幂函数与奇偶性考点例题
09-第四节 函数的奇偶性与简单的幂函数-课时2 简单幂函数的图象和性质高中数学必修一北师大版
知识点2 幂函数的图象和性质 4年3考
3.下列命题正确的是( D )
A.幂函数的图象都经过 0,0 , 1,1 两点
B.当 = 0时，函数 = 的图象是一条直线
C.如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D.如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点 −1,1
【解析】 对于A,幂函数 = 的图象都经过点 1,1 ,当 ≤ 0时,不过点
D.若 > 1，则 > 1
1
,故A正确.
2
1
2
= ,则函数 的定义
1
2
域为[0, +∞),且 为非奇非偶函数,故B,C错误.因为 = > 0,所以函数
1
2
= 在区间[0, +∞)上单调递增,所以当 > 1时, > 1 = 1,故D
正确.
6.有四个幂函数：① = −1 ；② = −2 ；③ = 2 ；
情形,②是 = 2的情形,⑤是 =
1
− 的情形,所以①②⑤都是幂函数；③是
2
常函数,不是幂函数；④中 2 的系数是2,所以不是幂函数.故选C.
【归纳总结】幂函数 = （为常数）具有形式上的严格性，在幂函数
的表达式中，要注意以下四点：
（1） 的系数为1；（2） 的底数是自变量；（3）指数为常数；
−∞, 0 ∪ 0, +∞ ,且在 0, +∞ 上单调递减,满足条件；对于②, = −2
是 −∞, 0 ∪ 0, +∞ 上的偶函数,值域是 0, +∞ ,且在 0, +∞ 上单调递减,
满足条件；对于③, = 2 是上的偶函数,值域是[0, +∞),在 0, +∞ 上
高二数学幂函数试题答案及解析
高二数学幂函数试题答案及解析1.如果幂函数的图象经过点，则的值等于()．A．B．2C．D．16【答案】A【解析】∵幂函数的图象经过点，，解得，，故．【考点】幂函数．2.设，则使幂函数为奇函数且在上单调递增的a值的个数为( ) A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】因为是奇函数，所以应该为奇数，又在是单调递增的，所以则只能1,3．【考点】幂函数的性质.3.幂函数 f（x）=xα（α∈R）过点，则 f（4）= ．【答案】2【解析】将点代入幂函数，得，解得，所以,那么考点:幂函数的性质4.等比数列的各项均为正数,且,则( )A．12B．10C．8D．【答案】B【解析】由于数列是等比数列，所以，又因为，所以得到..所以选B.【考点】1.等比数列的性质.2.同底对数的求和运算.3.对数的性质.5.函数的图像是（）A B C D【答案】B．【解析】函数的定义域为R，奇函数，图象关于原点对称，在（0，+∞）是增函数，在（0，1）上凸且高于直线y=x，所以，选B。
【考点】幂函数的图象点评：简单题，函数与图象配伍问题，由注意定义域、值域、奇偶性（对称性）、单调性等。
6.幂函数的图像经过点，那么。
【答案】【解析】设幂函数,∵幂函数的图像经过点，∴，∴a=-2，∴【考点】本题考查了幂函数的求值点评：熟练掌握幂函数的概念是解决此类问题的关键，属基础题7.若幂函数的图象经过点，则它在点处的切线方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】解：∵f（x）是幂函数，设f（x）=xα∴图象经过点∴=（）α∴α=∴f（x）=xf'（x）=它在A点处的切线方程的斜率为f'（）=1，又过点A所以在A点处的切线方程为4x-4y+1=0故选B8.已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：则不等式f(|x|)≤2的解是__________．A. －4≤x≤4. B 0≤x≤4. C 0≤x≤2 D －2≤x≤2.【答案】A【解析】解：因为幂函数f(x)＝xα的对应表可知幂指数为，那么利用幂函数的性质可知不等式f(|x|)≤2的解是，即为|x|≤4，解得为选项A9.函数的图像一定经过的定点的坐标为【答案】(-3,2)【解析】10.幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一簇美丽的曲线，如图所示，设点，连接，线段恰好被其中两个幂函数图像三等分，即有，那么=___▲___.【答案】1【解析】解：解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M (1/ 3 ，2 /3 ) N (2/ 3 ，1/ 3 )，分别代入y=xα，y=xβα="log"1/ 3 2/ 3 ，β="log"2/ 31/ 3αβ="log"2/ 3 1/ 3 •log1/ 32/ 3 =111.已知幂函数f ( x )过点（2，），则f ( 4 )的值为【答案】【解析】解：设f(x)= ，则由过点（2，），所以12.（1）求函数（的最小值以及相应的的值；（2）用20cm长得一段铁丝折成一个面积最大的矩形，这个矩形的长、宽各为多少？并求出这个最大值．【答案】解：（1）由，得，所以当且仅当，即时等号成立，故函数（的最小值为12，相应的.（2）设矩形的长、宽分别为cm，cm，由题意得，即矩形的面积为，由均值不等式的（当且仅当时等号成立）得，所以矩形的长、宽都为5cm时，矩形的面积最大，最大为25【解析】略13.给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是：【答案】1【解析】略14.设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为( )A．1,3B．-1,1C．-1,3D．-1,1,3【答案】A【解析】本题考查幂函数的奇偶性.当时，，函数定义域为，，函数是奇函数；当时，函数的定义域为R,是奇函数；当时，函数，定义域为，是非奇非偶函数；当时，函数，定义域是R，是奇函数.故选A15.已知幂函数y=f(x)的图像过点（3，），则函数f(x)=__________;【答案】【解析】略16.幂函数 (m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调递减函数,则m＝．【答案】 1【解析】略17.幂函数的图象经过点，则其定义域为 .【答案】【解析】略18.幂函数的图象经过点，则其定义域为 .【答案】【解析】略19.幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点,连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即有那么，ab=（）A．B．C．2D．1【答案】D【解析】【考点】函数与方程的综合运用；幂函数的实际应用．分析：先根据题意结合图形确定M、N的坐标，然后分别代入y=xα，y=xβ求得α，β；最后再求αβ的值即得．解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M (，)N (，)，分别代入y=xα，y=xβα=，β=αβ=?=1故选D．20.已知幂函数的图像过点，则_________________；函数的定义域为_________________．【答案】3【解析】幂函数中系数，代入点得，的定义域需满足【考点】1.函数定义域；2.幂函数。
幂函数——知识点、考点总结
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求f x的解析式.
