大学物理教案真空中的静电场

第五章真空中的静电场

第一节电荷、库仑定律

一、 电荷

电子具有电荷191.6021910e C -=-?(库仑)，质子具有电荷

191.6021910p C e -=?，中子不带电。物理学对电荷的认识可概括为：

(1)电荷和质量一样，是基本粒子的固有属性；

(2)电荷有两种：正电荷和负电荷，一切基本粒子只可能具有电子或质子所具有电荷的整数倍；

(3)电荷具有守恒性；

(4)电荷之间的相互作用，是通过电场作媒质传递的。

不同质料物体相摩擦后，每个物体有若干电子脱离原子束缚，进入到对方物体中去，双方失去电子数目不一样，一个净获得电子，一个净失去电子，这就是摩擦起电。核反应中，电荷也是守恒的，例如

用α粒子42He 去轰击氮核147

N ，结果生成178O 和质子11H 反应前后，电荷总数皆为9e 。

根据(2)，电荷€电场€电荷，质量€引力场€质量。

在电解液中，自由电荷是酸碱盐溶质分子离解成的正、负离子；在电离的气体中，自由电荷也是正、负离子，不过负离子往往就是电子；在超导中，传导电流的粒子是电子对(库珀对)，还可能是极化子、双极化子、孤子等。

从微观上去看，电荷是分立的，宏观上来看，其最小变化量与宏观粒子系统的总电荷量比较完全可被当作无穷小处理。所以宏观小微观大的带电体，电荷的连续性与分立性得到了统一。

二、 库仑定律 12301

4q q F r r πε=r r 或122014r q q F e r πε=r r 0ε为真空电容率(vacuumpermittivity)，

其数值为()()1222122208.85418781810/8.8510/C N m C N m ε--=??≈?? 介质中的库仑力

0r εεε=是电介质的介电常数，r ε是相对介电常数。

电介质中作用力比真空中小，是因为介质极化后，在点电荷周围出现了束缚电荷。它削弱了原点电荷之间的作用。

三、 叠加原理

实验表明，如果同时存在多个点电荷相互作用，则任意两个点电荷之间的相互作用，并

不因为第三个电荷的存在而改变，即作用在一个电荷上的力，等于其他每一个电荷单独对该点电荷的库仑作用力的矢量之和，这个规律称为叠加原理。

库仑定律只适用于点电荷，但有了叠加原理，任意形状、大小的带电体之间的相互作用理论上都是可以计算的。只需将带电体划分为许多小电荷元，就可以看成是点电荷系了。

第二节电场电场强度

地球周围存在重力场，电荷周围空间存在电场，电场具有对其中的电荷施加力的作用。电场不具有占位性，是一种特殊形态的物质。

对于放入电场中的一个尺寸足够小的电荷量为0q 的点电荷，0

F q 是

一个恒矢量，与检验电荷性质无关，称0F E q =r 为电场强度，简称场强。 由0q =+1时，有E F =r r

，所以，电场中任一点场强的大小和方向，相当于单位正电荷在该点所受电场力的大小和方向。单位是1N C -?。1111N C V m --?=?。由库仑力的叠加原理，易得 如果电荷是连续分布，可将它分成许多点电荷元dq ，则 对于体分布电荷2

14r V dq E e r ρπε=?r r 而面分布电荷2

14r S dq E e r σπε=?r r 线分布电荷214r l dq E e r λπε=?r r 通常将dE r 沿直角坐标轴分解成三个分量,,x y z dE dE dE 。电场强度的

大小为E =cos ,cos ,cos y x z E E E E E E

αβγ===。

第三节从库仑定律导出高斯定理

一、 电位移矢量

为了方便，选择一个新的矢量D E ε=r r ，则在真空和介质里，有

D r 称为电位移矢量。单位

2C m -?，显然i i

D D =∑r 。D r 是由自由电荷所决定的场，它与介质无关。

二、 电场线

使曲线上每一点的切线方向都与该点的场强方向一致，这样的曲线称为电场线(在空间各点画小箭头的方法描绘点电荷的电场中各处场强分布情况，然后把小箭头连接起来，就得到电场线)。

为了使电场线不只是表示出电场中场强的方向分布，而且要表示出各点场强的大小分布，故引入电场线密度：在电场中任一点，通过与场强方向垂直的单位面积的电场线条数，即电场线密度，表示为dN dS ⊥

。并且使电场中任一点的电场线密度与该点电场强度大小成正比dN E dS ⊥

∝r 。 静电场的电场线的性质：

(1)电场线起于正电荷(或来自无穷远)，止于负电

荷(或伸向无穷远)，在没有电荷的地方不会中断。

(2)任意两条电场线在没有电荷处不相交。

(3)不形成闭合曲线。

三、 电通量(E r 通量)和D r 通量

当所取的面元与该处场强E r 不垂直的时候通过电场中任意给定

面积的电场线数目，称该面积的E r 通量。

cos e n d dN E dS E dS EdS Φθ==?==r r r r

若把电场线数目改为电位移场线的数目，

则cos d d dN D dS DdS Φθ==?=r r

对于闭合曲面把整个空间分成内、外两部分，把指向曲面外部空间的叫外法线矢量，指向内部空间的叫内法线矢量。规定：对于闭合曲面，总是取它的外法线矢量为正。

四、 高斯定理

证明：S V

D dS DdV ?=????r r r 证：如图

类似有

利用上面的公式可得： 对于闭合球面：24D S S qdS D dS q r Φπ=?=

=??r r 蜒 对任一形状的闭曲面∑：'2,4D r

r q e dS e dS dS r Φπ∑=??=?r r r r r ?其中 立体角：平面角?的大小是s r ?=，因为整个圆周的长度为2r π，故圆周角是2πrad 。类似地，立体角是由过一点('o 点)的射线，旋转一周扫出的锥面所限定的空间。以'o 为球心，以r 为半径作球面，若立体角的锥面在球面上截下的面积为S ，则立体角的大小是2S r

