2019考研数学三真题解析
考研数学三真题解析
x2
【答案】（1） y(x) = xe 2 . （2）
【解析】（1）
y(
x)
=
e−
−
xdx
C
+
1 2x
x2
e2
e−xdx
=
x2
e2
(C
+
x ).
x2
因为 y(1) = e ，故 C = 0 ，所以 y(x) = xe 2 .
（2）由旋转体体积公式，
V = π
2
C. 与 ， 2 都有关.
D. 与 ， 2 都无关.
【答案】A
【解析】X − Y ~ N (0, 2 2 ，所以 P{ X − Y 1} = (1− 0 ) = ( −1− 0) = 2( 1 ) −1；
2
2
2
选A
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．
当x = 0：
������+′(0)
=
lim
������→0+
������(������)
− ������
������(0)
=
lim
������→0+
������2������ − ������
1
=
lim
������→0+
������ 2������������������������ ������
的规范形为（ ）
A. y12 + y22 + y32
B. y12 + y22 − y32 C. y12 − y22 − y32
D. − y12 − y22 − y32
2019年考研数学(三)真题及答案解析(完整版)
【解析】令 un
1 n3
, vn
1n
，故（A）（C）排除。令 un
1 n3
, vn
1n
1 ln n
，故（D）
排除，对于选项（B），由于 vn 条件收敛，则 lim vn 0 ，且 lim unvn lim vn 0 ，
n1 n
n n
n nun n n
根据正项级数判别法 nun 绝对收敛，则 unvn 绝对收敛。综上，故选（B）.
（C）3.
（D）4.
【答案】（C）
【解析】 x tan x ~ 1 x3, 故 k 3. 3
（2）已知方程 x5 5x k 0 有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围（ ）
（A） (, 4) （B） (4, ) （C）[4, 4] （D） (4, 4)
【答案】（D）
【解析】令 f x x5 5x k ，则 f x 5x4 5 5 x4 1 5 x2 1 x2 1 ，
则 x 1, f x 0 ； 1 x 1, f x 0 ； x 1, f x 0 ；
又 lim f x , lim f x ，综合单调性知 f 1 0, f 1 0 时才有三个根，
x
x
即 f 1 1 5 k 0, f 1 1 5 k 0, 则 4 k 4 。
n 2 2 3
n n+1 n n+1
(10)
曲线
y
x
sin
x
2
cos
x
2
x
3 2
的拐点坐标为
【答案】
【解析】 y ' sin x x cos x 2sin x x cos x sin x
y '' cos x x sin x cos x x sin x ，令 y '' 0得x 0或x
(完整版)2019考研数学三真题及参考答案解析
2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析一、选择题1.（）为同阶无穷小，则与时，若当=-→k xx x x ktan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.的取值范围为（）个不同的实根，则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+，4 C.]44[,- D.），（44- 3.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,44.的是（）条件收敛，则下列正确绝对收敛，已知∑∑∞=∞=11n nn n nv nu A.条件收敛nn n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞=1n nn v uC.）收敛（nn nv u +∑∞=1D.）发散（nn nv u +∑∞=15个的基础解析有的伴随矩阵，且为阶矩阵，为已知204*=Ax A A A 线性无关的解，则) ()(=*A r A.0 B.1 C.2 D.36.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是A.).()()(B P A P B A P +=YB.).()()(B P A P AB P =C.).()(A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分.9.()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→nn n n 11321211lim Λ 10. 曲线⎪⎭⎫⎝⎛-+=232cos 2sin ππ＜＜x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f xd 114⎰+=，则()=⎰x x f x d 10212. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为222500B B A A p p p p +--,则当A p =10，B p =20时，A 商品的价格需求弹性AA η(0＞AA η)=13. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1101111012a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b 10，若b Ax =有无穷多解，则a= 14 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题15.已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x x ，求的极值并求)(f )('f x x16.设)(v u f ，具有连续的2阶偏导数，求),,(),(y x y x f xy y x g -+-=22222y gy x g x g ∂∂+∂∂∂+∂∂ 17.)(x y 显微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.（1）求)(x y（2）区域D {})(0,21,x y y x y x ≤≤≤≤）（，D 绕轴旋转的旋转体的体积 18.求曲线)0(sin >=-x x e y x与x 轴之间图形的面积。
2019考研数学三【解析版】【无水印】
所以 r( A*) = 0 ．
