二年级下册数学试题-奥数习题讲练：第十讲数字分组和拆分(解析版)全国通用

把一个自然数（ 0 除外）拆成几个自然数相加的形式，叫自然数的拆分 . 在这节课中，我们就将来研究关于自然数的拆分问题 . 希望通过学习，使学生从中学到一些有序和全面思考问题的方法 .知识点：掌握自然数拆分的一般方法——枚举 .们每人一份小朋小松鼠说： 友.熊猫老师怎么知道小白兔说的是谎话小白兔说：“我在上学的路上遇到四个小妹妹 量不同的 4 份，送给她们每人一份① 小松鼠和小白兔上学迟到了 . 熊猫老师问： “你俩今天为什么迟到了 她们饿得很，我就采了 9 个蘑菇 .分成数 熊猫老师说：“松鼠说的是实话 .小白兔说的是谎话 .”③ 小白兔听后，惭愧地低下头，说：“老师 我在上学 的路上遇到三个小弟弟，他们饿 (e)得很，我就采了 6 个松果 .分成数量不同的 3 份，送给他 教学思路】 小松鼠把 9 个松果分成不一样多的三份， 6=1+2+3，所以可以分成 .小白兔说它把 9 个蘑菇 分成个数不同的 4 份. 这是不对的 . 因为 1+2+3+4=10.9 个蘑菇是分不出个数不同的 4 份的 .把一个自然数( 0 除外)分拆成几个自然数相加的形式，这种方法叫做自然 数的分拆 .下面让我们一起来学习怎样分拆自然数，从中学到一些有序和全面思考问题的方法如下图他们每人打了两发子弹， 均击中了靶子 ( 即无脱靶现象 ). 强强两发共打了 12 环，明明两发共打了 8 环. 又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请 你推算一下他俩打中的是哪几环?教学思路】 要求强强和明明各打中的环数，即是把 12，8按环数进行拆分的问题 .也就是要把 12和 8拆分成两个数相加 . 因为靶子中的环数只有 2、4、6、8、10环. 所以这两个数只能从这些数 中选择 . 因为 12=8+4=10+2， 8=6+2. 根据“没有哪两发子弹打在同一环中' '的条件，可以 知道甲打中的是 8环和 4环，乙打中的是 6环和 2环.把 5 拆成几个自然数相加的形式， 共有多少种不同的拆分方法教学思路】 要做到拆分得不重、不漏，要注意有序思考，一般我们采用枚 举法 . 例如先拆成两部分，再拆成三部分、四部分，最后拆成 五部分 . 拆分过程是： 5=1+4=2+3 5=1+1+3=1+2+2 5=1+1+1+2 ?（0 除外 ）5=1+1+1+1+1答：共有 6 种不同的拆分按下面的要求，把自然数 6 进行拆分 .1）把 6 拆成几个自然数相加的形式（ 0 除外），共有多少种不同的拆分方法？2）把 6 拆成几个不完全相同的自然数相加的形式（0 除外），共有多少种不同的拆分方法？3）把 6 拆成几个完全不相同的自然数相加的形式（0 除教学思路】（ 1 ） 6=1+5=2+4=3+3 ； 6=1+1+4=1+2+3=2+2+2 ； 6=1+1+1+3=1+1+2+2 ；6=1+1+1+1+2 ； 6=1+1+1+1+1+1 共 10 种方法 .（2）从（ 1）中，把完全相同的 3 种方法剔除 6=3+3=2+2+2=1+1+1+1+1+1，则还剩7 种. （3）“几个完全不相同的自然数”也就是“不同的自然数”，即拆分的数不能相同 . 那么就猪妈妈让小猪三兄弟去摘野果，它要求三兄弟一共要摘 10 个，每只小猪至少摘 2 个，按照妈妈的要求，现在小猪们要分配任务了，它们有多少种不同的分配方法 ?教学思路】要求有几种不同的分配方法，就是求把10 拆成3个不完全相同的自然数，因为每个小猪至少要摘 2个，所以 0，1 除外，共有多少种拆分方法呢 . 拆分过程是： lO=2+2+6 10=2+3+510=2+4+410=3+3+4答：共有 4 种不同的分组方法体育课上， 10 个小朋友分成三组做游戏，一共有多少种不同的分组方法？1教学思路】 10 个小朋友分成三组做游戏，那么每组最少要有 个人，这道题和上一题比不同就是，就是多了拆成 的部分 . 具体拆分过程如下： 10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5 10=2+2+6=2+3+5=2+4+4 10=3+3+4 答：一共有 8 种不同的分组方法 .分到的萝卜数量都不同 . 可以怎样分呢？教学思路】 这道题也就是要我们把 12 拆分成 3 个不同的自然数， 可以做如下考虑：若将 12 分拆成三个不同的自然数 之和，三个数中最小的数应为 1，其次是 2，那么第 三个数就应是 9 得：12＝ 1+2+9．下面进行变化，如从 9中取 1 加到 2上，又得： 12＝ 1+3+8． 继续按类似方法变化，可得下列各式： 12 ＝1+4+7＝ 2+3+7， 12 ＝1+5+6＝ 2+4+6， 12 ＝ 3+4+5．共有 7 种不同的分拆方式．巩固拓展4个小朋友去学校图书室一共借了 12本书. 图书室规定，人最多只能借 9 本书，现在这四个小朋友手里的书数量都不 一样多 . 想一想，他们手中各有几本书？【教学思路】 把 12 拆分成 4 个不同的自然数只有唯一一种方法： 12=5+4+2+1，所以这几个小朋友手中的 书分别是 5本、 4本、2本、1 本。