Ω=

，因为整个球面的面积是24r π，所以它所张的立体角是4π。

以上结论可推广到多个点电荷系有

高斯定理：通过任意一个闭合曲面∑的电位移通量D Φ，等于该曲面所

包围的全部电荷量的代数和而与曲面外的电荷无关。这个结论称为高斯定理。

习惯上，称闭合面∑为高斯面。对于连续分布的电荷，高斯定理可写为

这就是高斯定理的微分形式。

0D ??≠r ，说明必有电位移场线从该点出发或终止，通常称散度不为0的点为场源头，故散度不为0的矢量场为有源场。高斯定理表

明，静电场是有源场，电荷是静电场的源头。D ??r 等于空间该点附近

单位体积所净流出的D r 的通量，在数值上正好等于该点的自由电荷密

度ρ。 对于无穷小体积，则0,d D dS

D d dV ρ∑→???==∑?r r r ?为包围体元dV 的无

穷小封闭曲面。

第四节由库仑定律得出静电场的环路定理—静电场力作功与路径无

关

设0q 在路径L 上任意一点处(P 点)作一元位移dl r 到达'P 点，'P 点

到O 点的距离分别为',()r r r dr +。这元位移过程中电场力作的元功为 可见，当0q 一定时，电场力的功只和0q 始末位置有关，与电荷0q 移动的路径无关。

以上是单个点电荷在其产生电场中，电场力作功与路径无关，类似地，任意带电体系在其产生的电场中，电场力作功与路径亦无关。 另一种表述：

设0q 在静电场中沿任意一条闭合曲线L 移动一周，则电场力在这个过程中作的总功为

静电场力作功与路径无关这一特性可知

因此，第二种表述为电场强度的环流等于零，与静电场力作功与路径无关是等价的。任何力场，只要具备场强的环流为零的特性，就叫做保守力场或势场。静电场是保守力场。

第五节电势

静电场中，场强沿任何闭合路径的线积分等于零，即作功与路径无关。那么，这个场就叫保守力场或势场(其它，如重力场)，由x V F x

?=-?可知，静电场力应是保守力。 设想把电量为0q 的试验电荷从电场中a 点移到b 点，我们把这个过程中电场力作的功定义为0q 在a 、b 两点的电势能(静电位能)之差：

0b

a b a W W q E dl -=?òr r ，若要问电荷0q 在电场中任一给定点的静电位能是多大，则需选定参考点。通常取无穷远处为参考点。 电势能并不能直接描述该点电场的性质，但比值

0a W q 却与0q 无关，只与电场性质和a 点位置有关，这表明0

a W q 是描写电场中a 点电场性质的物理量，把它叫做a 点的电势(电位)，取无穷远处为参考点，以a

U 表示a 点电位。

距离场源电荷q 为r 处的P 点的电势为

电场中任意两点,a b 的电势之差称为电势差或电压：

0P 为零电势参考点。

由上可知

电势是个标量，电势的单位

第六节等势面电场强度与电势的关系

一、等势面

在电场中，电势相等的各点所构成的曲面，叫做等势面。如点电荷的电势公

4q U r

pe =，其等势面是以q 为中心的球面。 静电场中的等势面有以下几点性质：

(1)沿着等势面移动电荷时电场力不做功。因为()ab a b W q U U =-，由于a b U U =，因此0ab W =；

(2)电场线与等势面正交。0cos dW q Edl q =，q 为电场强度E r 的方

向(即电场线方向)与dl r 之间的夹角。由于dW =0，而0q 、E 、dl 不为

零，所以cos cos900q ==o

，即E r 与dl r 垂直，由于dl r 总在等势面上，因此E r 的方向(即电场线方向)与等势面必然垂直。

(3)b a b a U U U E dr -D =-=?òr r 或(0)E dr dU dU E dr E dn

q ==-拙揪揪揪揪揪揪揪揪?-r r r r r r 与方向相同，等电势面靠的越近，电场强度就越大，即等电势越密集的地方电场强度大，电场强；稀疏的地方电场越弱。

(4)任意两个等电势面不相交。

二、电场强度和电势的关系

在空间直角坐标系中，电势是空间坐标(),,x y z 的函数：

(),,U U x y z =，由

x y z x y z U U U dU E dr

dx dy dz E dx E dy E dy x y z U U U E dx E dy E x y z 抖?=-邹++=-----抖?骣骣骣抖?琪琪琪+++++琪琪琪抖?桫桫桫

r r 或 由dx 、dy 、dz 的独立性，可知 其中，U U U i j k x y y 抖?押++抖?r r r 称梯度算符，U ?为电势梯度。