平面图形的认识---三角形的认识综合提优(压轴题)
2024届中考数学压轴题攻略(湘教版)专题06 三角形的内角和与外角压轴题六种模型(解析版)
专题06三角形的内角和与外角压轴题六种模型全攻略考点一三角形内角和定理的证明考点二与平行线有关的三角的内角和问题考点三与角平分线有关的三角的内角和问题考点四三角形折叠中的角度问题考点五三角形内角和定理的应用考点六三角形外角的定义和性质考点一三角形内角和定理的证明例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）（1）如图①，直线DE 经过点A ，DE ∥BC ．若∠B ＝45°，∠C ＝58°，那么∠DAB ＝；∠EAC ＝；∠BAC ＝．(在空格上填写度数）（2）求证：在△ABC 中，∠A +∠B +∠C ＝180°．【答案】（1）45°；58°；77°（2）见解析【解析】【分析】（1）通过平行线的性质，两直线平行，内错角相等，可分别求出：45DAB ，58EAC ．由图可知：180DAB BAC EAC ，可求出：77BAC ．（2）过点A 作//DE BC ，通过平行线的性质，可得：B DAB ，C EAC所以180BAC B C BAC DAB EAC ．【详解】（1）解：∵//DE BC ，45B ，58C45B DAB ，=58C EAC∵180BAC DAB EAC18077BAC DAB EAC ，故答案是：45°，58°，77°；典型例题（2）证明：过点A 作//DE BC∵//DE BCB DAB ，C EAC∵180BAC DAB EAC180BAC B C BAC DAB EAC【点睛】本题主要考查知识点为，平行线的性质．即：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．【变式训练】1．（2022·全国·八年级专题练习）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形ABC 分成三部分，然后以某一顶点（如点B ）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：①画出命题对应的几何图形；②写出已知，求证；③受拼接方法的启发画出辅助线；④写出证明过程．请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．【答案】见解析【解析】【分析】根据要求画出△ABC ，写出已知，求证．构造平行线，利用平行线的性质解决问题即可．解：已知：△ABC ．求证：∠A +∠B +∠C =180°．证明：如图，延长CB 到F ，过点B 作BE ∥AC ．∵BE ∥AC ，∴∠1=∠4，∠5=∠3，∵∠2+∠4+∠5=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°，即∠A +∠ABC +∠C =180°．【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．2．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，ABC ,求证：180.A B C方法一证明：如图，过点A 作.DE BC ∥方法二证明：如图，过点C 作.CD AB ∥【答案】答案见解析【解析】选择方法一，过点A 作//DE BC ，依据平行线的性质，即可得到B BAD ，C EAC ，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为180 ．【详解】证明：过点A 作//DE BC ，则B BAD ，C EAC ．(两直线平行，内错角相等）∵点D ，A ，E 在同一条直线上，180DAB BAC C ．（平角的定义）180B BAC C ．即三角形的内角和为180 ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．考点二与平行线有关的三角的内角和问题例题：（2022·山东泰安·一模）如图，AB ∥CD ，EF 分别与AB ，CD 交于点B ，F ．若30E ，130EFC ，则A ______．【答案】20【解析】【分析】通过两直线平行，同位角相等，求出∠ABE 的度数，再利用三角形内角和定理求解．【详解】解：//AB CD ∵，130ABE EFC ，在△ABE 中，30E ，1801803013020A E ABE ，20A ．故答案为：20 ．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，灵活运用平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江西南昌·模拟预测）如图，直线AB ，CD 被直线BC ，EG 所截．若AB //CD ，176 ，236 ，则3 的度数为（）A ．30°B ．36C ．40D ．45【答案】C【解析】【分析】由两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE 的度数，再由三角形的内角和定理求得∠3的度数．【详解】解：∵AB //CD ，176 ，∴∠CGE ＝180°－∠1＝104°，∵∠2＋∠3＋∠CGE ＝180°，236 ，∴∠3＝180°－∠2－∠CGE ＝40°．故选：C【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，直线a b ∥，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A 、点B ，AM ⊥b ，垂足为点M ，若∠1＝56°，则∠2＝______．【答案】34°##34度【解析】【分析】先根据平行线的性质得出∠ABM 的度数，再由三角形内角和定理求出∠2的度数即可．【详解】：解：∵直线a b ∥，∠1＝56°，∴∠ABM ＝∠1＝56°，∵AM ⊥b ，垂足为点M ，∴∠AMB ＝90°，∴∠2＝180°−∠AMB −∠ABM ＝180°−56°−90°＝34°，故答案为：34°．【点睛】本题考查三角形中求角度问题，涉及到平行线的性质、三角形内角和定理，在求角度问题中，熟练运用三角形内角和是180°是解决问题的关键．考点三与角平分线有关的三角的内角和问题例题：（2022·江苏·南京市第十三中学七年级期中）在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P ，若∠P =125°，则∠A =_____°【答案】70【解析】【分析】依据BP 、CP 分别平分∠ABC 、∠ACB ，可得∠PBC =12∠ABC ，∠PCB =12∠ACB ，再根据三角形内角和定理，即可求得∠ABC +∠ACB =110°，即可求得∠A 的度数．【详解】解：∵BP 、CP 分别平分∠ABC 、∠ACB ，∠PBC =12∠ABC ，∠PCB =12∠ACB ，=180=180125=55PBC PCB P ∵，∠PBC +∠PCB =12∠ABC +12∠ACB =55°， ∠ABC +∠ACB =110°，=180=180110=70ABC ACB A ，故答案为：70．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．【变式训练】1.（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线．(1)若32B ∠，60C °，求DAE 的度数；(2)若18C B ，求DAE 的度数．【答案】(1)14°(2)9°【解析】【分析】先求∠DAC =30°，再求∠BAC =180°-32°-60°=88°，根据角的平分线计算∠EAC =1442BAC ，求得∠DAE =14°．(2)根据∠DAE =12BAC DAC =1(180)(90)2B C C =11909022B C C =12()C B ，代入计算即可．(1)∵AD 是高，AE 是角平分线，32B ∠，60C °，∴∠DAC =30°，∠BAC =180°-32°-60°=88°，∴∠EAC =1442BAC ，∴∠DAE =∠EAC -∠DAC =44°-30°=14°．(2)∵∠DAE =12BAC DAC =1(180)(90)2B C C =11909022B C C =12()C B ，18C B ，∴∠DAE =9°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形性质，角的平分线意义，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形性质是解题的关键．2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级期中）如图，ABC 中，AD BC 于点D ，E 为AC 上任意一点，连接BE 交AD 于点F ．(1)若4070ABD AFE ，，求证：BE 平分ABC ．(2)如图2，在（1）的条件下，若AFE AEF ，请直接写出图中所有直角三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)△ABC 、△ABE 、△ABD 、△ACD 、△BDF 都是直角三角形．【解析】【分析】（1）AD ⊥BC ，得∠ADB =90°，进而得∠DBF =20°，又由∠ABD =40°即可得∠DBF = 12ABD ，即可证明结论成立；（2）由AD ⊥BC 得△ABD 、△ACD 、△BDF 是直角三角形，另由∠ABE +∠AEF =20°+70°=90°，可得∠BAE =90°得△ABE 、△ABC 是直角三角形．