某个外星人来到地球上，随身带有地球人使用的硬币 1 元、 2 元、 4 元、 8 元各一枚，如果他想买 7 元钱的一件商品，他应如何付款 ?如果买 9 元、 10 元、 13 元、 14 元12 个萝卜，它要把这些萝卜分给三个兔宝宝吃，每个小兔至少要有1 个，并且它们 每和 15 元的商品呢 ? 他又将如何付款 ?1这道题目的实质是要求把 7、9、10、13、14、15 各数按 1、2、4、8 进行分拆．7 ＝ 1+2+4 9 ＝1+8 10＝2+813＝ 1+4+814＝ 2+4+8 15 ＝所以外星人可按以上方式付款．有七个盘子 ，每个盘子中分别装有 1个、2 个、3 个、5个、6个、7个和 9个梨. 要从这些盘子中取出 15 个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿 教学思路】 这道题也就是让我们把 15 进行拆分，拆分得数字只能从 1、2、3、5、6、7、9 中进行选择 . 这样我们可以先从最大的数 9考虑选取，其次选 7，最后选 6. 具体拆分情况如下：15=9+6 15=7+6+2 15=6+5+3+1 15=9+5+1 15=7+5+315=9+3+2+1 15=7+5+2+1 答：一共有 7 种不同的拿法 .教学思路】 巩固拓展. 共有多少种不同的拿法 ?只见老者拿出 5 个盒子，然后说： “请你们把 18 个馒头分装在这 5 个盒子 只见金吒走上前摆弄了一下， 18 个馒头很快就装进了 5 个盒子里， 老者连 连称赞 .接着木吒又走上前， 很快又完成了任务 . 最后哪吒想了想说： “看我的！拓展与提巧装馒头天，金吒、木吒和哪吒三兄弟去馒头店店主是一个老者，见三兄弟长的非常可爱，就想考一考他们 店主说：“三位小朋友，如果能答对一个问题，今天的馒头就请你 里，要求每个盒子都不能空着，每个盒子中的馒头数都不相同一会儿工夫又把这 18 个馒头装进了这 5 个小朋友，你知道金吒、木吒和哪吒是怎样放的老者看了连连点头说： “好！好！ . 三兄弟三种方法， 你们真是聪明的孩子 们免费品尝 . ”三人一听非看来这免费的馒头你们是吃定了！ ”哪咤三兄弟笑呵呵的从本故事中抽取数学问题：※ 把 18 个馒头分装在 5 个盒子里，要求每个盒子都不空着，每个盒子中的馒头数都不相同 . 应该怎样装？教学思路】这道题也就是要我们把 18 拆分成 5个不同的自然数相加，我们可以先写出 5 个连续的自然数相加最接近 18 的数 .15=1+2+3+4+5 ，多出来的 3 个，可以分别加在 1、2、3、4、5 上，通过尝试可得：18=1+2+3+4+8 18=1+2+3+5+7 18=1+2+4+5+6 所以一共有三种不同的放法 .（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用 . ）有人以为 8 是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“ 8”表示才好．现有200 块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案．【教学思路】可以这样想：因为 200的个位数是 0，又知只有 5个 8相加才能使和的个位数字为 0，这就是说，可以把 200分成 5 个数，每个数的个位数字都应是 8．这样由 8× 5＝ 40 及 200－40＝ 160，可知再由两个 8 作十位数字可得 80×2＝160 即可．最后得到下式： 88+88+8+8+8＝ 200．从 1～12 这十二个自然数中选取，把 26 分拆成四个不同的自然数之和．教学思路】用枚举法按一定的顺序来列举，具体拆分如下：以 12 开头的分拆方式共10 种以 ll 开头的分拆方式共 10 种以 10 开头的分拆方式共 8 种 26＝8+7+6+5} 以 8开头的分拆方式共1 种不同的分拆方式总数为： 10+10+8+4+1＝ 33 种．