2021-2022年高二数学下学期第一次月考试题4月试题文
四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学(理)试题
德阳五中高2021级高二下期4月月考数学试卷（理）（总分150分 答题时间120分钟）1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至12题，第Ⅱ卷13——22题，共150分。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卷上，答在试卷上的无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一. 选择题：(每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答案填涂在答题卡上)1．复数12z =，则1z =（ ）A.122i + B.122− C.122−+ D.122i −− 2．在等比数列{}n a 中，已知1394,256a a a ==，则8a 等于（ ） A ．128B ．64C ．64或−64D ．128或−1283. 函数()2ln 2f x x x =−的单调递增区间是（ ）A. 11,22⎛⎫− ⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）A ．384πB ．392πC ．398πD ．404π6.已知平面向量)1,(),2,1(m b m a =−+=，若b a ⊥，则=m （ ） A.2− B.1 C.2−或1 D.0或17．命题p ：已知一条直线a 及两个不同的平面α，β，若a α⊂，则“a β⊥”是“αβ⊥”的充分条件；命题q ：有两个面相互平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台．则下列为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．()p q ∧⌝C ．p q ∧D ．()p q ⌝∨8．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到cos y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度9．我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行，则绳索长为（ ） A．B ．C ．D ．10.已知,a b 为正实数，直线2y x a =−与曲线ln()y x b =+相切，则12a b+的最小值是（ ）A. 8B. C. 6D. 11.椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左,右焦点为21,F F ，且a b F F 2221=，点P 是椭圆C 上异于左右端点的一点，若M 是21F PF ∆的内心，且2211MPF F MF MPF S mS S ∆∆∆−=，则实数=m （ ）A.25+B.25−C.25−−D.25+− 12.已知xxx f ln )(=，若关于x 的方程020242023)()20232024()]([2=−+−+m x f m x f 有三个不同的实根321,,x x x 且321x x x <<，则)](1)][(1[)](1[321x f x f x f −−−的值为 ( )A.20242023lnB.20232024ln C.1− D.1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上. 13.πsin d x x =⎰14.已知复数i z )53(cos sin 54−+−=θθ为纯虚数（其中i 是虚数单位），则=θtan .15.若点),(y x P 是曲线132322=++y xy x 上的点，则22y x +的最小值为 . 16．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD −中，AB ⊥平面BCD ，CD AD ⊥，AB BD ==E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B______.三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分）已知函数13)(3−−=ax x x f 在1−=x 处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）当]1,2[−∈x 时，求)(x f 的最小值.18.（12分）某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.赛前，小明､小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下䘚记录了两人在封闭强化训练期问每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a 忘了记录，但知道3660≤≤a ，∈a Z .（1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；（2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y 关于序号x 的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数a 的值.参考公式：回归方程ˆˆˆ=+ybx a 中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为 ()()()1122211ˆˆˆ,.====−−−===−−−∑∑∑∑n niii ii i nni ii i x x y y x y nxybay bx x x xnx 参考数据：222222116220320425530636582;12345691⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++=.19.（12分）如图,在直三棱柱111ABC A B C −中,90,2,1,ABC CA CB M ∠===是1CC 的中点,1AM BA ⊥.(1)求1AA 的长;(2)求直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值.20.（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3212x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为4cos 6sin ρθθ=+.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于点M N ，，点A 的坐标为(3,1)，求AM AN +.21．（12分）在圆22:1O x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ，点Q 满足2DQ PQ =．当点P 在圆O 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 与y 轴正半轴交点为A ，不过点A 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，若0AM AN ⋅=，试探究直线l 是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．22．（12分）已知函数()21x f x e x =−． （1）判断函数()f x 的零点个数； （2）若()22ln a x af x x x≥+，求a 的值． CMC 1B 1BA 1A德阳五中高2021级高二下期4月月考数学（理）参考答案题号123456789101112答案BDBCACBABAAD13、214、43-15、2116、3π17．解：（1）()()22333f x x a x a '=-=-，∵()f x 在1x =-处取得极值，∴()()213130f a '-=⨯--=，解得：1a =；经检验，当1a =时满足题意，所以1a =．（2）由（1）得：()331f x x x =--，()2330f x x '=-=，解得：1x =±，()f x 和()f x '随x 的变化情况如下表：x－2()2,1--－1()1,1-1()f x '9＋0－0()f x －3单调递增1单调递减－3所以()f x 的最小值为－3．18.解（1）因为3660≤≤a ，且∈a Z .所以a 的取值共有25种情况.又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，在5711==+≥∑∑ii i i ya z .即16202025303616222526323535++++++≥++++++a ，得44≥a .所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，a 的取值共有17情况.所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为1725.（2）由题设可知61116220320425530636582==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑iii x y，123456716202025303649,6262++++++++++====x y .所以7495826274927722ˆˆ,114972729164-⨯⨯===-=-⨯=-⨯ ba y bx ，所以y 关于序号x 的线性回归方程为27117y x =+.当7=x 时，27711387y =⨯+=，估计小明第7天成功次数a 的值为38.19解(1)取1BB 中点N ,连接,MN AN ,则//M N BC ,1BB ⊥ 平面1,ABC BB BC ∴⊥,又,BC BA BC ⊥∴⊥平面11ABB A ,故M N ⊥平面11,ABB A AN 即为AM 在平面11ABB A 内的射影,又11,AM BA BA AN ⊥∴⊥,故Rt 11Rt ,BN ABABN A AB AB AA ∴= ,而1413,26AB AA AB =-=∴==;(2)连接1AB ,由(1)知11B C ⊥平面11ABB A ,故11C AB ∠为直线1AC 与平面11ABB A 所成角,111111106410,1,sin ,.1010AC B C C AB ∠=+==∴=即所求角的正弦值为20解()1因为曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ∴2246x y x y +=+，化简得,曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=.（2）把直线232:212x t l y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C 得2222121322t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21．解：（1）设点()00,P x y ，(,)Q x y ，2DQ PQ = ，0012x x y y⎧=⎪∴⎨⎪=⎩，2201x y += ，2214x y +=．（2）由（Ⅰ）知(0,1)A ，设()11,M x y ，()22,N x y ，由0AM AN ⋅= ，()()()()11221212,1,1110AM AN x y x y x x y y ∴⋅=-⋅-=+--=．当直线l x ⊥轴时，MAN △为钝角三角形，且90MAN ∠<︒，不满足题意．∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为：y kx b =+，由2244y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，化简得：()222148440k x kbx b +++-=，()()22222206441444014k b k b b k ∆>⇒-+->⇒<+，122814kbx x k-+=+，21224414b x x k -=+，()22121212(1)(1)AM AN x x k x x k b x x b ∴⋅=++-++-，()()()22222222144(1)148(1)0141414k b b k k b b k k k +--+-=-++++()()()222221448(1)(1)140k b k b b b k ∴+---+-+=，35b =-．∴直线I 的方程为：35y kx =-，恒过点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．22．解：（1）因为()21xf x e x =-，该函数的定义域为{}0x x ≠，且()221x x e f x x -=，令()21xg x x e =-，所以()()2x g x x x e '=+.当(),2x ∈-∞-时，()0g x '>，所以()g x 在(),2-∞-上单调递增；当()2,0x ∈-时，()0g x '<，所以()g x 在()2,0-上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增；因为()22410g e --=⋅-<，()010g =-<，()110g e =->，所以()g x 有且只有一个零点，即()f x 有且只有一个零点；（2）因为()22ln a x af x x x≥+，所以2212ln xa x a e x x x-≥+，则212ln 0x x e a x ax ---≥，即()22ln 10x x x e a x e -->，令2x t x e =，其中0x >，则()220xt x x e '=+>，所以，函数2x t x e =在()0,∞+上单调递增，当0x >时，20x t x e =>，令()ln 1h t t a t =--，则()0h t ≥对任意的0t >恒成立，因为()10h =，()()min 10h t h ∴==，且()1a t a h t t t-'=-=.①若0a ≤，则()0h t '>对任意的0t >恒成立，所以，函数()h t 在()0,∞+上为增函数，此时函数()h t 无最小值，不合乎题意；②若0a >，由()0h t '<，可得0t a <<，此时函数()h t 单调递减，由()0h t '>，可得t a >，此时函数()h t 单调递增，所以，()()min h t h a =，所以，1a =.综上所述，1a =.。
2021-2022学年吉林省白山市抚松县高二年级下册学期第一次月考数学试题(平行班)【含答案】
2021-2022学年吉林省白山市抚松县高二下学期第一次月考数学试题（平行班）一、单选题1．某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有（ ） A ．54种 B ．45种C ．45C 种D ．45A 种A根据分步乘法计数原理，根据题中条件，可直接得出结果.【详解】将5封不同的信，通过4个不同的信箱邮寄，每封信都有4种不同的投递方法， 因此总的不同的投递方法共有：54种. 故选：A.2．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A ．110B ．310 C ．35D ．910D【详解】试题分析：从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，共有基本事件3510C =种，则全取红球的基本事件只有一种，所以所取3个球中至少有1个白球的概率为1911010-=，故选D. 古典概型及其概率的计算.3．设函数2e ()(1)1=++'xf x f x x ，则(1)f =（ ）A ．e 4-B ．e 4C ．e2D ．3e4B【分析】对()f x 求导得2e ()2(1)(1)=++''xx f x xf x ，令1x =，求出(1)f '，代入()f x 即可求出(1)f 的值.【详解】2e ()2(1)(1)=++''xx f x xf x ． 令1x =，则e (1)2(1)4+'='f f ，则e (1)4'=-f ，所以2e e()14x f x x x =-+ 所以e e e(1)244=-=f ．故选：B.4．随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝()1c k k +，c 为常数，k ＝1,2,3,4，则15P(X )22<<的值为( ) A ．45B ．56C ．23D ．34B【详解】由已知，261220c c c c +++＝1，解得c ＝54，∴()()155P X P X 1P X 222266c c ⎛⎫<<==+==+= ⎪⎝⎭. 5．函数f （x ）＝ln ||xx 的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．C【分析】根据函数解析式及奇偶性的定义判断()f x 的奇偶性，再由(0,1)上ln ||ln 0x x =<知()f x 的大致图象.【详解】根据题意， ()ln ||xf x x =，其定义域为{|0x x ≠且1}x ≠±， ∴()()ln ||xf x f x x -=-=-，则()f x 为奇函数，排除A 、D ， 在区间(0,1)上，ln ||ln 0x x =<，必有()0f x <，排除B ， 故选：C.6．设随机变量,X Y 满足2Y X b =+(b 为非零常数)，若()()4,32E Y b D Y =+=，则()E X 和()D X 分别等于（ ） A ．4,8 B ．2,8 C ．2,16 D ．2,16b +B【分析】利用满足线性关系的两随机变量的均值、方差关系的计算公式即可求得. 【详解】因为随机变量,X Y 满足2Y X b =+，所以()2(4E Y E X b b =+=+）， ()2E X ∴=； ()(),432D Y D X ==()8D X ∴=.故选：B.若随机变量,X Y 满足Y kX b =+，他们的期望和方差分别满足：()()2,((E Y kE X b D Y k D X =+=））7．今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过20218天后是（ ） A ．星期六 B ．星期日 C ．星期一 D ．星期二C【分析】求出20218除以7的余数，可得结论．【详解】2021202102021120202020202120212021202120218(71)777C C C C =+=⋅+⋅+⋯+⋅+，故它除以7的余数为202120211C =， 故经过7天后还是星期日，那么经过20218天后是星期一， 故选：C ．本题主要考查二项式定理的应用，整除问题，考查运算求解能力．8．己知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()f x f x '<且(3)f x +为偶函数，(6)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（ ） A ．(3,)-+∞ B ．(1,)+∞ C ．(0,)+∞ D ．(6,)+∞C【分析】构造函数()()xf xg x e=，求导()()()0x f x f x g x e '-'=<，从而得()g x 在定义R 上单调递减；又()x f x e <⇔0()(0)x f x f e e<，从而有()(0)g x g <，利用()g x 的单调性即可求解．【详解】令()()xf xg x e =， ()()f x f x '<， ()()()0xf x f xg x e '-∴'=<， ()g x ∴在定义R 上单调递减；①又(3)f x +为偶函数，(3)(3)f x f x ∴+=-，()(0)6f f ∴=1=， 0(0)(0)1f g e ∴==， 则不等式()x f x e <⇔0()(0)x f x f e e<，即()(0)g x g <， 由①得0x >， 故选：C ． 9．令()202022019202012320202021(1)R x a a x a x a x a x x +=+++++∈，则23202022019a a a ++++20212020a =（ ）A ．201920192⋅B ．202020192⋅C ．201920202⋅D ．202020202⋅C【分析】对所给等式，两边分别求导，再令1x =，可得结论．【详解】解：由题可知，+12020rr a C =，对()202022019202012320202021(1)R x a a x a x a x a x x +=+++++∈等式，两边分别求导可得：32019220192214022020(1)232020x a a x a x a x +=++++，所以，32019220192214022020(1)232020x a a x a x a x +=++++令1x =，有：201920202⨯=23202022019a a a ++++20212020a ，故选：C ． 10．若函数()21()21ln 2f x x x b x =---在定义域上单调递增，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞ C ．[)0,+∞ D ．(],0-∞D【分析】函数()21()21ln 2f x x x b x =---在定义域上单调递增等价于()0f x '≥在()0+∞，上恒成立，即2210x x b x--+≥在()0+∞，上恒成立，然后易得()2min21b x x ≤-+，最后求出范围即可.【详解】函数()21()21ln 2f x x x b x =---的定义域为()0+∞，， 2121()2b x x b f x x x x---+'=--=， ()21()21ln 2f x x x b x =---在定义域上单调递增等价于()0f x '≥在()0+∞，上恒成立， 即2210x x b x--+≥在()0+∞，上恒成立，即2210x x b --+≥在()0+∞，上恒成立， 分离参数得221b x x ≤-+，所以()2min 210b x x ≤-+=，即(],0b ∈-∞.方法点睛：已知函数的单调性求参数的取值范围的通解：若()f x 在区间(),a b 上单调递增，则()0f x '≥在区间(),a b 上恒成立；若()f x 在区间(),a b 上单调递减，则()0f x '≤在区间(),a b 上恒成立；然后再利用分离参数求得参数的取值范围即可.11．安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有 A ．30种 B ．40种 C ．42种 D ．48种C利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉A 照顾老人甲的情况和B 照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的A 照顾老人甲的同时B 照顾老人乙的情况，从而得到结果.【详解】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：2264C C 90=种安排方法其中A 照顾老人甲的情况有：1254C C 30=种B 照顾老人乙的情况有：1254C C 30=种A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有：1143C C 12=种∴符合题意的安排方法有：9030301242--+=种本题正确选项：C本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.12．若242log 42log a b a b +=+，则（ ） A ．2a b > B ．2a b < C ．2a b > D ．2a b <B【分析】设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.【详解】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b ba b b +=+=+所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b b b b +-+21log 102==-<， 所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B. 【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题. 