刘徽数学成就
刘徽割圆术和定积分方法
刘徽割圆术和定积分方法刘徽是中国古代数学家、天文学家和地理学家，他的著作《九章算术》在中国数学史上有着非常重要的地位。
刘徽在数学领域的贡献众多，其中包括刘徽割圆术和定积分方法两个重要的成就。
刘徽割圆术是刘徽在几何学中的一项杰出成就。
在中国数学史上，刘徽被尊为“割圆术”之祖。
刘徽割圆术是指通过逐步不断地用正多边形来逼近圆周，从而求出圆周的长度。
刘徽发现，如果一个正多边形的边数不断增加，那么它的周长就会趋向于圆的周长。
这样，他便构造出一个近似于圆周长的方法，成为了一种割圆的技术。
刘徽在这一方法中首次提出了极限思想，也就是不断地逼近某个值。
这种思想在现代数学中被称为极限思想，极限思想被广泛应用于微积分和数学分析等学科领域。
刘徽在割圆术的发展过程中，提出了许多新的思想和概念，对后世的数学发展产生了深远的影响。
在数学中，刘徽的定积分方法是他在微积分领域的又一杰出贡献。
定积分是微积分的一个重要概念，是将一个函数在一个区间上的取值进行求和得到近似于该函数在整个区间上取值的一个方法。
刘徽在其著作中提出了用“无限小”思想来解决问题的方法，并且这种思想在现代数学中得到了广泛的运用。
刘徽的定积分方法为后世的微积分学发展提供了重要的理论基础。
通过刘徽的方法，人们可以将一个问题进行分割，然后逐步求和，得到最终的结果。
这种思想成为了微积分学中的核心思想之一，也被应用于多个领域，包括物理学、工程学和经济学等。
刘徽在割圆术和定积分方法的研究中，提出了许多开创性的思想和概念，为数学的发展作出了巨大的贡献。
他开拓了数学的新领域，丰富了数学的内涵，对后世的数学学科发展起到了关键的作用。
刘徽的割圆术和定积分方法不仅在当时产生了深远的影响，而且对现代数学学科的发展具有重要的启发作用。
刘徽小故事50字
刘徽小故事50字
刘徽，我国古代著名数学家，生于公元250年左右，他是魏晋时期的杰出人物。
在他的学术生涯中，刘徽为数学领域做出了许多重要贡献，特别是在几何学方面。
刘徽的数学成就举世瞩目。
他所著的《九章算术》是我国古代数学的经典之作，对后世产生了深远影响。
在《九章算术》中，他详细阐述了勾股定理及其在实际生活中的应用，进一步发展了勾股定理的理论体系。
此外，刘徽还首次提出了“极限”的概念，对后世数学的发展产生了重要影响。
关于刘徽的小故事有很多，其中最著名的要数“割圆术”。
故事中，刘徽为了求得圆的面积，采用了一种巧妙的方法：将圆割成无数个小三角形，然后计算这些小三角形的面积和。
通过这种方法，刘徽成功求得了圆的面积，并为后世留下了宝贵的数学财富。
刘徽的影响和地位不容忽视。
他的学术成果不仅在古代中国享有盛誉，还对近现代数学的发展产生了深远的影响。
如今，刘徽的名字已经成为了数学领域的一个象征，代表了我国古代数学家的聪明才智和创新精神。
总之，刘徽是我国古代数学领域的杰出代表，他的成就和贡献不仅为后世留下了宝贵的知识财富，还展现了中国古代数学家的智慧和才能。
刘徽的数学成果
刘徽的数学成果刘徽生于公元c.220年，他是中国东汉末年至三国时期的人物。
刘徽在数学领域的成就主要体现在他的著作《九章算术》中，这是一本集大成的数学著作，包含了中国古代数学的重要内容。
《九章算术》是刘徽集合了当时数学家们的研究成果，整理而成的。
这本著作共分为九章，分别是《术数》、《方程》、《几何》、《焉程》、《方田》、《精卫》、《雉尾》、《盈不足》和《杂》。
每章都涵盖了各个领域的数学问题，包括算术、代数、几何等。
在《九章算术》中，刘徽提出了许多重要的数学理论和方法。
例如，在《术数》章中，他介绍了一种解一元二次方程的方法，这被认为是中国古代数学中的一项重要突破。
他还提出了一种计算圆周率的方法，在《几何》章中详细描述了如何利用正多边形逼近圆，从而计算出圆周率的近似值。
这种方法在当时是非常先进的。
除了这些数学理论和方法，刘徽还在《九章算术》中介绍了许多实际应用的数学问题。