总结：明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆过程按一定的顺序进行．美国硬币有 1分、5分、10分和 25分四种．现有 10枚硬币价值是 1元钱，其中有 3枚25分的硬币．问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚 ?（此题是美国小学数学奥林匹克试题）．【教学思路】由于有 3枚 25分的硬币，它们的价值是： 25×3＝ 75（分）．所以其余的 7 枚硬币的价值是：100 －75＝25（分）．将 25 分拆成 7 个数之和，（注意没有各数不同的限制） 25 ＝1+1+1+1+1+10+10．所以这 7枚硬币是 5枚 1分，2枚10分．按下面的要求，把 15 进行拆分 .1）将 15 分拆成不大于 9 的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出．2）将 15 分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一列出．答案】（1）共 8 种．15 ＝ 9+5+1＝ 9+4+2 15 ＝ 8+6+1＝ 8+5+2＝ 8+4+315 ＝ 7+6+2＝ 7+5+315 ＝6+5+4（2）共 12 种．15 ＝12+2+1 15 ＝ ll+3+l15 ＝10+4+l 15 ＝9+5+1 15 ＝ 8+6+l15＝ 7+6+2 15 ＝6+5+4＝10+3+2 ＝9+4+2＝ 8+5+2 ＝7+5+3＝ 8+4+3以 9开头的分拆方式共 4 种1. 从 l ～ 9 九个数中选取，将 1l 写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法【答案】 11=2+9=3+8=4+7=5+6，共有 4 种不同的写法．2. 把 7 拆成几个不完全相同的自然数相加的形式，共有多少种不同拆分方法 ?（0 除外 ） 答案】 拆分过程中除了要有序思考之外，还要注意题目中要求的“不完全相同的自然数”同的数，但不能完全相同 . 拆分过程是：7=1+6=2+5=3+47=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+3+27=1+1+l+4=1+1+2+37=1+2+2+27=1+1+1+1+3=1+1+1+2+27=1+1+l+1+1+2答：一共有 13 种不同的拆分方法3. 有 12 个苹果分给 3个小朋友，要求每人至少分到 3个苹果，那么有几种分法？答案】 12=3+3+6=3+4+5=4+4+4 ，共有 3 种分法4. 将 15 分拆成不大于 9 的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出． 答案】共 6 种．具体拆分如下：15 ＝ 9+3+2+1 15 ＝ 8+4+2+1 15 ＝ 7+5+2+l 15＝7+4+3+l5. 把 100 个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带有数字 【答案】从已有经验中可知 6×6＝ 36，这样就可以把每个盒里装 6个馒头，共装 6 个盒，还有一个盒装 100－ 36＝ 64 个馒头． 64 个这个数，刚好含有数字 6，满足题目要求． 即得 100＝ 64+6+6+6+6+6+6．6. 七只箱子分别放有 1 个、2 个、4 个、8 个、16 个、32 个、 64个苹果．现在要从这七只箱子里取出87 个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法 ?【答案】可这样想：总数要 87个，最先取数最多的一箱 64 个苹果，这样还差 87－64＝ 23个，即可以有相 ＝6+5+3+1 ＝ 6，想想看，应该怎样分 ?苹果；再取则不能取装有 32个苹果的那箱，只能取装有 16 个的那箱，这样还差 23－16＝7 个苹果；再取装有 1个、2个、4 个的三箱苹果，正好：87 ＝ 64+16+4+2+1．答案】(1)照片 ;(2) 是她的储蓄罐 ;(3) 迷宫 ;(4) 围棋;(5) 湖面上结冰了，走过去的 ;(6) 魔术师 (7) 道六点钟闹表响了不就找到了 ;(8)只有一颗黄豆，一颗绿湖面上没有桥也没有船，小刚是怎么过去小明把闹表调到早晨六点钟，他在五点钟就一个人手里拿着一些黄豆和绿豆，他把豆子为什么小丽养的一只小胖猪不吃也醒了，可他不知道闹表放到哪去了，放到桌子上，立刻就把黄豆和绿豆分开了，豆 .。