2019年高考理科数学全国1卷-含答案
除水印。
20159年高考理科数学试卷全国1卷
1．设复数z 满足
11z
z
+-=i ，则|z|=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 2．o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）32-
（B ）32 （C ）12- （D ）12
3．设命题p ：2
,2n
n N n ?∈>，则p ?为（ ）
（A ）2
,2n
n N n ?∈> （B ）2,2n
n N n ?∈≤
（C ）2,2n
n N n ?∈≤ （D ）2,=2n
n N n ?∈
4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312
5．已知M （00,x y ）是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ?
，则0y 的取值范围是（ ）
（A ）（-
33，33） （B ）（-36，3
6） （C ）（223-
，223） （D ）（233-，23
3
）
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛
7．设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r
，则（ ）
（A ）1433AD AB AC =-+u u u r u u u
r u u u r （B ）1433
AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r
（C ）4133AD AB AC =+u u u u u r u u u r u u u r （D ）4133
AD AB AC =-u u u u u u u r
u u u r u u u r
8．函数()f x =cos()x ω?+
的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
（A ）13(,),44k k k Z ππ-
+∈ （B ）13
(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -
+∈ （D ）13
(2,2),44
k k k Z -+∈
9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 10．2
5
()x x y ++的展开式中，5
2
x y 的系数为（ ）
（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8
12．设函数()f x =(21)x
e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()
f x 0，则a 的取值范围是（ ） （A ）[-32e ，1） （B ）[-32e ，34） （C ）[32e ，34） （D ）[3
2e
，1）
13．若函数f （x ）=2ln()x x a x ++为偶函数，则a=
14．一个圆经过椭圆
22
1164
x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.
15．若,x y 满足约束条件10
040
x x y x y -≥??
-≤??+-≤?
，则y x 的最大值为.
除水印。
16．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.
17．（本小题满分12分）
n
S为数列{
n
a}的前n项和.已知
n
a＞0
，2
n n
a a
+=43
n
S+.
（Ⅰ）求{
n
a}的通项公式；
（Ⅱ）设
1
1
n
n n
b
a a
+
= ,求数列{
n
b}的前n项和.
18．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥
平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）
对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费
i
x和
年销售量
i
y（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计
量的值.
x
r
y
u r
w
u r
8
2
1
()
i
i
x x
=
-
∑82
1
()
i
i
w w
=
-
∑8
1
()()
i i
i
x x y y
=
--
∑8
1
()()
i i
i
w w y y
=
--
∑
46.656.3 6.8289.8 1.61469108.8
表中
i i
w x
=，w
u r
=
1
8
8
1
i
i
w
=
∑
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
20．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=2
4
x 与直线y kx a =+（a ＞
0）交与M,N 两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.
21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=31
,()ln 4
x ax g x x ++
=-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；
（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{
()min (),()(0)h x f x g x x => ，
讨论h （x ）零点的个数. 22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 是的直径，AC 是的切线，BC 交
于E.
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是的切线；
（Ⅱ）若3OA CE =
，求∠ACB 的大小.
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
除水印。
在直角坐标系xOy 中，直线1C :
x =-2，圆2C ：()()22
121x y -+-=,以坐标原点
为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求
2C MN ?的面积.
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数
=|x+1|-2|x-a|，a>0.
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）>1的解集；
（Ⅱ）若f （x ）的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
【答案解析】 1.【答案】A 【解析】由
11z i z +=-得，11i z i
-+=
+=(1)(1)
(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等.
2.【答案】D
【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=1
2
，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 3.【答案】C
【解析】p ?:2,2n
n N n ?∈≤，故选C. 考点：本题主要考查特称命题的否定 4.【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为223
30.60.40.6C ?+=0.648，
故选A.
考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式 5.【答案】A
【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -，22
0012
x y -=，所以12MF MF ?u u u u r u u u u r = 0000(3,)(3,)x y x y ---?-- =2220
003310x y y +-=-<，解得033
33
y -<<，A.
