因式分解之平方差公式
因式分解-平方差公式-讲解学习
看（11）a2－82 = (a+8) (a －8)
谁快（22 ）16x2 －y2 =(4x+y) (4x －y)
又 对
(33)
－
1 9
y2
+
4x=2 (2x
+
1 3
y) (2x －31
y)
(44) 4k2 －25m2n=2 (2k+5mn) (2k －5mn)
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
2
(5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式 (6) －x2+25y2 = 25y2－x2 =(5y)2 －
x2
填空：
铺路之石
± （1）
1 36＝（（来自)2;1 )2 ; 6
±
（3）9m2 ＝ )2;
(
3±m2(a)-2b; )
(2) 0.81= ± 0.9
± (4) 25a2b2=( 5ab
;
（3） x2-25 = (x+5)( x-5
);
（4） a2-b2 = (a+b)( a-b
)。
知识探索
1、能否用提公因式的方法把多项式 x2-25，9x2-y2分解因式?
提示：a2-b2=(a+b)(a-b)
解：x2-25 = x2 - 52 =(x+5)(x-5) 9x2-y2 =(3x)2-y2 =(3x+y)(3x-y) 利用平方差公式进行因式分解
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的乘积.
a 2 ▲- b 2 = ( a ▲+ b )( a -▲ b )
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
因式分解之四大基本解法
因式分解之四大基本解法知识锦囊经典例题【必会考点1】提取公因式1．因式分解：2281012x y xy --【解答】解：原式222(456)x y xy =--2(43)(2)xy xy =+-．2．因式分解：324824m m m -+-．【解答】解：32248244(26)m m m m m m -+-=--+．3．因式分解：325()10()x y y x -+-．【解答】解：325()10()x y y x -+-325()10()x y x y =-+-25()[()2]x y x y =--+25()(2)x y x y =--+．4．因式分解：3()3()a x y b y x ---．【解答】解：3()3()a x y b y x ---3()3()a x y b x y =-+-3()()x y a b =-+．【必会考点2】公式法1．因式分解：（1）22169x y - （2）22222()4x y x y +-． 【解答】解：（1）原式22(4)(3)(43)(43)x y x y x y =-=+-；（2）原式222222(2)(2)()()x y xy x y xy x y x y =+++-=+-．2．分解因式：22(23)m m -+．【解答】解：原式(23)(23)m m m m =++--(33)(3)m m =+--3(1)(3)m m =-++．3．因式分解：2()6()9x y y x -+-+【解答】解：2()6()9x y y x -+-+2()6()9x y x y =---+2(3)x y =--．【必会考点3】提取公因式与公式法综合1．因式分解：（1）2x xy -； （2）329189x x x -+； 【解答】解：（1）22(1)(1)(1)x xy x y x y y -=-=+-；（2）322291899(21)9(1)x x x x x x x x -+=-+=-；2．因式分解：（1）244am am a -+； （2）22()()a x y b y x -+-． 【解答】解：（1）22242(44)(2)am am a a m m a m -+=-+=-；（2）2222()()()()()()()a x y b y x x y a b x y a b a b -+-=--=-+-．【必会考点3】分组分解法1．因式分解：2m my mx yx -+- 【解答】解：（3）2m my mx yx -+-2()()m my mx yx =-+-()()m m y x m y =-+-()()m y m x =-+.2．因式分解：2221b bc c -+-【解答】解：2221b bc c -+-2()1b c =--(1)(1)b c b c =-+--．【必会考点4】十字相乘法1．因式分解：（1）256x x +- （2）2234a ab b -- 【解答】解：（1）256(1)(6)x x x x +-=-+（2）2234a ab b --(4)()a b a b =-+．2．分解因式：2231x x -+【解答】解：2231(1)(21)x x x x -+=--.巩固练习1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．2．分解因式：（1）()()x x a y a x -+- （2）321025x y x y xy -+3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +-4．分解因式：222(4)16m m +-．5．分解因式（1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--．6．因式分解：22436x xy x y -+-7．因式分解：22144a ab b -+-8．分解因式（1）2249x y - （2）2221x y y -+-9．分解因式：22221x y x y -+-．10．分解因式①226x x -- ②332x x -+11．分解因式：2228x xy y --．12．十字相乘法因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x --（3）2231x x -+ （4）2656x x +-．13．因式分解：（1）23a b b -； （2）1n m mn -+-；（3）2221x x y -+-； （4）2()()()x y x y x y -++-14．把下列各式分解因式：（1）225x -； （2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+； （4）3222a a b ab -+-．