(1)解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°，∴在Rt △BDF 中，∠DBF +∠BFD =90°，∴∠BFD +∠AFE =70°，∴∠DBF =20°，∵∠ABD =40°，∴∠DBF = 12ABD ，∴BE 平分∠ABC ；(2)解：∵AD ⊥BC ，∴△ABD 、△ACD 、△BDF 是直角三角形，∵∠ABE =∠CBE =20°，∴∠AEF =∠AFE =70°，∴∠ABE +∠AEF =20°+70°=90°，∴.在△ABE 中，∠BAE =90°，∴△ABC 、△ABE 是直角三角形，综上所述△ABC 、△ABE 、△ABD 、△ACD 、△BDF 都是直角三角形．【点睛】本题主要考查了直角三角形及角平分线与垂直，熟练掌握直角三角形的概念是解题的关键．考点四三角形折叠中的角度问题例题：（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，在三角形纸片ABC 中，65A ，75B ，将纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 外的点C 处．若225 ，则1 的度数为（）A ．115°B ．100°C ．105°D ．95°【答案】C【解析】【分析】在△ABC 中利用三角形内角和定理可求出∠C 的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE ＝∠C ′DE ，∠CED ＝∠C ′ED ，结合∠2的度数可求出∠CED 的度数，在△CDE 中利用三角形内角和定理可求出∠CDE 的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE ﹣∠C ′DE 即可求出结论．【详解】解：在△ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝40°．由折叠，可知：∠CDE ＝∠C ′DE ，∠CED ＝∠C ′ED ，∴∠CED ＝18022＝102.5°，∴∠CDE ＝180°﹣∠CED ﹣∠C ＝37.5°，∴∠1＝180°﹣∠CDE ﹣∠C ′DE ＝180°﹣2∠CDE ＝105°．故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（）.A．22°B．21°C．20°D．19°【答案】C【解析】【分析】根据三角形的内角和定理可得∠ACB＝100°，再由折叠的性质可得∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，即可求解．【详解】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝100°，∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，∴∠NCF＝20°，故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的折叠的性质、三角形内角和定理、熟练掌握图形的折叠的性质、三角形内角和定理是解题的关键．2．（2022·江苏·南京市第十三中学七年级期中）如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将ABD沿看BD翻折，使点A落在点A＇处，且A′D∥BC，A′B交AC于点E（如图2），又将△BCE沿着A′B翻折，使点C落在点C′处，若点C′恰好落在BD上（如图3），且∠C′EB=75°，则∠C=___°【答案】80°##80度【解析】【分析】先由平行线性质得：A =∠CBE ，再由折叠可得：∠A =∠A ，∠ABD =∠DBE =∠CBE ，BC E =∠C ，则∠A =∠ABD =∠DBE =∠CBE ，由三角形内角和定理知180BC E C EB DBE ，而75C EB ，可求得105C DBE ，然后由∠A +∠C +∠ACB =180°，则∠C +4∠DBE =180°，即可求出∠C 度数．【详解】解：∵A ′D ∥BC ，∴A =∠CBE ，由折叠可得：∠A =∠A ，∠ABD =∠DBE =∠CBE ，BC E =∠C ，∴∠A =∠ABD =∠DBE =∠CBE ，∵180BC E C EB DBE ，75C EB ，∴105BC E DBE ，∴105C DBE ，∵∠A +∠C +∠ACB =180°，∴∠C +4∠DBE =180°，∴∠C =80°，故答案为：80°．【点睛】本题考查平行线的性质，折叠性质，三角形内角和定理，求出105C DBE 和∠C +4∠DBE =180°是解题的关键．考点五三角形内角和定理的应用例题：（2022·河南南阳·二模）小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD 与直角边AB 相交于点F ，斜边∥DE BC ，∠B ＝30°，∠E ＝45°，则∠CFB 的度数是（）A ．95°B ．115°C ．105°D ．125°【答案】C【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质可得45D ，再由平行线的性质得出45BCF ，再由三角形的内角和定理进行求解即可．【详解】CDE ∵是直角三角形，∠E ＝45°，45D ，∵∥DE BC ，45BCF D ，180,30B BCF BFC B ∵，105CFB ，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式训练】1．（2022·福建省福州第十六中学七年级期中）如图，直线MN PQ ∥，点A 在直线MN 与PQ 之间，点B 在直线MN 上，连接AB ．ABM 的平分线BC 交PQ 于点C ，连接AC ，过点A 作AD PQ 交PQ 于点D ，作AF AB 交PQ 于点F ，AE 平分DAF 交PQ 于点E ，若45CAE ，52ACB DAE ，则ACD 的度数是（）A ．18B ．27C ．30°D ．45【答案】B【解析】【分析】设DAE ，则EAF ，52ACB ，先求得180BCE CEA ，即可得到AE BC ∥，进而得出ACB CAE ，即可得到18DAE ，再依据Rt ACD △内角和即可得到∠ACD 的度数．【详解】设DAE ，则EAF ，52ACB ，∵,AD PQ AF AB ，∴90BAF ADE ，∴90BAE BAF EAF ，90CEA ADE DAE ，∴BAE CEA ，∵MN PQ ∥，BC 平分∠ABM ，∴BCE CBM CBA ，又∵360ABC BCE CEA BAE ，∴180BCE CEA ，∴AE BC ∥，∴ACB CAE ，即5452，∴18 ，∴18DAE ，∴在Rt ACD △中，9090)451827(ACD CAD ，故答案为：B ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形内角和定理，解题关键在于得出ACB CAE ．2．（江西省吉安市六校联谊联考2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，点G 在边AB 上，点E 、F 在边AC 上，70AGF ABC ，12180(1)试判断BF 与DE 的位置关系，并说明理由；(2)若DE AC ，30 CDE ，求A 的度数．【答案】(1)BF ∥DE ，理由见解析(2)50【解析】【分析】（1）先证FG CB ∥，得出∠1=∠3，进而得出23180 ，最后证得DE BF ；（2）由DE AC ，可知∠DEC =90°，进而∠C =60°，根据三角形内角和定理最后求得∠A 的度数．(1)解：BF DE ，理由如下：∵70AGF ABC ，∴FG CB ∥，∴13 ，又12180 ，∴23180 ，∴DE BF ．(2)解：∵DE AC ，∴90CED ，30CDE ∵，60C ，∴180180706050A ABC C ．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练地掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．考点六三角形外角的定义和性质例题：（2022·四川·成都七中七年级期中）如图，已知7AOB ，一条光线从点A 出发后射向OB 边．若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A ，此时90783A ．当83A 时，光线射到OB 边上的点1A 后，经OB 反射到线段AO 上的点2A ，易知12 ．若12A A AO ，光线又会沿21A A A 原路返回到点A ，此时A ______°．若光线从A 点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A ，则锐角A 的最小值 ______°．【答案】766【解析】【分析】根据入射角等于反射角得出1290783 ，再由1 是1AA O 的外角即可得A 度数；如图，当MN OA 时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出5 、9 的度数，从而得出与A 具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题．【详解】解：12A A AO ∵，7AOB ，1290783 ，176A AOB ，如图：当MN OA 时，光线沿原路返回，4390783 ，654837769027AOB ，8767679037AOB ，98697629047AOB ，由以上规律可知，9027A n ，当6n 时，A 取得最小值，最小度数为6 ，故答案为：76，6．