例如，在《焉程》章中，他提出了一种测量高度的方法，通过测量阴影长度和光线角度的变化来计算物体的高度。
这种方法在古代的土木工程中得到了广泛的应用。
刘徽的数学成果不仅在中国有着深远的影响，而且对世界数学的发展也起到了积极的推动作用。
他的数学思想和方法在中国古代数学的发展中起到了重要的引领作用，为后来的数学家们提供了宝贵的经验和启示。
刘徽是中国古代数学领域的重要人物，他的数学成果主要体现在他的著作《九章算术》中。
他在数学理论、方法和应用方面的贡献，对中国古代数学的发展起到了重要的推动作用，同时也对世界数学的发展产生了积极的影响。
刘徽的数学成果为后世的数学研究者们提供了宝贵的经验和启示，他的贡献将永远被人们铭记。
刘徽的数学贡献
刘徽的数学贡献刘徽（公元220年-280年），字叔度，中国东晋时期的数学家。
他是中国古代数学史上的杰出人物之一，被誉为“东晋数学之祖”。
刘徽一生致力于数学的研究和教育工作，为中国古代数学的发展做出了重要贡献。
他的数学成就不仅体现在理论上的探索，还广泛应用于实际问题的解决。
他的数学著作《九章算术注》被认为是我国古代数学的巅峰之作，至今仍然被广泛研究和应用。
首先，刘徽在数学理论的发展上作出了突出贡献。
他的《九章算术注》系统地总结了中国古代的数学知识，并进行了深入的解释和注解。
这部著作包括了算术方面的九个章节，如加减乘除、九章算术注等，凝结了大量的数学知识和技巧。
他对于数学的各种运算方法进行了分类整理，并对问题的解题思路进行了详细解析。
这些理论成果为后世数学家提供了重要的研究基础，并对中国古代数学的发展产生了深远影响。
其次，刘徽的数学成就还具有很强的实用性。
他的研究不仅限于理论，还涉及到了实际问题的解决。
他通过数学方法解决了很多实际生活和工程上的难题，如土木工程的测量、水利工程的设计等。
他提出了测量天体距离的方法，被称为“刘徽天文定位法”，成为古代航海和导航的重要工具之一。
他的实用性研究使得数学在日常生活和实际工程中得到广泛应用，促进了古代社会的发展和进步。
此外，刘徽注重数学教育的普及和推广，为数学在中国社会的发展做出了积极贡献。
他在教学中强调实践和交互，提倡学以致用。
据记载，他曾亲自执教并积极推动数学教育的发展。
他的教学方法注重培养学生的实际操作能力和问题解决能力，为后世的数学教育提供了借鉴与启示。
综上所述，刘徽是中国古代数学发展史上的重要人物，他的数学贡献不仅体现在理论的探索上，更体现在实际问题的解决和数学教育的推广上。
他的数学著作和研究成果为后世数学家提供了宝贵的研究资源，对中国古代数学的发展和应用产生了深远影响。
刘徽的数学思想和方法，为我们今天的数学研究和教育提供了重要的借鉴与启示，值得我们不断学习和探索。
简述刘徽的主要数学贡献
简述刘徽的主要数学贡献
刘徽是中国古代数学家之一，他的主要数学贡献包括以下几个方面：
1. 著作了《九章算术注》和《海岛算经》
刘徽为《九章算术》做了注释，在注释的过程中，他证明了大量几何问题的解法，其中包括一些重要的数学定理，如刘徽定理和刘徽体积公式等。
此外，他还著作了《海岛算经》，其中讨论了测量和几何问题。
2. 创新了数学方法
刘徽在数学方法上有很多创新，其中包括“齐同术”、“分数的通分”、“刘徽倍数术”等。
这些方法不仅为当时的数学研究提供了重要的工具，而且对于现代数学的发展也有很大的影响。
3. 证明了大量数学定理
刘徽在数学中证明了大量定理，其中包括“刘徽定理”、“刘徽体积公式”、“刘徽割圆术”等。
这些定理不仅在当时的数学研究中具有重要的意义，而且对于现代数学的研究也有很大的启示作用。
4. 提出了数学教育思想
刘徽在数学教育方面也有很大的贡献，他提出的“以筹为意”、“广引事例”、“审于接通，而精于证明”等教育思想，对于当时的数学教育产生了深远的影响，并且对于我们今天的数学教育也具有重要的启示作用。