2.若幂函数y m2 3m 17 x4mm2的图象不过原点，求实数m的取值范围. 3.幂函数y m2 m 1 xm22m3,当x 0, 时为减函数，则实数m的值为
. A m 2; B m 1;C m 1或2;D m 1 5 .
2
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题型三——幂函数的图象与性质的应用
-
2 3
-2
3
和
-
6
-2
3
的大小
练习：
7
例2.比较下列各组数的大小
5
5
1.32 和3.12；
7
2
.
8
7 8
和-
1 9
8
；
3.
2 3
2 3
和
-
6
-2 3
.
1.比较下列各组数的大小：1
-
.3
5 2
和3.1
5 2
;
2
.
8
7 8
和
1 9
பைடு நூலகம்
8
;
已知幂函数f
x
3 k 1 k2 x2 2
k
Z
Y=x
R
值域 R
奇偶性 奇
Y=x2 Y=x3 Y=x1/2 Y=x-1
R
〔0,+∞） 偶
R
R
〔0,+∞）
（-∞,0）∪（0,+∞）
奇
精非品P奇PT非偶 奇
单调性
过定点
（-∞，0〕 〔0，+∞）
〔0，+∞）
（1，1）
（-∞，0） （0，+∞）
6.高考中的题型： 题型一——幂函数值的大小比较
幂函数经典例题(答案)
幂函数经典例题(答案)A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．例4、已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解 由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R.错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .解 根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评 幂函数y ＝x α (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32， 所以m ＝－3，n ＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－， ∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978， 从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23； (2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23. (2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25.例8、 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3， 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数，故m ＝1，∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．解 由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3，当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意．当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示． 当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1C ．y ＝xD ．y ＝x 2 答案 A3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1答案 B5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 答案 B解析 由已知⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0∴m ＝1或m ＝2.6．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为( )A ．2 6B ．64 C.24 D.164答案 C解析 设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x－12，∴f (8)＝8－12＝24. 8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2 C ．y ＝x －2 D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象，选B. 二、填空题1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9，13，则f (25)＝_____________.答案 15解析 设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是______________．答案 [0，＋∞)解析 由4＝8α，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象，已知α取±2，± 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .答案 2，12，－12，－24．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________． 答案 5解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.5．幂函数y ＝x α (α∈R)的图象一定不经过第________象限． 答案 四6．把下列各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<223.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x(x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎨⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题1．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解 (1)若f (x )为正比例函数，则 ⎩⎨⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。
考点11 幂函数(讲解)(解析版)
考点11：幂函数【思维导图】【常见考法】考法一：幂函数定义辨析1．已知函数22+3()(21)m m f x n x -+=-，其中m N ∈，若函数()f x 为幂函数且其在(0,)+∞上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则m n += 。
【答案】2【解析】因为函数()f x 为幂函数,所以211n -=,所以1n =,又因为函数()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数,所以2230m m -++>,所以13m -<<,因为m N ∈,所以0,1,2m =.当0,2m = 时,函数()f x 为奇函数,不合题意,舍去.当1m = 时.4()f x x =为偶函数,符合题意.所以112m n +=+=.2．幂函数()()2231m m f x m m x +-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为 。
【答案】-1【解析】由题意得2211130m m m m m ⎧--=⇒=-⎨+-<⎩. 3．若幂函数()()223265m f x m m x -=-+没有零点，则()f x 满足 。