二、填空题13．设n 是正整数，化简1231242n nnn n n C C C C -++++=___________.312n - 【分析】对已知式子进行变形，根据二项式定理进行求解即可.【详解】设1231242n nn n n n n C C C C S -++++=，12233001223322222222221n n n nn n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-，所以有312(12)1312n nnn n S S -=+-=-⇒=，故312n -14．函数2()ln 22a x f x x x =--（a ∈R ）在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦内不存在极值点，则a 的取值范围是_______________．1,[3,)16⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦． 【分析】将函数在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦内不存在极值点，转化为函数为单调函数，求导利用导数()0f x '或()0f x '恒成立即可求解.【详解】解：∵函数2()ln 22a x f x x x =--（a ∈R ）在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦内不存在极值点，∴函数()f x 在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增或单调递减，∴()0f x '或()0f x '在1,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒成立，∵214()2222a x x af x x x x--'=--=， 令2()4g x x x a =--，二次函数的对称轴为18x， ∴2min111()48816g x a a ⎛⎫=⨯--=-- ⎪⎝⎭，2max ()4113g x a a =⨯--=-，当()0f x '时，需满足1016a --，即116a -， 当()0f x '时，需满足30a -，即3a ， 综上所述，a 的取值范围为1,[3,)16⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．故1,[3,)16⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．15．函数31()3f x x x =-+在（a,10-2a ）上有最大值，则实数a 的取值范围是 ．[)2,1-【详解】要满足题意即函数的最大值必是区间上的极大值．由已知()()()2'111f x x x x =-+=-+-，当()'0f x >时，11x -<<， 当()'0f x <时，1x <-或1x >； 所以1x =是函数的极大值点，则由题意得：()2110;()1a a f a f <<-≤，解得21a -≤<三、双空题16．某人从甲地到乙地，乘火车､轮船､飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率是___________；如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是___________. 0.18950 49【分析】根据题意利用全概率公式，可求得这个人迟到的概率，再根据贝叶斯公式可求得他乘轮船迟到的概率.【详解】解：设事件A 表示“乘火车”，事件B 表示“乘轮船”，事件C 表示“乘飞机”，事件D 表示“迟到”，则()()()0.2,0.4,0.4P A P B P C ===， ()0.5P D A =，()()0.2,0P D B P D C ==，()()()D D A D B D C =⋂⋃⋂⋃⋂，由全概率公式，可得这个人迟到的概率()0.20.50.40.20.400.18P D =⨯+⨯+⨯=， 如果这个人迟到了，由贝叶斯公式可得他乘轮船迟到的概率 ()()()0.40.240.189P D B P B D P D ⋂⨯===. 故0.18；49.四、解答题17．4名男生和4名女生（包含甲、乙）站成一排表演节目． (1)若这4名女生不能相邻，有多少种不同的排法？(2)已知这4名女生身高互不相等，若按身高从高到低排列，则有多少种不同的排法？ (3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ (1)2880种 (2)1680种 (3)30960种【分析】（1）先排4名男生，再将4名女生插入4名男生产生的5个空中，由插空法可得答案.（2）由定序法可得答案.（3）分甲站在右端和甲不站在右端两种情况分别计算，再求和即可. 【详解】(1)先排4名男生，再将4名女生插入4名男生产生的5个空中.所以这4名女生不相邻的排法有4445A A 241202880⋅=⨯=种．(2)这4名女生按身高从高到低的排法有8844A 1680A =种． (3)①甲站在右端，其余7人全排列，有77A 5040=种排法，②甲不站在右端，有6种排法，乙有6种排法，其余6人全排，有6666A 25920⨯⨯=种排法．故一共有50402592030960+=种排法．18．甲，乙两名羽毛球爱好者进行杀球训练，甲每次杀球成功的概率为23，乙每次杀球成功的概率为35．已知甲、乙各进行2次杀球训练，记X 为甲、乙杀球成功的总次数，假设甲、乙两人杀球是否成功相互没有影响，且每次杀球训练相互独立． (1)求2X =的概率；(2)求X 的分布列及数学期望． (1)73225(2)分布列见解析，数学期望为3815【分析】（1）分别求得甲2次杀球成功，且乙2次杀球失败的概率、甲2次杀球恰有1次成功，且乙2次杀球恰有1次成功的概率和甲2次杀球失败，且乙2次杀球成功的概率，加起来即可求出答案.（2）随机变量X 的所有取值是0，1，2，3，4，并求得相应的取值的概率即可得到分布列与期望.【详解】(1)甲2次杀球成功，且乙2次杀球失败的概率2212316135225⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P ， 甲2次杀球恰有1次成功，且乙2次杀球恰有1次成功的概率11222213216C C 335575=⨯⨯⨯⨯⨯=P ， 甲2次杀球失败，且乙2次杀球成功的概率22323113525⎛⎫⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P ，故2X =的概率12316161732257525225=++=++=P P P P ． (2)由题意可知X 的所有取值是0，1，2，3，4．22234(0)1135225⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P X ，22112222323328(1)1111335355225P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-+⨯-⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()732225P X ==22112223322328(3)C 1C 135533575⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P X ，22234(4)3525⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P X ．则X 的分布列为故4287328438()01234225225225752515=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=E X ．19．已知在二项式()22,nnn n N x ⎫≥∈⎪⎭的展开式中，前三项系数的和是97.（1）求n 的值；（2）求其展开式中所有的有理项.（1）8；（2）共有5项，分别为41T x =，3112T x =，251120T x -=，571792T x -=，89256T x -=. 【分析】（1）求出通项公式，可以得到前3项系数和可得答案； （2）求出1k T +若为有理数，当且仅当832k-为整数即0,2,4,6,8k =时可得答案.【详解】依题意：()2122kn kn kk k k k k nn T C C x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()()3220,1,n k kk nC xk n -=-=⋅⋅⋅，（1）∵前3项系数和是97，∴1212497n n C C -+=，解得8n =或6n =-（舍），∴8n =.（2）若1k T +为有理数，当且仅当832k-为整数时， ∵08k ≤≤，k Z ∈， ∴0,2,4,6,8k =，∴展开式中的有理项共有5项，分别为41T x =，3112T x =，251120T x -=，571792T x -=，89256T x -=.20．已知函数()322(R f x x ax bx a =+++∈，R)b ∈在1x =-处取得极值7.(1)求a ，b 的值；(2)求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值．(1)3,9a b =-=-；(2)最大值为7，最小值为20-.【分析】（1）对函数求导，根据(1)7(1)0f f -=⎧⎨'-=⎩求出参数a ，b 的值； （2）由（1）可得()3(1)(3)f x x x '=+-，研究其在[]2,2-上的符号，进而确定()f x 的单调性，再求出闭区间上的最值.【详解】(1)由题设，2()32f x x ax b '=++，又1x =-处取得极值7.所以(1)17(1)320f a b f a b -=-+=⎧⎨'-=-+=⎩，可得3,9a b =-=-.经检验，满足题意. (2)由（1）知：2()3693(1)(3)f x x x x x ==+'---，在[2,1)--上()0f x '>，()f x 递增；在(1,2]-上()0f x '<，()f x 递减；在[]2,2-上的最大值为(1)7f -=，而(2)0f -=，(2)20f =-，故在[]2,2-上的最小值为(2)20f =-，综上，[]2,2-上最大值为7，最小值为20-.21．冬奥会志愿者有6名男同学，4名女同学.在这10名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7所大学.现从这10名志愿者中随机选取3名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等).(1)求选出的3名同学是来自互不相同的大学的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的期望和方差. (1)4960； (2)()65E X =，()1425D X =. 【分析】（1）利用古典概型概率公式求出即可.（2）由题可知346310()(0,1,2,3)k k C C P X k k C -===，即得分布列，再利用期望，方差公式计算即得.【详解】(1)设A 为选出的3名同学是来自互不相同的大学，则()120337373104960C C C C P A C +==； (2)由题可知随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.()()03124463311600110,1,62C C C C P X P X C C ====== ()()21304463361010312,3,1030C C C C P X P X C C ====== X ∴的分布列为：∴ ()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ()222261616361140123565251053025D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 22．已知函数321()e1(0)32-=--+>x ax ax f x x x 有两个极值点()1212,x x x x <． (1)求a 的取值范围．(2)证明：122x x +>．(1)(1,)+∞；(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得函数1()e (0)-=->x h x ax x 在(0,)+∞上存在两个零点，利用导数研究函数的性质，进而可得(ln 1)ln 0+=-<h a a a ，即得；（2）由题可得12121ln ln x x x x -=-，进而可知即证221121112ln x x x x x x +->，通过换元，构造函数ln 1()(1)21-=->+t t F t t t ，利用导数即得.【详解】(1)由321()e 1(0)32-=--+>x ax ax f x x x ，得()1()(1)e -+'=-x f x x ax ． 记1()e (0)-=->x h x ax x ，由题意知，()h x 在(0,)+∞上存在两个零点， 则1()e -=-'x h x a ，当0a ≤时，()0,()h x h x '>在(0,)+∞上单调递增，不符合题意， 故0a >，令()0h x '=，解得ln 1x a =+，则()h x 在(0,ln 1)+a 上单调递减，()h x 在(ln 1,)++∞a 上单调递增， 所以(ln 1)ln 0+=-<h a a a ，则1a >，所以a 的取值范围为(1,)+∞．(2)由（1）可知121112e 0e 0x x ax ax --⎧-=⎨-=⎩， 则11221ln ln ,1ln ln ,x a x x a x -=+⎧⎨-=+⎩两式相减可得12121ln ln x x x x -=-． 要证122x x +>，即证1221212ln ln x x x x x x +->-．即221121112ln x x x x x x +->． 令21(1)x t t x =>，即ln 1(1)21t t t t ->>+， 设ln 1()(1)21-=->+t t F t t t ．则222111(1)()02(1)2(1)+-+-=-=>++'t t t F t t t t t ， 所以()F t 在区间(1,)+∞上单调递增，则()(1)0F t F >=， 即ln 1(1)21t t t t ->>+， 故122x x +>成立．。
陕西省西安市周至县重点中学2022-2023学年高二下学期4月月考文科数学试题及参考答案
高二数学（文科）一､单选题（共12题，每题5分）1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个是偶数”的正确假设为（ ）A.自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数B.自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a ，b ，c 都是奇数D.自然数a ，b ，c 都是偶数2.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：由表中数据得线性回归方程：2ˆˆyx a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ）A.56千瓦·时B.62千瓦·时C.64千瓦·时D.68千瓦·时3.抛掷一枚均匀骰子2次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不相互独立的是（ ）A.第二次得到6点B.第二次的点数不超过3C.第二次的点数是奇数D.两次得到的点数和是124.现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20名市民，得到如下22⨯列联表：附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.P （K 2≥k ） 0.250.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ）A.没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B.有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D.可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”5.已知事件A ，B 相互独立，P （A ）=0.4，P （B ）=0.3，给出下列四个式子：①P （AB ）=0.12；②P （A B ）=0.18；③P （A B ）=0.28；④P （A B ）=0.42.其中正确的有（ ） A.4个 B.2个 C.3个 D.1个6.已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（ ）A.0.5B.0.6C.0.4D.0.27.甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6，0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（ ） A.0.45 B.0.6 C.0.65 D.0.75 8.证明不等式112(2)a a a a a +-<---≥所用的最适合的方法是（ ） A.综合法 B.分析法 C.间接证法 D.合情推理法9.执行如图所示的程序框图输出的结果是（ ）A.8B.6C.5D.310.一份数学单元试卷中有4个填空题，某同学答对每个题的概率都是45，那么，4个题中答对2个题的概率是（ ） A.16625 B.96625 C.192625 D.25662511.将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为（ ）A.811B.809C.807D.80512.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”.就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯（底面圆的周长的平方⨯高），则由此可推得圆周率π的取值为（ ） A.3 B.3.1 C.3.14 D.3.2二､填空题（共4题，每题5分）13.复数i(12i)z =-（i 是虚数单位）的实部为__________.14.如图，EFGH 是以O 为圆心､半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）()P A =___________（2）()P B A =__________.15.“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数.现给出一组数：11315,,,,228432---，…，则第8个数可以是___________. 16.现有A ，B 两队参加关于“十九大”知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢一分，答错得0分.A 队中每人答对的概率均为23，B 队中3人答对的概率分别为221,,332，且各答题人答题正确与否之间互无影响，若事件M 表示A 队得2分“，事件N 表示”B 队得1分“，则P （MN ）=___________. 三､解答题（共6题）17.（10分）已知m R ∈，复数()()22231i z m m m =--+-. （1）实数m 取什么值时，复数z 为实数､纯虚数；（2）实数m 取值范围是什么时，复数z 对应的点在第三象限.18.（12分）某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A 类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B 类同学），现用分层抽样方法（按A 类､B 类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学.如果以身高达到165厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：（1）完成上表；（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（2K 的观测值精确到0.001）.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，参考数据：19.（12分）（1）若,x y 都是正实数，且2x y +>，求证：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立.（2）求证：()n N *>∈20.（12分）甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： （1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶； 21.（12分）求证：（1）222a b c ab ac bc ++≥++；（2）>22.（12分）某单位为了了解用电量y 度与气温C x 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温. C 量(度)（1）求线性回归方程；（参考数据：442111120,440i ii i i x yx ====∑∑）（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10C ︒时的用电量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-⋅=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅.高二数学（文科）答案1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】A 10.【答案】B11.【答案】B 12.【答案】A13.【答案】2 14.【答案】（1）.2π（2）.1415.【答案】13216.【答案】108117.【答案】（1）3m =（2）(1,1)m ∈-【解析】（1）由虚部为0求得使z 为实数的m 值，再由实部为0且虚部不为0求得使z 为纯虚数的m 值； （2）由实部与虚部均小于0求解. 解：（1）当210m -=，即1m =±时，复数()()22231z m m m i =--+-为实数；当2223010m m m ⎧--=⎨-≠⎩，即3m =时， 复数()()22231z m m m i =--+-是纯虚数；（2）由题意，2223010m m m ⎧--<⎨-<⎩，解得11m -<<. ∴当(1,1)m ∈-时，复数z 对应的点在第三象限.本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题.18.【答案】（1）（2）不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系.【解析】（1）由分层抽样的计算方法可求得积极参加锻炼与不积极参加锻炼的人数，填入表格中，根据表格中的总计及各项值求出其它值即可；（2）由公式计算出2K，与参考数据表格中3.841作比较，若小于3.841则不可以，若大于3.841则可以.（1）填写列联表如下：（2）K2的观测值为22100(40153510)75255050K⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈1.333<3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系.本题考查独立性检验，根据抽样方法进行计算填表，将数值代入公式求出2K，注意保留三位小数，注意观测值与概率之间的大小关系与趋势.19.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立.（2）采用分析法从要证的结果入手去证明不等式即可.解析：（1）假设1x y +<2和1y x +<2都不成立，即1x y +≥2和1yx+≥2同时成立.∵x >0且y >0，∴1+x ≥2y ，且1+y ≥2x .两式相加得2+x +y ≥2x +2y ，∴x +y ≤2.这与已知条件x +y >2矛盾，∴1x y +<2和1yx+<2中至少有一个成立.（2）原式子等价于)*n N >∈，两边平方得到()4122221n n n n +>+++>+>22212n n n n -++>+，得证.20.【答案】（1）0.72（2）0.26（3）0.0221.【解析】分析：（1）利用基本不等式，即可证得222a b c ab bc ac ++≥++； （2）根据题意，利用分析法证明，寻找使不等式成立的充分条件即可. 详解：（1）2222222,2,2a b ab a c ac b c bc +≥+≥+≥，222a b c ab bc ac ∴++≥++；（2）要证>，只要证22>，只要证1313+>+只要证>只要证4240>，显然成立，故>点睛：本题主要考查了均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 22.【答案】（1）250y x =-+. （2）30度.【解析】分析：（1）求出,x y 的均值，再由公式，计算出系数的值，即可求出线性回归方程；10x =代入线性回归方程，计算出y 得值，即为当气温为10C 时的用电量.详解：（1）4421110,30,1120,440,2i ii i i x y x yx b ======∴=-∑∑把(10,30)代入回归方程得30210a =-⨯+，解得50a =.∴回归方程为250y x =-+；（2）当10x =时，30y =，估计当气温为10C 时的用电量为30度.点睛：本题主要考查了线性回归分析的实际应用问题，其中根据最小二乘法求解回归系数是解答的关键和计算的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.。