考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 6.【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r ，则
12384r ??==16
3
r =
，所以米堆的体积为211163()5433????=
3209，故堆放的米约为320
9
÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 7.【答案】A
【解析】由题知11()33
AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
=
1433
AB AC -+u u u
r u u u r ，故选A. 考点：平面向量的线性运算 8.【答案】D
【解析】由五点作图知，1
+42
53+42
πω?π
ω??=???
?=??，解得=ωπ，=4π?，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4
k x k k Z π
ππππ<+<+∈，解得124k -
＜x ＜3
24
k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -
，3
24
k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质
9.【答案】C
【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=1
=0.5,S=S-m=0.5,m
m ==0.25,n=1,S=0.5＞
输出10.
除水印。
何得到该项，再利用排列组知识求解. 11.【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为
221
42222
r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.
考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 12.【答案】D
【解析】设()g x =(21)x
e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.
因为()(21)x
g x e x '=+，所以当12x <-
时，()g x '＜0，当1
2
x >-时，()g x '＞0，所以当1
2
x =-时，max [()]g x =1
2-2e -，
当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故
(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得
3
2e
≤a ＜1，故选D.
考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题
13. =ln(14.
15.【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，
y
x
是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故y
x
的最大值为3.
考点：线性规划解法
16.【答案】
【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得
sin sin BC BE
E C
=
∠∠，即
o o
2sin 30sin 75BE
=
，解得BE AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，
sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o
2
sin 30sin 75
BF =，解得AB 的取值
考点：正余弦定理；数形结合思想
17.
除水印。
当
2n ≥时，2211
n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即
111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，
所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =1111
()(21)(23)22123n n n n =-++++，
所
以
数
列
{
n
b }
前
n
项
和
为
12n
b b b +++L =
1111111[()()()]235572123n n -+-++-++L =11
646
n -
+. 考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法
18.【答案】 【解析】 试题分析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EG ⊥AC ，通过计算可证EG ⊥FG ，根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ；（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r
的方向
为x 由BE 又∵在Rt 在Rt ∴∵EG
（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r
为单
位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （0，
，0），E （
），
F （－1,0，2），C （0
0），∴AE u u u r =（1
），CF uuu r =（-1，
，2
） (10)
分
故cos ,||||
AE CF AE CF AE CF ?<>==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .
所以直线AE 与CF
.
19.
w =为用.
除水印。
108.8
=6816
， ∴$c
y dw =-$=563-68×6.8=100.6. ∴y 关于w 的线性回归方程为$100.668y w =+，
∴y 关于x 的回归方程为$100.6y =+
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值
$
100.6y =+，
576.60.24966.32z
=?-=$. （ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值
0.2(100.620.12z
x x =+-=-+$，
=
13.6=6.82
，即46.24x =时，z
$取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分
考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识
20.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在
【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用
∵y '
y a -故y y a -设P
将y
∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=
+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()
k a b a
+. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力
21..【答案】（Ⅰ）34a =
；（Ⅱ）当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34
a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当53
44
a -<<-时，()h x 有三个零点.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a 值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x 分为1,1,01x x x >=<<研究()h x 的零点个数，若零点不容易求解，则对a 再分类讨论.
试题解析：（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，
即3
00
10
4
3x ax ?++=????，解得13,x a ==. ∴(h 当x 是(h 故x 当x a ≥0
除水印。
（ⅱ）若30a -<<，则()f x 在（01）单调递增，
故当x ()f x 取的最小值，最小值为f 14.
①若f ＞0，即3
4-＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点.
②若f =0，即3
4
a =-，则()f x 在（0,1）有唯一零点；
③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5
(1)4
f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当5
34
a -<≤-时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分
综上，当34a >-
或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或5
4a =-时，()h x 有两个零点；当53
44
a -<<-时，()h x 有三个零点.
考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想
22.
DE 得解出在Rt 连结∵∠ ∴2x
考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理 23.【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）1
2
【解析】
试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）
将将=
4
π
θ代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即
可求出2C MN V
的面积. 试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，
∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为
22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分
=将，
除水印。
（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-??
=+--≤≤??-++>?
，
所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21
(
,0)3
a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22
(1)3
a +.
由题设得22
(1)3
a +＞6，解得2a >.
所以a 的取值范围为（2，+∞）.
考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法