电力网络的数学模型

4.1 节点导纳矩阵
（2）在网络原有节点 i,之j 间增加一条导纳为
路； 修改： Yii Yjj yij , Yij Yji yij
的yij支
其余元素不必修改。
（3）在网络的原有节点 i, 之j 间切除一条导纳为 的yij
支路；
修改：相当于节点 i,之j 间增加一条导纳为 的y支ij 路，
4.1 节点导纳矩阵
➢一般地，对于有n个独立节点地网络，可以列写n个节点方程
•
•
•
Y11 V1 Y12 V2 Y1n Vn
•
I1
•
•
•
Y21 V1 Y22 V2 Y2n Vn
•
I2
•
•
• •
Yn1 V1 Yn2 V2 Ynn Vn In
（4-3）
4.1 节点导纳矩阵
同施加于节点
i i 的电压之比，即等于节点 的自导纳，
Yii yi0 yij
(4-7)
j
i y 式中， i为0 节点 与零电位点之间的支路导纳；
4.1 节点导纳矩阵
• 当 k i 时，公式（4-6）说明，当网络中除节
点 k 以外所有节点都接地时，从节点 i 流入网络
的电流同施加于节点 k 的电压之比。即等于节点 k
第四章 电力网络的数学模型
4.1 节点导纳矩阵 4.2 网络方程的解法 4.3 节点阻抗矩阵
4.1 节点导纳矩阵
一、节点方程 ➢如图所示的简单电力 系统
➢略去变压器的励磁功 率和线路电容，负荷用阻 抗便可得到一个有5个节点 和7条支路等值网络；
4.1 节点导纳矩阵
➢将电势源和阻抗的串联变 换成电流源和导纳的并联，得 到的等值网络如图所示，其中：
4.1 节点导纳矩阵
二、节点导纳矩阵元素的物理含义
如果令
•
•
Vk 0, Vj 0 ( j 1,2,, n, j k)
代入（4－3）各式
Yik
•
Ii
•
Vk
•
V j 0, j k
(4-6)
4.1 节点导纳矩阵
➢ 当 k i时，公式（4-6）说明，当网络中除节点
i 以外所有节点都
i 接地时，从节点 注入网络的电流
Y (2) n3
Yn(n2)
(n-1)次消元后
4.2 网络方程的解法
Y11
Y12 Y (1)
22
Y1i Y1n
Y (1) 2i
Y2(n1)
Y (n1)
Y Y (i1) ii
(i1) in
Y (n1) nn
（4-13）
其中
Y Y (i1)
Y Y Y ij
i1 (k 1) (k 1)
ik
kj
ij k 1
(k 1) kk
(i 1,2,, n; j i, i 1,n)
4.3 节点阻抗矩阵
一、节点阻抗局阵元素的物理意义
在电力系统计算中，节点方程也常写成阻抗形式，即
ZI V
（4-19）
式中， Z Y 1
称为网络的节点阻抗矩阵。
方程式（4-19）可展开写成
Z11
Z12
Z1n
•
与 i 之间的互导纳 Yik ，即
Yik yik
（4-8）
4.1 节点导纳矩阵
三、节点导纳矩阵的修改
i （1）从网络的原有节点 引出一条导纳为 点； k
的支路，同时yi增k 加节
修改：导纳矩阵增加一行一列，且
Ykk yik ,Yik Yki yik ,Ykj 0 ji , Yii yik
则：
Yii Yjj yij , Yij Yji yij
4.2 网络方程的解法
一、用高斯消去法求解网络方程
用按列消元的算法求解方程组（4-3），完成第一次消
元后可得：
•
•
•
Y11 V1 Y12 V2 Y1n Vn 0
•
•
Y (1) 22
V2
Y (1) 2n
Vn
I2(1)
•
•
Y (1) n2
二、用支路追加法形成节点阻抗矩阵
➢ 支路追加法（1）追加树枝：新增支路引出一个新节点，阻抗矩阵扩 大一阶；
（2）追加连支：在已有的两个节点间增加新支路，网络节点数不变，阻 抗矩阵阶次不变。
I1
V•
1
Z 21
Z 22
Z2n
• I2
• V
2
Z n1
Zn2
Z
nn
•
In
V•
n
（4-20）
4.3 节点阻抗矩阵
或者写成
n
•
•
Zij I j Vi
j 1
(i 1,2,, n)
Zii 节点i 的自阻抗或输入阻抗；
Zij 节点 i, j 之间的互阻抗或转移阻抗；
•
•
I 1 y10 E1
•
•
I 4 y40 E4
4.1 节点导纳矩阵
➢ 以零电位为参考点，根据基尔霍夫电流定律，得到 4个独立节点的电流平衡方程：
•
••
•
y10 V1 y12 (V1 V2 ) I 1
••
•
••
••
y12 (V2
•
V1)
•
y20
V2
•
y23 (V2
•
V3)
y24 (V2
上式也可以用矩阵写成
Y12 n
V•1 • V2
Yn1
Yn 2
Ynn
V•n
•
I1
• I2
•
In
(4-4)
或缩记为
YV I
Yii节点i自导纳，等于与i相连所有支路导纳之和；
Yij节点i，j间的自导纳，等于节点i，j间支路导纳的负值
V4
)
0
y23(V3 V2 ) y24 (V3 V4 ) 0
••
••
••
y24 (V4 V2 ) y34 (V4 V3 ) y40 V4 I 4
(4-1)
4.1 节点导纳矩阵
➢上述方程经过整理可以写成
•
•
Y11 V1 Y12 V2
0
•
•
•
•
Y21 V1 Y22 V2 Y23 V3 Y24 V4 0
V2
Y (1) nn
Vn
I2(1)
• 式中
Y (1) ij
Yij
Yi1Yj1 Y11
; Ii(1)
I
Yi1 Y11
I1
4.2 网络方程的解法
➢ 对方程式再作一次消元，其系数矩阵便演变为
Y11
Y (2)
Y12 Y13 Y1n
Y (1) 22
Y (1) 23
Y2(n1)
Y (2) 33
Y3(n2)
•
•
•
Y32 V2 Y33 V3 Y34 V4 0
•
•
•
Y42 V2 Y43 V3 Y44 V4
•
I
4
(4-2)
4.1 节点导纳矩阵
➢式中
Y11 y10 y12;Y22 y20 y23 y24 y12; Y33 y23 y34;Y44 y40 y24 y34; Y44 y40 y24 y34;Y12 Y21 y12; Y23 Y32 y23;Y24 Y42 y24; Y34 Y43 y34