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与A 具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键．【变式训练】1．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，∠BCD ＝145°，则∠A +∠B +∠D 的度数为_____．【答案】145°【解析】【分析】连接AC 并延长，延长线上一点为E ．由三角形外角的性质可得：DCE D DAC ，BCE E BAC ．所以可得：145DAB B D DAC BAC B D DCE BCE BCD【详解】解：连接AC 并延长，延长线上一点为E∵DCE 是ACD △的外角DCE D DAC同理可得：BCE B BAC145DAB B D DAC BAC B D DCE BCE BCD故答案为145 ．【点睛】本题主要考查知识点为，三角形中外角的性质．即：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和．本题需根据已知和所求作出辅助线．掌握外角的性质是解决本题的关键．2．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处七年级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(1)如图1，AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B＝55°，∠D＝40°，则∠BPD＝°；(2)如图2，AB∥CD，点P在AB、CD外部（CD的下方），则∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系为；(3)如图3，直接写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系为；(4)如图4，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是°．【答案】(1)95(2)∠BPD+∠D=∠B(3)∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD(4)360【解析】【分析】（1）延长BP交CD于点E，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求解；（2）根据AB∥CD，得∠B=∠BOD，再由三角形外角的性质即可求证；（3）连接BD，由∠BQD+∠QBP+∠DBP+∠BDP+∠PDQ=180°，∠DBP+∠BDP+∠BPD=180°即可求解；（4）连接AD，由∠B+∠F=∠EHF，∠GAD+∠ADG=∠EGH，∠EHF+∠EGH+∠E=180°，∠CAD+∠ADC+∠C=180°，即可求解；(1)解：延长BP交CD于点E，∵AB∥CD，∠B＝55°，∴∠B=∠BED=55°，∵∠D＝40°，∴∠BPD＝∠D+∠BED＝95°．故答案为：95．(2)∵AB∥CD，∴∠B=∠BOD，∵∠BPD+∠D=∠BOD，∴∠BPD+∠D=∠B．故答案为：∠BPD+∠D=∠B．(3)连接BD，∵∠BQD+∠QBP+∠DBP+∠BDP+∠PDQ=180°，∠DBP+∠BDP+∠BPD=180°，∴∠BQD+∠QBP+∠PDQ-∠BPD=0，∴∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD．故答案为：∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD．(4)如图，连接AD，∵∠B+∠F=∠EHF，∠GAD+∠ADG=∠EGH，∠EHF+∠EGH+∠E=180°，∴∠B+∠F+∠GAD+∠ADG+∠E=180°，∵∠CAD+∠ADC+∠C=180°，∴∠B+∠F+∠GAD+∠ADG+∠CAD+∠ADC+∠C+∠E=360°．故答案为：360．【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，掌握相关知识并结合题意正确做出辅助线是解题的关键．一、选择题1．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图，直线a b ∥，若∠1＝70°，∠2＝30°则∠3的度数是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．无法计算【答案】A 【分析】如图，根据平行线的性质求出∠4＝∠1＝70°，然后根据三角形外角的性质得出答案．【详解】解：如图．∵a ∥b ，∠1＝70°，∴∠4＝∠1＝70°，∵∠4＝∠3＋∠2，∠2＝30°，∴∠3＝∠4−∠2＝70°−30°＝40°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解答本题的关键．2．（2022·湖北·武汉市光谷实验中学七年级阶段练习）如图，已知AB CD ∥，1113 ，265 ，则C 的度数是（）A ．43B ．58C ．48D ．65【答案】C 【分析】根据平行线的性质，由AB CD ，得1113EGD ．根据三角形外角的性质，得2EGD C ，那么248C EGD ．【详解】解：AB CD ∥∵，1113 ，课后训练1113EGD ．2EGD C ∵，265 ，21136548C EGD ．故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决本题的关键．3．（2022·山东聊城·七年级期末）如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，若∠2=50°，则∠1的大小是（）A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理得360 ，根据平行线的性质得4250 ，根据平角定义即可求解．【详解】解：如图所示，由题意得，3180903060 ，∵AB CD ∥，250 ，∴4250 ，∴11804370 ，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．4．（2022·江苏连云港·七年级阶段练习）如图所示，将长方形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C 处，折痕为EF ，若∠ABE =20°，那么EFC 的度数为（）A．115°B．120°C．125°D．130°【答案】C【分析】根据折叠的性质知∠BEF=∠DEF，而∠AEB的度数可在Rt△ABE中求得，由此可求出∠DEF的度数，再根据平行线的性质即可得解．【详解】解：Rt△ABE中，∠ABE=20°，∴∠AEB=70°，由折叠的性质知：∠BEF=∠DEF，∠EFC=EFC，而∠BED=180°-∠AEB=110°，∴∠DEF=55°，∵AD∥BC，∴∠EFC=180°-∠DEF=125°．=125°．∴EFC故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质以及图形的翻折变换，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．5．（2022·四川眉山·七年级期末）如图，△ABC中CD平分∠ACB，点M在线段CD上，且MN⊥CD交BA 的延长线于点N．若∠B=30°，∠CAN=96°，则∠N的度数为（）A．22°B．27°C．30°D．37°【答案】B【分析】由∠CAN是△ABC的外角可得∠ACB，由CD平分∠ACB可得∠BCD；再由∠CDN是△BCD的外角求得∠CDN；△DMN中再由三角形内角和定理即可解答；【详解】解：∵∠CAN是△ABC的外角，∴∠CAN=∠B+∠ACB，∵∠B=30°，∠CAN=96°，【答案】28°##28度【分析】根据折叠的性质得出∠【详解】解：过E点将∠A∴∠DEN=∠HEN，∠AEM=【答案】11或29【分析】讨论：如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，根据平行线的判定，当∠OEC′=∠B=40°时，C′D′∥AB，则根据三角形外角性质计算出∠C′OC=110°，从而可计算出此时△COD绕点O顺时针旋转110°得到△C′OD′所需时间；如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，利用平行线的判定得当∠OFC″=∠B=40°时，C″D″∥AB，根据三角形内角和计算出∠C″OC=70°，则△COD绕点O顺时针旋290°得到△C″OD″，然后计算此时旋转的时间．【详解】如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，则∠C′OD′=∠COD=90°，∠OC′D=∠C=70°，当∠OEC′=∠B=40°时，C′D′∥AB，∴∠C′OC=∠OEC′+∠OC′E=40°+70°=110°，∴△COD绕点O顺时针旋转110°得到△C′OD′所需时间为110÷10=11（秒）；如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，则∠C″OD″=∠COD=90°，∠OC″D″=∠C=70°，当∠OFC″=∠B=40°时，C″D″∥AB，∴∠C″OC=180°-∠OFC″-∠OC″F=180°-40°-70°=70°，∴△COD绕点O顺时针旋转的角度为：360°-70°=290°，∴△COD绕点O顺时针旋得到△C″OD″所需时间为290÷10=29（秒）；综上所述，在旋转的过程中，在第11秒或29秒时，边CD恰好与边AB平行．