6．设 A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若 A2 + A =2E ，且 A = 4 ，则二次型 xT Ax 的规范形是
（
）
（A） y12 + y22 + y32 （B） y12 + y22 − y32 （C） y12 − y22 − y32
（D） − y12 − y22 − y32
,0
<
x
<
2
，
F(x) 为其分布函数，
E(X )
其数学期望，则
0, 其他
P{F ( X ) > E( X ) −1} =
．
【答案】 2 . 3
0, x < 0
∫ 【详解】 F (x=)
P{X ≤ x=}
1 4
x2
,
0
≤
x
<
2
，= E( X )
= 2 x2 dx
4
．
02
3
1, x ≥ 2
∫ P{F ( X ) > E( X ) −1} =P{F ( X ) > 1} =P{X > 2 } =1−
EQA = EPA
PA ⋅ ∂QA = 10 × 40 = 0.4 ． QA ∂PA 1000
3
1 0 −1 0
13．已知= 矩阵 A
1
1
−1
,
b
=
1
．若线性方程组
Ax
=
b 有无穷多解，则
a
=
．
0 1 a2 −1 a
【答案】1．
【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：
1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0
2019考研数学三真题及答案解析
2019考研数学三真题答案解析（完整版）1.3tan 3x x x --若要x - tan x 与x b 同阶无穷小，\ k = 3\选C2.54()5()5501f x x x k f x x x '=-+=-==±(1,1)()0,(),(,1)(1,),()0x f x f x x f x ''∈-<↓∈-∞-⋃+∞>，()f x ↑极大值(1)154f k k -=-++=+极小值(1)154f k k =-+=-lim ();lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞若要550x x k -+=有3个不同的实根∴(1)0(1)04040f f k k -><+>-<即∴44(4,4)k -<<-即选D 。
3.解：∵通解为12()e e xxy C C x -=++∴e ,e 0x x x y ay by --'''++=为的两个解.即1λ=-为重根.22010402,1,a b a b a b a b λλ++=⇒-+=∆=-=⇒==∴e x 为e x y ay by c '''++=的特解：2exy y y c '''++=将e x y =代入e 2e e e 4x x x x c c ++=⇒=∴2,1,4a b c ===∴选D.4.1n n nu ¥=å 绝对收敛，1nn v n ¥=å 条件收敛n n u nu £ 1n n u ¥=\å绝对收敛.nv n有界.不妨设n v M n <n n nu v M u \£1n n M u ¥=å 收敛1n n n u v ¥=\å绝对收敛.故选B5.0Ax = 的基础解系中只有2个向量()24()n r A r A \-==-()0r A *\=\选A6.选（C ）解：由22A A E +=得22λλ=+，λ为A 的特征值，2λ=-或1，又1234A =λλλ=，故1232,1,λλλ==-=规范形为222123y y y --，选（C ）7.选（C ）解：法一：()()()P AB P A P AB =-()()()P B A P B P AB =-()()()()P A P B P AB P B A =\=选（C ）法二排除法（A ）A B ==W 时排除（A ）（B ）若A 、B 互斥，且0()1,0()1,P A P x <<<<排除（B ）（D ）若A B ==W ，则()()1,()()0P AB P P AB P =W ==F =，排除(D)8.解：因为22(,)(,)X N u Y N u s s X 与Y 相互独立2(0,2)X Y N s \-{}11121222X Y P X Y Pss s -÷ç\-<=<=F -÷ç÷ç\与u 无关，即与2a 有关选择（A ）9.11lim 12(1)nx n n +¥÷ç÷++ç÷ç÷×+11lim eenn x -++¥==10.3sin 2cos 22y x x x x p p ÷ç=+-<<÷ç÷çsin cos 2sin cos sin y x x x x x x x¢=+-=-令()cos sin cos sin 0y x x x x x x x =--=-=得0,x x p==0x <时，()0y x <0x >时，()0y x <不为拐点.0x p <<时，()0y x <32x pp >>时，()0y x >拐点为(),2p -11.解析：()()()1201201130113130104034120()d d 1d 31|311)341211(1)|1)1231818x f x xx t xt xx t x xx x ===-=-⋅+=-⋅+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12.解析：2222(2)5002(2)5002A AA A AAA B A A B B A A B A A B B P Q Q P P P P P P P P P P P P P P P h ¶=-׶=-×----++=-+故10,20A B P P ==时，10404000.45001002008001000h ´===--+13.解析：2221010()111101110101010010101010110011A b a a a a a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭当a =1时()()23r A r A b ==< ，Ax =b 有无穷多解.14.X 的概率密度为,02()20,else xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩3222210022221184d d |2223630()024121{()1}{()}{2}2}32d 2243xx EX x x x x x x F x x x P F X EX P F X P X P X x P X x x =⋅====<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩≥-=≥=≥=<⎫=<<=⎬⎭==⎰⎰15.