A ．在定义域上单调递减B ．()f x 在(0,)x ∈+∞单调递增C ．关于y 轴对称D ．()()0f x f x +-= 【答案】D【解析】函数()223()265m f x m m x-=-+为幂函数，∴22651m m -+=，解得1m =或2m =， 当1m =时，()1f x x -=，函数没有零点，是奇函数，且满足()()0f x f x +-=；当2m =时，()f x x =，函数有零点，不满足题意.4．已知幂函数y ＝（m 2﹣3m +3）x m +1是奇函数，则实数m 的值为 。
【答案】2【解析】根据幂函数得到2331,1m m m -+=∴=或2m =当1m =时，2y x 不是奇函数，排除；当2m =时，3y x =满足题意；考法二：幂函数的性质1．函数()12ln 1x f x x x =-+的定义域 。
幂函数经典例题(答案解析)
幂函数的概念例1、下列结论中，正确的是( )A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y＝xα是增函数D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 15(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．分析关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设pq(|p|、|q|互质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x pq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝x pq的奇偶性与p的值相对应．解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，∴t＝－1,1或0.当t＝0时，f(x)＝x75是奇函数；当t＝－1时，f(x)＝x25是偶函数；当t＝1时，f(x)＝x85是偶函数，且25和85都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．故t＝1且f(x)＝x85或t＝－1且f(x)＝x25.点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1 解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．例4、已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解 由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R .错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .解 根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3.点评 幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－3n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－， ∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978， 从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23；(2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23. (2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25.例8、 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3， 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数，故m ＝1，∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．解 由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3， 当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意． 当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示． 当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1C ．y ＝xD ．y ＝x 2 答案 A3．设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A 4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1答案 B 5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 答案 B解析 由已知⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0∴m ＝1或m ＝2.6．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为( )A ．2 6B ．64 C.24 D.164答案 C解析 设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝⎛⎭⎪⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x －12，∴f (8)＝8－12＝24.8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x 2C ．y ＝x －2D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象，选B. 二、填空题1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫9，13，则f (25)＝_____________.答案 15解析 设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是______________．答案 [0，＋∞)解析 由4＝8α，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象，已知α取±2，± 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .答案 2，12，－12，－24．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________．答案 5解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.5．幂函数y ＝x α(α∈R )的图象一定不经过第________象限． 答案 四6．把下列各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<223.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x (x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎨⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题1．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解 (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。
幂函数练习题及答案解析
幂函数练习题及答案解析1.下列幂函数中为偶函数的是 y = x^2.解析：定义域为实数集，f(-x) = (-x)^2 = x^2，因此是偶函数。
2.若 a < 1，则 5a < 0.5a < 5-a。
解析：因为 a < 1，所以 y = x 是单调递减函数且 0.5 < 5 < 5-a，因此 5a < 0.5a < 5-a。