故答案为：11或29【答案】1207或22.5【分析】设BAE x，EDF y，根据题意可用中有两个内角相等可分类讨论，结合三角形内角和定理列出方程组，即可解答．【详解】设BAE x，EDF y，∵13BAE BAC，14EDF∵AE 是BC 边上的高线，∴∠BEA =90°，∴∠BAE =180°-∠B -∠BEA =55°，∵∠DAE =∠BAE -∠BAD ，∴∠DAE =55°-40°=15°，即∠DAE 为15°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的知识，掌握三角形内角和为180°是解答本题的关键．12．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室七年级期末）如图，已知直线,,AB CD AC 上的点M ，N ，E 满足ME NE ，90,AME CNE ACD 的平分线CG 交MN 于G ，作射线GF AB ∥．(1)直线AB 与CD 平行吗？为什么？(2)若66CAB ，求CGF 的度数．【答案】(1)平行，理由见解析(2)123【分析】（1）利用已知条件和三角形内角和定理，通过等量代换可得180A ACD ，由同旁内角互补，两直线平行，可得//AB CD ；（2）利用,66AB CD CAB ∥，求出ACD ，再利用角平分线的定义求出GCD ，再证GF CD ∥，利用两直线平行，同旁内角互补，即可求出CGF ．（1）解：//AB CD ．理由如下：∵ME NE ，∴90MEN ，∴90AEM CEN ，∵180A AEM AME ，180ACD CEN CNE ，∴360A ACD AEM CEN AME CNE ，∵90AME CNE ，90AEM CEN ，∴180A ACD ，∴//AB CD ；（2）解：∵66AB CD CAB ∥， ，360A A A DA A EA ，12360A DA A EA ∵，12A A ，由折叠可得：A A ，212A ，故答案为：212A ；（3）如图③，2DME A ∵，1A DME ，由折叠可得：A A ，1222A A A ，212802456A ，28A ．故答案为：28 ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解．14．（2022·江苏·沭阳县外国语实验学校七年级阶段练习）已知ABC 、DEF 是两个完全一样的三角形，其中90ACB DFE ，30A D ．(1)将它们摆成如图①的位置（点E 、F 在AB 上，点C 在DF 上，DE 与AC 相交于点G ）．求AGD 的度数．(2)将图①的ABC 固定，把DEF 绕点F 按逆时针方向旋转(0180)n n ．①当DEF 旋转到DE ∥AB 的位置时（如图2），n _________；②若由图①旋转后的EF 能与ABC 的一边垂直，则n 的值为_________．【答案】(1)∠AGD ＝150°；(2)①60；②60或90或150．【分析】（1）根据三角形外角的性质先求出∠DEA ，再求出∠AGD 即可；（2）①根据平行线的性质求出∠E＝∠EFA＝60°可得答案；②分情况讨论：当EF⊥AC时；当EF⊥AB时；当EF⊥BC时，分别作出图形求解即可．（1）解：∵∠DFE＝90°，∠D＝30°，∴∠DEA＝30°＋90°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠AGD＝∠DEA＋∠A＝120°＋30°＝150°；（2）①∵∠DFE＝90°，∠D＝30°，∴∠E＝60°，∵DE∥AB，∴∠E＝∠EFA＝60°，∴n＝60；故答案为：60；②分情况讨论：当EF⊥AC于点G时，如图，则∠AGF＝90°，由三角形内角和定理可得：∠EFA＝180°−90°−30°＝60°，∴n＝60；当EF⊥AB时，如图，∴∠EFA＝90°，∴n＝90；当EF⊥BC于点H时，如图，则∠BHF＝90°，∴∠EFA＝∠B＋∠BHF＝60°＋90°＝150°，∴n＝150；综上，n的值为60或90或150，故答案为：60或90或150．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是要考虑全面，不要漏解，作出图形会更加直观．15．（2022·山西·测试·编辑教研五七年级期末）教材呈现：如图是华师版七年级下册数学教材第76页的部分内容．如图，已知ABC 分别用1 、2 、3 表示ABC 的三个内角，证明123180 ．解：延长BC 至点E ，以点C 为顶点，在BE 的上侧作2DCE ，则CD ∥BA （同位角相等，两直线平行）(1)请根据教材提示，结合图一，将证明过程补充完整．(2)结论应用：①如图二，在ABC 中，60A ，BP 平分ABC ，CP 平分ACB ，求BPC 的度数；②如图三，将ABC 的A 折叠，使点A 落在ABC 外的1A 处，折痕为DE ．若A ，1BDA ，1CEA ，则 、 、 满足的等量关系为______（用含 、 、 的代数式表示）．【答案】(1)见解析(2)①120 ；②2【分析】（1）利用平行线的性质得2DCE ，1ACD 即可解答；（2）①利用角平分线的定义和三角形内角和定理可得；②根据四边形BCFD 内角和为360 ，分别表示出各角得出等式即可．（1）。
平面图形的认识---三角形的认识综合提优(压轴题)
平面图形的认识---三角形的认识综合提优如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E.(1)若∠B=35°,∠ACB=85°，求∠E的度数；(2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明。
已知如图，射线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE 平分∠COF。
（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC∶∠OFC的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由。
如图，AD⊥BD，AE平分∠BAC，∠B＝30°，∠ACE＝110°．求∠AED的度数．现有两块大小相同的直角三角板△ABC、△DEF，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝∠D＝30°． (1)将这两块三角板摆成如图①的形式，使B、F、E、A在同一条直线上，点C在边DF上，DE与AC相交于点G，试求∠AGD的度数；(2)将图①中的△ABC固定，把△DEF绕着点F逆时针旋转成如图②的形式，当旋转的角度等于多少度时，DF∥AC?并说明理由．如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，D为边BC上一点（D与B、C不重合），连接AD，∠ADB的平分线所在直线分别交直线AB、AC于点E、F．（1）求证：2∠AED-∠CAD=170°；（2）若∠ABC=∠ACB=n°，且D为射线CB上一点，（1）中其他条件不变，请直接写出∠AED与∠CAD的数量关系．（用含n的代数式表示）如图，O是△ABC的3条角平分线的交点，0G⊥BC，垂足为G．(1)猜想：∠BOC与∠BAC之间的数量关系，并说明理由；(2)∠DOB与∠GOC相等吗?为什么?如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C直角顶点X在△ABC内部，若∠A=30?，则ABC+ ∠ACB= ?，∠XBC+∠XCB= ?；(2)如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边Xy、XZ仍然分别经过点B、C，直角顶点X还在△ABC内部，那么∠ABX+∠ACX的人小是否变化?若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．来源学科网如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，ABC V 的顶点都在方格纸格点上.将ABC V 向左平移2格，再向上平移4格.(1)请在图中画出平移后的'''A B C V ;(2)再在图中画出ABC V 的高CD ; (3)在图中能使PBCABC S S V V 的格点P 的个数有个(点P 异于A ).(1)已知：如图，DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，EF ⊥AB ，∠1＝∠2，求证：CD ⊥AB ．证明：∵DG ⊥BC ，AC ⊥BC （已知）∴∠DGB ＝∠ACB ＝90°（垂直定义）∴DG //AC (___________________________________) ∴∠2＝_______(___________________________________) ∵∠1＝∠2(______________) ∴∠1＝∠DCA （等量代换）∴EF //CD (___________________________________) ∴∠AEF ＝∠ADC (___________________________________) ∵EF ⊥AB （已知）∴∠AEF ＝90°(___________________________________) ∴∠ADC ＝90°∴CD ⊥AB (___________________________________)AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC=70°.（1）求∠EDC的度数；（2）若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．如图，在△ABC中，∠B=31°，∠C=55°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，DF⊥AE于F，求∠ADF的度数．RtΔABC中，∠C=90°，点D、E分别是ΔABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠.（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠=50°，则∠1+∠2= ___________ °；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠、∠1、∠2之间有何关系？（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由。