2021-2022学年河南省灵宝市高二年级下册学期第一次月考数学(文)试题【含答案】
2021-2022学年河南省灵宝市高二下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．复数）z A ．-1B ．1C ．D ．i -i【答案】A【分析】利用复数模长与四则运算进行计算即可.【详解】，所以虚部为-1.()()()21i 1i 1i 1i z -==-+-故选：A2．如图5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）(,)x y (3,10)D A ．相关系数r 变大B ．相关指数变大2R C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【答案】C【分析】去掉离群点D 后，结合散点图对各个选项进行判断得解.【详解】解：由散点图知，去掉离群点D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关，所以相关系数r 的值变大，故选项A 正确；相关指数的值变大，残差平方和变小，故选项B 正确，选项C 错误；2R 解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，故选项D 正确.故选：C ．3．用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”；命题332p q +=2p q +≤2p q +>②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是24x =2x =-2x =2x ≠-2x ≠A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确【答案】C【详解】分析：利用命题的否定的定义判断即可.详解：①的命题否定为，故①的假设正确.2p q +≤2p q +>或”的否定应是“且”② 的假设错误，2x =-2x =2x ≠-2x ≠所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.4．关于下面几种推理，说法错误的是（ ）A ．“由金､银､铜､铁可导电，猜想：金属都可以导电.”这是归纳推理B ．演绎推理在大前提､小前提和推理形式都正确时，得到的结论不一定正确C ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质是类比推理D ．“椭圆的面积，则长轴为4，短轴为2的椭圆的面积.”这是演22221(0)x y a b a b +=>>S ab π=2S π=绎推理【答案】B【分析】根据归纳推理和演绎推理以及类比推理的概念逐个判断可得结果.【详解】对于，“由金､银､铜､铁可导电，猜想：金属都可以导电.”这是归纳推理，说法正确；A 对于，演绎推理在大前提､小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确，所以说法错误；B 对于，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质是类比推理，说法正确；C 对于，“椭圆的面积，则长轴为4，短轴为2的椭圆的面积.”D 22221(0)x y a b a b +=>>S ab π=2S π=这是演绎推理，说法正确.故选：B.【点睛】本题考查了归纳推理和演绎推理以及类比推理的概念，属于基础题.5．在平面内，点到直线的距离公式为()00,x y 0Ax By C ++=d 可求得在空间中，点到平面的距离为（ ）()2,1,2210x y z ++-=A ．BCD ．3【答案】B【分析】类比得到在空间，点到直线的距离公式,再求解.()000,x y z ，0Ax By Cz D +++=【详解】类比得到在空间，点到直线的距离公式为()000,x y z ，0Ax By Cz D +++=d所以点到平面的距离为.()2,1,2210x y z ++-=d 故选B【点睛】本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6．下列使用类比推理正确的是A ．“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”B ．“若，则”类比推出“若，则”12x x+=2212x x +=2212x x -=C ．“实数，，满足运算”类比推出“平面向量满足运算”a ()()abc a bc =,,a b c ()()a b c a b c ⋅=⋅ D ．“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”【答案】D【分析】根据类比结果进行判断选择.【详解】因为空间中平行于同一平面的两直线位置关系不定，所以A 错；因为“若，则”，所以B 错；12x x -=22112x x x =-≠因为，所以C 错；()()a b c a b c ⋅≠⋅ 因为正方体的内切球切于各面的中心，所以正确.选D.D 【点睛】本题考查线面位置关系判断、向量运算律以及正方体性质，考查基本分析判断能力，属基础题.7．在数学课堂上，张老师给出一个定义在上的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这R ()f x 个函数的一条性质：甲：在上函数单调递减；(],0-∞()f x 乙：在上函数单调递增；[)0,∞+()f x 丙：函数的图像关于直线对称；()f x 1x =丁：不是函数的最小值.()0f ()f x 张老师说：你们四位同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】采用反证法判断.【详解】假设甲，乙正确，则丙，丁错误，与题意矛盾所以甲，乙中必有一个错误假设甲错误乙正确，则在上函数单调递增；[)0,∞+()f x 而函数的图像不可能关于直线对称，则丙错误，与题意矛盾；()f x 1x =所以甲正确乙错误；故选：B8．已知下列命题：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；ˆˆˆybx a =+(),x y ②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近于1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程 中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量平均减少0.5；20.5ˆyx =-ˆy ⑤在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表2R x y 2R 示回归效果越好；⑥对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说， 越小，“与有关系”的把握程度X Y 2K k k X Y 越大．⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好. 则正确命题的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】由回归直线恒过样本中心点，不一定经过每一个点，可判断①；由相关系数的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断②；由方差的性质可判断③；由线性回归直线方程的特点可判断④；相关指数R 2的大小，可判断⑤；由的随机变量K 2的观测值k 的大小可判断⑥；残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断⑦．【详解】对于①，回归直线恒过样本点的中心（），可以不过任一个样本点，故①y b x a ∧∧∧=+x y ，错误；对于②，两个变量相关性越强，则相关系数r 的绝对值就越接近于1，故②错误；对于③，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，由方差的性质可得方差不变，故③正确；对于④，在回归直线方程2﹣0.5x 中，当解释变量x 每增加一个单位时，y ∧=预报变量平均减少0.5个单位，故④正确；y ∧对于⑤，在线性回归模型中，相关指数R 2表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，R 2越接近于1，表示回归效果越好，故⑤正确；对于⑥，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故⑥错误；对于⑦，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故⑦正确．其中正确个数为4．故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．9．在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N 个学生（），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中100m,N m *=∈N 40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N 的最小值为（ ）附，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k 0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A ．400B ．300C ．200D ．100【答案】B【分析】根据题目列出列联表，再根据列联表的数据计算值，进而得到关于的关系式，22⨯2K m 求解即可.【详解】由题可知，男女各人，列联表如下：50m 喜欢不喜欢总计男30m 20m 50m 女20m 30m 50m 总计50m50m100m，()22224100900400=450505050m m m K mm -=⨯⨯⨯有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，，解得，410.828m ∴> 2.707m >，m *∈N ，3m ∴≥.min 300N ∴=故选：B10．已知，且为虚数单位，则的最大值是 （ ）C z ∈1,z i i -=35z i--A ．B ．C ．D ．5678【答案】B【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径1z i -=z Z (0,1)C 1r =的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值.35z i--(3,5)A 35z i--【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径1z i -=z Z (0,1)C 1r =的圆.表示圆C 上的点到的距离，|35|z i -- (3,5)A 的最大值是，|35|z i ∴--||516CA r +=+=故选B【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题.11．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则=（ ）1C 2C 3C 4C 4C A ．B ．C ．D ．1289649642712827【答案】B【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出.{}n C 13C =43【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，131111433n n n n C C C C ---=+=所以为首项为，公比为的等比数列，{}n C 13C =43.34464339C ⎛⎫∴=⨯=⎪⎝⎭故选：B.12．如图，“大衍数列”：、、、、来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，024812主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.如图是求大衍数列前项和的程序框图.执行该程序框图，输入，则输出的（ ）n 8m =S =A ．B ．C ．D ．4468100140【答案】C【分析】写出程序运行的每一步，即可得出输出结果.【详解】第1次运行， ，不符合 ，继续运行；211,0,0002n n a S -====+=n m ≥第2次运行，，不符合 ，继续运行；22,2,0222n n a S ====+=n m ≥第3次运行，，不符合 ，继续运行；213,4,4262n n a S -====+=n m ≥第4次运行，，不符合，继续运行；24,8,86142n n a S ====+=n m ≥第5次运行，，不符合 ，继续运行；215,12,1412262n n a S -====+=n m ≥第6次运行，，不符合 ，继续运行；26,18,2618442n n a S ====+=n m ≥第7次运行，，不符合 ，继续运行；217,24,2444682n n a S -====+=n m ≥第8次运行，，符合 ，退出运行，输出.28,32,68321002n n a S ====+=n m ≥100S =故选：C.二、填空题13．已知复数的对应点在复平面的第二象限，则||的取值范围是(2)(1)i()z a a a R =-++∈1i a +________．【答案】【分析】根据的几何意义，得的复平面内对应的点，列出不等式组求得，再(2,1)a a -+1a 2-<<结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，复数在复平面内对应的点，(2)(1)i()z a a a R =-++∈(2,1)a a -+因为该点位于第二象限，所以，解得，2010a a -<⎧⎨+>⎩1a 2-<<所以.|1i|a ⎡+=⎣故答案为：.14．甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．【答案】乙【分析】先假设甲乙丙丁中一个人说的是对的然后再逐个去判断其他三个人的说法最后看是否满..足题意，不满足排除．【详解】解：先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申请人只有一个，.如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的，丁说“乙申请了”也是()1错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙().2说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意．.故答案为乙．【点睛】本题考查了合情推理的应用，属于中档题．15．有下列一组不等式：，根据111111111111111111,,,,3424562567826789102+>++>+++>++++> 这一规律，若第2020个不等式为，则__________．11111122m m m n ++++>++ m n +=【答案】6064【分析】由归纳推理得：第个不等式为：，若第2020个不等式为k 111123222k k k ++⋯+>+++，所以，，即可得解．11111122m m m n +++⋯+>++2022m =4042n =【详解】解：因为由，，，，，根据这一111342+>11114562++>1111156782+++>1111116789102++++>⋯规律，则第个不等式为：，k 111123222k k k ++⋯+>+++若第2020个不等式为，11111122m m m n +++⋯+>++即，，22022m k =+=224042n k =+=所以，，2022m =4042n =即，202240426064m m +=+=故答案为：．6064【点睛】本题考查了归纳推理，属于基础题．16．已知变量y 关于x 的回归方程为，其一组数据如表所示：若，则预测y 值可能为2e kx y +=8x =___________.x 23456y1.5e 4.5e 5.5e 6.5e 7e 【答案】8e【分析】由已知回归方程取对数并令，得线性回归方程，根据线性回归直线过中ln z y =2z kx =+心点求得值，然后代入可得预测值．k 8x =【详解】由得：，令，即，2ekx y +=ln 2y kx =+ln z y =2z kx =+因为，2345645x ++++==，1.5 4.5 5.5 6.57ln e ln e ln e ln e ln e 1.5 4.5 5.5 6.57555z ++++++++===将点代入直线方程中，即可得：，(4,5)2z kx =+0.75k =所以回归方程为， 0.752e +=x y 若，则.8x = 0.75828ee ⨯+==y 故答案为：．8e 三、解答题17．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，xOy C 22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩θ轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.xl cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；l C （2）直线与曲线交于两点，设点的坐标为，求的值.l C ,M N P ()0,2-22||||PM PN +【答案】（1）曲线：，直线：；（2）.C 22(2)(1)4x y -+-=l 20x y --=32【分析】（1）利用公式消除参数，可得曲线的方程，再利用直角坐标与极坐标22sin cos 1θθ+=θC 的转化公式求得直线的方程；l （2）利用直线参数方程中参数的几何意义求解.【详解】（1）曲线：，直线：C 22(2)(1)4x y -+-=l 20x y --=（2）设：(为参数)l 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t 将的参数方程代入,l 22(2)(1)4x y -+-=得,222)(3)4-+-+=,290t -+=故,12t t +=129t t =,22222121212()2501832PM PN t t t t t t +=+=+-=-=故.2232PM PN +=【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,222tan x y yx ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2ρcos ρθ以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，sin ρθθ从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.18．设实部为正数的复数，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限z ()12i z +的角平分线上.（1）求复数；z （2）若为纯虚数，求实数的值.()i1i m z m R -+∈+m 【答案】（1）；（2）.3i z =-5-【分析】（1）根据待定系数法求解，设且，由题意得到关于的方程组求i(,z a b a b R =+∈0)a >,a b 解即可．（2）根据纯虚数的定义求解即可．【详解】（1）设，，，由题意：①i z a b =+,a b R ∈0a >2210a b +=，得②()()()()12i 12i i 22i z a b a b a b +=++=-++22a b a b -=+①②联立，解得，得.3a =1b =-3i z =-（2），()()i 1i i113i 31i 1i 222m m m m z ----+⎛⎫+=++=++- ⎪+⎝⎭所以且，解得.1302m -+=1102m +-≠5m =-19．近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的县城进行A 车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投x y 放量与年使用人次的散点图如图所示.x yx1234567y611213466101196（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数lg =+y a b x 模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用(0,0)=⋅>>xy c d c d x人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；y y x （2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户2000.2每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？18000参考数据：其中，.lg ii v y =117nii v v ==∑y v71i ii x y=∑71i ii x v=∑0.541062.141.54253550.12 3.47参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最()11,x y ()22,x y (),n nx y ˆˆa y bx =-小二乘估计公式分别为.121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ 【答案】（1）适宜，；（2）年.xy c d =⋅0.25ˆ 3.4710x y =⨯6【分析】（1）根据散点图判断，适宜；由两边同时取对数得，设x y c d =⋅xy c d =⋅lg lg lg y c x d =+，则，根据参考数据以及参考公式首先求出的回归直线方程进而求出结lg y v =lg lg v c x d =+v x ，果；（2）将8000代入回归直线方程可得年使用人次，求出每年收益与总投资，则可求出结果.【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型.xy c d =⋅x y 由，两边同时取常用对数得.x y c d =⋅()lg lg lg lg x y c d c x d =⋅=+设，则.lg y v =lg lg v c x d =+因为，，，，4x = 1.54v =721140ii x==∑7150.12==∑i ii x v所以.7172217lg 7==-==-∑∑i i i ii x v x vd xx250.1274 1.5470.251407428-⨯⨯==-⨯把代入，得，(4,1.54)lg lg =+v c x d lg 0.54c =所以，所以，ˆ0.540.25vx =+ˆlg 0.540.25y x =+则，0.540.250.25ˆ10 3.4710x x y+⨯==故关于的回归方程为.y x 0.25ˆ 3.4710xy =⨯（2）投入千辆单车，则年使用人次为千人次，80.2583.4710347⨯⨯=每年的收益为（千元），347(10.2)277.6⨯-=总投资千元，800020016000001600⨯==假设需要年开始盈利，则，即，n 277.61600⨯>n 5.76>n 故需要年才能开始盈利.620．