总之，刘徽是中国古代数学史上的杰出人物之一，他的数学贡献对于中国数学的发展产生了深远的影响，并且对于我们今天的数学研究和实践也具有重要的启示作用。
刘徽数学成就ppt
05
刘徽数学精神
勤奋好学精神
注重打好数学基础
刘徽重视数学知识的基本概念和原理，强调对数学基础 的学习和掌握。
勤奋不辍
刘徽在学习数学的过程中，表现出极高的勤奋和努力， 他不断钻研数学难题，持续拓展数学知识。
求真务实精神
注重实践应用
刘徽的数学成就源于他关注实际应用，他致力于将数学知识 应用于实际问题中。
追求真理
刘徽在研究数学问题时，不断追求真理和准确性，他对数学 原理的证明和运用要求极高。
创新探索精神
创新思维
刘徽在解决数学问题时，拥有极高的创新思维和独特的见解，他的数学方法 和思想对后世影响深远。
勇于探索
刘徽不满足于已有的数学成果，他勇于探索新的数学领域和问题，他在代数 学、几何学等领域都有所建树。
04
刘徽数学方法
极限思想方法
极限思想是一种重要的数学思想， 是在研究变量的变化过程中，通过 观察变量在某一时刻的变化趋势， 得出变量在某一时刻的值。刘徽在 《九章算术注》中，提出了“不可 分量可积，而一毫不失”的观点， 这种观点就是现在所说的极限思想 。
VS
刘徽在证明圆的面积公式时，就运 用了极限思想。他通过圆内接正多 边形边数不断增加，正多边形的面 积也逐渐增大，最终趋近于圆的面 积，从而证明圆的面积公式。
3
隋唐时期
隋唐时期是中国数学发展的鼎盛时期之一，出 现了许多数学家和数学流派。
个人背景
刘徽出生
刘徽出生于魏晋南北朝时期的一个普通家庭。
教育背景
刘徽从小接受家庭教育，学习儒家经典和数学。
成长经历
刘徽在成长过程中，受到家庭和社会的支持和鼓励，得以深入研究数学领域。影Leabharlann 与贡献推动了中国古代数学的发展
数学史——刘徽对数学的贡献
刘徽对数学的贡献三国以前，我国数学要籍，首推《九章算术》。
刘徽在数学上的贡献，主要在其《九章算术注》一书。
《隋书》卷16《律历上》载：“魏陈留王景元四年刘徽注《九章》”。
是知《九章算术注》完成于景元四年（263年）。
《隋书》卷34《经籍志三》有《九章算术》十卷、《九章重差图》一卷，均注明系刘徽撰。
后《九章重差图》失传，唐人将《九章算术注》内有关数学用于测量的《重差》一卷取出，独成一书，因其中第一个问题系测量海岛，故改名为《海岛算经》。
刘徽这两个著作是我国数学史上宝贵的文献，即在世界数学史上也有一定的地位。
今述其主要贡献如下：1.极限观念与割圆术极限意识在春秋战国时已出现，实际加以应用的是刘徽。
刘徽已领悟到数列极限的要谛，故能有重要创获。
刘徽的杰出贡献首推他在《九章算术注》中创立的割圆术，其所用方法包含初步的极限概念和直线曲线转化的思想。
在一千五百年前能运用这种思想，是难能可贵的。
有了割圆术，也就有了计算圆周率的理论和方法。
圆周率是圆周长和直径的比值，简称π值。
π值是否正确，直接关系到天文历法、度量衡、水利工程和土木建筑等方面的应用，所以精确计算π值，是数学上的一个重要任务。
在刘徽以前，已有许多人计算过π值。
最早的π值是3，后来又发展到3.1547或√10。
但如何求得，从未有人加以科学的阐明。
刘徽建立的割圆术，是在圆内接正六边形，然后使边数逐倍增多，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。
这是因为，圆内接正多边形无限多时，其周长极限即为圆周长，面积即为圆面积。
他算到正192边形时，求得圆周率为3.14的近似值。
他又用几何方法把它化为。
后人即将3.14或叫作“徽率”。
刘徽以为还可继续求，唯他不曾再求。
以上圆周率是当时世界上的最佳数据。
公元前三世纪希腊数学家阿基米得曾提出圆周长于内接圆内多边形而小于圆外切多边形周长，算出了3＜π＜3的数值。
但阿基米得是用的归谬法，他避开了无穷小和极限，而刘徽应用了极限的概念，且只用圆内接正多边形的面积计算，而省去了计算圆外切正多边形的面积，从而收到了事半功倍之效。