平面图形的认识(一)(提升篇)(Word版 含解析)
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为________；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD−∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．【答案】（1）∠PFD＋∠AEM=90°（2）过点P作PG∥AB∵AB∥CD，∴PG∥AB∥CD，∴∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG∵∠MPN=90°∴∠NPG－∠MPG=90°∴∠PFD－∠AEM=90°；（3）设AB与PN交于点H∵∠P=90°，∠PEB＝15°∴∠PHE=180°－∠P－∠PEB＝75°∵AB∥CD，∴∠PFO=∠PHE=75°∴∠N=∠PFO－∠DON=45°．【解析】【解答】（1）过点P作PH∥AB∵AB∥CD，∴PH∥AB∥CD，∴∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH∵∠MPN=90°∴∠MPH＋∠NPH=90°∴∠PFD＋∠AEM=90°故答案为：∠PFD＋∠AEM=90°；【分析】（1）过点P作PH∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PH∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH，然后根据∠MPH＋∠NPH=90°和等量代换即可得出结论；（2）过点P作PG∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PG∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG，然后根据∠NPG－∠MPG=90°和等量代换即可证出结论；（3）设AB与PN 交于点H，根据三角形的内角和定理即可求出∠PHE，然后根据平行线的性质可得∠PFO=∠PHE，然后根据三角形外角的性质即可求出结论．2．（1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，则∠GEF 的度数为________；（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；答：∠GEF=▲ .证明：过点 E 作 EH∥AB，∴∠FEH=∠BFE（▲），∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）∴EH∥CD（▲），∴∠HEG=180°-∠CGE（▲），∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .（3）深入探究：如图 2，∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P，试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论.【答案】（1）90°（2）解：∠GEF＝∠BFE＋180°−∠CGE，证明：过点 E 作 EH∥AB，∴∠FEH=∠BFE（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）∴EH∥CD（平行线的迁移性），∴∠HEG=180°-∠CGE（两直线平行，同旁内角互补），∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE＋180°−∠CGE ，故答案为：∠BFE＋180°−∠CGE；两直线平行，内错角相等；平行线的迁移性；两直线平行，同旁内角互补；∠BFE＋180°−∠CGE；（3）解：∠GPQ＋∠GEF＝90°，理由是：如图2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF−∠PFM＝∠CGP−∠BFQ，∴∠GPQ＋∠GEF＝∠CGE− ∠BFE＋∠GEF＝ ×180°＝90°.即∠GPQ＋∠GEF＝90°.【解析】【解答】（1）解：如图1，过E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠HEF＝∠BFE＝40°，∠HEG＋∠CGE＝180°，∵∠CGE＝130°，∴∠HEG＝50°，∴∠GEF＝∠HEF＋∠HEG＝40°＋50°＝90°；故答案为：90°；【分析】（1）如图1，过E作EH∥AB，根据平行线的性质可得∠HEF＝∠BFE＝40 ，∠HEG＝50 ，相加可得结论；（2）由①知：∠HEF＝∠BFE，∠HEG＋∠CGE＝180°，则∠HEG＝180°−∠CGE，两式相加可得∠GEF＝∠BFE＋180°−∠CGE；（3）如图2，根据角平分线的定义得：∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，由三角形的外角的性质得：∠GPQ＝∠GMF−∠PFM＝∠CGP−∠BFQ，计算∠GPQ＋∠GEF并结合②的结论可得结果.3．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．（1）若，，求∠D的度数；（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD= ∠ABC= ×75°=37.5°，∵CD平分△ABC的外角，∴∠DCA= (180°-∠ACB)= (180°-45°)=67.5°，∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-37.5°-67.5°-45°=30°.（2）解：猜想：∠ D = ( ∠ M + ∠ N − 180 ° ).∵∠M+∠N+∠CBM+∠NCB=360°,∴∠D=180°- ∠CBM-∠NCB- ∠NCE.=180°- (360°-∠NCB-∠M-∠N)- ∠NCB- ∠NCE.=180°-180°+ ∠NCB+ ∠M+ ∠N-∠NCB- ∠NCE.= ∠M+ ∠N- ∠NCB- ∠NCE= ,或写成【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠DBC=37.5°，根据邻补角定义以及角平分线定义求得∠DCA的度数为67.5°，最后根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数；(2)由四边形内角和与角平分线性质即可求解.4．已知，如图，在四边形ABCD中，，延长BC至点E，连接AE交CD于点F，使（1）求证：；（2）求证：；（3）若BF平分，请写出与的数量关系________ 不需证明【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，∴∠BAF=∠CAD；（2）证明：∵∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，∴∠B=∠D，∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠D+∠BCD=180°，∴AD∥BE；（3）2∠AFB+∠CAF=180°【解析】【解答】解：(3)如图2,∵AD∥BE,∴∠E=∠1=∠2，∵BF平分∠ABC，∴∠3=∠4，∵∠AFB是△BEF的外角，∴∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，∴∠AFB=3+∠2，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2=180°，即2∠AFB+∠CAF=180°.故答案为：2∠AFB+∠CAF=180°.【分析】（1）根据∠BAC=∠DAE，运用等式性质即可得出∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，进而得到∠BAF=∠CAD；（2）根据∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，可得∠B=∠D，最后根据∠B+∠BCD=180°，可得∠D+∠BCD=180°，进而判定AD∥BE；（3）根据AD∥BE，可得∠E=∠1=∠2，再根据BF平分∠ABC，可得∠3=∠4，根据∠AFB是△BEF的外角，得出∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，即∠AFB=3+∠2，最后根据AD∥BC，得到∠ABC+∠BAD=180°，进而得到2∠AFB+∠CAF=180°．5．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为________度。