已知圆有以下性质：222:C x y r +=①过圆上一点的圆的切线方程是.C ()00,M x y 200x x y y r +=②若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则()00,M x y C M C ,A B 垂直，即.OM AB 1AB OM K K ⋅=-（1）类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程 (不要求证明)；2222:1x y C a b +='()00,M x y （2）若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切于2222:1x y C a b +='()00,M x y M 两点，求证：为定值.,A B AB OM K K ⋅【答案】（1）切线方程是；（2）见解析.00221x x y ya b +=【详解】分析：（1）根据类比推理可得结果；（2）设由（1）得过椭圆上点()()1122,,,A x y B x y 的切线的方程是，同理，又过两点的直线是唯一的，直()11,A x y 1l 11221x x y ya b +=2020221x x y y a b +=,A B 线的方程是，，又，从而可得结果.AB 00221x x y y a b +=2020AB b x k a y =-00OM y k x =详解：（1）过椭圆上一点的的切线方程是()2222:10x y C a b a b =>'+>()00,M x y 00221x x y ya b +=（2）设()()1122,,,A x y B x y 由（1）得过椭圆上点的切线的方程是，()11,A x y 1l 11221x x y ya b +=∵直线过点，1l ()00,M x y ∴1010221x x y y a b +=同理2020221x x y y ab +=又过两点的直线是唯一的，,A B ∴直线的方程是.AB 00221x x y ya b +=∴，2020AB b x k a y =-又，0OM y k x =∴为定值.22002200AB OM b x y b k k a y x a ⋅=-⋅=-点睛：本题主要考查类比推理、圆锥曲线的切线，圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动23没有兴趣.(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？22⨯90%有兴趣没兴趣合计男55女合计(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率.附表：.22(),()()()()-==+++++++n ad bc n a b c da b c d a c b d χ【答案】(1)有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；90%(2).710【分析】（1）根据已知数据得到列联表，根据列联表中的数据计算出，可得结论；2χ（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求．【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表有兴趣没有兴趣合计男451055女301545合计7525100由列联表中的数据可得，()22100451510301003.0305545752533χ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为，23.030 2.706χ≈>所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；（2）记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取3人，所有可能的情况为：（A,m,n ）,（B,m,n ）,（C,m,n ）,（A,B,m ）,（A,B,n ）,（B,C,m ）,（B,C,n ）,（A,C,m ）,（A,C,n ）,（A,B,C ），共10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A,B,C ），共1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A,B,m ）,（A,B,n ）,（B,C,m ）,（B,C,n ）,（A,C,m ）,（A,C,n ），共6种，所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，因此，所求概率为．710P =22．写出以下各式的值：()1______；()()22sin 60sin 30sin 30 +-⋅-=______；()()22sin 150sin 120sin 120+-⋅-=______．22sin 15sin 15sinl5+⋅= 结合的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．()2()1【答案】（1），，； （2）见解析.141414【分析】利用特殊角的三角函数进行计算()1当，，借助于和差角的三角函数公式进行证明即()2αβ30+=221sin αsin βαsin β4+⋅=()可．【详解】，()()()2211sin 60sin 30sin 304+-⋅-=，()()221sin 150sin 120sin 1204 +-⋅-=，221sin 15sin 15sinl54+⋅=当，，()2αβ30+=221sin αsin βαsin β4+⋅=证明：，则，αβ30+= β30α=-，()()2222sin αsin βαsin βsin αsin 30ααsin 30α∴++⋅=+-⋅-，2211sin α(cos αα)αcos αα22⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.222222133111sin αcos ααsin αααcos αsin αsin αcos α442444sin =+++-=+=【点睛】本题考查归纳推理，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
高二数学下学期第一次在线月考试题文含解析试题 2
智才艺州攀枝花市创界学校叙州区第一中二零二零—二零二壹高二数学下学期第一次在线月考试题文〔含解析〕本卷须知：2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答复非选择题时，将答案写在答题卡上.写在套本套试卷上无效.第I 卷选择题〔60分〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.0x a +-=的倾斜角为〔〕A.30B.150︒C.120︒D.与a 取值有关 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线的方程求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．【详解】直线﹣a=0的斜率为﹣3，设倾斜角为θ，那么tanθ=﹣3．又0°≤θ＜180°，∴θ=150°， 应选B ．【点睛】此题考察直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，属于根底题.2.某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组〔1－5号，6－10号，…，196－200号〕.假设第5组抽出的号码为22，那么第1组至第3组抽出的号码依次是〔〕 A.3，8，13 B.2，7，12C.3，9，15D.2，6，12【答案】B 【解析】 【分析】根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码．【详解】根据系统抽样原理知，抽样间距为200÷40=5， 当第5组抽出的号码为22时，即22=4×5+2， 所以第1组至第3组抽出的号码依次是2，7，12． 应选：B ．【点睛】此题考察了系统抽样方法的应用问题，是根底题．3.甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计图用茎叶图表示如下列图，假设甲、乙两人的平均成绩分别用x 甲、x 乙表示，那么以下结论正确的选项是() A.x x >甲乙，且甲比乙成绩稳定 B.x x >甲乙，且乙比甲成绩稳定 C.x x <甲乙，且甲比乙成绩稳定D.x x <甲乙，且乙比甲成绩稳定【答案】A 【解析】 【分析】利用茎叶图求出甲、乙两位同学的平均成绩和方差，分别比较这两个数的大小，可得出结论． 【详解】由茎叶图可知，甲同学成绩的平均数为8889909192905x ++++==甲，方差为24101425S ++++==甲，乙同学成绩的平均数为8388898991885x ++++==乙，方差为22508198.65S ++++==乙，那么x x >甲乙，22S S <甲乙， 因此，x x >甲乙，且甲比成绩稳乙定，应选A ．【点睛】此题考察茎叶图，考察平均数和方差的计算，在求解有关茎叶图中数据的计算时，先将数据由小到大或者由大到小排列，结合相关公式进展计算，考察计算才能，属于中等题．220x y x y m -++=+表示一个圆，那么m 的取值范围是()A.2m ≤B.2m <C.12m <D.12m ≤【答案】C 【解析】 【分析】把方程化简为圆的HY 方程，利用半径大于零，解不等式即可．【详解】由方程220x y x y m -++=+，化简得22111222x y m ⎛⎫⎛⎫-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程表示一个圆，∴102m ->，解得12m <. 应选C ．【点睛】此题主要考察二元二次方程表示圆的条件，一般化简为圆的HY 方程，属于根底题. 5.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为〔〕A.403π B.323π C.8323π+D.16323π+【答案】D【分析】由三视图复原原几何体，是一个长方体上方有一个半球．再根据体公式计算． 【详解】由三视图知该几何体是由一个长方体上方放一个半球组合的，尺寸见三视图，31416442232233V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+．应选：D.【点睛】此题考察三视图，考察组合体的体积〔柱体和球的体积〕，解题关键是由三视图复原出原几何体．α∥β平面的一个充分条件是〔〕A.存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB.存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC.存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD.存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α【答案】D 【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对； 对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对； 对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确 考点：空间线面平行的断定与性质1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，那么k 的值是〔〕.A.1或者3B.1或者5C.3或者5D.1或者2【答案】C当k-3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k-3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k 的值．解：由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为y=-1和y=3/2，显然两直线平行．当k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得k=5．综上，k 的值是3或者5，应选C ． 8.假设圆：(22:1C x y ++=关于直线:0l x y m -+=对称，1:0l x y -+=，那么l 与1l 间的间隔是〔〕A.1B.2D.3【答案】D 【解析】 【分析】由圆心在直线l 上求得m ，然后由平行间间隔公式求得间隔． 【详解】由题意(C ，圆(22:1C x y ++=关于直线:0l x y m -+=对称，那么00m +=，m =，即l方程为0x y -，所求间隔为3d ==．应选：D.【点睛】此题考察两平行线间的间隔，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m ，再那么平行间间隔公式计算．A，B 到直线l 的间隔均等于a ，且这样的直线可作4条，那么a 的取值范围是〔〕A.1a ≥B.01a <<C.01a <≤D.02a <<【答案】B 【解析】 【分析】由题意做出简图，分别讨论,A B 在同一侧和两侧两种情况，只需a 小于,A B 两点间隔的一半，再由两点间的间隔公式即可求出a 的取值范围. 【详解】解：由题意如下列图： 因为假设,A B 在直线的同一侧，可做两条直线，所以假设这样的直线有4条，那么当,A B 两点分别在直线的两侧时，还应该有两条，所以2a 小于,A B 的间隔，因为||2AB ==，所以022a <<， 所以：01a <<， 应选：B.【点睛】考察点到直线的间隔公式，属于中档题.221mx ny +=的一个焦点与抛物线218y x =的焦点一样，离心率为2，那么抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的间隔为A.2 C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得双曲线的一个焦点为(0,2)，据此整理计算可得双曲线的渐近线方程为2203x y -=，求得渐近线方程为0x -=，结合点到直线间隔公式求解焦点到渐近线的间隔即可.【详解】抛物线28x y =的焦点为(0,2)，221mx ny ∴+=的一个焦点为(0,2)， ∴焦点在y 轴上，根据双曲线三个参数的关系得到22114ab n m=+=-， 又离心率为2，即441n =，解得11,3n m ==-，∴此双曲线的渐近线方程为2203x y -=，那么双曲线的一条渐近线方程为0x -=，那么抛物线的焦点()0,2到双曲线的一条渐近线的间隔为：d ==.此题选择B 选项.【点睛】此题主要考察双曲线方程的求解，双曲线的渐近线方程，点到直线间隔公式等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.11.三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ＝3，PA ⊥PB ，三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为〔〕A.272πB.2πD.27π【答案】B 【解析】 【分析】计算棱锥的高，判断外接球球心位置，利用勾股定理求出外接球的半径，代入体积公式计算． 【详解】解：∵PA ＝PB ＝3，PA ⊥PB ，∴AB ＝∵PA ＝PB ＝PC ，∴P 在底面ABC 的射影为△ABC 的中心O ，设BC 的中点为D ，那么AD =AO 23=AD =∴OP =，设三棱锥P ﹣ABC 的外接球球心为M ， ∵OP ＜OA ，∴M 在PO 延长线上，设OM ＝h ，那么MA =OP +h ，∴6+h 2h 〕2，解得h =∴外接球的半径r 22=+=．∴外接球的体积V 34433r ππ==⨯〔2〕32=．应选B ．【点睛】此题考察了棱锥与外接球的位置关系，考察计算才能，空间想象才能，属于中档题．22y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM ∆为等边三角形时，其面积为〔〕B. C.2【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义得出PM 垂直于抛物线的准线，设2,2m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，求出PMF △的边长，写出有关点的坐标，利用两点间隔的公式得到FM ，列出方程求出m 的值，得到等边三角形的边长，从而求出其面积.【详解】据题意知，PMF △为等边三角形，PF PM =，∴PM⊥抛物线的准线，设2,2m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，那么1,2M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 等边三角形边长为2122m +，102F ⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以由PF PM =，得2122m +=，解得m =，∴等边三角形边长为2，其面积为1222⨯⨯= 应选:A.【点睛】此题主要考察了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题，考察了学生综合把握所学知识和根本的运算才能，属于中档题.第II 卷非选择题〔90分〕二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.2,210x R x x ∀∈-->〞的否认形式是______．【答案】2000,210x R x x ∃∈--≤．【解析】试题分析：,()x M p x ∀∈，的否认为：00,()x M p x ∃∈⌝，得：2,210x R x x ∀∈-->〞的否认形式是：2000,210x R x x ∃∈--≤． 故应填入：2000,210x R x x ∃∈--≤．14.x ､y 满足约束条件420y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,那么2z x y =+的最小值为_____________.【答案】-6 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目的函数得答案.【详解】由约束条件420y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩作出可行域如图：联立2y xy =⎧⎨=-⎩，解得()2,2A --，化目的函数2z x y =+为2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过()2,2A --时，即2,2x y =-=-时直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为()2226⨯--=-.故答案为:﹣6.【点睛】此题考察了线性规划问题，画出可行域是解题的关键.1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________. 【答案】22(2)(1)2x y -+-=【解析】【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C 〔2，a 〕，当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．=，∴a=1或者9， a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=那么所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-=考点：圆的HY 方程 16.0,0,0ab c >>>，假设点(),P a b 在直线2x y c ++=上，那么4a ba b c+++的最小值为___________.【答案】2+【解析】 【分析】由(),P a b 在直线2x y c ++=上，可得20a b c +=->，设2c mc n-=⎧⎨=⎩，那么2m n +=，原式化为4212m n m n +⎛⎫⨯+- ⎪⎝⎭，展开后利用根本不等式可得结果. 【详解】(),P a b 在2x y c ++=上，2a b c ∴++=，20a b c +=->，4422a b c a b c c c +-+=++-4212c c=+--， 设2c mc n-=⎧⎨=⎩，那么2m n +=，2333n m m n =++≥+=+当222m n =，即2c =时，“=〞成立，4213122c c ∴+-≥+=+-即4a b a b c+++的最小值为2+，故答案为2+. 【点睛】此题主要考察利用根本不等式求最值，属于难题.利用根本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等〞的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或者积是否为定值〔和定积最大，积定和最小〕；三相等是，最后一定要验证等号能否成立〔主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是屡次用≥或者≤时等号能否同时成立〕. 三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.p ：方程230x x m -+=q ：方程22192x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆． (1)p 为真，求m 的取值范围； (2)p q ∧为真，求m 的取值范围．【答案】〔1〕94m ≤.〔2〕924m <≤【解析】 【分析】〔1〕原题转化为方程230x x m -+=有实数解，23)40m ∆=--≥（；〔2〕p q ∧. 【详解】〔1〕∵230x x m -+=有实数解，∴293)40,4m m （∆=--≥∴≤ 〔2〕∵椭椭圆焦点在x 轴上,所以902092m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，∴1122m <<∵p q ∧为真，119224m m ∴<<≤且，924m ∴<≤.p 且q 真，那么p 真，q 也真；假设p 或者q 真，那么p ，q 至少有一个真；假设p 且q 假，那么p ，q 至少有一个假．〔2〕可把“p 或者q 〞“p 且q 〞1C 经过两点()2,0E -，()4,2F -，且圆心1C 在直线l ：280x y -+=上．〔1〕求圆1C 的方程； 〔2〕设圆1C 与x 轴相交于A 、B 两点，点P 为圆1C 上不同于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 交y轴于M 、N 点．当点P 变化时，以MN 为直径的圆2C 是否经过圆1C 内一定点？请证明你的结论． 【答案】〔1〕()2244x y ++=；〔2〕当点P 变化时，以MN 为直径的圆2C经过定点()-．证明见解析【解析】 【分析】 〔1〕设圆圆心为()1,24C a a +，由11C E C F =求得a 的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的HY方程； 〔2〕设()00,Px y 〔00y ≠〕，由条件求得M ，N 的坐标，可得圆2C 的方程，再根据定点在x 轴上，求出定点的坐标． 【详解】〔1〕设圆圆心为()1,28C a a +，由11C E C F==解得4a =-，∴()14,0C -，2=，所以圆1C ：()2244x y ++=〔2〕设()00,P x y 〔00y ≠〕，那么()220044x y ++=．又()6,0A -，()2,0B -，所以PA l ：()0066y y x x =++，0060,6y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭， PB l ：()0012y y x x =++，0020,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． 