三角函数模型的简单应用
用ｊaｖascript语句可表示成：
movｅTo(a，0);
ｆｏr(i＝0;ｉ<n;i++) {
x=a*Mａth.coｓ(i＊2＊Mａtｈ．ＰＩ／ｎ）;
y=b*Maｔh.siｎ(ｉ＊2*Ｍath．PＩ/n）;
lｉneTo(x,y);
}
这里ａ=b，为圆形,否则a≠b为椭圆。如果把y＝b*Matｈ．ｓiｎ（i*2＊Mａｔh．PI/n)改成ｙ＝b*Ｍatｈ.siｎ(ｉ＊4＊Matｈ.PI/n),则圆形变成8字形。如果写成
三角函数模型的简单应用
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三角函数模型的简单应用
2014-20１5
南春中学 1０3班
组长:李烁瀚
组员：周约翰 冯文二 蔡岱翰
指导老师：李锦纯
课题研究的开展
课题研究:
探究三角函数模型在计算机绘图中的应用。
研究目的:
开阔视野，增长见识,提高我们的数学素养，使我们能更好地学习和应用数学。
研究过程:
１．准备阶段:从各种渠道收集相关资料
2.实施阶段： ①确定研究内容
②从互联网和图书馆查阅相关资料
③小组内交流讨论成果
④编写相关程序
3．总结阶段:由组长整理和汇总相关资料和成果并写成报告。
利用鼠标坐标设计以下程序,使程序生成的模型物体-鱼跟随鼠标移动。程序采用Ｆｌash的ＡｃtionＳcripｔ编写。
[SWF(bａckgrｏundCoｌor=0x0０eeｆf,widtｈ=６４0,height=４8０）]
var sp:Sprｉｔe＝addＣｈiｌd(new Sprite(）)as Sprｉｔｅ；
三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟,如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。
varz０:Ａrｒａｙ＝[[],［],[］,[］,[],［],[],[],［］，［]，[],［],[］,[],[],［]，[]，[]，[]];
这里c＝循环周期除以3。
三色渐变着色曲线
组合渐变着色曲线
图6渐变着色深度曲线
有时动画涉及层深变化,采用周期渐变着色能增加透视效果(周期渐变效果见图5)
有时曲线涉及交叉，为了使交叉处着色一致,需要ｕv方向渐变着色。u向渐变着色也可理解成环形渐变着色,v向渐变着色可以理解成轴向渐变着色。
图7uｖ渐变着色效果
图2 通过加修饰生成的曲线
图3通过乘修饰生成的曲线
图4利着色使用周期渐变效果)
在具体操作中,我们对生成的图像进行着色，利用三角函数模型可以使着色产生渐变效果。
使用三色渐变函数模型可以直接滤除曲线小于０部分，突出红、绿和蓝三颜色,具体程序编写如下：
Maｔｈ.cos(t＊p/ｎ) <0?r＝0:r=25５*Math.cｏs(t*p/n);
在计算机程序的开发中，通常需要图像的绘制。通常情况下，可以在开发环境下使用直线、形状等图形控件直接绘图。具有占用系统资源少、运行速度快、代码简洁、可以在开发界面直接浏览完成图像等特点。然而，控件绘图法无法进行动态绘图,但利用三角函数创作曲线、着色、模型、动画可以产生不错的效果。
下面举一实例：
简单曲线画法
sp.y=-200,ｓp.ｘ=３20;
ｖar px:Arｒaｙ=[0,0,0,0,0，0,０,０,0,0,0，0,０,０,0,0,0,0],ｐp:Arraｙ=[];
vaｒ ｐz：Arｒay=[0,０,0,０,0,0,0,0，0,0,０，0,0,0,0,０，0,０],yuｒ:Aｒray=[];
varｘ0:Ａrray＝[[],[]，［]，[],[],[]，［],［],[],[］，[］,[],[］,［],[]，[],[],[],［]];
Math．cos（(t+c)*ｐ/n)<0?g=0:g=255＊Ｍａtｈ.cos（(t+c)*p/n);
Mａth．cos(（ｔ+2*c)*p／ｎ) <0?b=0:b=255*Math．cos((t+2＊c)*p/n）；
同时使用更细分一些的组合渐变,可以组合成红、黄、绿、青、蓝、紫色：
Matｈ.cｏs(t＊p/n)+0.5＜0?ｒ=０:(Math.cｏｓ(t＊p／n)+0．5＞１?r=255：r=255*(0.5+Ｍatｈ．cos(t*p/n)));ﻩMaｔh.cos((t+ｃ)*p/n)+0.５<0?g＝0:(Math．ｃｏｓ((t+c）＊p/n)+0．５>1?g=255:g=25５＊(0．５＋Ｍath.ｃos((t+c)*p/ｎ)));ﻩMaｔh.cos((t＋2＊c)＊p／n)+0.5＜0?ｂ＝0:(Math.cos(（t+2＊c)＊p/n)+0.5>１?ｂ＝2５５:ｂ=25５*(0.5+Ｍaｔh.cos（(t+２*ｃ)＊p／n)）);
研究成果：