浅谈刘徽在数学上的主要成就
浅谈刘徽在数学上的主要成就刘徽是中国古代著名的数学家、工程师和地理学家，他于三国时期被誉为“数学圣手”。
刘徽在数学上的主要成就可以从以下几个方面进行阐述。
一、数学体系的建立刘徽是中国古代数学体系建立的重要人物之一。
他所著的《九章算术》是中国古代数学最早的系统性著作之一，被誉为“中国数学史上的一座丰碑”。
这部著作最早已经流传于汉代，是汉代数学家张邱建立“术数学”之前的重要文献。
刘徽本人也对数学体系的建立有重要贡献，他的《九章算术集注》是一部对《九章算术》的注解和扩充，使得中国古代数学的体系更加完善。
此外，他还着力于推广“师子算术”，即用方程式解决实际问题的方法，这也为之后的数学发展奠定了基础。
二、数学理论的创新刘徽在数学理论方面也有一些创新的成就。
他创立了中国古代数学的“周天法”和“精细算法”，为以后的天文学和数学理论发展奠定了基础。
此外，他还提出了“勾股数学”理论，该理论被称为中国古代数学重要的代表性理论之一。
在其著作《九章算术集注》中，刘徽提出如下勾股定理：“直角三角形斜边上的正方形的面积等于两直角边上的两个矩形面积之和。
”这个定理对今天的几何学和三角学起到了至关重要的作用。
三、制图和工程设计刘徽还是一位出色的工程师和地理学家。
在地图制图方面，他主要为中国古代测量学和地图学的发展做出了巨大贡献。
他撰写了一本名为《黄土书》的著作，其中系统地介绍了地图制作方法和精度要求。
在工程设计方面，他曾经负责修建当时中国最先进的水利工程之一——灵渠，该工程极大地促进了当地的农业发展和经济繁荣。
总之，刘徽在数学上的主要成就是建立了中国古代数学体系，创新了数学理论，推广了勾股数学，同时在制图和工程设计方面也给中国古代科技的发展做出了巨大贡献。
刘徽是中国古代著名的通才，他的学识和成就影响至今。
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刘徽在研究立体几何时,发现"邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑, 阳马居二,鳖臑居一,不易之率也".即"过对角面分割堑堵为一个 阳马(图416中ABCDE)和一个鳖臑(图416中DEFC),则阳马与鳖臑 的体积之比恒为二比一."为叙述方便,我们称之为阳马定理.刘徽 从长方体体积公式出发证明了这一定理,然后用它证明了各种多面体 他还发现了一条重要原理: 的体积公式.另外,他还发现了一条重要原理:对两个等高的立体, 他还发现了一条重要原理 对两个等高的立体, 若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数, 若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数,则这两立体的体积 之比也等于该常数.这一原理可称为"刘徽原理" 之比也等于该常数.这一原理可称为"刘徽原理".在《九章算术注》 中,刘徽多次运用了这一原理,例如,圆台体积:外切正四梭台体积= 圆面积:外切正方形面积=:4.书中对圆锥,圆台等旋转体体积公 式的推导,都是以刘徽原理为依据的.
对于方程组的性质,刘徽总结出如下诸条:"令每 行为率",即方程各项成比例地扩大或缩小,不 即方程各项成比例地扩大或缩小, 即方程各项成比例地扩大或缩小 改变方程组的解; 改变方程组的解 "每一行中,虽复赤黑异算,无伤",即方程各项 方程各项 同时变号,不改变方程组的解; 同时变号,不改变方程组的解; "举率以相减,不害余数之课也,即两方程对应项 两方程对应项 相减,不改变方程组的解. 相减,不改变方程组的解. 很明显,刘徽对于线性方程组的初等变换,已经基 本掌握了. 不过,他没有考虑交换两个方程的位置,因为不进 行这种变换亦可顺利求出方程组的解,而且调换算 筹的位置是不方便的.