15．因式分解：（1）236x xy x -+； （2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．巩固练习解析1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．【解答】解：（1）2()3()m a b n b a --- 2()3()m a b n a b =-+- ()(23)a b m n =-+；（2）2282()x x y --222[4()]x x y =-- 2(3)()x y x y =-+．2．（1）分解因式()()x x a y a x -+- （2）分解因式321025x y x y xy -+ 【解答】（1）解：()()x x a y a x -+- (x =x a -)(y -x a -) (=x a -)(x y -)；（2）解：321025x y x y xy -+ (xy =21025)x x -+ (xy =25)x -．3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +- 【解答】解：原式322(57)a bc a b c ab =+-； 4．分解因式：222(4)16m m +-． 【解答】解：222(4)16m m +-22(44)(44)m m m m =+++- 22(2)(2)m m =+-．5．分解因式 （1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--． 【解答】解：（1）222(1)4a a +-22(12)(12)a a a a =+++- 2(1)a =+2(1)a -； （2）229()25()a b a b +--[3()5()][3()5()]a b a b a b a b +=+--+- .4(4)(4)a b b a =--．6．因式分解：22436x xy x y -+- 【解答】解：原式2(2)3(2)x x y x y =-+- (2)(23)x y x =-+．7．22144a ab b -+-【解答】解：22144a ab b -+-221(44)a ab b =--+ 21(2)a b =--(12)(12)a b a b =+--+．8．分解因式 （1）2249x y - （2）2221x y y -+-【解答】解：（1）原式(23)(23)x y x y =-+； （2）原式22(21)x y y =--+22(1)x y =--(1)(1)x y x y =+--+．9．分解因式：22221x y x y -+-．【解答】解：原式222222(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x y y y x y y x =-+-=-+=+-+． 10．分解因式 ①226x x -- ②332x x -+【解答】解：①226(23)(2)x x x x --=+-； ②332x x -+ 342x x x =-++ (2)(2)(2)x x x x =+-++2(2)(21)x x x =+-+ 2(2)(1)x x =+-．11．分解因式：2228x xy y --． 【解答】解：2228x xy y -- (4)(2)x y x y =-+．12．十字相乘法因式分解： （1）256x x ++ （2）256x x -- （3）2231x x -+ （4）2656x x +-．【解答】解：（1）原式(2)(3)x x =++； （2）原式(6)(1)x x =-+； （3）原式(21)(1)x x =--； （4）原式(23)(32)x x =+-． 13．因式分解： （1）23a b b -； （2）1n m mn -+-； （3）2221x x y -+-；（4）2()()()x y x y x y -++-【解答】解：（1）原式22()()()b a b b a b a b =-=-+；（2）原式(1)()(1)(1)(1)(1)n m mn n m n m n =-+-=-+-=+-；（3）原式2222(21)(1)(1)(1)x x y x y x y x y =-+-=--=---+；（4）原式()()2()x y x y x y x x y =--++=-．14．把下列各式分解因式：（1）225x -；（2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+；（4）3222a a b ab -+-．【解答】解：（1）原式(5)(5)x x =+-；（2）原式2(4)a =-；（3）原式2()(9)x y x =+-()(3)(3)x y x x =++-；（4）原式22(2)a a ab b =--+2()a a b =--．15．因式分解：（1）236x xy x -+；（2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．【解答】解：（1）236(361)x xy x x x y -+=-+；（2）322416284(47)m m m m m m -+-=--+；（3）23218()12()6()(322)a b b a a b a b ---=-+-．。
因式分解与平方差公式PPT
B、等边三角形 D、不能确定
巩固练习：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)²
C. -4 X² -y³
D
D. - X² + y²
(4) 0.16(a–b)
2 2=_______ [0.4(a-b)] ;
第十五章 因式分解 八年级 数学 把下列各式分解因式 平方差公式 :a2-b2 =(a+b)(a-b)
a2 − b2 = (a + b) (a-b)
2 =x² 1 =（x+1) (x-1) (1) x² - 1 2 =m² 3 (2) m²- 9 =（m+3)(m-3) (3) x² - 4y² =x² - (2y)2 =（x+2y) (x-2y)
）
2) -4a² +1分解因式的结果应是 （ A. -(4a+1)(4a-1) C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 B. D.