三角函数学的发展,由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久,在古代,由于古代天文学的需要,为了计算某些天体的运行行程问题,需要解一些球面三角形,在解球面三角形时,往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形,这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。
x=a＊Math.ｃos(i*ｍ＊Math.PI/ｎ)；
ｙ=b*Ｍａth.sin(i*(n)*Mａtｈ.PＩ／ｎ)；
其中m不能为偶数,n=ｍ+１,或n=m－1。
则图形为：
图1例子中,更改m、n变量产生的结果
完成一个图形后，对这个函数图像进行修饰，对函数图像进行修饰的过程中，应用加修饰、乘修饰和嵌入修饰。通过利用正弦余弦的嵌入方式只改变b2，在曲线的交汇点处产生偏移，避免重合,产生藤编效果。
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用
一、引言
三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将介
绍三角函数模型在实际问题中的简单应用，包括振动、音乐、天文等方面。
二、振动模型
振动是物理学中常见的现象，三角函数模型可以很好地描述振动的特性。
例如，在弹簧振子中，物体在平衡位置附近偏离并摆动，可以用正弦
函数描述振动的过程。
振动的周期、频率和振幅等因素可以通过三角函数
进行计算和预测。
三、音乐模型
音乐是艺术与科学的结合，三角函数模型在音乐中也有着重要的应用。
音乐的基本要素包括音高、音长和音色等。
三角函数可以帮助我们理解和
创建不同音调的声音，例如正弦函数可以生成纯音，而复杂的乐曲可以通
过多个三角函数的叠加来表示。
四、天文模型
三角函数模型在天文学中也扮演着重要的角色。
例如，我们可以使用
正弦函数来描述地球公转和自转的运动规律。
通过对三角函数模型的运用，我们可以计算出日出、日落以及季节变化等现象，并预测天文事件的发生
时间和位置。
五、结论
三角函数模型的简单应用涵盖了振动、音乐和天文等多个领域。
通过
对三角函数的理解和运用，我们可以更好地理解和解释各种现象，并进行
相关问题的计算和预测。
在实际应用中，对三角函数模型的灵活运用将有
助于我们解决各类问题。
《三角函数模型的简单应用》 讲义
《三角函数模型的简单应用》讲义一、引言在我们的日常生活和学习中，三角函数的应用无处不在。
从物理学中的振动、波动现象，到天文学中的星体运动，再到工程技术中的信号处理等，三角函数都发挥着重要的作用。
通过建立三角函数模型，我们能够更直观、更准确地描述和解决许多实际问题。
接下来，让我们一起深入探讨三角函数模型的简单应用。
二、三角函数的基础知识在深入研究三角函数模型的应用之前，我们先来回顾一下三角函数的基本概念和性质。
我们最常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
它们的定义如下：正弦函数：对于一个角θ，sinθ ＝对边/斜边余弦函数：cosθ ＝邻边/斜边正切函数：tanθ ＝对边/邻边三角函数具有周期性，正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
此外，三角函数还满足一些重要的公式和关系，如：sin²θ ＋cos²θ ＝ 1sin(α ＋β) ＝sinαcosβ ＋cosαsinβcos(α ＋β) ＝cosαcosβ sinαsinβ这些基础知识是我们构建三角函数模型的基石。
三、三角函数模型在物理学中的应用1、简谐运动简谐运动是一种周期性的运动，其位移与时间的关系可以用正弦函数或余弦函数来描述。
例如，一个弹簧振子的位移 x 随时间 t 的变化规律可以表示为 x ＝A sin(ωt ＋φ)，其中 A 是振幅，ω 是角频率，φ 是初相位。
通过这个模型，我们可以计算振子在不同时刻的位移、速度和加速度，从而深入了解简谐运动的特点。
2、波动现象在物理学中，波的传播也可以用三角函数模型来描述。
例如，对于一列沿 x 轴正方向传播的平面简谐波，其波动方程可以表示为 y ＝ A sin(ω(t x/v) ＋φ)，其中 v 是波速。
通过这个方程，我们可以分析波的传播特性，如波长、频率等。
四、三角函数模型在天文学中的应用1、星体的运动轨迹许多星体的运动轨迹可以近似看作是圆周运动，而圆周运动的位置可以用三角函数来表示。
1.6 三角函数模型的简单应用
1 A (30 10) 10 2
1 b (30 10) 20 2 1 2 14 6, 2 8
8 3 代入(*)式，解得 4
综上，所求解析式为：
3 y 10sin( x ) 20, x [6,14] 8 4
注：
