(2)＝1
f ′(2)
，∴m ＝－4.
6．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1
x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为
________． 答案 (1,1) 五. 课后作业：
1．若f (x )＝sin x ，f ′(α)＝1
2，则下列α的值中满足条件的是( )
A.π3
B.π6
C.2π3
D.5π6 答案 A
解析 ∵f ′(x )＝cos x ，∴f ′(α)＝cos α＝12，
∵α＝π3时，cos α＝1
2
，故选A.
2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0
C ．4x －y ＋3＝0
D ．x ＋4y ＋3＝0
答案 A
解析 设切点(x 0，y 0)，
l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝4x 30＝4，x 0＝1， ∴切点(1,1)，∴l 的方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.
3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1
e C ．－e D ．e 答案 D
解析 y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则 ∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.
4．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________． 答案 3x －y －11＝0
解析 ∵y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2)＝3(x ＋1)2＋3≥3， ∴当x ＝－1时，斜率最小，切点为(－1，－14)， ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.
5．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －1
2)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝
________. 答案 64
解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －3
2
，
∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －3
2，
∴切线方程为y －a －12＝－12a －3
2
(x －a )．
令x ＝0得y ＝32a －1
2；令y ＝0得x ＝3a .
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 1
2
＝18，∴a ＝64. 6．已知A 、B 、C 三点在曲线y ＝x 上，其横坐标依次为1、m 、4(1<m <4)，当△ABC 的面积最大时，m 的值等于________． 答案 94
解析 如图，在△ABC 中，边AC 是确定的，要使△ABC 的面积最大，则点B 到直线AC 的距离应最大，可以将直线AC 作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过B 点的切线平行于直线AC 时，△ABC 的面积最大． f ′(m )＝1
2m ，A 点坐标为(1,1)，C 点坐标为(4,2)，
∴k AC ＝2－14－1＝13，∴12m ＝13
，∴m ＝9
4.
7．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)，
则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20
－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，
即x 30－3x 0＝3(x 2
0－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.。