解：当0x >时22ln 2ln ()e ()e (2ln 2)x x x x x f x x f x x ¢===+当0x <时()e e x xf x x ¢=+当0x =时0000()(0)e 11lim ()lim lim lim e 10x xx x x x f x f x f x x x-----+-====-2000()(0)11lim ()lim lim 0x x x x f x f x f x x x----+-==-不存在\有()f x 在0x =点不可导.于是2ln e (2ln 2)0(),0e +e ,0x x x x x xf x x x x ，不存在ìï+>ïïï¢==íïïï<ïî令()0f x ¢=得121,1,ex x ==-于是有下列表x (,1)-¥--1（-1，0）010,e ÷ç÷ç÷ç1e1,e÷ç+¥÷ç÷ç()f x ¢-0+不存在-0+()f x ¯极小值极大值¯极小值于是有()f x 的极小值为2e 11(1)1,e e ef f -÷ç-=-=÷ç÷ç，极大值为(0)1f =16.解析：(,)(,)g x y xy f x y x y =-+-''2""""2''2""""22""""(,)(,)1u v uu uv vu vvu v uu vv vu vv uu uv vu vvgy f x y x y f x y x y x g f f f f x gx f f yg f f f f yx g f f f f x y∂=-+--+-∂∂=----∂∂=-+∂∂=-++-∂=-+-+∂∂所以：22""""212uu uu vv uu g g xg f f f f x x y y ∂∂∂++=---+-∂∂∂∂""13uu vvf f =--17.解析：（1）22x y xy ¢-=)2222222d d 22222ee d e e d e ex x x xx xx x x x y x C x C x C C通解--÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç=+÷ç÷ç=òòò由(f C =+0C =所以22(e x f x （2）()22222221221222411e d e d e d e =e -e 222x x x x x V x x x x p p p p p ÷÷=÷÷÷=×==òòò18.[)2,2x k k p p p Î+时()(21)12(21)2(21)(21)22(21)2(21)(21)22(21)21(21)2e sin d sin de sin e e cos d e cos d =e cos d cos e +e (sin )d e e1e e 2k x k k xk k k x x x k k k x k k k x x k k k k k k S x x x x x x x xx xx x xS x p pp pp p ppp pp p ppppp p +-+-++---+-++---+--+-==-=-×+=-=+-=+òòòòò[)22,22x k k p p p Î++(22)22(22)(22)22(21)21)(22)2(21)2(22)(21)2(22)e sin d sin e -e cos d =-ecos d cos e -e (sin )d e e 1e e 2k x k k k x x k k k k k xx x k k k k k k S x xx x xx x x x xS p p pp p pp pp p pp ppp pp p p +-+++--++++---+++-+-+-+==-=+-=-+--=+òò((21)k p -+ùúû面积为(())()12(21)2(22)02202212e e e 21=12e e e 211e 112e e 21e 2e 1k k k k k k k SS p p p p pp p p p p p ¥=¥-+--+=¥---=----ù=++úû+++=++=--ååå19.设1(0,1,2,)n a x n ==⎰…（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,);2n n n a a n n --==+ （2）求1lim.nn n a a →∞-解析（1）111110(1)0.n n n n a a xxx x ----=-=-<⎰⎰⎰则{}n a 单调递减.1/2/222201sin sin cos sin (1sin ),2n n n n n n a x dxx t t tdt t t dt I I I n ππ+=-⋅=⋅-=-=+⎰⎰⎰则2222111,.(2)(2)n n n n n n n a I a a I n n n n ------===++则（2）由（1）知，{}n a 单调递减，则211111, 1.222n n n n n a n n n a a a n n n a ------=><<+++即由夹逼准则知，1lim1.nn n a a →∞-=20.解：123123(,,,,,)αααβββ2222111101102123443313111101011022001111a a a a r a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪ ⎪----⎝⎭①若a =1，则123123123123(,,)(,,)(,,,,,)r r r αααβββαααβββ==此时向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，令123(,,)A ααα=则31023()01120000A β⎛⎫⎪→-- ⎪⎪⎝⎭此时3123(32)(2)k k k βααα=-+-++②若a =-1，则()2(,)3r A r A B =≠=，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价.