一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的 温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围。
例2：画出函数 y | sin x | 的图象并观察其周期。
解：函数图象如图所示：
从图中可以看出，函数y | sin x |是以 为周期的波浪形曲线。
我们也可以这样验证： 由于 | sin( x ) || sin x || sin x | 所以，函数 y | sin x | 是以 为周期的函数。 注： 利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的 认识，这是研究数学问题的常用方法。
例4：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。 一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进 航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口在 某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 3：00 水深/米 5.0 7.5 时刻 9：00 12：00 水深/米 2.5 5.0 时刻 18：00 21：00 水深/米 5.0 2.5
一、三角函数模型的应用：
例1：如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
y A sin( x ) b
(1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式。 解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是 20 C 。 (2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数 y A sin( x ) b (*) 的半个周期的图象 将 A 10, b 20, , x 6, y 10
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件5.5三角函数模型的简单应用
解得
π
φ=2kπ-12 ,k∈Z.
π
π
由- <φ< ,
2
2
所以
π
φ=- .
12
所以
π
f(x)=2sin(2x-12 ),故选
C.
规律方法
给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法
(1)逐一定参法:先通过图象确定A和ω,再选取“第一零点”(即“五点法”作图
中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析
它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题
的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
2π
又||=12,取
则有
又
π
ω=6 ,
π
h=Asin6 t,
π
h(3)=Asin2 =A=-6,
故所求解析式为
π
h=-6sin6 t.
重难探究·能力素养速提升
探究点一 由y=Asin(ωx+φ)的图象确定其解析式(或参数值)
【例 1】 函数
π
π
f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-2 <φ<2 )的部分图象如图所示,
A.x轴上
B.最低点
C.最高点
D.不确定
解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.
1 2 3 4 5
三角函数模型的简单应用
(1)将 t＝0 代入 s＝4sin2t＋π3，得 s＝4sin π3＝2 3， 所以小球开始振动时的位移是 2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是 π，所以小球往复振动一次所用的时间是 πs.
[归纳升华] 处理物理学问题的策略
(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完 成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本 的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题.
(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器.