平方差公式：
整式乘法
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法与因 式分解是互逆 的过程
两个数的平方差， 等于这两个数的和 与这两个数的差的 a²- b² = (a+b)(a-b) 积
因式分解
第十五章 因式分解 八年级 数学 1.把下列各式写成完全平方的形式：
如：36x2y4=( 6xy2) 2
(1)4x2 – 9
(2)(x+p)2 – (x+q) 2
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法因式分解是一种将一个数或代数式分解成更简单的乘积的方法。
在数学中，有很多种因式分解的方法可以使用，根据不同的情况可以采用不同的方法，下面将介绍十二种常见的因式分解方法。
1.提取公因子法：当一个式子存在公因子时，可以先将公因子提取出来，然后再进行进一步的因式分解。
2. 公式法：利用公式进行因式分解，例如(a+b)^2=a^2+2ab+b^23.分组法：将一个多项式按照不同的组合方式进行分组，然后再分别进行因式分解，最后将得到的结果合并。
4.平方差公式法：对于一个二次型式，可以利用平方差公式进行因式分解，例如a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式法：对于一个完全平方式，可以通过完全平方公式进行因式分解，例如a^2+2ab+b^2=(a+b)^26. 二次因式法：对于一个二次多项式，可以通过二次因式法进行因式分解，例如ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为方程ax^2+bx+c=0的根。
7.和差立方公式法：对于一个和差立方的多项式，可以通过和差立方公式进行因式分解。
8. 因式分解的配方法：通过配方法进行因式分解，例如ab+ac=a(b+c)。
9.分解因式法：将一个多项式根据不同的性质进行因式分解，例如差平方分解、和的平方分解等。
10.二次根与一次根相结合法：对于一个多项式，通过将二次根与一次根相结合，得到更简单的因式分解结果。
11. 分组求积法：对于一个多项式，可以通过分组求积法进行因式分解，例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。
12.全等公式法：利用全等公式进行因式分解。
以上是常见的十二种因式分解方法。
不同的方法适用于不同的情况，需要根据具体的问题选择合适的方法进行因式分解。
因式分解是数学中的一个重要概念，通过因式分解可以简化计算过程，提高解题效率。
因此，掌握不同的因式分解方法对于提高数学能力和解决实际问题都有很大的帮助。
因式分解(公开课)平方差公式
（1）本题你能用提公因式法分解因式吗？ （2）这两个多项式有什么共同的特点？
（a+b） （a-b） =a -b
（3）你能利用整式的乘法公式——平方差公式 2 2 来解决这个问题吗？
y 2 25 y 2 52 ( y 5)( y 5)
x 4 x 2 ( x 2)( x 2)
(1)x4-y4 ; (2) a3b – ab.
分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样 就可以利用平方差公式进行因式分解了. (2)a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式, 再进一步分解. 解:(1) x4-y4 (2) a3b-ab = (x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y) =ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1).
2 2 2
探索平方差公式
把整式的乘法公式——平方差公式 （a+b） （a-b） =a 2 -b 2 反过来就得到因式分解的 平方差公式：
a -b =（a+b） （a-b）
2
2
理解平方差公式
互动游戏：由x2、- x2 、 y2、 - y2 这些数随机组成的 多项式能否用平方差公式来分解因式。
x +y 2 2 x -y 2 2 y -x
2 2
2
2
× √ √
- x -y ． ×
理解平方差公式
a -b =（a+b） （a-b）
由此可知：
适用于平方差公式因式分解的
2
2
多项式 必须是二项式，每一项为（或可以 转化为）平方项， 并且两个平方项的符号 相反．
a 2 -b 2 =（a+b） （a-b）
因式分解-平方差公式
知识探索
2、口答下列各题： (1) a2-1=( a )2-( 1 )2 (2) x4y2-4= ( x2y )2-( 2 )2 (3) 0.49x2-0.01y2=( 0.7x )2-( 0.1y )2
(4) 0.0001-121x2=( 0.01 )2-( 11x )2 3、能用平方差公式因式分解的多项式有 何特征？①有且只有两个平方项； ②两个平方项异号；
)
是 否 否
把下列各式进行因式分解 1. a3b3-a2b-ab ab(a2b2-a-1)
2. -9x2y+3xy2-6xy -3xy(3x-y+2)
在横线内填上适当的式子，使等式成立： （1）（x+5)(x-5)= （2）（a+b)(a-b)= （3） x2-25 = (x+5)( （4） a2-b2 = (a+b)( x2-25 a2-b2 x-5 a-b ; ; ); )。
2
2
= (a ▲ + b )( a b) ▲
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号， 并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数 的差的形式。
你对平方差公式认识有多深？
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
进一步分解因式。
4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简，
直到不能再分解为止。
小试身手
把下列各式分解因式:
(1) (2) 2 2 2 解：(1) 36-25x =6 -(5x) =(6+5x)(6-5x) (2) 16a2-9b2 =(4a)2-(3b)2 =(4a+3b)(4a-3b)
因式分解的9种方法
1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：0322=-x x解：x(2x-3)=0， x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式,这对我们后面的学习有帮助。
2. 公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。
注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。
例二：42-x 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3. 十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b ，即a 1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。
利用平方差公式进行因式分解
利用平方差公式进行因式分解引言：小学的时候，就经常会学到一个经典的数学公式——平方差公式。
这个公式不仅可以用来求解二次方程，还可以用来进行因式分解。
今天，我们就来探究一下，如何利用平方差公式进行因式分解。
一、什么是平方差公式？平方差公式，顾名思义，就是求两个数的平方差的公式。
具体表达式为：（a+b）×（a-b）=a² - b²。
其中，a、b为任意数字。
二、平方差公式在因式分解中的应用了解了平方差公式的概念之后，我们就可以开始探讨如何利用平方差公式进行因式分解了。
平方差公式中有两个参数a和b，我们可以将其代入因式中进行拆分。
举个例子，我们将因式4x² - 16拆分一下。
不难发现，4x²可以写成2x的平方，而16可以写成4的平方。
因此，将4x² - 16代入平方差公式中，可以得到：（2x+4）×（2x-4）这样，原来比较难处理的因式就被我们成功地拆分了。
三、平方差公式拆分因式的好处平方差公式不仅可以用来拆分因式，而且还有很多的好处。
首先，平方差公式可以大大简化计算，快速求出答案。
其次，利用平方差公式拆分因式可以帮助我们更好地理解数学概念。
例如，举上述因式4x² - 16为例，我们可以通过拆分因式，更加深刻地理解2x的平方与4的平方之间的关系，从而更好地牢记这个知识点。
最后，因为平方差公式是一种通用的方法，可以在各种数学问题中灵活运用。
四、使用平方差公式拆分因式的技巧使用平方差公式来拆分因式，需要掌握一些技巧。
首先，我们需要在因式中找出能够代入平方差公式的两个参数a和b。
在这个过程中，我们需要注意到一些特殊的形式，例如三角形、完全平方数等。
其次，我们需要善于利用因式之间的联系。
例如，在平方差公式中，b²通常是另一个因式的平方，因此我们可以利用这个关系，快速拆分因式。
第三，我们需要根据具体问题的需要，选取合适的平方差公式进行拆分。
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《因式分解之平方差公式》教学设计
教学目标：
1．能够运用平方差公式进行因式分解；
2．会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解。
教学重难点：
1、理解因式分解的平方差公式的特征；
2、会准确找到多项式中对应公式中a ，b 的部分并进行因式分解。
教学过程：
一、课前复习
1、什么叫因式分解？
2、什么是提公因式法？
3、热身练习：
二、旧知回顾
1、平方差公式是 ；
2、平方差公式倒过来是 。
3、平方差公式倒过来后能把一个多项式因式分解吗？
三、学习活动一：认识平方差公式
1、如何对 和 进行因式分解？能用提公因式法吗？
2、因式分解的平方差公式： 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
3、初步认识平方差公式的特点：
下列多项式中哪些能用平方差公式来分解因式？
学生进行选择，平时当说明理由。
四、学习活动二：理解平方差公式
1、什么样的式子能够用平方差公式进行因式分解？请你举例说明。
（1）学生分别举出能够进行用平方差公式因式分解的式；
（2）学生归纳：具备什么特征的式子能够用平方差公式进行因式分解？
特点：①具备两个平方项，且符号相反（一正一负）；②写成两个数的平方差的形式（正在前负在后）
2、解决问题：你能将 和 进行因式分解吗？
3、方法归纳：（1）找到平方项对应的底数（a 和b ）；（2）写成这两个底数的和乘以它们的差。
五、例题讲解
1、例题1
2、练习提高：
3、例题2
)
()(3482b a x b a ab c ab -----24-x 225-y 22-+-a b a b a b =（）（）
2
2222222)4()3()2()1(y x y x y x y x --+--+24-x 225-y 2249)1(x y -2
224
9494)3(2516)2(b a n --2249)4(y x +-22125
-a b ；2136-+b ；()()2
2p x p x --+3
344)2()1(ab b a y x --b a ab 33164)3(-
4、进行因式分解要注意什么问题？
（1）先提公因式，再用公式（一提二用）
（2）分解要彻底。
（三查）
5、练习提高
六、课堂小结
本节课你学到了什么？怎样利用平方差公式进行因式分解？
七、当堂检测
1、下列二项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
2、将下列式子进行因式分解： y y x 42-2
2821b a -2
222
2224.4.4.4.y x D y x C x y B y x A ---+-+()222322
222)5(16)4(434
81916)2(9)1(x y x x
x y x b a b a ---++--）（。