【中考数学】平面图形的认识(二)压轴解答题专题练习及答案
【中考数学】平面图形的认识（二）压轴解答题专题练习及答案一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．问题情境：如图1，已知， .求的度数.（1）经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作，根据平行线有关性质，可得 ________.（2）问题迁移：如图3，，点P在射线OM上运动，， .①当点P在A，B两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由.②如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系，（3）问题拓展：如图4，，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________.2．如图，长方形中，，为边上一点，将长方形沿折叠( 为折痕)，使点与点重合，平分交于，过点作交于点，（1）求证:（2）若，求的度数3．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F.（1）如（图1），当AE⊥BC时，求证：DE∥AC（2）若∠C＝2∠B，∠BAD＝x°（0＜x＜60）①如（图2），当DE⊥BC时，求x的值.②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由.4．如图1，直线CB∥OA，∠A=∠B=120°，E ,F在BC上，且满足∠FOC =∠AOC，并且OE 平分∠BOF．（1）求∠AOB及∠EOC的度数；（2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB: ∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；5．如图1，已知点A，点D在BC上方，过点A，D分别作CD，AB的平行线，两条平行线交于点M(点M在BC下方)，且与BC分别交于E，F两点，连结AD。
（1）∠BAM与∠CDM相等吗？请说明理由。
（2）根据题中条件，判断∠AEF，∠DFE，∠BAE三个角之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，Q是AD下方一点，连结AQ，DQ，且∠DAQ= ∠BAD，∠ADQ= ∠ADC，若∠AQD=112°，请直接写出∠BAE的度数。
天津市七年级数学试卷平面图形的认识(二)压轴解答题复习题(附答案)
天津市七年级数学试卷平面图形的认识（二）压轴解答题复习题(附答案)一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F.（1）如（图1），当AE⊥BC时，求证：DE∥AC（2）若∠C＝2∠B，∠BAD＝x°（0＜x＜60）①如（图2），当DE⊥BC时，求x的值.②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由.2．如图，已知AM//BN，∠A=600.点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN.（1）求∠ABN的度数（2）当点P运动时，∠CBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数。
若变化，请写出变化规律.（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数。
3．小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下.（1）如图1，已知，则成立吗？请说明理由.（2）如图2，已知，平分，平分 . 、所在直线交于点，若，，求的度数.（3）将图2中的线段沿所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若，，其他条件不变，得到图3，请你求出的度数（用含m，n的式子表示）.4．如图，现有一块含有30°的直角三角板ABC，且l1∥l2，其中∠ABC=30°。
（1）如图(1)，当直线l1 和l2分别过三角板ABC的两个顶点时，且∠1=35°，则∠2=________°（2）如图(2)，当∠ADE=80°时，求∠GFB的度数。
（3）如图(3)，点Q是线段CD上的一点，当∠QFC=2∠CFN时，请判断∠ADE和∠QFG的数量关系，并说出理由。
5．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.小明:老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即已知:如图1，，为、之间一点，连接，得到 .求证:小明笔记上写出的证明过程如下:证明:过点作，∴∵，∴∴ .∵∴请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.（1）如图，若，，则 ________.（2）如图，，平分，平分，，则________.6．如图①，将两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成正方形ABCD．（1）正方形ABCD的面积为________，边长为________，对角线BD=________；（2）求证：；（3）如图②，将正方形ABCD放在数轴上，使点B与原点O重合，边AB落在x轴的负半轴上，则点A所表示的数为________，若点E所表示的数为整数，则点E所表示的数为________7．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．（1）求证：∠BAG＝∠BGA；（2）如图2，若∠ABG＝50°，∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求∠AFC 的度数；（3）如图3，线段AG上有一点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，请直接写出的值．8．如图，直线CB和射线OA，CB//OA，点B在点C的右侧.且满足∠OCB＝∠OAB＝100°，连接线段OB，点E、F在直线CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF.（1）求∠BOE（2）当点E、F在线段CB上时（如图1），∠OEC与∠OBA的和是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由。
中考数学 平面图形的认识(二)压轴解答题(附答案)
中考数学平面图形的认识（二）压轴解答题(附答案)一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．如图，已知AM//BN，∠A=600.点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN.（1）求∠ABN的度数（2）当点P运动时，∠CBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数。
若变化，请写出变化规律.（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数。
2．如图，现有一块含有30°的直角三角板ABC，且l1∥l2，其中∠ABC=30°。
（1）如图(1)，当直线l1 和l2分别过三角板ABC的两个顶点时，且∠1=35°，则∠2=________°（2）如图(2)，当∠ADE=80°时，求∠GFB的度数。
（3）如图(3)，点Q是线段CD上的一点，当∠QFC=2∠CFN时，请判断∠ADE和∠QFG的数量关系，并说出理由。
3．直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点。
（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α=50°，则∠2=________°。
（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；（3）若点P在直线CD的下方，如图③，(2)中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由。