3.α 可能的取值为 1 和 3，使得函数y = x^α 的定义域为实数集且为奇函数。
解析：只有函数 y = x 和 y = x^3 的定义域是实数集且为奇函数，因此α 可能的取值为 1 和 3.4.当 n = -1 或 n = 2 时，满足 (-2)^n。
(-3)^n。
解析：因为 (-2)^n。
0 且 (-3)^n < 0，所以 y = x^n 在 (-∞。
+∞) 上为减函数。
因此 n = -1 或 n = 2.1.函数 y = (x+4)^2 的递减区间是 (-∞。
-4)。
解析：函数的开口向上，关于 x = -4 对称，因此在 (-∞。
-4) 上递减。
2.幂函数的图像过点(2.4)，则其单调递增区间是(-∞。
0)。
解析：因为 y = x^2 的图像是开口向上的抛物线，过点(2.4)，因此其单调递增区间为 (-∞。
0)。
3.正确的说法有 2 个。
解析：①错误；②中 y = x^-1 的图像不过点 (1.1)；③正确；④正确，因此有 2 个正确的说法。
4.使f(x) = x^α 为奇函数且在(0.+∞) 上单调递减的α 的值的个数是 1.解析：因为f(x) = x^α 为奇函数，所以α 为奇数，因此α可能的取值为 -3.-1.1.3.因为在(0.+∞) 上单调递减，所以只有α = -1 满足条件。
因此个数为 1.1.α=-1,1,3.由于f(x)在(，+∞)上为减函数，所以α=-1.2.使(3-2x-x^2)/4有意义的x的取值范围是(-3<x<1)。
幂函数的单调性、奇偶性及其应用专题含答案
幂函数的单调性、奇偶性及其应用专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知幂函数f (x )=(m 2−2m +1)x 2m−1在(0,+∞)上为增函数，则实数m 的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.0或22. 若幂函数的图像经过点，则的定义域为( )A.RB.C. D.3. 若(a +1)12<(3−2a)12，则实数a 的取值范围是（ ） A.[−1,32] B.[−1,23)C.(−∞,23)D.(−∞,32]4. 幂函数y =f(x)的图象经过点(3, √3)，则f(x)是( ) A.偶函数，且在(0, +∞)上是增函数 B.偶函数，且在(0, +∞)上是减函数 C.奇函数，且在(0, +∞)是减函数D.非奇非偶函数，且在(0, +∞)上是增函数5. 已知函数f(x)=(m 2−3m −3)x m 是幂函数，且在(0, +∞)为增函数，则m 的值为( ) A.−1 B.4 C.1或−4 D.−1或46. 已知m ，n 为正实数，且m 12+n 12=1，则下列不等式一定成立的是（ ） A.m n ≥n m B.m n ≤n mC.m m +n n <12D.m m +n n >127. 已知函数f (x )=(m 2−3)x m+1 （m 为常数）是幂函数，且在(0,+∞)上单调递增，则f (2)=( )A.8B.12C.14D.188. 幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3在(0, +∞)时是减函数，则实数m的值为（）A.2或−1B.−1C.2D.−2或19. 设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为()A. B.C. D.10. y=x a2−4a−9是偶函数，且在(0, +∞)是减函数，则整数a组成的集合为（）A.{1, 3, 5}B.{−1, 1, 3}C.{−1, 1, 3, 5}11. 设x=0.20.3，y=0.30.2，z=0.30.3，则x，y，z的大小关系为()A.x<z<yB.y<x<zC.y<z<xD.z<y<x12. 已知幂函数f(x)=(m2−m−1)x m−1在区间(0, +∞)上单调递减，则m=________．13. 已知幂函数f(x)=(m2−m−1)x m在(0, +∞)上是增函数，则实数m=________．14. 函数的单调减区间是________．15. 已知幂函数的图像经过点(2, 8)，则=________ .16. 若幂函数在上是减函数，则实数的值为________．17. 当x∈(0,+∞)时，幂函数f(x)=(m2−m−1)x−5m−3为增函数，则实数m =________．18. 函数f(x)=(m 2+3m +1)⋅x m 2+m−1是幂函数，且其图象过原点，则m =________．19. 已知幂函数f(x)=(t 3−t +1)x 7+3t−2t 25(t ∈Z )是偶函数，则实数t 的值为________．20. 若f(x)＝x a 是幂函数，且满足f(4)f(2)=3，则f(12)＝________13 ．21. 已知幂函数f(x)=x (m2+m)−1(m ∈N ∗)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数经过点(2,√2)，试确定m 的值，并求满足f(2−a)>f(a −1)的实数a 的取值范围．22. 计算下列各式的值:（1）（2）23. （1）已知幂函数f(x)=(t 3−t +1)x 15(7+3t−2t 2)(t ∈Z)是偶函数，且在区间[0, +∞)上是增函数，求整数t 的值，并作出相应的幂函数的大致图象；（2）已知幂函数f(x)=1x 2−m−m2在(−∞, 0)上是减函数．求m 的最大负整数值．24. 函数f(x)=(m 2−m −5)x m−1是幂函数，且当x ∈(0, +∞)时，f(x)是增函数，试确定m 的值．25. 已知幂函数f(x)=(m 2−5m +7)x −m−1 (m ∈R )为偶函数．(1)求f(12)的值；(2)若f(2a+1)=f(a)，求实数a的值．26. 已知幂函数f(x)=(k2−2k−2)x k−1，且函数f(x)图象不过原点.(1)求实数k的值；(2)若f(t)>f(−1)，求实数t的取值范围.27. 已知幂函数f(x)=(2m−n)x−m2+n+4(m,n∈Z)为偶函数，且在区间(0，+∞)上是单调递增函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)=14f(x)+ax3+92x2−b(x∈R)，其中a，b∈R．若函数g(x)仅在x=0处有极值，求实数a的取值范围．28. 已知函数f(x)=(m2+3m−3)x m为幂函数，且在区间(0,+∞)上单调递减.(1)求实数m的值；(2)请画出函数f(x)的草图.29. 已知幂函数f(x)经过点(2,4).(1)求f(−12)的值；(2)设f(x)在区间[m,n]上的值域为[6m−8,6n−8],求m+n的值.参考答案与试题解析幂函数的单调性、奇偶性及其应用专题含答案一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ） 1.【答案】 C【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】由题意得，{m 2−2m +1=12m −1>0，解得m =2．故选C ．【解答】解：由题意得，{m 2−2m +1=1，2m −1>0，解得m =2． 故选C ． 2.【答案】 C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 幂函数的单调性、奇偶性及其应用 函数的定义域及其求法 【解析】由题意得，幂函数f (x )=√x ，即可求其定义域得解． 【解答】 ·f (x )为幂函数，…设f (x )=x n又f (x )的图像经过点(25,5)5=25∘，解得：α=12f (x )=x 12=√x ．f (x )的定义域为[0,+∞) 故选：C 3.【答案】 B【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】根据分数指数幂的意义，原不等式等价于{a +1≥03−2a ≥0a +1<3−2a ，求出解集即可．【解答】不等式(a +1)12<(3−2a)12， 等价于{a +1≥03−2a ≥0a +1<3−2a ，解得−1≤a <23，所以实数a 的取值范围是[−1, 23)． 4. 【答案】 D【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可． 