圆2C 的方程为220000200006262626222y y y y x x x x x y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪++++ ⎪ ⎪+-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简得2200006212062y y xy y x x ⎛⎫+-+-= ⎪++⎝⎭，由动点()00,P x y 关于x 轴的对称性可知，定点必在x 轴上，令0y =，得x =±()-在圆1C 内，-．所以当点P变化时，以MN为直径的圆2C经过定点()【点睛】此题主要考察求圆的HY方程的方法，圆经过定点问题，表达了转化的思想，属于中档题．19.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下列图，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)假设这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比方下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.a＝〔2〕73(分)〔3〕10【答案】〔1〕0.005【解析】【分析】〔1〕由频率分布直方图的性质列方程即可得到a的值；〔2〕由平均数加权公式可得平均数，计算出结果即可；〔3〕按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学，）之外的人数．成绩在[5090【详解】解(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为1455,4020,3040,2025234⨯=⨯=⨯=.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.【点睛】此题考察频率分布直方图及计算，解题关键是认真识图，不遗漏条件，属于根底题.E AFC -与B AFC -拼接得到如下列图的多面体，其中H ，D ，G ，I 分别为FB ，AC ，EC ，FC 的中点，1//2EF BD . 〔1〕当点P 在直线GI 上时，证明：//PH 平面ABC ；〔2〕假设ACE ∆与ABC ∆的等边三角形，求该多面体体积的最大值.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕32【解析】 【分析】〔1〕利用面面平行的断定定理得出平面//GIH 平面ABC ，再由面面平行的性质得出//PH 平面ABC ；〔2〕将多面体的体积转化为三棱锥E AFC -与B AFC -的体积和，由于三棱锥F ABC -和F AEC -的底面积一定，那么高同时到达最大值时，多面体的体积最大，当平面ACE ⊥平面ACB时，由面面垂直的性质得出三棱锥F ABC -和F AEC -的高，利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】〔1〕证明：∵G 、I 、H 为中点 ∴//GIEF ，//HI BC又∵//EF BD∴//GIBD∵BD ⊂平面ABC ，GI ⊄平面ABC∴//GI 平面ABC 同理//HI平面ABC,,GI HI I GI HI ⋂=⊂平面GIH∴平面//GIH平面ABC∵P GI ∈，∴PH ⊂平面GIH∴//PH 平面ABC 〔2〕F ABC F AEC VV V --=+易知//EF 平面ABC故F ABCE ABC V V --=连接ED ，当平面ACE ⊥平面ACB 时∵D 是AC 的中点∴在正三角形ACB 、ACE 中BD AC ⊥，ED AC ⊥，平面ACE 与平面ACB 的交线为ACBD ⊂平面ACB ，ED ⊂平面ACE∴BD ⊥平面ACE ，ED ⊥平面ACB∴EF⊥平面ACE此时，三棱锥F ABC -和F AEC -的高同时到达最大值 此时F ABCF AEC V V --+由ABC ∆，AEC ∆12EF BD =可得ED BD ==EF =∴此时1133V=32=.故该多面体体积的最大值为32.【点睛】此题主要考察了面面平行的性质证明线面平行以及求棱锥的体积，属于中档题.21.随着智能的普及，使用上网成为了人们日常生活的一局部，很多消费者对流量的需求越来越大.某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城〔总人数、经济开展情况、消费才能等方面比较接近〕采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价x:(单位：元/月〕和购置人数y(单位：万人〕的关系如表:〔1〕根据表中的数据，运用相关系数进展分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出是正相关还是负相关；〔2〕①求出y关于x的回归方程；②假设该通信公司在一个类似于试点的城中将这款流量包的价格定位25元/月，请用所求回归方程预测一个月内购置该流量包的人数能否超过20万人.158≈161≈164≈.参考公式：相关系数()()ni ix x y yr--=∑，回归直线方程y bx a=+，其中()()()121ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，a y bx=-.【答案】(1)见解析;(2)①0.6436.6y x=-+;②一个月内购置该流量包的人数会超过20万人.【解析】(1)根据题意，得x , ,y 计算出相关系数r ，从而可以作出判断; (2)①求出回归直线方程，②由①知，假设25x =，那么0.642536.6ˆ52.6y=-⨯+=，从而预测一个月内购置该流量包的人数会超过20万人 【详解】〔1〕根据题意，得()13035404550405x=++++=， ()1181********y =++++=. 可列表如下根据表格和参考数据，得()()51160iii x x yy =--=∑，161==≈.因此相关系数()()51600.99161x x y y r ---==≈-. 由于0.99r ≈很接近1，因此可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系.由于0r <，故其关系为负相关.〔2〕①()()()515211600.6425ˆ0iii ii x x y y bx x ==---===--∑∑，110.64406ˆ3.6a=+⨯=，因此y 关于x 的回归方程为0.6436.ˆ6y x =-+.②由①知，假设25x =，那么0.642536.6ˆ52.6y=-⨯+=，故假设将流量包的价格定为25元/月，可预测一个月内购置该流量包的人数会超过20万人.【点睛】此题主要考察线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①根据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,nnii i i i x y xx y ==∑∑的值；③计算回归系数ˆˆ,a b；④写出回归直线方程为ˆˆˆybx a =+；回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.()2210a b a b+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC ⋅=，2OC OB BC BA -=-.〔Ⅰ〕求椭圆的方程： 〔Ⅱ〕设,P Q 为椭圆上异于,A B 且不重合的两点，且PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，是否存在实数λ，使得PQ AB λ=，假设存在，恳求出λ的最大值，假设不存在，请说明理由.【答案】〔Ⅰ〕223144x y +=〔Ⅱ〕max λ=【解析】 【分析】 〔Ⅰ〕易知2,a=根据条件确定AOC ∆形状，即得C 坐标，代入椭圆方程可得2b ，〔Ⅱ〕即先判断PQ AB∥是否成立，设PC 的直线方程，与椭圆联立方程组解得P 坐标，根据P 、Q 关系可得Q 坐标，利用斜率坐标公式即得PQ 斜率，进而判断PQ AB ∥成立，然后根据两点间间隔公式计算PQ 长度最大值，即可得λ的最大值.【详解】〔Ⅰ〕∵0AC BC ⋅=，∴,90AC BC ACB ⊥∠=︒又2OC OB BC BA -=-，即2BC AC =，22,OC AC OC AC ==∴AOC ∆是等腰直角三角形 ∵(2,0)A ，∴(1,1)C因为点C 在椭圆上，∴22111,2,a a b +==∴243b =∴所求椭圆方程为223144x y +=〔Ⅱ〕对于椭圆上两点P 、Q ，∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴 ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，设(0PC k k k =≠且1)k ≠±，那么CQ k k =-，那么PC 的直线方程1(1)(1)1y k x y k x -=-⇒=-+①QC 的直线方1(1)(1)1y k x y k x -=--⇒--+②将①代入223144x y +=得222(13)6(1)3610k x k k x k k +--+--=③∵(1,1)C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴22361113p p k k x x k --⋅==+ 以k -交换k ，得到2236131Q k k x k +-=+. 因为(1,1)B --,所以1,3ABk =∴,PQ AB k k =∴PQ AB ∥，∴存在实数λ，使得PQ AB =λ 当2219kk =时即21,33k k ==±时取等号， 又||10AB =maxλ==【点睛】解析几何存在性问题，一般解决方法先假设存在，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或者三角问题，然后直接推理、计算，根据计算结果确定是否存在．其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或者求根公式进展转化.。
南通市2021-2022学年(下)高二第一次月考数学试题(后附答案解析)
南通市2021-2022学年（下）高二第一次月考真题卷数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是A.()0,3 B.(,3)-∞ C.(3,)+∞ D.()3,3-2.函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于（）A.2- B.4- C.12-D.23.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上的图象连续不间断，在开区间(),a b 内的导数为()f x '，那么在区间(),a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-成立，其中c 叫做()f x 在[],a b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数()33f x x x =-在[]22-,上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A .3B.2C.1D.04.下列说法中正确的是（）①设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X ==②已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()29P A B =；④()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+.A.①②③B.②③④C.②③D.①③5.函数f （x ）＝22ax +（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是（）A.12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C.112,,33⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.若对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）A.1eB.eC.1D.3e7.已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（）A.1- B.0C.1D.28.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x <0时，函数()1x f x xe =+，若关于x 的函数[]2()()(1)()F x f x a f x a =-++恰有2个零点，则实数a 的取值范围为A.1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()(),11,-∞-+∞U C.111,11,1e e ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.(][),11,-∞-+∞ 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有项选错得0 分．9. 为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则下列说法正确的是（）A.该产品能销售的概率为34B.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～C.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则()()7403120P X P ξ====；D.()2780128P X =-=10.（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（）A.若0a ≤，则函数()f x 没有极值B.若0a >，则函数()f x 有极值C.若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭11.已知函数()2exax x a f x ++=（a为常数），则下列结论正确的有（）A.当0a =时，()f x 有最小值1eB.当0a ≠时，()f x 有两个极值点C.曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()10a x y a -+-=D.当e 102a -<≤时，()ln f x x x ≤-12.对于函数()ln xf x x=，下列说法错误的是（）A.f （x ）在（1，e ）上单调递增，在（e ，＋∞）上单调递减B.若方程()1fx k +=有4个不等的实根1234,,,x x x x，则12344x x x x +++=-C.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D.设()2g x x a =+，若对12,(1,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为___________．14.已知函数()cos xf x e x =+，则使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是_______.15.已知函数()ln xf x x =．若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121ef x f x -≤成立，则实数a 的最小值是________．16.已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()()330f x x ax b a =-+>的极大值为16，极小值为－16.（1）求a 和b 的值；（2）若过点()1,M m 可作三条不同的直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的取值范围.18.某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x （单位：百万元）12345所获利润y （单位：百万元）0.30.30.50.91（1）请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用 7 百万元对 A 、B 两个项目进行投资．若公司对项目 B 投资x (1 ≤x ≤6)百万元所获得的利润y 近似满足：0.490.160.491y x x =-++，求A 、B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据()11,x y 、()22,x y 、……、(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121ˆˆˆ,niii nii x ynx y bay bx xnx==-⋅==--∑∑．②线性相关系数iinx ynx yr -⋅=∑．一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A投资的统计数据表中5521111, 2.1iii i i x yy ====≈∑∑．19.甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23．（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．20.已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．（1）设函数()()eaxf xg x '=，求()g x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围21.已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，()2e .f x >-22.已知函数()ln .f x x x ax a =-+（1）若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x <南通市2021-2022学年（下）高二第一次月考真题卷数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是A.()0,3 B.(,3)-∞C.(3,)+∞ D.()3,3-【答案】A 【解析】【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于0求出x 的范围，写出区间形式即得到函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间．【详解】函数的定义域为x >0，∵9()f x x x'=-，令90x x-<，由于x >0，从而得0<x <3，∴函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是(0,3).故选：A .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的应用，要注意先确定函数定义域，属于基础题.2.函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于（）A.2-B.4- C.12-D.2【答案】B 【解析】【分析】由导数的几何意义得函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线的斜率为2，进而221a⨯=-即可得答案.【详解】解：因为()'cos xf x e x =+，()'0112f =+=，所以函数()sin x f x e x =+在点(0,1)处的切线的斜率为2，因为切线与直线210x ay -+=互相垂直，21y x a a=+，所以221a⨯=-，解得4a =-.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据导数的几何意义求得函数在(0,1)处的切线的斜率为2，考查运算求解能力，是基础题.3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上的图象连续不间断，在开区间(),a b 内的导数为()f x '，那么在区间(),a b 内至少存在一点c ，使得()()()()f b f a f c b a '-=-成立，其中c 叫做()f x 在[],a b 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数()33f x x x =-在[]22-,上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A.3B.2C.1D.0【答案】B 【解析】【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．【详解】函数3()3f x x x =-，则()()()222,22,33f f f x x '=-=-=-，由()()()()2222f f f c '--=+，得()1f c '=，即2331c -=，解得[]232,23c =±∈-，所以()f x 在[2-，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.4.下列说法中正确的是（）①设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X ==②已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()29P A B =；④()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+.A.①②③ B.②③④C.②③D.①③【答案】A 【解析】【分析】根据题意条件，利用二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等对每一项进行逐项分析.【详解】解：命题①：设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3336115312216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；命题②：∵ξ服从正态分布()22,N σ，∴正态曲线的对称轴是2x =，()()()40.9400.1P X P X P X <=⇒>=<= ，()()02240.4P X P X ∴<<=<<=，正确；命题③：设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()()34443!43,44P AB P B ⨯⨯==，所以()()()29P AB P A B P B ==，正确；命题④：()()2323E X E X +=+正确，()()232D X D X +=错误，应该为()()234D X D X +=，故不正确.故选：A【点睛】本题考查了二项分布、正态分布、条件概率、期望与方程的定义与性质等；若命题正确，则应能给出证明；若错误，则应能给出反例.5.函数f （x ）＝22ax +（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是（）A.12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C.112,,33⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，然后令导数等于零，求出方程的两个根，通过讨论根的范围可得a 的取值范围.