2.代数 .
(2)对线性方程组解法的改进 《九章算术》中用直除法解线性方程组,比较麻 烦.刘徽在方程章的注释中,对直除法加以改进,创立了 互乘相消法.例如方程组
刘徽是这样解的: (1)×2,(2)×5,得
(4)-(3),得 21y=20(下略). 显然,这种方法与现代加减消元法一致,不过那时用 的是筹算.刘徽认为,这种方法可以推广到多元,"以小 推大,虽四,五行不异也."他还进一步指出,"相消" 时要看两方程首项系数的同异,同则相减,异则相加.刘 徽的工作,大大减化了线性方程组解法.
这种方法可以求得任意精度的圆周率近似值,刘徽对 这一点是很清楚的.不过,他根据当时的需要,运算 中只取到两位小数. 割圆术的创立是数学史上的一件大事.古希腊的阿基 米德(Archimedes,公元前287---前212)也曾用割圆 术求圆周率,他的方法是以圆内接正多边形和外切正 多边形同时逼近圆,比刘徽的方法麻烦一些.刘徽的 成就晚于阿基米德,但是独立取得的.
3.几何 几何
(1)割圆术 刘徽以前,一般采用周三径一的圆周率,这是很不精 确的.刘徽在《九章算术注》中指出:周三径一的数 据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值,不是圆 周与直径的比值.他认为圆内接正多边形的边数越 他认为圆内接正多边形的边数越 其面积就越接近圆面积.他从这一思想出发, 多,其面积就越接近圆面积.他从这一思想出发, 创立了科学的求圆周率方法---割圆术 割圆术. 创立了科学的求圆周率方法 割圆术.具体来说, 就是以1尺为半径作圆,再作圆内接正六边形,然后 逐渐倍增边数,依次算出内接正六边形,正12边形 乃至正192边形的面积.刘徽之所以选半径为1,是 为了使圆面积在数值上等于圆周率,从而简化运算.
(2)几何定理的证明 几何定理的证明
刘徽采用出入相补原理,证明了《九章算术》中许多几何公式和 定理.例如,他在证明三角形面积公式时,思路如下:把三角形的高 在证明三角形面积公式时, 在证明三角形面积公式时 思路如下: h二等分,以盈补虚拼成一个长方形,其面积为 二等分, 二等分 以盈补虚拼成一个长方形,其面积为1/2ah,正好是原三角 , 形的面积,他证明勾股定理的方法是,"勾自乘为朱方,股自乘为青 形的面积, 方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也,合成弦方之幂."
2.代数 .
(3)方程理论的初步总结 刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上,提出 了比较系统的方程理论.刘徽所谓"程"是程式或关系式 的意思,相当于现在的方程,而"方程"则相当于现在的 方程组.他说:"二物者再程,三物者三程,皆如物数程 之.并列为行,故谓之方程."这就是说:"有两个所求 之物,需列两个程;有三个所求之物,需列三个程.程的 个数必须与所求物的个数一致.诸程并列,恰成一方形, 所以叫方程."这里的"物",实质上是未知数,只是当 时尚未抽象出未知数的明确概念.定义中的"皆如物数程 之"是十分重要的,它与刘徽提出的另一原则"行之左右 无所同存",共同构成了方程组有唯一组解的条件.
按题意画图如下:
因当时1步为6尺,故标杆高5步.由刘徽术文,得
若用字母表示,则
因公式中用到d(两杆与岛的距离差)和a1-a2两差之比, 重差术. 所以叫重差术.这是书中最简单的一题,只须测望 重差术 二次.其他问题往往要测望三次或四次,但原理与本 题相同.刘徽曾著《重差图》和《重差注》,可能是 用来推导术文的,已佚.估计刘徽的推导方法不外两 种,一是利用出入相补,二是利用相似三角形. 如果用三角知识去解重差问题,结果也是一样的.中 国传统数学无三角,重差术便起着与西方平面三角类 似的作用,这是中国数学的特色之一.