③若1,1a ≠-，31001()01010011A β⎛⎫⎪→- ⎪⎪⎝⎭3123βααα=-+21.2212102201000200A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦与相似（1）1231~413()()242210(2)010(1)(2)(2)00021,2,21211211201242000001210001001000022A Bx yx tr A tr B y x y E B x x A E A E λλλλλλλλλξλ∴-=+=⎧∴=⇒⇒⎨=-+=-⎩---=+=++-=-=-=-=---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-+=T 时, ＝(-,,)时,()2311321410440125201050211240000000004212122102221200100112004000000211,122040A E P ξλξξξξ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦TT ＝(-,,)时, ＝(-,,0), 111122P AP --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1223310310100000113000100041010022010010001000000010010322030001100004000B E x B E x B E x λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦TT时， （-，，）时， （，，）时， （，，121232212212121211221()22122()1211030122001040130111212004101100()3000006100011011000P x x x P BP B P P B P P A PP P PP P iE -----⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-=---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦--→T） 故＝03310010001101100010001100100311000030100011001103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.（1）随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x X {}{}{}{}())(1)()1(1,1,)(z F p z F p Y z X P Y z X P z XY P z Z P z F XXZ --+-=-=-≥+=≤=≤=≤=当0<z 时，()zX Z pe z F p z F =--=)(1)(当0≥z 时，()pe p z F p z F p z F z X X Z +--=--+-=-)1)(1()(1)()1()(则⎩⎨⎧≤>-=-0,0,)1()(z pe z e p z f z zZ （2）p EY EX XY E EZ EX 21)(,1-=⋅===()())21(221)()()()()(222p p EX DX Y E X E Y X E XZ E -=-+===当())()(2Z E XE XZ E =时，Z X ,不相关.即)21(221p p -=-，可得21=p .（3）因为{}{}01,1,11,1=≥-=≤=-≤≤X Y X P Z X P 又{}111--=≤e X P ，{}11-=-≤peZ P 则{}{}{}111,1-≤⋅≤≠-≤≤Z P X P Z X P ，故不独立.23.（1）由1222222222)(2)(==-=⎰⎰∞+----∞+πσμσμσμσμμA x deA dx eAx x 可得：π2=A .（2）设n x x x ,,,21 为样本值，似然函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧>∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--elsex x x e L n x nn ni i ,0,,,,2121212122μπσσμσ当μ>n x x x ,,,21 时，()()()()2122221ln 2ln 2ln 2ln ∑----==n i i x n n L μσσπσ令()()()0)(2112ln 1222222=∑-+-==n i i x n d L d μσσσσ，可得()nx ni ∑=-=1212μσ故2σ的最大似然估计量为()nXni ∑=-=1212μσ .。
考研数学三历年真题答案与解析-模拟试题
考研数学三历年真题答案与解析|模拟试题展开全文第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解详解2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2015年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2016年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2017年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2018年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解（2）模拟试题及详解部分：精选了3套模拟试题，且附有详尽解析。
考生可通过模拟试题部分的练习，掌握最新考试动态，提前感受考场实战。
第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（一）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（二）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（三）第一部分历年真题及详解解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。
A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．振荡间断点【答案】B查看答案【考点】函数间断点的类型【解析】首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。
第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中：①跳跃型间断点：②可去型间断点：第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中：①无穷型间断点：与至少有一个为∞；②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。
2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解【圣才出品】
＿
相互独立，并不能说明 P（A）＝P（B）。对选项 D 来说，若令 B＝A，等式恒成立，亦不
＿
＿
能说明 P（A）＝P（B）。P（AB）＝P（A）－P（AB），P（BA）＝P（B）－P（AB），P
＿
＿
（AB）＝P（BA）⇒P（A）＝P（B）。故选 C。