【详解】解：由2()(12)2ln 2ax f x a x x =+--，得2'2(12)2(2)(1)()(12)ax a x x ax f x ax a x x x+---+=+--==，（1）当0a =时，'2()x f x x-=，当02x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，（2）当0a ≠时，令'()0f x =，则2x =或1x a=-，①当0a >时，当02x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，②当0a <时，i)若12a ->，即102a -<<时，02x <<时，'()0f x <，当12x a <<-时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点，ii)若12a -=，即12a =-时，当(0,)x ∈+∞时，'()0f x <，函数无极值；iii)若1122a <-<，即122a -<<-时，当10x a<<-时，'()0f x <，当12x a -<<时，'()0f x >，所以1x a =-为1,32⎛⎫⎪⎝⎭上的极小值点，综上a 的取值范围是112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D【点睛】此题考查了函数的极值，考查了分类讨论思想，属于中档题.6.若对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）A.1eB.eC.1D.3e【答案】C 【解析】【分析】由题意可得122121ln ln x x x x x x -<-，变形得出1212ln 1ln 1x x x x ++>，构造函数()ln 1x g x x+=，可知函数()y g x =在区间(),m +∞上单调递减，利用导数求得函数()y g x =的单调递减区间，由此可求得实数m 的最小值.【详解】对1x ∀、()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 1x x x x x x -<-，可得122121ln ln x x x x x x -<-，1212ln 1ln 1x x x x ++∴>，构造函数()ln 1x g x x+=，则函数()y g x =在区间(),m +∞上单调递减，()2ln xg x x'=-，令()0g x '<，解得1x >，即函数()y g x =的单调递减区间为()1,+∞，()(),1,m ∴+∞⊆+∞，则m 1≥，因此，实数m 的最小值为1.故选：C.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，将问题转化为函数的单调性是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7.已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（）A.1- B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥，利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可.【详解】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥，所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-，所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥，则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=，当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-，所以1m ≥-，整数m 的最小值为1-，故选：A.【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.8.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x <0时，函数()1x f x xe =+，若关于x 的函数[]2()()(1)()F x f x a f x a =-++恰有2个零点，则实数a 的取值范围为A.1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()(),11,-∞-+∞U C.111,11,1e e ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.(][),11,-∞-+∞ 【答案】C【解析】【分析】由F (x ) =0 得 f (x ) =1或 f (x ) =a ，而x <0 时， f (x ) =1无解，需满足 f (x ) =a 有两个解．利用导数求得()f x 在0x <时的性质，由奇函数得0x >时的性质，然后可确定出a 的范围．【详解】()(()1)(())0F x f x f x a =--=，()1f x =或()f x a =，0x <时，()11x f x xe =+<，()(1)x f x x e '=+，1x <-时，()0f x '<，()f x 递减，10x -<<时，()0f x '>，()f x 递增，∴()f x 的极小值为1(1)1f e-=-，又()1f x <，因此()1f x =无解．此时()f x a =要有两解，则111a e-<<，又()f x 是奇函数，∴0x >时，()1f x =仍然无解，()f x a =要有两解，则111x e-<<-．综上有111,11,1a e e ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用．首先方程化为()1f x =或()f x a =，然后用导数研究0x <时()f x 的性质，同理由奇函数性质得出0x >廛()f x 的性质，从而得出()1f x =无解，()f x a =有两解时a 范围．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分．9.为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则下列说法正确的是（）A.该产品能销售的概率为34B.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～C.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则()()7403120P X P ξ====；D.()2780128P X =-=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意先求出该产品能销售的概率，从而选项A 可判断，由题意可得3~4,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭可判断选项B ，根据独立重复事件的概率问题可判断C ，D 选项.【详解】选项A.该产品能销售的概率为113116104⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项A 正确;选项B.由A 可得每件产品能销售的概率为34一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则3~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，故选项B 正确;选项C.由题意()334312734464P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选项C 不正确;选项D.由题意80X =-，即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售,所以()222427128318044P X C ⎛⎫⎛⎫=-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项D 正确.故选：ABD.10.（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（）A.若0a ≤，则函数()f x 没有极值B.若0a >，则函数()f x 有极值C.若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【解析】【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断.【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值，又 当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞，∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增，∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值，∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭，当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞，当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点；当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点，综上可知ABD 正确，C 错误．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11.已知函数()2e xax x a f x ++=（a为常数），则下列结论正确的有（）A.当0a =时，()f x 有最小值1eB.当0a ≠时，()f x 有两个极值点C.曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()10a x y a -+-=D.当e 102a -<≤时，()ln f x x x ≤-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，求导后通过求出函数的单调区间，从而可求出其最值，对于B ，分0a >和0a <两种情况求函数的极值，对于C ，利用导数的几何意义求解，对于D ，由已知可得()()22e 12e 1e 2e x x x x ax x af x -++-++=≤，构造函数()()2e 12e 12exx x g x -++-=，利用导数求得其()()max 11g x g ==⎡⎤⎣⎦，构造函数()ln h x x x =-，利用导数求得()()min 11h x h ==⎡⎤⎣⎦，从而可得结论【详解】对于A 选项，当0a =时，()exx f x =，求导得()1e x xf x -'=，令()0f x '=，解得x =1.当x <1时，f (′x > )0，f (x )在,∞−(1 )上单调递增；当x >1时，f (′x < )0，f (x )在(1)∞+,上单调递减，所以当x =1时， f (x )有最大值1e，故选项 A 错误；对于 B 选项，当a ≠0时，对 f (x )求导得()f x '=()()()211211e e xxx ax a ax a x a---⎡⎤---+⎣⎦-=-，当0a >时，令()0f x '=，解得111x a=-，21x =且12x x <，当1,1x a ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在11x a=-时取极小值，在1x =时取极大值.当0a <时，令()0f x '=，解得11x =，211x a=-且12x x <，当(),1x ∈-∞时，()0f x '>，当11,1x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在1x =时取极大值，在11x a=-时取极小值，所以当0a ≠时，()f x 有两个极值点，故选项B 正确；对于C 选项，因为()()2211exax a x af x ---+'=-，所以()01f a '=-，又()0f a =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()()10y a a x -=--，即()10a x y a -+-=，故选项C 正确；对于D 选项，当e 102a -<≤时，()()22e 12e 1e 2ex xx x ax x a f x -++-++=≤，令()()2e 12e 12e xx x g x -++-=，()0,x ∈+∞，则()()()2e 12e 2e 32e xx x g x ---+-'=-()()()1e 1e 32e xx x ----⎡⎤⎣⎦=-，显然当0x >时，()()e 1e 30x --->，所以当01x <<时，()0g x '>，()g x 在()0,1上单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11g x g ==⎡⎤⎣⎦，令()ln h x x x =-，求导得()111x h x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<，()h x 在()0,1上单调递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ==⎡⎤⎣⎦，所以()ln f x x x ≤-，故选项D 正确，故选：BCD.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，对于选项D 解题的关键是由e 102a -<≤时，()()22e 12e 1e 2e x x x x ax x af x -++-++=≤，然后构造()()2e 12e 12exx x g x -++-=，然后利用导数求出其最大值，再利用导数求出()ln h x x x =-的最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题12.对于函数()ln xf x x=，下列说法错误的是（）A.f （x ）在（1，e ）上单调递增，在（e ，＋∞）上单调递减B.若方程()1fx k +=有4个不等的实根1234,,,x x x x，则12344x x x x +++=-C.当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D.设()2g x x a =+，若对12,(1,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≤【答案】ACD 【解析】【分析】函数()ln xf x x=，(0x ∈，1)(1⋃，)∞+,2ln 1()ln x f x x -'=，利用导数研究函数的单调性和极值，画出图象．A ．由上述分析即可判断出正误；．B ．方程(|1|)f x k +=有4个不等的实根，结合函数奇偶性以及图象特点可知四个根两两关于直线1x =-对称，可判断出正误；．C ．由函数()ln xf x x =在(0,1)x ∈单调递减，可得函数ln x y x=在(0,1)x ∈单调递增，即可判断出正误；D ．设函数()g x 的值域为G ，函数()f x 的值域为E ．若对1x R ∀∈，2(1,)x ∃∈+∞，使得12()()g x f x =成立，可得G E ⊆，即可判断出正误．【详解】函数()ln xf x x=，(0x ∈，1)(1⋃，)∞+．2ln 1()ln x f x x-'=，可得函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，其大致图象如图：A ．由上述分析可得A 不正确．B ．函数(||)y f x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，则(|1|)y f x =+的图象关于1x =-对称，故(|1|)f x k +=的有4个不等实根时，则这四个实根必两两关于1x =-对称，故12344x x x x +++=-，因此B 正确．C ．由函数()ln xf x x =在(0,1)x ∈单调递减，可得函数ln x y x=在(0,1)x ∈单调递增，因此当1201x x <<<时，1212ln ln x x x x <，即1221ln ln x x x x >，因此C 不正确；D ．设函数()()g x x R ∈的值域为G ，函数()((1f x x ∈，))+∞的值域为E ，2()g x x a =+，对x R ∀∈，[G a =，)∞+．(1,)x ∀∈+∞，[e E =，)∞+．2()g x x a =+，若对1x R ∀∈，2(1,)x ∃∈+∞，使得12()()g x f x =成立，则G E ⊆．e a ∴,因此D 不正确，故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为___________．【答案】4413025【解析】【分析】令i A 表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球(0,1,2,3)i =，B 表示第二次任取的3个球都是新球，求出()i P A ，再应用全概率公式求P (B )即可．【详解】令i A 表示第一次任取3个球使用时，取出i 个新球(0,1,2,3)i =，B 表示第二次任取的3个球都是新球，则3303121()220C P A C ==，2139131227()220C C P A C ==，12392312108()220C C P A C ==，39331284()220C P A C ==，根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为：00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++=3333987633331212121212710884441.2202202202203025C C C C C C C C ⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：4413025.14.已知函数()cos xf x e x =+，则使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是_______.【答案】11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】分析出函数()f x 为偶函数，再利用导数分析出函数()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，由()()21f x f x ≤-可得出()()21f x f x ≤-，进而得出21x x ≤-，进而可求得x 的取值范围.【详解】函数()f x 的定义域为R ，()()()cos cos xxf x e x e x f x --=+-=+=，所以，函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()cos x f x e x =+，则()sin 1sin 0x f x e x x '=-≥-≥，所以，函数()f x 在区间[)0,+∞为增函数，由()()21f x f x ≤-可得()()21fx f x ≤-，所以21x x ≤-，则有()2241x x ≤-，可得23210x x +-≤，解得113x -≤≤.因此，使得()()21f x f x ≤-成立的x 范围是11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】利用偶函数的基本性质解不等式，可充分利用性质()()f x f x =，同时注意分析出函数()f x 在区间[)0,+∞上的单调性.15.已知函数()ln x f x x =．若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121ef x f x -≤成立，则实数a 的最小值是________．【答案】1【解析】【分析】利用导数可求得()f x 单调性和()max 1ef x =，将问题转化为()()max min 1ef x f x -≤；分别在e a ≥和0e a <<的情况下，确定最小值，由此构造不等式求得a 的范围，进而得到最小值.【详解】()21ln xf x x-'= ，∴当()0,e x ∈时，()0f x '>；当()e,x ∈+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，()()max 1e ef x f ∴==；若对任意[)12,,x x a ∞∈+，都有()()121e f x f x -≤成立，则()()max min 1e f x f x -≤；当e a ≥时，()0f x >恒成立，又()()max 1e e f x f ≤=，()()max min 1ef x f x ∴-≤恒成立；当0e a <<时，()f x 在[),e a 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，则只需()ln 0af a a=≥即可，即1e a ≤<；综上所述：a 的取值范围为[)1,+∞；a ∴的最小值为1.故答案为：1.16.已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是______．【答案】1[,)8-+∞【解析】【分析】根据对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，只需()()min minf xg x ≥求解即可.【详解】因为()3ln 44x f x x x=-+，所以()()()222213113434444x x x x f x x x x x ---+-'=--==-，当01x <<时，()0f x '<，当12x <<时，()0f x '>，所以()()min 112f x f ==，因为()224g x x ax =--+开口方向向下，所以在区间[]1,2上的最小值的端点处取得，所以要使对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，只需()()min min f x g x ≥，即()112g ≥或()122g ≥，即11242a ≥--+或14442a ≥--+，解得18a ≥-，所以a 的取值范围是1[,)8-+∞，故答案为：1[,)8-+∞四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()()330f x x ax b a =-+>的极大值为16，极小值为－16.（1）求a 和b 的值；（2）若过点()1,M m 可作三条不同的直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4a =，0b =；（2）()12,11--.【解析】【分析】（1）求出导函数'()f x ，确定极大值和极小值，由题意可求得,a b ；（2）设切点()()00,P x f x ，切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，即()2300342y x x x =--，由切线过点()1,M m ，得()233200003422312m x x x x x =--=-+-，从而此方程有 3 个实数根，问题转化为函数g (x = )2x 3 −3x 2+m +12 有 3 个零点，再由导数研究g (x ) 的极大值和极小值可得出结论．【详解】（1）函数()()330f x x ax b a =-+>，()(2333f x x a x x '=-=+-.可得：函数()f x 在(,-∞，)+∞上单调递增，在(上单调递减.∴x =时函数()f x 取得极大值16，x =时函数()f x 取得极小值－16.∴(316f b =-=，316f b ==-，联立解得：4a =，0b =，（2）由（1）可知()312f x x x =-，设切点()()00,P x f x ，则切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，即()2300342y x x x =--，因为切线过点()1,M m ，所以()233200003422312m x x x x =--=-+-，由于有3条切线，所以方程有3个实数根，设()322312g x x x m =-++，则只要使()g x 有3个零点，令()2660g x x x '=-=，解得1x =或0x =，当(),0x ∈-∞，()1,+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以0x =时，()g x 取极大值，1x =时，()g x 取极小值，所以要是曲线()g x 与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩，即120110m m +>⎧⎨+<⎩，解得1211m -<<-，即实数m 的取值范围为()12,11--.