二,《九章算术注》 九章算术注》
1.算术 (1)十进分数 在刘徽之前,计算中遇到奇零小数时,就用带分数表 示,或者四舍五入.刘徽首创十进分数,用以表示无 理根的近似值.这种计数与现代
刘徽用忽来表示,但a后各位就不必再命名了,刘徽 称它们为"微数",说:"微数无名者以为分子,其 一退以十为母,其再退以百为母.退之弥下,其分弥 细."这种方法,与我们现在开平方求无理根的十进 小数近似值的方法一致,即
(3)对球体积的研究
刘徽发现了《九章算术》中球体积公式不正确,试图利用 刘徽原理求出正确的球体积公式.他首先作球的外切立方 体,然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿 (图4.17).于是,球便被包在两圆柱相交的公共部分, 而且与圆柱相切.刘徽只保留两圆柱的公共部分,取名 "牟合方盖". (图4.18)根据刘徽原理,球体积与牟合 方盖体积之比等于圆的面积与外切正方形的面积体积,只 要求出牟合方盖整个问题就迎刃而解了.刘徽没有成功, 只好"以俟能言者".但他的思路正确,为后人解决这一 问题打下了基础.
四,刘徽的学术思想
刘徽所以能在数学上取得卓越成就,是与他先进 的学术思想分不开的.概括起来,他的学术思想有如 下特点. 1.富于批判精神.刘徽在数学研究中不迷信权 .富于批判精神. 威,也不盲目地踩着前人的脚印走,而是有自己的主 见.他曾一针见血地指出张衡关于球体积的不正确观 点,还批评了那种泥守古人"周三径一"的踵古思想, 说:"学者踵古,习其谬失."刘徽正是因为有这种 可贵的批判精神,才在研究《九章算术》时发现许多 问题,从而深入探讨,写出名垂千古的《九章算术 注》.
4.刘徽的极限观念 .
从《九章算术注》可以看到,刘徽具有 明确的极限思想.他把极限用于代数和几何 研究,取得重要成果.这说明极限思想从春 秋战国时期萌芽以后,到这时已有较大发 展.
例如,刘徽的割圆术便建立在极限理论的基础上.他说: "割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与 圆合体而无所失矣."就是说当圆内接正多边形的边数无 就是说当圆内接正多边形的边数无 限增加时,正多边形面积的极限便是圆的面积. 限增加时,正多边形面积的极限便是圆的面积.他还把 割圆术用于内作以 a1为底,h1为高的等腰三角形,求出其面积,再以此三 角形的两腰为底作小弓形的内接等腰三角形,每个小三角 形的面积为,如此类推,刘徽把这些等腰三角形面积之和 的极限定义为弓形面积.显然,用此方法可使弓形面积达 到任何需要的精确度. 刘徽在研究开方不尽的问题时,认为求出的位数越多,就 越接近真值,但永远不会达到真值,只能根据需耍,求到 "虽有所弃之数,不足言之也"的程度.刘徽正是在这种 极限观念的基础上创立十进分数的.他在征明有关体积的 定理(如阳马定理)时也用到极限,并深刻地指出,极限问 题"谓以情推,不用筹算",就是说研究极限靠思维和推 理而不靠具体计算.
若译成现代数学语言,这两条即:方程个数必须与 方程个数必须与 未知数个数一致, 未知数个数一致,任意两个方程的系数不能相同或 成比例. 成比例. 刘徽还认识到,当方程组中方程的个数少于所求物 当方程组中方程的个数少于所求物 个数时,方程组的解不唯一;如果是齐次方程组, 个数时,方程组的解不唯一;如果是齐次方程组, 则方程组的解可以成比例地扩大或缩小, 则方程组的解可以成比例地扩大或缩小,即"举率 以言之" 以言之".
其中a1,a2,…,an是0至9之间的一位整数.
1.算术 算术
(2)齐同术 《九章算术》中虽有分数通分的方法,但没有形 成完整理论,刘徽提出齐同术,使这一理论趋于完 善.他说:"凡母互乘子谓之齐,群母相乘谓之同." 又进一步提出通分后数值不变的理论依据,即"一乘 一除,适足相消,故所分犹存"法实俱长,意亦等 也". 前句话的意思是,一个分数用同一个(非零)数一乘一 一个分数用同一个(非零 一个分数用同一个 非零)数一乘一 其值不变;后句话的意思是,分数的分子,分 分数的分子, 除,其值不变 分数的分子 母扩大同一倍数,分数值不变. 母扩大同一倍数,分数值不变.刘徽指出,"同" 即一组分数的公分母,"齐"是由"同"而来的,是 为了使每个分数值不变.