8．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布 N（μ，σ2），则 P{|X－Y|＜1（} ）。 A．与 μ 无关，而与 σ2 有关 B．与 μ 有关，而与 σ2 无关 C．与 μ，σ2 都有关 D．与 μ，σ2 都无关 【答案】A
2．已知方程 x5－5x＋k＝0 有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围（ ）。 A．（－∞，－4） B．（4，＋∞） C．{－4，4} D．（－4，4） 【答案】D 【考点】简单函数的几何特征分析
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【解析】方程 x5－5x＋k＝0 有 3 个不同实根等价于曲线 y＝x5－5x 与直线 y＝－k 有
3 个不同的交点，因此研究曲线 y＝x5－5x 的曲线特点即可。
令 f（x）＝x5－5x，则 f（x）在 R 上连续，且 f′（x）＝5x4－5。再令 f′（x）＝0，得
x＝±1。通过分析 f′（x）在稳定点 x＝±1 左右两侧的符号，可知当 x∈（－∞，－1）时，
f′（x）＞0，f（x）单调递增；当 x∈（－1，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当 x∈
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2019 年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分。共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有 一个选项符合题目要求。）
2019年考研《数学》考试试题及答案(卷三)
2019年考研《数学》考试试题及答案（卷三）一、选择题(1) 已知当0x 时，()3sin sin 3f x xx 与kcx 是等价无穷小，则( )(A) 1,4k c . (B) 1,4k c .(C) 3,4kc.(D)3,4kc.2．已知x f y 是由方程1ln cos x yxy 确定，则12lim nfn n（）（A ）2 （B ）1 （C ）-1（D ）-2(3) 设n u 是数列，则下列命题正确的是( )(A) 若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛. (B)若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛.(C) 若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛. (D)若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛.４．设函数exxx ex x x f ,ln11,)1(1)(11，且反常积分dx x f 收敛，则（）（A ）2（B ）2a（C ）02a （D ）20(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ，210000101P ，则A ( )(A) 12PP ．(B)112P P ．(C)21P P ． (D)121P P ．6．设k D 是圆域1|),(22yx y x D的第k 象限的部分，记kD kdxdy x yI )(，则（）（A ）01I （B ）2I （C ）3I （D ）4I (7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A) 12()()f x f x ． (B) 212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ．(D)1221()()()()f x F x f x F x ．8．矩阵1111aa b a a 与矩阵00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0b a （B ）0a ，b 为任意常数（C ）0,2ba（D ）2a，b 为任意常数二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．)(9) 设0lim 13xtt f xx t ，则f x.10．设函数dt e x f x t11)(，则)(x f y的反函数)(1y fx 在0y 处的导数|ydydx ．(11) 曲线tan4yx ye 在点0,0处的切线方程为 .12．曲线上21ln arctan t yt x 对应于1t 处的法线方程为．(13) 设二次型123,,Tfx x x x Ax 的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换xQ y 下的标准形为．14．设ij a A是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0j i a A ijij ，则A =．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分) 求极限012sin 1limln 1xx x x x．16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y，直线a x )0(a及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x。
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D、 (un + vn ) 发散 n=1
【答案】 B.
【解析】由 vn 条件收敛知， lim vn = 0 ，故当 n 充分大时， vn 1 . 所以，
n=1 n
n→ n
n
unvn
=
nun
vn n
nun ，由于 nun 绝对收敛，所以 unvn 绝对收敛.
n=1
n=1
2
2
【答案】（π，− 2）.
【解析】令 y = −x sin x = 0 ，可得 x = π ，因此拐点坐标为（π，− 2）.
11、已知 f (x) = x 1+ t4 dt ，则 1 x2 f (x)dx = ____________
1
0
【答案】 1 (1− 2 2) . 18
【解析】依题意， f (x) = 1+ x4 且 f (1) = 0 .因此，
的规范形为（ ）
A. y12 + y22 + y32
B. y12 + y22 − y32 C. y12 − y22 − y32
D. − y12 − y22 − y32
【答案】 C.