【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，考查导数的几何意义，考查用导数研究函数零点个数问题，本题对计算能力的要求较高，属于难题．18.某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x （单位：百万元）12345所获利润y （单位：百万元）0.30.30.50.91（1）请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，并用相关系数加以说明；（2）该公司计划用7百万元对A 、B 两个项目进行投资．若公司对项目B 投资()16x x ≤≤百万元所获得的利润y 近似满足：0.490.160.491y x x =-++，求A 、B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附．①对于一组数据()11,x y 、()22,x y 、……、(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆˆˆ,ni ii n i i x ynx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑．②线性相关系数1222211()()iii i i i i nn nx ynx yr x nx y n y ===-⋅=--∑∑∑．一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．参考数据：对项目A 投资的统计数据表中5521111, 2.24, 4.4 2.1iii i i x yy ====≈∑∑．【答案】（1）0.95r >，用线性回归方程ˆ0.2y x =对该组数据进行拟合合理；（2）对A 、B项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．【解析】【分析】(1)根据给定数表，计算出,x y ，再代入最小二乘法公式及线性相关系数公式计算即得；(2)由题设条件列出获得的总利润的函数关系，再借助均值不等式求解即得.【详解】（1）对项目A 投资的统计数据进行计算得：3x =，0.6y =，52155ii x==∑，于是得5512221511530.60.255535i ii i i x y x ybx x==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑ ，ˆˆ0.60.230a y bx =-=-⨯=，所以回归直线方程为：ˆ0.2yx =，线性相关系数550.95340.95iix yx yr -⋅=>∑，这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程ˆ0.2yx =对该组数据进行拟合合理；（2）设对B 项目投资()16x x ≤≤百万元，则对A 项目投资()7x -百万元，所获总利润0.490.490.160.490.2(7) 1.930.04(1)11w x x x x x ⎡⎤=-++-=-++⎢⎥++⎣⎦1.93 1.65≤-=，当且仅当0.490.04(1)1x x +=+，即 2.5x =时取等号，所以对A 、B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．19.甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23．（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望；（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．【答案】（1）分布列见解析，18481；（2）11206561【解析】【分析】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，再由独立事件的概率公式求得每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，然后由数学期望的计算公式，得解；（2）设第i 场甲、乙两队积分分别为i X ，i Y ，则3i i X Y =-，1i =，2，由两队积分相等，可推出123X X +=，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解．【详解】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，312312111(0)()()33339P X C ==+⋅⋅⋅=，22242118(1)()()33381P X C ==⋅⋅⋅=，222421216(2)()()33381P X C ==⋅⋅⋅=，2233212216(3)()()333327P X C ==⋅⋅⋅+=，所以X 的分布列为X0123P1988116811627所以数学期望181616184()0123981812781E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A ，设第i 场甲、乙两队积分分别为i X ，i Y ，则3i i X Y =-，1i =，2，因两队积分相等，所以1212X X Y Y +=+，即1212(3)(3)X X X X +=-+-，则123X X +=，所以P （A ）12121212(0)(3)(1)(2)(2)(1)(3)(0)P X P X P X P X P X P X P X P X ===+==+==+==1168161681611120927818181812796561=⨯+⨯+⨯+⨯=．20.已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．（1）设函数()()eaxf xg x '=，求()g x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围【答案】（1）当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a，增区间为1(,)a +∞（2）2(e ,).+∞【解析】【分析】（1）依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且()1()ln e axf xg x a x a x'==++，则21()ax g x x-'=，再对a 进行分类讨论即可得到答案．（2）因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点．由（1）知0a <时不合题意；当0a >时，min 1()((21)g x g a na a==-，接下来对a 进行讨论即可得到答案．【小问1详解】依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，e ()e (ln 1)axaxf x a x x'=++,则()1()ln e axf xg x a x a x'==++，则21().ax g x x -'=①当0a <时，()0g x '<在,()0x ∈+∞上恒成立，()g x 单调递减；②当0a >时，令()0g x '=得，1x a=，所以，当1(0,)x a ∈时，()0g x '<，()g x 递减；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增；综上，当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a ，增区间为1(,).a+∞【小问2详解】因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点，由（1）知0a <时不合；当0a >时，min 1()((21).g x g a na a==-当20e a <<时，1()(0g x g a>>，()g x 没有零点，不合题意；当2e a =时，1(0g a=，()g x 有一个零点1a，不合题意；当2e a >时，1()0g a <，21()(12ln )g a a a a=+-，设()12ln a a a ϕ=+-，2e a >，则2()10a aϕ'=->，所以22()(e )e 30a ϕϕ>=->，即21(0g a>，所以存在1211(,)x a a∈，使得1()0g x =；又因为1(e 0eg =>，所以存在211(,ex a ∈，使得2()0.g x =()f x 的值变化情况如下表：x 1(0,)x 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞()'f x +0-0+()f x 递增极大值递减极小值递增所以当2e a >时，()f x 有两个极值点，综上，a 的取值范围是2(e ,).+∞21.已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，()2e .f x >-【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】。
2021-2022学年河北省沧州市沧县中学高二下学期4月月考数学试题(解析版)
2021-2022学年河北省沧州市沧县中学高二下学期4月月考数学试题一、单选题1．某质点沿曲线运动的方程为()23f x x =-+（x 表示时间，()f x 表示位移），则该质点从x ＝2到x ＝3的平均速度为（ ） A ．－5 B ．5 C ．－6 D ．6【答案】A【分析】直接求平均速度.【详解】由题得该质点从x ＝2到x ＝3的平均速度为()()32532f f -=--．故选：A ．2．向一个半球形的水池注水时，向池子注水速度不变（即单位时间内注入水量相同），若池子中水的高度h 是关于时间t 的函数()h t ，则函数()h t 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据几何体的形状，判断水面高度h 随时间t 升高的快慢，判断可得出合适的选项.【详解】几何体为半球形，上面宽下面窄，相同的时间内注水量相同，所以高度增加得越来越慢， 即图象越来越平缓， 故选：B.3．给出以下新定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（ ）A ．()e xf x =B ．()2f x x =C ．()3f x x = D ．()ln f x x =【答案】D【分析】求出每一个函数的二阶导数，判断是否()0f x ''<在定义域上恒成立,从而得到答案.【详解】对于A 选项，()()e e ,x x f f x x '==，则()e 0xf x ''=>，不是凸函数；对于B 选项，()2,()2f x x f x '==，则()0f x ''=，不是凸函数；对于C 选项，()32,()3f x x f x x '==，则()'60f x x =<'在R 上不恒成立，不是凸函数；对于D 选项，()1,(ln )f f xx x x '==，则()210f x x ''=-<，在定义域上恒成立，是凸函数. 故选：D.4．设函数()y f x =在R 上可导，则()()0lim x f f x x∆→-∆=∆（ ）A ．()0f 'B ．()0f '-C ．()f x 'D ．以上都不对【答案】B【分析】利用导数的定义可得结果. 【详解】由导数的定义可知()()()()()0000lim lim 0x x f f x f x f f x x∆→∆→-∆∆-'=-=-∆∆. 故选：B.5．已知函数()cos f x x x =，则2f π'⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2π D ．2π-【答案】D【分析】求导之后，代导函数表达式即可求解 【详解】()cos f x x x =()()cos sin f x x x x '⇒=+-所以cos sin 22222f πππππ⎛⎫⎛⎫'=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D6．若函数()e xf x kx =-在区间()1,+∞单调递减，则k 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．[)e,+∞D ．(],e -∞【答案】D【分析】由题意()e 0xf x k '=-≤在区间()1,+∞上恒成立，即()mine xk ≤，从而可得答案.【详解】∵函数()e xf x kx =-在区间()1,+∞单调递减， ∴()e 0xf x k '=-≤在区间()1,+∞上恒成立，即()minexk ≤，()1,x ∈+∞，∴e k ≤，∴k 的取值范围是(],e -∞， 故选：D ．7．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．0 B ．1C ．32-D ．32【答案】A【分析】对函数()3232g x x x =-+求导，再求导()g x ''，然后令()0g x ''=，求得对称点即可.【详解】依题意得，()236g x x x '=-，()66g x x ''=-，令()0g x ''=，解得x ＝1，∵()10g =，∴函数()g x 的对称中心为()1,0， 则()()20g x g x -+=， ∵11921831791121010101010101010+=+=+==+= ∴12319010101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A.8．已知定义在()(),00,∞-+∞上的偶函数()f x ，在0x >时满足：()()0xf x f x '+>，且()10f =，则()0f x >的解集为（ ） A ．()(),11,-∞-⋃+∞ B ．()(),10,1-∞-⋃ C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】A【分析】令()()F x xf x =，根据奇偶性的定义，可得()F x 的奇偶性，利用导数可得()F x 的单调性，所求()()0F x f x x =>，等价于()00F x x >⎧⎨>⎩或()00F x x <⎧⎨<⎩，分析即可得答案.【详解】令()()F x xf x =，所以()()()()()F x x f x xf x F x -=--=-=- 所以()F x 是奇函数，在0x >时，()()()0F x xf x f x ''+=>，则在0x >时，()F x 单调递增， 由()10f =，可得(1)1(1)0F f =⨯=，(1)(1)0F F -=-=，所求()()0F x f x x =>，等价于()00F x x >⎧⎨>⎩或()00F x x <⎧⎨<⎩，解得1x >或1x <-，所以解集为：()(),11,-∞-⋃+∞． 故选：A ． 二、多选题9．下列函数是复合函数的是（ ） A ．211y x x=+- B ．()sin 21y x =+C ．ln y x x =D ．()423y x =-【答案】BD【分析】根据复合函数的定义判断是否为各选项是否为复合函数.【详解】A ：211y x x=+-为基本函数相加，不为复合函数，不符合； B ：()sin 21y x =+可看成sin y t =与21t x =+两个函数复合而成，符合； C ：ln y x x =为两个基本函数相乘不为复合函数，不符合； D ：()423y x =-可看成4y t =与23t x =-两个函数复合而成，符合. 故选：BD10．函数()f x 的导函数为()f x '，若已知()f x '的图像如图，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 一定存在极大值点B ．()f x 有两个极值点C ．()f x 在(),a -∞单调递增D ．()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行【答案】ACD【分析】根据导函数()f x '的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断ABC ，利用导数的几何意义可判断D.【详解】由导函数()f x '的图象可知，当x a <时()0f x '≥，当x a >时()0f x '<，当0x =或x a =时()0f x '=，则()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),a +∞上单调递减，所以函数()f x 在x a =处取得极大值，且只有一个极值点，故AC 正确，B 错误； 因为()00f '=，所以曲线()y f x =在0x =处切线的斜率等于零，即()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行，故D 正确. 故选：ACD.11．已知函数()()2e 2xf x x x =- ，则()f x 在定义域上（ ）A ．有极小值2e 222-B ．有极大值2e 222-+C ．有最大值D ．无最小值【答案】ABD【分析】求导，根据导数符号计算判断即可.【详解】函数()()2e 2xf x x x =- ，可得()()'2e 2x f x x =- ，令220x -=可得2x =± 当(,2x ∈-∞-时，()'0f x > ，函数是增函数，当(2,2x ∈-时，()'0f x < ，函数是减函数，当)2,x ∈+∞时，()'0f x > ，函数是增函数，在2x =-处取极大值=2e222-+ ，在x 处取极小值=(2- ，无最大值和最小值， 故选：ABD ．12．已知0x x =是函数()ln 1x xf x x=+的极小值点，则以下判断正确的是（ ） A ．()000x f x +< B ．()000x f x +> C ．()000x f x += D ．()012f x <【答案】CD【分析】求导数()f x '，由极小值点得()0000ln 1f x x x '=⇒=--，即可代入()00x f x +判断符号；再化简得()00f x x =，用二分法分析0x 的范围即可判断D 【详解】()ln 1x xf x x=+，则()()21ln 1x x f x x ++'=+，()01ln 0f x x x '=⇒++=存在唯一的零点0x x =，即满足00001ln 0ln 1x x x x ++=⇒=--， ∴()()00000000001ln 011x x x x x f x x x x x --+=+=+=++，A 、B 错，C 正确； ()()0000000001ln 11x x x x f x x x x x --===-=++，数形结合0x x =是()0f x '=即ln 1x x =--两个初等函数的交点横坐标，易观察()00,1x ∈，用二分法检验()110f '=>，102f ⎛⎫'> ⎪⎝⎭，∴010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0012f x x =<，D 正确； 故选：CD ．三、填空题13．函数()33f x x x =-+的极大值等于______．【答案】2【分析】先求导函数，在根据导函数，求极值点即可.【详解】由题意知()233'=-+f x x ，令()0f x '=，得1x =±，当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，当()1,1x ∈-时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<， 所以当x ＝－1时，函数取极小值()12f -=-；当x ＝1时，函数取极大值()12f =． 故答案为：2.14．已知函数()()321f x f x x x '=-+-，则()1f '-的值为______．【答案】32【分析】对函数()f x 求导，将1x =-带入，即可求解.【详解】∵()()321f x f x x x '=-+-，∴()()23121f x f x x ''=-+-，∴(1)3(1)3f f ''-=--∴()312f '-=． 故答案为：32.15．已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高与底面半径之比为______． 【答案】2【分析】利用表面积表示出圆柱的高，然后可将容积V 表示成底面半径的函数，求导可知容积最大时的条件，然后可得高与底面半径之比值.【详解】设圆柱的底面半径为r ，则22S r π=圆柱底，2S rh π=圆柱侧，∴圆柱的表面积222S r rh ππ=+．∴222S r h rππ-=，又圆柱的容积()3222222r rS r V r h S r πππ-==-=，()262S r V r π-'=，令()0V r '=得26S r π=，即r =当0r <<()0V r '>，当r >()0V r '<，所以当r =V 有最大值. 此时26S r π=，代入222S r h rππ-=可得2h r =，即2h r =故答案为：216．已知函数()24ln f x x x a x =-+有一个极值点，则实数a 的取值范围为______．【答案】(],0-∞【分析】分析可知直线y a =与函数242y x x =-在()0,∞+上的图象只有一个交点（非切点），数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】由题意知()22424a x x a f x x x x-+'=-+=，函数()24ln f x x x a x =-+有一个极值点，由()0f x '=可得242a x x =-，则直线y a =与函数242y x x =-在()0,∞+上的图象只有一个交点（非切点）， 如下图所示：由图可知，当0a ≤时，直线y a =与函数242y x x =-在()0,∞+上的图象只有一个交点（非切点），故答案为：(],0-∞. 四、解答题17．求下列函数的导数． (1)2y x=，{}0x x ≠； (2)tan y x x =，,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．【答案】(1)22y x '=- (2)2sin cos cos x x xy x+'=【分析】（1）根据求导公式，计算即可得答案.（2）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案. 【详解】(1)()12221222y x x x x -'⎛⎫⎛⎫''===-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)()()()2sin cos sin cos sin tan cos cos x x x x x x x x y x x x x '''-⎛⎫''=⋅==⎪⎝⎭()222sin cos cos sin sin cos cos cos x x x x x x x x x xx+++==． 18．已知函数()341f x x x =-+，()f x '为函数()f x 的导数．(1)求()4f x x '<-的解集； (2)求曲线()y f x =的单调区间．【答案】(1)223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2)单调递增区间是,⎛-∞ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭，单调递减区间是⎛ ⎝⎭ 【分析】（1）求导数()f x '，直接解不等式即可；（2）由函数单调性与导数符号的关系，讨论()f x '的符号即可【详解】(1)由()341f x x x =-+得，()234f x x '=-，∴()4f x x '<-，即23440x x +-<，解得223x -<<， ∴()4f x x '<-的解集是223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2)()234f x x '=-，()2340f x x x '=-=⇒= ∴当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴()f x 的单调递增区间是,⎛-∞ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭，单调递减区间是⎛ ⎝⎭． 19．已知函数()3221f x x ax =-++，2x =是()f x 的一个极值点．