【解答】解：设幂函数的解析式为：y =x α， 将(3, √3)代入解析式得： 3α=√3，解得α=12，∴ y =x 12=√x 是非奇非偶函数， 且在(0,+∞)上是增函数. 故选D . 5.【答案】 B【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】因为只有y =x α型的函数才是幂函数，所以只有m 2−m −1=1函数f(x)=(m 2−m −1)x m 才是幂函数，又函数f(x)=(m 2−m −1)x m 在x ∈(0, +∞)上为增函数，所以幂指数应大于0． 【解答】解：要使函数f(x)=(m 2−3m −3)x m 是幂函数， 且在(0, +∞)为增函数，则 {m 2−3m −3=1m >0， 解得m =4． 故选B ． 6. 【答案】 D【考点】对数的运算性质指数函数单调性的应用幂函数的单调性、奇偶性及其应用不等式比较两数大小基本不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用题设得0<m<1,0<n<1，y=m x,y=n x,x∈(−∞,+∞)单减, y=x m,y=x n,x∈(0,+∞)为增函数，再利用均值不等式逐项分析得解. 【解答】解：由题设得0<m<1，0<n<1，y=m x，y=n x，均在(−∞,+∞)上单调递减,y=x m，y=x n，均在(0,+∞)为增函数，A，当m<n时，m n<m m<n m，故错误.B，当m>n时，m n>m m>n m，故错误.C，当m=n时，联立m12+n12=1，得m=n=14，此时m n+n m=√2>12，故错误.D，因为m+n≥2√mn，所以2(m+n)≥(√m+√n)2，所以m+n2≥(√m+√n2)2=14，所以m+n≥12，因为m m>m1=m，n n>n1=n，所以m m+n n>m+n≥12.故正确.故选D.7.【答案】A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】无【解答】解：因为函数f(x)=(m2−3)x m+1（m为常数）是幂函数，所以m2−3=1，即m2=4，解得m=2或m=−2，又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以m+1>0，所以m=2，所以f(x)=x3，所以f(2)=23=8．故选A．8.【答案】B【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】由题意利用幂函数的定义和性质可得{m 2−m −1=1m 2+m −3<0，由此解得m 的值．【解答】解：由于幂函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3在(0, +∞)时是减函数，故有{m 2−m −1=1m 2+m −3<0， 解得m =−1. 故选B ． 9.【答案】 D【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 二次函数的应用 函数的最值及其几何意义 【解析】函数f (x )={−x 2,−1≤x <0log 2(x +1)≤x ≤3在[−1,3]上单调递增，所以f (x )的值域为[−1,2]对α分类讨论，求出g (x )在[−1,1]的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围．详解：函数f (x )={−x 2,−1≤x <0log 2(x +1)≤x ≤3在[−1,3]上单调递增，所以f (x )的值域为[−1,2]当a >0时，g (x )为增函数，g (x )=ax +1在[−1,1]上的值域为[−a +1,a +1]，由题意可得{−a +1≤−1a +1≥2∴ a ≥2当a <0时，g (x )为减函数，g (x )=ax +1在[−1,1]上的值域为[a +1,−a +1]，由题意可得{a +1≤−1−a +1≥2a ≤−2当a =0时，g (x )为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，实数ａ的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞) 故选D ． 【解答】 此题暂无解答 10.【答案】 C【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】 若函数y =x a 2−4a−9是偶函数，则a 2−4a −9须为偶数，把a 值逐项代入检验即可．【解答】解：若函数y =x a2−4a−9是偶函数，则a 2−4a −9须为偶数，当a =−1时a 2−4a −9=−4符合； 当a =1时，a 2−4a −9=−12符合， 当a =3时a 2−4a −9=−12符合； 当a =5时a 2−4a −9=−4符合； 故选C ． 11. 【答案】 A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 指数函数单调性的应用【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由y =0.3x 的单调性可得y >z ， 由y =x 0.3的单调性可得x <z ， 所以答案是：A ．二、 填空题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ） 12.【答案】 −1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】利用幂函数的定义、单调性即可得出． 【解答】解：由幂函数f(x)=(m 2−m −1)x m−1， 可得m 2−m −1=1，解得m =2或−1．又幂函数y =x m−1在区间(0, +∞)上单调递减， ∴ m =−1． 故答案为：−1． 13.【答案】 2【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】只有y =x α型的函数才是幂函数，当m 2−m −1=1函数f(x)=(m 2−m −1)x m 才是幂函数，又函数f(x)=(m 2−m −1)x m 在x ∈(0, +∞)上为增函数，所以幂指数应大于0． 【解答】解：要使函数f(x)=(m 2−m −1)x m 是幂函数，且在x ∈(0, +∞)上为增函数， 则{m 2−m −1=1,m >0,解得：m =2或−1（舍去）．故答案为：2． 14.【答案】 （0，今） 【考点】复合函数的单调性幂函数的单调性、奇偶性及其应用 函数单调性的性质【解析】先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出∼的范围，写成区间形式，可得到函数y =x ln x 的单调减区间．详解：函数的定义域为x >0y ′=ln x +1，令ln x +1<0，得0<x <11函数y =x ln x 的单调递减区间是|0,1e )，故答案为(0,1e ) 【解答】 此题暂无解答 15.【答案】 27【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 幂函数的单调性、奇偶性及其应用 函数的求值【解析】设(x )=x ′，代入(2,8)，求得n ，再计算f(3)，即可得到所求值． 【解答】设(x )=x ′，由题意可得 2n =8，解得ln =3 则f (x )=x 3 f (3)=33=27 故答案为：27． 16.【答案】 m =2 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 幂函数的单调性、奇偶性及其应用 幂函数的性质【解析】试题分析：由题意得：m 2−m −1=1,m 2−2m −3<0⇒m =2 【解答】 此题暂无解答 17.【答案】−1【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，{m 2−m −1=1,−5m −3>0,解得：m =−1．故答案为：−1．18.【答案】−3【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：因为函数f(x)=(m 2+3m +1)⋅x m 2+m−1 是幂函数，所以m 2+3m +1=1，解得m =0或−3．当m =0时，f(x)=x −1，其图象不过原点，应舍去；当m =−3时，f(x)=x 5，其图象过原点．