三角函数在物理中的应用 自主练透型
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化规律为 s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个 函数的简图，并回答下列问题：
∴0≤π6t≤4π.② 由①②得π6≤π6t≤56π 或163π≤π6t≤167π. 化简得 1≤t≤5 或 13≤t≤17. ∴该船最早能在凌晨 1 时进港，下午 17 时出港，在港内最多可停留 16 小时．
[归纳升华] 在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图； (2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管 理提供依据．
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数 y＝Asin ωt＋b 的图象． (1)试根据以上数据，求出函数 y＝f(t)的近似解析式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为 是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距 离)为 6.5 米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多 长时间(忽略进出港所需的时间)
数学建模案例教学课题—《三角函数模型的简单应用》教学设计
高中数学高中数学新课程中数学建模教学案例—《三角函数模型的简单应用》教学设计常德市第六中学卢杰一、教学分析教材分析：本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.学情分析：本节课是在学习学习了第一章函数的应用和三角函数的性质和图象的基础上来习三角函数模型的简单应用，学生已经有了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该顺理成章，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题的能力，提高应用所学知识的能力.二、教学目标1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.三、教学重点、难点教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.四．教学过程设计四、教学反思1、三角应用题的一般步骤是：①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．②建模：根据已知条件与求解目标，数学模型．③求解：利用三角形，求得数学模型的解．④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2、通过已知三角函数图象求三角函数解析式，构建三角函数模型解决实际问题．在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界, 是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器, 同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力．增进了他们对数学的理解和应用数学的信心．作者姓名：卢杰单位名称：常德市六中地址：湖南省常德市第六中学，415000手机：137****3283邮箱：*******************。
16三角函数模型的简单应用
(2)由题意，水深 y≥4.5＋7， 即 y＝3sinπ6t＋10≥11.5，t∈[0,24]， ∴sinπ6t≥12，π6t∈2kπ＋π6，2kπ＋56π，k＝0,1， ∴t∈[1,5]或 t∈[13,17]， 所以，该船在 1∶00 至 5∶00 或 13∶00 至 17∶00 能安全 进港．
离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略 离港所用的时间)
解 (1)从拟合的曲线可知，函数 y＝Asin ωt＋B 的一个周期 为 12 小时，因此 ω＝2Tπ＝π6.又 ymin＝7， ymax＝13，∴A＝12(ymax－ymin)＝3， B＝12(ymax＋ymin)＝10. ∴函数的解析式为 y＝3sinπ6t＋10 (0≤t≤24)．
单调递增区间：[k , k ](k Z )
2
单调递减区间：[k , k ](k Z )
2
零点为 x k , k Z;
对称轴为 x k , k Z .
2
例 2 某港口水深 y(米)是时间 t (0≤t≤24，单位：小时)的 函数，下面是水深数据： t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似 的看成正弦函数型 y＝Asin ωt＋B 的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出 y＝Asin ωt＋B 的解析式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于 4.5 米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为 7 米， 那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全
∴函数y=|sinx|的图象可由y=sinx的图象变换而得：
高中课件 三角函数模型的简单应用
1.通过对三角函数模型的简单应用的学习， 初步学会由图象求解析式的方法； 2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的 过程； 3.体会三角函数是描述周期变化现象的重要 函数模型．
在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用
数学语言可以说这些现象具有周期性1、，物理情而景—我—们所学的三角
①简谐运动
.
（2）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 （米），所以
当y≥5.5时就可以进港.令
化简得
sin
6
x
2.5 sin
0.2
6
x
5
5.5
由计算器计算可得
6
x
0.2014,或来自6x0.2014
y
6
4
AB
CD
2
O
3 6 9 12 15 18 21 24
x
解得 xA 0.3848, xB 5.6152
1.6三角函数模型的简单应 用
本节课以三角函数各种实践生活中的模型让学生 体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建 模”思想,从而培养学生建模、分析问题、数形结合、 抽象概括等能力．
让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解 决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴 趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、 勤于思考的精神.
分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为——
南，北回归线之间的地带.画出图形如下，由画图易知
H
A
B
C
解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回 归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太 阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情 况考虑，此时的太阳直射纬度为-23º26'，依题意两楼的间 距应不小于MC.
最全三角函数概念模型的简单应用完整版.doc