【解析】 2 + = 2 ，则 只能为 −2 或1，又由于 A = 4 ，则特征值分别为 -2,-2,1 ，则
2019 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）试题参考答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的．
1、当 x → 0 时，若 x − tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k = （ ）
A. 1. C. 3. 【答案】 C.
【答案】C
【解析】 P(AB) = P(B A) P(A) − P(AB) = P(B) − P(AB) P( A) = P(B) ；选 C.
8、设随机变量 X 和Y 相互独立，且都服从正态分布 N (, 2 ) ，则 P{ X − Y 1}
A. 与 无关，而与 2 有关.
B. 与 有关，而与 2 无关.
1 x2 0
f
(x)dx =
1 3
1 0
f (x)dx3
=
1 3
x
3
f
(
x)
1 0
−
1 x3
0
1
+
x4
dx
=
1 18
(1 −
2
2) .
12、A、B 两商品的价格分别为 PA、 PB，需求函数 QA = 500 - PA2 - PAPB + 2PB2 ,
PA = 10 , PB = 20 ,求 A 商品对自身价格的需求弹性hAA = ____________ (h > 0) .
−4 k 4 . 3．已知微分方程 y + ay + by = cex 的通解为 y = (C1 + C2 )e−x + ex ，则 a, b, c 依次为（ ）
A、1, 0,1
B、 1, 0, 2
C、 2,1,3
D、 2,1, 4
【答案】 D.
【解析】由通解形式知， 1 = 2 = −1 ，故特征方程为（ +1）2 = 2 + 2 +1=0 ，所以
【答案】 0.4 .
【解析】因为 AA
=
− PA QA
dQA dPA
=
− PA QA
(−2PA
−
PB )
，将 PA
C. 与 ， 2 都有关.
D. 与 ， 2 都无关.
【答案】A
【解析】X − Y ~ N (0, 2 2 ，所以 P{ X − Y 1} = (1− 0 ) = ( −1− 0) = 2( 1 ) −1；
2
2
2
选A
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．
【解析】当 x → 0 时， x − tan x
B. 2. D. 4.
− 1 x3 ，则 k =3 . 3
2．已知方程 x5 − 5x + k = 0 有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围为（ ）
A、 (−, −4)
B4
D、 (−4, 4)
【答案】 D.
【解 析】令 f (x) = x5 − 5x + k ，由 f (x) = 0 得 x = 1 ， 当 x −1 时， f (x) 0 ， 当
5、设 A 是四阶矩阵，A* 是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向
量，则 A* 的秩是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】 A.
【解析】由于方程组基础解系中只有 2 个向量，则 r( A) = 2 ， r( A) 3 ， r( A) = 0 .
6、设 A 是 3 阶实对称， E 是 3 阶单位矩阵，若 A2 + A = 2E 且 A = 4 ，则二次型 xT Ax
−1 x 1时，f (x) 0 ，当 x 1 时，f (x) 0 ，又由于 lim f (x) = − ，lim f (x) = + ，
x→−
x→+
方程要有三个不等实根，只需要 f (−1)=4 + k 0 ， f (1) = −4 + k <0 ，因此 k 的取值范围为
二次型的规范形为 y12 − y22 − y32 . 7、设 A, B 为随机事件，则 P( A) = P(B) 充分必要条件是
A. P( A U B) = P( A) + P(B).
B. P( AB) = P( A)P(B).
C. P(AB) = P(B A).
D. P( AB) = P( AB).
a = 2,b = 1，又由于 y = ex 是 y+2 y + y = cex 的特解，代入得 c = 4 .
4、若
nun
n=1
绝对收敛，
n=1
vn n
条件收敛，则（
）
A、 unvn 条件收敛 n=1
B、 unvn 绝对收敛 n=1
C、 (un + vn ) 收敛 n=1
n
9、
lim
n→
1 1 2
+
1 23
+
+
1 n(n +1)
= ____________
【答案】 e−1.
【解析】
1 1 2
+
2
1
3
+L
n
1
+
n
(n
+
1)
=
n
n +
1
n
，则
lim
n→
n
n +
1
n
= e−1.
10、曲线 y = x sin x + 2 cos x(− π x 3π ) 的拐点坐标为____________