4．课题学习：平行线的“等角转化功能.（1）问题情景：如图1，已知点是外一点，连接、，求的度数.天天同学看过图形后立即想出：，请你补全他的推理过程.解：（1）如图1，过点作，∴ ________， ________.又∵，∴ .解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.（2）问题迁移：如图2，，求的度数.（3）方法运用：如图3，，点在的右侧，，点在的左侧，，平分，平分，、所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数.5．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.小明:老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即已知:如图1，，为、之间一点，连接，得到 .求证:小明笔记上写出的证明过程如下:证明:过点作，∴∵，∴∴ .∵∴请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.（1）如图，若，，则 ________.（2）如图，，平分，平分，，则________.6．在中，为直线AC上一点，E为直线AB上一点，（1）如图1，当D在AC上，E在AB上时，求证；（2）如图2，当D在CA的延长线上，E在BA的延长线上时，点G在EF上，连接AG，且，求证：（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG,当BG平分时，将沿着AG折至探究与的数量关系．7．AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E．∠ADC＝70°．（1）求∠EDC 的度数；（2）若∠ABC＝30°，求∠BED 的度数；（3）将线段 BC沿 DC方向移动，使得点 B在点 A的右侧，其他条件不变，若∠ABC＝n°，请直接写出∠BED 的度数（用含 n的代数式表示）．8．已知直线AB//CD,P是两条直线之间一点，且AP⊥PC于P.（1）如图1,求证：∠BAP+∠DCP=90°；（2）如图2，CQ平分∠PCG,AH平分∠BAP,直线AH、CQ交于Q,求∠AQC的度数；9．△ABC中， AD为∠BAC的平分线，AF为BC边上的高.（1）若∠B=38°，∠C=76°，求∠DAF的度数.（2）若∠B=m°，∠C=n°，（m<n）.求∠DAF的度数（用含m、n的式子表示）.（3）若∠C-∠B=30°，则∠DAF=________度.（填空）10．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE 平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．11．如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．（1）将图①中的三角板OMN沿BA方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON=30°，如图③，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（3）将图①中的三角尺COD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针防线旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，MN恰好与CD平行；第几秒时，MN恰好与直线CD垂直．12．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G 在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．（1）证明：∵AM//BN∴∠A+∠ABN=180°∵∠A=60°∴∠ABN=180°−∠A=180°−60=120°（2）解：如图，没有变化。
第6章平面图形的认识(一)(提优卷)学生版
20232024学年苏科版数学七年级上册章节真题汇编检测卷（提优）第6章平面图形的认识（一）考试时间：120分钟试卷满分：100分难度系数：0.56姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•海门市期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），则下列结论一定成立的是（）A．∠BAD≠∠EAC B．∠DAC﹣∠BAE＝45°C．∠DAC+∠BAE＝180°D．∠DAC﹣∠BAE＝90°2．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）下列说法错误的是（）A．对顶角相等B．两点之间所有连线中，线段最短C．等角的补角相等D．过任意一点P，只能画一条直线3．（2分）（2022秋•连云港期末）如图，点C、D分别为线段AB（端点A、B除外）上的两个不同的动点，点D在点C的右侧，图中所有线段的和等于60cm，且AB＝3CD，则CD的长度是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm4．（2分）（2022秋•海安市期末）将一副三角尺按不同位置摆放．下列摆放方式中α与β互补的是（）A．B．C．D．5．（2分）（2022秋•常州期末）已知线段AB＝15cm，C是线段AB上的一点．若在射线AB上取一点D，使得C是AD的中点，且，则线段AC的长度是（）A．5cm B．3，5cm C．9cm D．5，9cm6．（2分）（2022秋•鼓楼区期末）如图，∠BOC在∠AOD的内部，且∠BOC＝x°，∠AOD＝y°，则图中所有角的度数之和为（注：图中所有角均指小于180°的角）（）A．x+3y B．2x+2y C．3x+y D．3y﹣x7．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）下列说法正确的是（）A．若AC＝BC，则点C为线段AB中点B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，数学原理是“两点确定一条直线”C．已知A，B，C三点在一条直线上，若AB＝2，BC＝4，则AC＝6D．已知C，D为线段AB上两点，若AC＝BD，则AD＝BC8．（2分）（2021秋•秦淮区期末）如图，点A、B、C在同一直线上，H为AC的中点，M为AB的中点，N为BC的中点，则下列说法：①MN＝HC；②MH＝（AH﹣HB）；③MN＝（AC+HB）；④HN＝（HC+HB），其中正确的是（）A．①②B．①②④C．②③④D．①②③④9．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝16°，则∠EAF的度数为（）A．40°B．45°C．56°D．37°10．（2分）（2019秋•扬州期末）下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（）A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻：．（结果形如6点分）12．（2分）（2022秋•秦淮区期末）如图，C为线段AB上一点，点E、F分别是线段AC、CB的中点，AB＝8，则线段EF的长为．13．（2分）（2017秋•滨海县期末）如图，在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短．你认为同学的说法是正确的．14．（2分）（2020秋•邗江区校级月考）3：30时钟表上的时针与分针的夹角是度．15．（2分）（2022秋•高新区期末）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知D 是折线A﹣C﹣B的“折中点”，E为线AC的中点，CD＝1，CE＝3，则线段BC的长为．16．（2分）（2022秋•兴化市校级期末）若一个角的补角等于它的余角4倍，则这个角的度数是度．17．（2分）（2022秋•句容市校级期末）如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB，若∠AOB＝130°，则∠COD＝．18．（2分）（2022秋•秦淮区期末）如图，A、B是河l两侧的两个村庄，现要在河l上修建一个抽水站，使它到A、B两村庄的距离之和最小．数学老师说：连接AB，则线段AB与l的交点C即为抽水站的位置．其理由是：．19．（2分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直．20．（2分）（2021秋•秦淮区期末）一副三角板AOB与COD如图1摆放，且∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）．设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β，α+β＝度．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•姑苏区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠NOD的度数；（2）如果ON与CD互相垂直，那么∠1＝∠2吗？请说明理由．22．（6分）（2022秋•惠山区校级期末）如图，已知点C是线段AB上一点，点D是线段AB的中点，若AB ＝10cm，BC＝3cm．（1）求线段CD的长；（2）若点E是直线AB上一点，且BE＝2cm，点F是BE的中点，求线段DF的长．23．（8分）（2022秋•赣榆区校级月考）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）（1）画直线AB；（2）画射线AC；（3）连接BC并延长BC到E，使得CE＝AB+BC；（4）在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小．24．（8分）（2022秋•惠山区校级期末）解答题：（1）如图，若∠AOB＝120°，∠AOC＝40°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数；（2）若∠AOB，∠AOC是平面内两个角，∠AOB＝m°，∠AOC＝n°（n＜m＜180°），OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数．