第一课时： 1.6 三角函数模型的简单应用（一） 教学要求：掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；选择合理三角函数模型解决实际问题；培养学生用已有的知识解决实际问题的能力. 教学重点：待定系数法求三角函数解析式. 教学难点：选择合理数学模型解决实际问题. 教学过程：一、复习准备：1. 函数f (x )的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位所得的曲线是1sin 2y x =的图像，试求()y f x =的解析式.2. 函数sin(),(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值是-2，其图象最高点与最低点横坐标差是3π，且图象过点(0,1)，求函数解析式.二、讲授新课：1. 教学典型例题：① 出示例1：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++，试求这段曲线的函数解析式.讨论：如何由图中的几何特征得到曲线的各参量？（由周期、振幅确定A 、b 、ω；再由特殊点确定初相ψ） 教师示例 → 小结：观察几何特征，转化为相应的数量关系.② 练习：如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.（i ）试根据图象写出sin()y A t ωϕ=+的解析式.（ii ）在任意一段3100秒的时间内，电流I 既能取得最大值A ，又能取得最小值－A 吗？（答案：1003sin()33I t ππ+； 由3350100T =>得不可能） ② 出示例2：作出函数y ＝｜sin x ｜的图象，指出它的奇偶性、周期和单调区间. 讨论：绝对值的几何意义？ → 作简图 → 由图说性质变式：研究y ＝｜cos x ｜、y ＝｜tan x ｜. 小结：数形结合思想研究函数性质. 2. 练习：如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s 厘米和时间t 秒的函数关系为6sin(2)6s t ππ=+.（1）单摆摆动5秒时，离开平衡位置多少厘米？（2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为多少厘米？ （3）单摆来回摆动10次所需的时间为多少秒？ 3. 小结：给图求式；给式应用；待定系数法. 三、巩固练习：1. 练习：教材P73 练习1题.2. 作业：书P73 习题1、2题.第二课时： 1.6 三角函数模型的简单应用（二）教学要求：掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；选择合理三角函数模型解决实际问题；培养学生用已有的知识解决实际问题的能力.教学重点：待定系数法求三角函数解析式；用三角函数模型解决实际问题. 教学难点：选择合理数学模型解决实际问题. 教学过程：一、复习准备：1. 函数sin()(0,0,)y A x A ωϕωϕπ=+>><最高点D 的坐标是(2,，由最高点运动到相邻的最低点时，函数图象与x 轴的交点坐标是(4，0)，求此函数的表达式. （答案：4y x π）2. 讨论：如何由图观察得到三角函数的各系数？ 如何确定初相？（特殊点法）3. 讨论：在现实生活中，哪些现象具有周期性？（温度、白昼、振动、情绪、智力、体力等） 二、讲授新课：1. 教学三角函数应用模型：① 出示例：某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记为y =)(t f ，下（i ）根据以上数据求出y =)(t f 的近似表达式；（ii ）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？教法：从表中读到一些什么数据？ → 依次求各系数 → 应用模型解决问题 答案：3sin106ty π=+（0≤t ≤24）； 13（小时）. 小结：读取与分析表中的数据，是一种数学思维能力的训练. 求得模型后，把第（2）问的情景转化为一个简单的三角不等式，再运用整体思想，借助函数的图象或者单位圆可以求解. ② 练习：某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，经过长期观察，该函数的图象可以近似地看成sin()y A t b ωϕ=++. 下表是测得的某日各时的浪高数据：2. 练习：某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元. 该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元. （1）试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式;（2）假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数.3. 小结：三角函数应用模型的三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；而是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题. 三、巩固练习：作业：读《数学周报》第43期第2版文章《三角函数模型应用举例》赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．米 Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．y 系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：)图(1)图(2)2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． 故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593；③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56． 综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++） （2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-（舍），2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可） （3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形E M N H 、矩形M F G N ，使矩形MF G N ∽矩形ABCD ．令MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=．B A D E MF2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩ 解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱112233445A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式；（3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15，B 图(1)图(2)l4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。
三角函数在生活中的应用
三角函数在生活中的应用
三角函数在生活中的应用非常广泛，以下是一些具体的例子：
1. 导航和测量：在地理学和导航系统中，三角函数被广泛用于确定位置和导航路线。
例如，使用正弦函数可以计算出一个船只或飞机相对于地平线的高度，而使用余弦函数可以帮助计算两地之间的距离和方位角。
2. 音乐学：在音乐学中，三角函数也有重要的应用。
例如，正弦函数可以用来描述声音的波动，音乐中的音调和和弦也可以用三角函数来表示。
3. 光学：在光学中，三角函数被广泛应用于描述和计算光线的传播、折射和反射。
我们可以利用三角函数来计算出反射镜或折射体中光线的角度和路径。
4. 建筑和工程：在建筑和工程中，三角函数常用于测量高度、距离和角度。
例如，工程师可以使用三角函数来计算建筑物的高度、角度和结构的稳定性。
5. 航海和航空：航海员和飞行员使用三角函数来计算船舶或飞机的位置、航向和速度。
三角函数也用于制定航线和导航系统。
6. 电磁学：电磁学中常用交流电，而交流电可以用三角函数（特别是正弦函数和余弦函数）来描述。
此外，复数函数常用正弦函数和余弦函数的复变函数表示。
7. 日常生活：在现实生活中存在大量具有周期性变化的现象，比如农业中筒车中盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系、物理中
的简谐运动等。
这些都可以借助三角函数来描述。
总的来说，三角函数在生活中的应用非常广泛，几乎无处不在。