故答案为：−3．19.【答案】1或−1【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】根据幂函数的定义先求出t 的值，然后结合幂函数的单调性和奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：∵ 函数f(x)是幂函数，∴ t 3−t +1=1，即t 3−t =0，则t(t 2−1)=0，则t =0或t =1或t =−1，当t =0时，f(x)=x 75为奇函数，不满足条件．当t =1时，f(x)=x 85是偶函数，满足条件．当t =−1时，f(x)=x 25是偶函数，满足条件．故t =1或t =−1.故答案为：1或−1.20.【答案】13【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】可设f(x)＝x α，由f(4)f(2)=3可求得α，从而可求得f(12)的值．【解答】解析：设f(x)＝x α，则有4α2α=3，解得2α＝3，α＝log 23，∴ f(12)=(12)α=(12)log 23 =2−log 23=2log 213 =13．三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 10 分 ，共计90分 ）21.【答案】解：(1)∵ m 2+m =m(m +1)，m 为正整数，∴ m 和m +1必有一个是偶数，∴ m 2+m 是偶数，∴ 该函数的定义域为[0, +∞)，并且在[0, +∞)上单调递增.(2)∵ 幂函数f(x)的图象经过点(2,√2)，∴ √2=2(m 2+m)−1，即m 2+m =2，解得：m =1或m =−2，∵ m ∈N ∗，故m =1，故f(x)=√x ，f(x)在[0, +∞)上单调递增，由f(2−a)>f(a −1)，得{2−a ≥0，a −1≥0，2−a >a −1，解得：1≤a <32，故a 的范围是[1, 32)．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）根据幂函数的定义，把点的坐标代入函数解析式，求出m 的值，从而求出函数的解析式即可；（2）根据函数的单调性得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：(1)∵ m 2+m =m(m +1)，m 为正整数，∴ m 和m +1必有一个是偶数，∴ m 2+m 是偶数，∴ 该函数的定义域为[0, +∞)，并且在[0, +∞)上单调递增.(2)∵ 幂函数f(x)的图象经过点(2,√2)，∴ √2=2(m 2+m)−1，即m 2+m =2，解得：m =1或m =−2，∵ m ∈N ∗，故m =1，故f(x)=√x ，f(x)在[0, +∞)上单调递增，由f(2−a)>f(a −1)，得{2−a ≥0，a −1≥0，2−a >a −1，解得：1≤a <32， 故a 的范围是[1, 32)． 22.【答案】（1）云（2）1【考点】区间与无穷的概念幂函数的单调性、奇偶性及其应用进位制【解析】（1）利用指数的运算性质即可求解．（2）利用对数的运算性质即可求解．【解答】（1）(−13)−1+(94)−12+(−√2)0−(−18)−13 =−3+(49)12+1−√−83 =−3+23+1−(−2)=23（2）原式=lg(12.5÷58×12)=lg10=123.【答案】解：（1）∵幂函数f(x)=(t3−t+1)x15(7+3t−2t2)(t∈z)是偶函数，且在区间[0, +∞)上是增函数，∴{t3−t+1=115(7+3t−2t2)>07+3t−2t2偶数，解得t=1或t=−1．t=1时，f(x)=x25，t=−1时，f(x)=x85．（2）∵幂函数f(x)=1x2−m−m2=x m2+m−2在(−∞, 0)上是减函数，∴{m2+m−2是偶数m2+m−2>0，解得m>1或m<−2，∴m的最大负整数值为−3．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质幂函数的图像【解析】（1）由幂函数的定义、奇偶性和单调性，能求出整数t的值，并作出相应的幂函数的大致图象．（2）由已知条件利用幂函数的性质得{m2+m−2是偶数m2+m−2>0，由此能求出m的最大负整数值．【解答】解：（1）∵幂函数f(x)=(t3−t+1)x15(7+3t−2t2)(t∈z)是偶函数，且在区间[0, +∞)上是增函数，∴{t3−t+1=115(7+3t−2t2)>07+3t−2t2偶数，解得t=1或t=−1．t=1时，f(x)=x25，t=−1时，f(x)=x85．（2）∵幂函数f(x)=1x2−m−m2=x m2+m−2在(−∞, 0)上是减函数，∴{m2+m−2是偶数m2+m−2>0，解得m>1或m<−2，∴m的最大负整数值为−3．24.【答案】解：由幂函数的定义，得m2−m−5=1，解得m=3或m=−2.当m=3时，f(x)=x2在(0, +∞)上是增函数；当m=−2时，f(x)=x−3在(0, +∞)上是减函数；故m=3.【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：由幂函数的定义，得m2−m−5=1，解得m=3或m=−2.当m=3时，f(x)=x2在(0, +∞)上是增函数；当m=−2时，f(x)=x−3在(0, +∞)上是减函数；故m =3.25.【答案】解：(1)由题意可知函数为幂函数，∴ m 2−5m +7=1，得m =2或3．当m =2时，f(x)=x −3是奇函数，不满足题意．∴ m =2舍去；当m =3时，f(x)=x −4是偶函数，满足题意，∴ f(x)=x −4，f (12)=(12)−4=16．(2)由f(x)=x −4为偶函数和f(2a +1)=f(a)，可得|2a +1|=|a|，即2a +1=a 或2a +1=−a ，∴ a =−1或a =−13．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域函数的求值【解析】(1)利用幂函数的定义解得m ，根据幂函数是偶函数，判断m 的值；(2)利用幂函数的偶函数的性质以及结合题意，得出|2a +1|=|a|， 解绝对值得出a 的值.【解答】解：(1)由题意可知函数为幂函数，∴ m 2−5m +7=1，得m =2或3．当m =2时，f(x)=x −3是奇函数，不满足题意．∴ m =2舍去；当m =3时，f(x)=x −4是偶函数，满足题意，∴ f(x)=x −4，f (12)=(12)−4=16．(2)由f(x)=x −4为偶函数和f(2a +1)=f(a)可得|2a +1|=|a|， 即2a +1=a 或2a +1=−a ，∴ a =−1或a =−13．26.【答案】解：(1)由幂函数的定义有k 2−2k −2=1，解得k =3或k =−1， 当k =3时，f(x)=x 2，此时函数图象过原点，不合题意；当k =−1时，f(x)=x −2，此时函数图象不过原点，符合题意；故实数k 的值为−1.(2)由(1)知f(x)=1x 2，知函数f(x)为偶函数且x ≠0，其增区间为(−∞,0)，减区间为(0,+∞)，易知−1<t<0，或0<t<1.【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由幂函数的定义有k2−2k−2=1，解得k=3或k=−1，当k=3时，f(x)=x2，此时函数图象过原点，不合题意；当k=−1时，f(x)=x−2，此时函数图象不过原点，符合题意；故实数k的值为−1.(2)由(1)知f(x)=1x2，知函数f(x)为偶函数且x≠0，其增区间为(−∞,0)，减区间为(0,+∞)，易知−1<t<0，或0<t<1.27.【答案】解：(1)∵f(x)为幂函数，∴2m−n=1，n=2m−1，又∵f(x)在区间(0，+∞)上是单调递增函数，∴−m2+n+4>0，则−m2+2m+3>0⇒−1<m<3，∵m∈Z，∴m=0或1或2，当m=0时，f(x)=x3为奇函数，不合题意，舍去；当m=1时，f(x)=x4为偶函数，符合题意；当m=2时，f(x)=x3为奇函数，不合题意，舍去；故f(x)=x4.(2)g(x)=14x4+ax3+92x2−b，g′(x)=x3+3ax2+9x=x(x2+3ax+9)，∵函数g(x)仅在x=0处有极值，∴x2+3ax+9≥0恒成立，∴Δ=(3a)2−36≤0，解得−2≤a≤2，故实数a的取值范围为[−2，2].