（用含m、n的代数式表示）：25．（8分）（2022秋•南通期末）定义：从∠MPN的顶点P引一条射线PQ（不与PM重合），若∠QPN+∠MPN ＝180°，则称射线PQ为∠MPN关于边PN的补线．（1）下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是；（填序号）（2）如图，O是直线AB上一点，射线OC，OD在AB同侧，OD是∠BOC的平分线，则OC是∠AOD关于边OD的补线吗？为什么？（3）已知射线OC为∠AOB关于边OB的补线，OP是∠BOC的平分线．若∠AOB＝α，试用含α的式子表示∠AOP（直接写出结果）．26．（8分）（2021秋•东台市期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作d1（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作d2（点M，线段AB）．特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．已知点A表示的数为﹣5，点B表示的数为2．如图，若点C表示的数为3，则d1（点C，线段AB）＝1，d2（点C，线段AB）＝8．（1）若点D表示的数为﹣7，则d1（点D，线段AB）＝，d2（点D，线段AB）＝；（2）若点M表示的数为m，d1（点M，线段AB）＝3，则m的值为；若点N表示的数为n，d2（点N，线段AB）＝12，则n的值为．（3）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．27．（8分）（2022秋•海门市期末）已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部，∠COD＝60°．（1）如图1，若∠BOD＝30°，求∠AOC的度数；（2）如图2，若OE平分∠BOC，请说明：∠AOC＝2∠DOE；（3）如图3，若在∠AOB的外部分别作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，试探究∠AOP，∠BOQ，∠COD 三者之间的数量关系，并说明理由．28．（8分）（2018秋•盱眙县期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后OM恰好平分∠BOC，则t＝（直接写结果）（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后OC平分∠MON？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒∠MOC＝36°？请说明理由．。
中考数学 平面图形的认识(二)压轴解答题100
中考数学平面图形的认识（二）压轴解答题100一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．已知 ABC，P 是平面内任意一点（A、B、C、P 中任意三点都不在同一直线上）.连接 PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°.（1）如图，当点 P 在 ABC 内时，①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝________；②探究 s、t、x、y 之间的数量关系，并证明你得到的结论.（2）当点P 在 ABC 外时，直接写出s、t、x、y 之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形.2．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F.（1）如（图1），当AE⊥BC时，求证：DE∥AC（2）若∠C＝2∠B，∠BAD＝x°（0＜x＜60）①如（图2），当DE⊥BC时，求x的值.②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由.3．如图1，直线CB∥OA，∠A=∠B=120°，E ,F在BC上，且满足∠FOC =∠AOC，并且OE 平分∠BOF．（1）求∠AOB及∠EOC的度数；（2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB: ∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；4．如图，，，，点D，C，E在同一条直线上.（1）完成下面的说理过程∵，（已知）∴，（垂直的定义）.∴ .∴，（________）.∴ .（________）又∠B=∠D，∴∠B=∠BCE，∴AB//CD. （________）（2）若∠BAD=150°，求∠E的度数.5．如图，在△ABC中，点E在AC边上，连结BE，过点E作DF∥BC，交AB于点D.若BE 平分∠ABC，EC平分∠BEF.设∠ADE＝α，∠AED＝β.（1）当β＝80°时，求∠DEB的度数.（2）试用含α的代数式表示β.（3）若β＝kα（k为常数），求α的度数（用含k的代数式表示）.6．己知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面图形的认识---三角形的认识综合提优
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点
E.
(1)若∠B=35°,∠ACB=85°，求∠E的度数；
(2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明。
已知如图，射线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE 平分∠COF。
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC∶∠OFC的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由。
如图，AD⊥BD，AE平分∠BAC，∠B＝30°，∠ACE＝110°．求∠AED的度数．
现有两块大小相同的直角三角板△ABC、△DEF，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝∠D＝30°． (1)将这两块三角板摆成如图①的形式，使B、F、E、A在同一条直线上，点C在边DF上，DE与AC相交于点G，试求∠AGD的度数；
(2)将图①中的△ABC固定，把△DEF绕着点F逆时针旋转成如图②的形式，当旋转
的角度等于多少度时，DF∥AC?并说明理由．
如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，D为边BC上一点（D与B、C不重合），连接AD，∠ADB的平分线所在直线分别交直线AB、AC于点E、F．
（1）求证：2∠AED-∠CAD=170°；
（2）若∠ABC=∠ACB=n°，且D为射线CB上一点，（1）中其他条件不变，请直接写出∠AED与∠CAD的数量关系．（用含n的代数式表示）
如图，O是△ABC的3条角平分线的交点，0G⊥BC，垂足为G．
(1)猜想：∠BOC与∠BAC之间的数量关系，并说明理由；
(2)∠DOB与∠GOC相等吗?为什么?
如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C直角顶点X在△ABC内部，若∠A=30?，则ABC+ ∠ACB= ?，∠XBC+∠XCB= ?；
(2)如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边Xy、XZ仍
然分别经过点B、C，直角顶点X还在△ABC内部，那么∠ABX+∠ACX的人小是否变化?若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
来源学科网
如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，ABC V 的顶点都在方格纸格点上.将
ABC V 向左平移2格，再向上平移4格.
(1)
请在图中画出平移后的'''A B C V ; (2)
再在图中画出ABC V 的高CD ; (3)在图中能使PBC ABC S S V V 的格点P 的个数有个(点P 异于A ).
(1)已知：如图，DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，EF ⊥AB ，∠1＝∠2，求证：CD ⊥AB ．
证明：∵DG ⊥BC ，AC ⊥BC （已知）
∴∠DGB ＝∠ACB ＝90°（垂直定义）
∴DG //AC (___________________________________)
∴∠2＝_______(___________________________________)
∵∠1＝∠2(______________)
∴∠1＝∠DCA （等量代换）
∴EF //CD (___________________________________)
∴∠AEF ＝∠ADC (___________________________________)
∵EF ⊥AB （已知）
∴∠AEF ＝90°(___________________________________)
∴∠ADC ＝90°
∴CD ⊥AB (___________________________________)。