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 在区间[]3,4-上的最大值和最小值． 【答案】(1)32a =(2)最大值是55，最小值是-15.【分析】（1）由函数()f x 在2x =处有极值，得()20f '=，进而求解实数a 的值； （2）利用导函数()'f x 求解函数()f x 的单调区间，进而求解最值. 【详解】(1)∵()f x 在2x =处有极值，∴()20f '=，∵()234f x x ax '=-+，∴1280a -+=，∴32a =，经检验，当32a =时，2x =是()f x 的极值点， ∴32a =． (2)由（1）知32a =，∴()3231f x x x =-++，()236f x x x '=-+， 令()0f x '=，得10x =，22x =，当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况如下表：从上表可知:()f x 在区间[]3,4-上的最大值是55，最小值是-15．20．已知函数()ln f x x =．(1)证明：不等式()1x f x -≥恒成立； (2)函数()()1x g x f x -=，证明：当()1,x ∈+∞时，()1g x x <<恒成立． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）构造函数()()1ln 1h x f x x x x =-+=-+，利用导数求函数最值即得； （2）利用（1）的结论可得()1,x ∈+∞时，ln 1x x <-，进而即得. 【详解】(1)令()()1ln 1h x f x x x x =-+=-+， 得()h x 的定义域为()0,∞+，()11h x x'=-． 令()0h x '=，得x ＝1．当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减． 又()10h =，所以()()10h x h ≤=，即恒有()1x f x -≥成立．(2)由（1）知，故当()1,x ∈+∞时，ln 1x x <-，且ln 0x >， ∴11ln x x-<， 用1x 替换x ，得11ln 1x x<-， 化简即1ln x x x-<， 综上，()1g x x <<．21．已知函数()ln 2f x x x =-，R a ∈．(1)求()f x 在x ＝1处的切线方程；(2)设()()2g x f x ax ax =-+，试讨论函数()g x 的单调性．【答案】(1)1y x =--；(2)答案见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而写出切线方程；（2）由题设可得()()()()1210ax x g x x x +-'=->，讨论0a ≥、2a <-、2a =-、20a -<<对应()g x '的区间符号，即可判断单调性.【详解】(1)因为()ln 2f x x x =-，则12f ， 所以()12f x x'=-，在x ＝1处()1121f '=-=-． 在x ＝1处切线方程：()21y x +=--，即1y x =--．(2)因为()()()22ln 2g x f x ax ax x ax a x =-+=-+-，所以()()()()1210ax x g x x x +-'=->，①若0a ≥，则当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，0g x ，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0g x ，()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． ②若0a <，()()()1210a x x a g x x x⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=->， 当2a <-时，在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上0g x ，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上0g x ， 所以()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 当2a =-时，0g x 恒成立，所以()g x 在()0,+∞上单调递增；当20a -<<时，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上0g x ，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上0g x ，所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． 综上，0a ≥，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 20a -<<，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 2a =-，()g x 在()0,+∞上单调递增；2a <-，()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. 22．已知函数()()12ln f x x ax a R x =+-∈． (1)若()f x 在x ＝1处的切线方程为4x －y －4＝0，求a 的值；(2)对于任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x >，都有()()122133f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围．【答案】(1)1a =(2)[)3,∞-+【分析】（1）求出()f x '，再根据()14f '=计算可得答案；（2）将条件变形可得()3y f x x =+在(0,+∞)上是增函数，记()()3g x f x x =+，求出()g x '，有()0g x '≥恒成立，转化为最值求解即可.【详解】(1)由已知0x >，且()2222121ax x f x a x x x ++'=++=， 由()14f '=，可得34a +=，∴1a =，经检验，符合题意(2)由已知可得，当120x x >>时，有()()112233f x x f x x +>+恒成立，即()3y f x x =+在()0,∞+上是增函数．记()()()132ln 3g x f x x x a x x=+=++-，则()2213g x a x x '=+++， ∴22130a x x +++≥在()0,∞+上恒成立，即2213a x x--≤+在()0,∞+上恒成立． ∵0x >时，有22211110x x x ⎛⎫+=+-> ⎪⎝⎭， 由2213a x x --≤+在()0,∞+上恒成立，得3a -≤，即3a ≥-， 即实数a 的取值范围为[)3,∞-+．。
2021-2022年高二数学4月月考试题 理(V)
2021-2022年高二数学4月月考试题理(V)一、选择题（每题5分，共60分）1．已知复数，则的共轭复数是（）A. B. C. D.2．等差数列的前项和，若，则( )3．设变量满足约束条件2030230xx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数的最大值为（）（A）3 （B）4 （C）18 （D）404．设，则“”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件5．设,,，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 6．若tan+ =4,则sin2=（）A、 B、 C、 D、7．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）（A）（B）（C）（D）8．在空间直角坐标系中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A． B．且C．且 D．且9．若且,则函数与函数在同一坐标系内的图像可能是( )10．已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)11．设，则的大小关系是（）A、 B、C、 D、12．已知函数11,(1)()4ln ,(1)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩则方程恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，共20分）13．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．14．=+++++2014321i i i i ．15． ．16．若等差数列满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当 时，的前项和最大.三、解答题（共70分）17．（本小题满分10分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求角C18．（本小题满分12分）已知函数32()(,)f x ax x ax a x =+-∈R ．（1）当时，求函数的极值；（2）若在区间上单调递增，试求的取值或取值范围19．（本小题满分12分）已知为公差不为0的等差数列的前项和，且，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．20．（本小题满分12分）在四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为.21．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.(Ⅰ) 求抛物线的方程；(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.22．（本小题满分12分）已知函数，（1）求函数的单调递增区间；A B C DP（2）若不等式在区间（0,+上恒成立，求的取值范围；（3）求证：e n n 21ln 33ln 22ln 444<+++保定三中xx——xx学年度第一学期4月月考高二数学（理）答案1．A【解析】解：因为22(1)11(1)(1)i i iz ii i i-===+++-，因此共轭复数为1-i2．C试题分析：假设公差为,依题意可得1323212,22d d⨯+⨯⨯=∴=.所以.故选C.3．C4．A或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.6．D【解析】因为221sin cos sin cos1tan41tan cos sin sin cos sin22θθθθθθθθθθθ++=+===，所以..7．D【解析】双曲线的渐近线方程为，由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，所以，由此可解得，所以双曲线方程为，故选D.8．D 试题分析：三棱锥在平面上的投影为，所以，设在平面、平面上的投影分别为、，则在平面、上的投影分别为、，因为，，所以，故选D.9．A试题分析：当时，抛物线开口向上，对数函数单调递增，又抛物线对称轴，故选A.10．D【解析】∵y′=′==,由于e x +≥2当且仅当e x=即x=0时等号成立,∴-1≤y ′<0,即-1≤tan α<0, 由正切函数图象得α∈.故选D.11．A 试题分析：令，则，所以函数为增函数，∴，∴，∴.又2222ln ln 2ln ln (2)ln 0x x x x x x x x x x x ---==>，∴，12．B 试题分析：∵，∴，设切点为，∴切线方程为，∴，与相同，∴，，∴，∴.当直线与平行时，直线为，当时，，当时，，当时，3311ln ln 044x x e e -=-<，所以与在，上有2个交点，所以直线在和之间时与函数有2个交点，所以，故选B.13．60．14．试题分析：由,,,,又，可得2320141i i i i i +++++=.15．．试题分析：，而根据定积分的定义可知表示圆心在原点的单位圆上半部分半圆的面积，∴112(32x dx π-=+⎰，故填：． 16．试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大. 17．【解析】解：因为2cos(A C)cos B 1,cos(A C)cos(A C)1,2sin Asin C 1a 2c sin A 2sin C11sin C=sin C=425C=66-+=∴--+=∴==∴=∴ππ∴联立方程组可知或a>c,所以A>C,所以C 为锐角， 18．（1）当时，，∴，令，则，，、和的变化情况如下表+ 0 0 + 极大值 极小值即函数的极大值为1，极小值为；（2），若在区间上是单调递增函数， 则在区间内恒大于或等于零 若，这不可能， 若，则符合条件，若，则由二次函数的性质知203(0)0a f a ⎧-<⎪⎨⎪=->⎩，即，这也不可能，所以19．试题解析：（Ⅰ）由已知，得，即2111)2()64(d a d a a +=+ 得 又由，得，故,； （Ⅱ）由已知可得，)12)(12(1751531311+-++⨯+⨯+⨯=n n T n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-+-=)121121()7151()5131()311(21n n ,20．试题分析（Ⅰ）平面底面，，所以平面， 所以,如图，以为原点建立空间直角坐标系.则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).A B C P ，，所以，，又由平面，可得，所以平面.（Ⅱ）平面的法向量为，，，所以，设平面的法向量为，，，由，，所以，，所以，所以cos452BCBC⋅===nn注意到，得.21．【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得. 所以抛物线的方程为.(Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得设,(其中),则切线的斜率分别为,,所以切线的方程为,即,即同理可得切线的方程为因为切线均过点,所以,所以为方程的两组解.所以直线的方程为.(Ⅲ) 由抛物线定义可知,, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ 联立方程,消去整理得()22200020y y x y y +-+= 由一元二次方程根与系数的关系可得, 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+ 又点在直线上,所以, 所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭ 所以当时, 取得最小值,且最小值为.22．试题分析：解：（1）∵ （∴ 令，得故函数的单调递增区间为（2）由22ln )(,ln ln xx x h x x k x x kx =≥≥令，得 则问题转化为大于等于的最大值又令当在区间（0,+）内变化时，、变化情况如下表：（3）由（2）知，∴ （∴e n n 21ln 33ln 22ln 444<+++ （ 又∵n n n )1(132121113121222-++⨯+⨯<+++＝111)111()3121()211(<-=--++-+-n n n ∴en n 21ln 33ln 22ln 444<+++ >22371 5763 坣29069 718D 熍32194 7DC2 緂24073 5E09 帉27729 6C51 汑@29877 74B5 璵22818 5922 夢diUx23095 5A37 娷B。
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2021-2022年高二数学下学期第一次月考试题4月试题文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页，满分150分．考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，，则图中阴影（）部分所表示的集合是
A. B. C. D.
2. 在复平面内,复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
3．下列说法正确的是( )
A．命题“，均有”的否定是：“，使”；
B．“”是“”的必要不充分条件；
C. 命题“若，则”的逆否命题是真命题；
D. 若命题为真则命题一定为真
4．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是( )
A．没有一个内角是钝角 B．有两个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角 D．有三个内角是钝角
5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数函数的是（）
A. B. C. D.
6. 年劳动生产率（千元）和工人工资（元）之间回归方程为，这意味着年劳动生产率每提高
1千元时，工人工资平均（）
Ａ．增加10元Ｂ．减少10元Ｃ．增加80元Ｄ．减少80元
7、演绎推理“因为指数函数（）是增函数，而函数是指数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理过程错误 D．以上都不是
8．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并由回归分析法分别求得相关指数R
甲乙丙丁
R 0.85 0.780.690.82
m 103 106124115
则哪位同学的试验结果体现A，B两变量更强的线性相关性( )
A．甲B．乙
C．丙D．丁
9. 已知
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
-
-
≤
+
=
,0
x,
)1
x(
,0
x,1
x
2
1
)x(f
2
使成立的x 取值范围是( )
A.[-4,2)
B.[-4,2]
C.(0,2]
D.(-4,2]
10.下面给出了关于复数的四种类比推理:
①若a，b∈R，则a-b＞0a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a-b＞0a＞b”;
②复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则
③ 由实数a绝对值的性质|a|2=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2;
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
其中类比得到的结论错误的是( ).
A.①③
B.②④
C.②③
D.①④
11．已知函数()m
x
)
4
m
(
x
2
x
f2
2+
-
+
=是偶函数，32
()2
g x x x m
x
=-++在内单调递减，则实数=（）
A. B. C. D.
12. 四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在1,2,3,4号位子上(如图),第一次前后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,…,这样交替进行下去,那么第2 015 次互换座位后,小兔的座位对应的是( ).
A.编号1
B.编号2
C.编号3
D.编号4
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案
填在答题卡的相应位置
13. 函数的定义域为_______________；
14．程序框图如右图所示，若，输入，则输出结果为
______________
15．已知，则 .
16．定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面是关于的判断： ① ②在[0，1]上是增函数； ③的图像关于直线对称 ④关于点P()对称 .
其中正确的判断是____
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分） 设， ，， （1）求，
(2)由（1）你能得出什么结论？
18（本小题满分12分）
已知复数，且为纯虚数 （1）求复数；
（2）若，求复数的模． 19．（本小题满分12分）
（1）若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”，请根据上表数据完成下面的2×2列联表。
（2）根据（1）中的2×2列联表，试运用独立性检验的思想方法：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为脚的大小与身高之间有关系。
参考公式：2
2
()
K ()()()()
n a d b c a bc da cb d -=++++
，其中 参考数据:
20.（本小题满分12分）已知二次函数的图象经（0，0），（1，2），（-1，-4）三点，（1）求该二次函数的解析式和最值；
（2）已知函数在（t-1，+∞）上为减函数，求实数t的取值范围．
21.（本小题满分12分）已知定义在区间上的函数为奇函数。
（1）求函数的解析式并判断函数上的单调性
（2）解关于的不等式.
22（本小题满分14分）已知函数，
（1）判断函数的奇偶性并求当时函数的单调区间；
（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D C D C A A B A B D 二填空题13. 14. 15. 3 16. ①③④
三解答题
17.【解析】
解：(1)∵A=，B={x|x≤3}；=
C R A={x| x<-2或x≥4} C R B={x| x>3}
={x| x<-2或x>3}………8分
(2) …………12分
18 【解析】
解：（1）
∴，.又b为正实数
∴b＝1.∴z＝3＋i.
，………………………………6分
（2）3(3)2771
222555
i i i i w i
i i i ++⋅--=
===-++⋅-（）（）（） ………………7分
w ∴ ………………… 12分
19. 解：
（1）
…6分
（2）假设成立：脚的大小与身高之间没有关系
K 2
的观测值2
20(51012)
8.802
614713
k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ …………………………………8分
∵，又8.802 6.635
∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为脚的大小与身高之间有关系．…………………………12分
20．【解析】设这个二次函数的解析式是y=ax+bx+c （a ≠0），把（0，0），（1，1），（-1，-4）代入得：
c ＝0 a+b+c ＝1 a −b+c ＝−3 ， 解之得 a ＝−1 b ＝2 c ＝0 ； 所以该函数的解析式为：y=-x+2x ．
因为()()
2
22111fx x x x =-+=--+≤， 当x=1时函数值最大值为1，无最小值；[]………………………………8分 (2)∵函数f (x )在(t －1，＋∞)上是减的，∴t －1≥1.∴t ≥2. …………… 12分
21．【解析】（1）是在区间上的奇函数
……………………2分
设
则121
212
1222
22
1212
()(1)()()11(1)(1)x x xx x x f x f x x x x x ---=-=++++
22
121212
0,10,(1)(1)0x x x x x x ∴-<->++> 即
函数在区间上是增函数
…………………6分
证法二：用导数证明 （2），且为奇函数
又函数在区间上是增函数111111t t
t t <-⎧⎪
∴-<<⎨⎪-<-<⎩
，解得
故关于的不等式的解集为 …………………12分
22. 解：.解：（1）函数的定义域为{且}
)(ln ||ln )()(2
2x f x x x x x f ==--=- ∴为偶函数 当时，)
1ln 2(1
ln 2)(2
+⋅=⋅+⋅='x x x
x x x x f 若，则，递减； 若， 则，递增．
得的递增区间是；递减区间是．
K39706 9B1A 鬚 K33539 8303 范23632 5C50 屐32115 7D73 絳30414 76CE 盎<22908 597C 奼C 29967 750F 甏。