【考点】二次函数的性质利用导数研究函数的极值幂函数的单调性、奇偶性及其应用函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵f(x)为幂函数，∴2m−n=1，n=2m−1，又∵f(x)在区间(0，+∞)上是单调递增函数，∴−m2+n+4>0，则−m2+2m+3>0⇒−1<m<3，∵m∈Z，∴m=0或1或2，当m=0时，f(x)=x3为奇函数，不合题意，舍去；当m=1时，f(x)=x4为偶函数，符合题意；当m=2时，f(x)=x3为奇函数，不合题意，舍去；故f(x)=x4.(2)g(x)=14x4+ax3+92x2−b，g′(x)=x3+3ax2+9x=x(x2+3ax+9)，∵函数g(x)仅在x=0处有极值，∴x2+3ax+9≥0恒成立，∴Δ=(3a)2−36≤0，解得−2≤a≤2，故实数a的取值范围为[−2，2].28.【答案】解：(1)由m2+3m−3=1，得m=1或m=−4，①当m=1时，f(x)=x，此时函数在区间(0,+∞)为增函数，不符合题意；②当m=−4时，f(x)=x−4，此时函数在区间(0,+∞)为减函数，符合题意. 故实数m的值为−4.(2)由(1)知f(x)=x−4，由函数f(x)的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，f(−x)=f(x)可知函数f(x)为偶函数，可画出函数f(x)草图为：【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的图像幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由m 2+3m −3=1，得m =1或m =−4，①当m =1时，f(x)=x ，此时函数在区间(0,+∞)为增函数，不符合题意； ②当m =−4时，f(x)=x −4，此时函数在区间(0,+∞)为减函数，符合题意. 故实数m 的值为−4.(2)由(1)知f(x)=x −4，由函数f(x)的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)， f(−x)=f(x)可知函数f(x)为偶函数，可画出函数f(x)草图为：29.【答案】解：(1)设幂函数f(x)=x a ，∴ 4=2a ,∴ a =2,∴ f(x)=x 2,∴ f(−12)=14.(2)∵ f(x)=x 2≥0,∴ 6m −8≥0,∴ m ≥43.又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴ 函数f(x)在[m,n]上单调递增，∴ f(m)=6m −8,f(n)=6n −8,且m <n ,解得：m =2,n =4,∴ m +n =6.【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设幂函数f(x)=x a ，∴ 4=2a ,∴ a =2,∴ f(x)=x 2,∴ f(−12)=14.(2)∵ f(x)=x 2≥0,∴6m−8≥0,∴m≥4.3又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴函数f(x)在[m,n]上单调递增，∴f(m)=6m−8,f(n)=6n−8,且m<n, 解得：m=2,n=4,∴m+n=6.。
幂函数经典例题(答案)
幂函数的概念例1、下列结论中，正确的是( )A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y＝xα是增函数D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 15(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．分析关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设pq(|p|、|q|互质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x pq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xpq的奇偶性与p的值相对应．解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，∴t＝－1,1或0.当t＝0时，f(x)＝x 75是奇函数；当t＝－1时，f(x)＝x 25是偶函数；当t＝1时，f(x)＝x 85是偶函数，且25和85都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．故t＝1且f(x)＝x 85或t＝－1且f(x)＝x25.点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t ∈Z 给予足够的重视．例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．例4、已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解 由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R .错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .解 根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评 幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式 已知y ＝(m 2＋2m －2)x1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－， ∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1978.分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1978，从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1978.点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23；(2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝⎛⎭⎪⎫－π6－23.(2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25.例8、 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－m3<(3－2a)－m3的a的范围．解∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1，∴有(a＋1)－13<(3－2a)－13.又∵y＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a 或a＋1<0<3－2a，解得23<a<32或a<－1.点评(1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y＝xα，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式已知幂函数y＝xm2－2m－3 (m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，且画出它的图象．解由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3，当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不符合题意．当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图①所示．当m＝1时，y＝x－4，其图象如图②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x －1 C ．y ＝x D ．y ＝x 2答案 A3．设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( ) A ．y ＝x 12 B ．y ＝x －2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x －1答案 B5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 答案 B解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0∴m ＝1或m ＝2.6．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，12，那么f (8)的值为( )A ．26 B ．64 C.24D.164答案 C解析 设f (x )＝x α(α为常数)，将⎝⎛⎭⎪⎪⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x－12，∴f (8)＝8－12＝24. 8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x 2C ．y ＝x －2D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象，选B. 二、填空题1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫9，13，则f (25)＝_____________.答案 15解析 设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是______________．答案 [0，＋∞)解析 由4＝8α，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .答案 2，12，－12，－24．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________．答案 5解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上， ∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.5．幂函数y ＝x α (α∈R )的图象一定不经过第________象限． 答案 四6．把下列各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3223<223.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5 解析 f (x )＝x －12＝1x(x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题1．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解 (1)若f (x )为正比例函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。
高一数学幂函数的性质经典总结及练习
常见的幂函数函 数 y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=0y x =定义域 值 域图 象奇偶性 定点 图象形状直线抛物线拐线抛物线双曲线幂函数的基本性质：①所有幂函数在(0,)+∞上都有定义，并且图象都经过点(1,1)； ②若0α>，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0,)+∞上为增函数；③若0α<，则幂函数的图象在区间(0,)+∞上是减函数，在第一象限内，图象随着x 值的变化而趋近与坐标轴；④当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数；例1、幂函数()f x 的图象过点1(4,)2，且()8f x =，则x = ； 例2、讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出图象；①4()f x x = ② 14()f x x = ③ 3()f x x -= ④ 23()f x x =例3、已知幂函数39m y x -=(*)m ∈N 的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上函数值随着x 的增大而减小，求满足33(1)(32)m m a a --+<-的a 的取值范围；例4、① 函数23y x =的定义域是 ，值域是 ；② 函数23y x-=的定义域是 ，值域是 ；③ 函数32y x =的定义域是 ，值域是 ； ④ 函数32y x-=的定义域是 ，值域是 ；例5、若幂函数p y x =与q y x =的图象关于y x =对称，则实数,p q 满足的关系式是 ； 例6、点(2,2)在幂函数()f x 的图象上，点1(2,)4-在幂函数()g x 的图象上，问当x 为何值时，有：①()()f x g x >；②()()f x g x =；③()()f x g x <；例7、函数2y ax bx =+与log (0,)b ay x ab a b =≠≠在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ）例8、若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，且(2)1f =，则()f x = ； 例9、函数6()12log f x x =-的定义域为 。
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幂函数与奇偶性考点例题
考点一 幂函数的定义
例1、已知函数22
(1)32y m x m m =-+-+是幂函数，求m 的值。
例2、当()0,x ∈+∞时，幂函数253(1)m y m m x --=--是减函数，则实数m 的值为 。
考点二 判断函数的奇偶性
一般地，判断函数的奇偶性首先应确认该函数的定义域关于原点对称，然后再根据f(x)和f(－x)的关系进行判断，若相等，则为偶函数；若相反，则为奇函数。
也可以根据图像的对称性来判断：若图像关于原点对称，则为奇函数；若图像关于y 轴对称，则为偶函数。
例3、判断函数21
()1x f x x -=-的奇偶性。
例4、判断函数22,0
(),0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩
的奇偶性。
考点三 复合函数的奇偶性
复合函数y=f[g(x)]的奇偶性可以这样判断：当内外函数均为奇函数时，复合函数是奇函数；当内外函数中有一个是偶函数，而另一个函数无论是奇函数或偶函数，复合函数均为偶函数。
例5、判断函数2()3f x x x =+-的奇偶性。
考点四 利用函数的奇偶性解题
例6、已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，()1f x x =+；求当x<0时()f x 的解析式。
例7、试探究是否存在实数a ，
使得函数()f x =是奇函数？若存在，求出实数a ，
并证明函数()f x 是奇函数；若不存在，请说明理由。
考点五 幂函数的图像
例8、函数2
3()f x x =的图像是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、 考点六 比较大小
例9、比较下列各组中两式的大小 ①223
378,33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；②213377,33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③27
3372,33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
考点七解不等式
例10、解不等式
217 1717
33
x x
-+
⎛⎫⎛⎫
>
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭。
例11、解不等式
243
2
1
3
x x
++
⎛⎫
>
⎪
⎝⎭。